2018年4月浙江学考数学真题试卷及答案(wold版)新

2018年4月浙江省学考数学试卷及答案

满分100分，考试卷时间80分钟

一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分。每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分。） 1.已知集合{}{}

01,23P x x Q x x =≤<=≤<记M P

Q =，则

A .{}M ?2,1,0

B .{}M ?3,1,0

C .{}M ?3,2,0

D .{}M ?3,2,1 2. 函数x

x x f 1

)(+

=

的定义域是 A .{}0>x x B .{}0≥x x C .{}

0≠x x D .R 3. 将不等式组??

?≥-+≥+-0

10

1y x y x ，表示的平面区域记为Ω，则属于Ω的点是

A .(3,1)-

B .)3,1(-

C .)3,1(

D .)1,3( 4. 已知函数)3(log )3(log )(22x x x f -++=，则=)1(f

A .1

B .6log 2

C .3

D .9log 2

5. 双曲线13

2

2

=-y x 的渐近线方程为 A .x y 31±

= B .x y 3

3±= C .x y 3±= D .x y 3±= 6. 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，直线C A 1与平面ABCD 所成角的余弦值是

A .31

B .33

C .32

D .3

6 7. 若锐角α满足5

3

)2πsin(=+α，则=αsin

A .

52 B .53 C .43 D .5

4

8．在三棱锥ABC O -中，若D 为BC 的中点，则=AD

A .

1122OA OC OB +- B . 11

22OA OB OC ++ C .1122OB OC OA +- D . 11

22

OB OC OA ++

9. 设{}n a ，{}n b )N (*

∈n 是公差均不为零的等差数列.下列数列中，不构成等差数列的是

A .{}n n a b ?

B .{}n n a b +

C .{}1n n a b ++

D .{}1n n a b +- 10.不等式1112<+--x x 的解集是

A

B

C

D

1

A 1D 1C 1

B （第6题图）

A . ?

?????<<-313x x B . ?

?????<<-

331

x x C . ?

?????>-<31,3x x x 或 D . ?

???

??>-<3,3

1

x x x 或

11．用列表法将函数)(x f 表示为 ，则

A .)2(+x f 为奇函数

B . )2(+x f 为偶函数

C .)2(-x f 为奇函数

D . )2(-x f 为偶函数 12．如图，在直角坐标系xOy 中，坐标轴将边长为4的正方形ABCD 分割成四个小正方形.若大圆为正方形ABCD 的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则图中某个圆的方程是

A .01222=++-+y x y x

B .012222=+-++y x y x

C .0122

2

=-+-+y x y x D .01222

2

=-+-+y x y x 13. 设a 为实数，则“2

1a a >

”是“a a 12

>”的

A .充分不必要条件

B . 必要不充分条件

C .充分必要条件

D . 既不充分也不必要条件

14. 在直角坐标系xOy 中，已知点)1,0(-A ，)0,2(B ，过A 的直线交x 轴于点)0,(a C ，若直线AC 的倾斜角是直线AB 倾斜角的2倍，则=a A .

14

B .34

C .1

D .4

3

15. 甲、乙两个几何体的三视图分别如图①、图②所示，分别记它们的表面积为乙甲，S S ，体积为乙甲，V V ，则

A .乙甲乙甲，V V S S >>

B . 乙甲乙甲，V V S S <>

C .乙甲乙甲，V V S S ><

D . 乙甲乙甲，V V S S <<

16．如图，设F 为椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的右焦点，过F 作x 轴的垂线交椭圆于点P

，

15题图①）

侧视图

15题图②）

点B A ,分别为椭圆的右顶点和上顶点，O 为坐标原点.若△OAB 的积是△OPF 面积的5

2

倍，则该椭圆的离心率是 A .

52或53 B .51或54 C . 510或515 D .55或5

52

17．设a 为实数，若函数a x x x f +-=22)(有零点，则函数)]([x f f y =零点的个数是

A .1或3

B . 2或3

C . 2或4

D .3或4 18．如图，设矩形ABCD 所在平面与梯形ACEF 所在平面相交于

AC ，若3,1==BC AB ，1===EC FE AF ，则下列二面角

的平面角的大小为定值的是

A . C A

B F -- B . D EF B --

C . C BF A --

D . D AF B --

二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.） 19．已知函数()sin(2)13

f x x π

=+

+，则()f x 的最小正周期是 ▲ ，的最大值是 ▲ .

20. 若平面向量,a b 满足()21,6a b +=，2(4,9)a b +=-，则a b ?= ▲ . 21. 在△ABC 中，已知2=AB ，3=AC ，则C cos 的取值范围是 ▲ .

22．若不等式()2

220x x a x a ----≥对任意x R ∈恒成立，则实数a 的最小值是 ▲ .

三、解答题（本大题共3小题，共31分.）

23. (本题满分10分) 在等差数列{}(N )n a n *

∈中，已知21=a ，65=a .

(Ⅰ)求{}n a 的公差d 及通项n a ；

（Ⅱ）记)N (2*∈=n b n a

n ，求数列{}n b 的前n 项和.

A

B

C

D

E F （第18题图）

x

y

O A

B

P

D

（第题图）

24. (本题满分10分) 如图，已知抛物线12-=x y 与x 轴相交于点A ，B 两点，P 是该抛物线上位于第一象限内的点.

(1) 记直线PB PA ，的斜率分别为21,k k ，求证12k k -为定值；

（2）过点A 作PB AD ⊥，垂足为D .若D 关于x 轴的对称点恰好在直线PA 上，求△PAD 的面积.

25. （本题满分11分)如图，在直角坐标系xoy 中，

已知点(2,0),(1A B ，直线()02x t t =<<，将△OAB 分成两部分，记左侧部分的多边形为Ω，设Ω各边长的平方和为)(t f ，Ω各边长的倒数和为)(t g .

(1) 分别求函数)(t f 和)(t g 的解析式；

（2）是否存在区间(,)a b ，使得函数)(t f 和)(t g 在该区间上均单调递减？若存在，求a b -的最大值；若不存在，说明理由.

(第25题图)

2018年4月浙江学考数学原卷参考答案

一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.）

二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.） 19． π，3 20. 2- 21.)1,3

5

[ 22. 3 三、解答题（本大题共3小题，共31分.）

23．解：（1）因为d a a 415+=，将21=a ，65=a 代入，解得数列{}n a 的公差1=d ； 通项1)1(1+=-+=n d n a a n . （2）将（1）中的通项n a 代入 122

+==n a n n

b .

由此可知{}n b 是等比数列，其中首项41=b ，公比2=q .

所以数列{}n b 的前n 项和421)

1(21-=--=+n n n q

q b S

24. 解：（1）由题意得点B A ,的坐标分别为)0,1(-A ，)0,1(B .

设点P 的坐标为)1,(2-t t P ，且1>t ，则

11121-=+-=

t t t k ，11

1

22+=--=t t t k ， 所以212=-k k 为定值.

（2）由直线AD PA ,的位置关系知：t k k AD -=-=11. 因为PB AD ⊥，所以， 1)1)(1(2-=+-=?t t k k AD ， 解得 2±=t .因为P 是第一象限内的点，所以2=

t .

得点P 的坐标为)1,2(P . 联立直线PB 与AD 的方程 ??

?+-=-+=),

1)(21(,)1)(21(x y x y 解得点D 的坐标为)22

,22(-D .

所以△PAD 的面积2

2

121+

=-??=D P y y AB S .

25.解：（1）当10≤

(第25题图②) 所以，

?

?

?

<

<

+

-

≤

<

=

,2

1,

20

20

8

,1

0,

8

)(

2

2

t

t

t

t

t

t

f

?

?

?

??

?

?

<

<

+

-

+

-

+

≤

<

+

=

.2

1,

2

1

)1

(2

1

)

2(3

1

1

,1

0,

1

)

3

3

2

3

(

)(

t

t

t

t

t

t

t

g

（Ⅱ）由（1）中)

(t

f的解析式可知，函数)

(t

f的单调递减区间是)

4

5

,1(，

所以)

4

5

,1(

)

,

(?

b

a.

另一方面，任取

4

5

,1(

,

2

1

∈

t

t，且

2

1

t

t<，则

)

(

)

(

2

1

t

g

t

g-

)

2

)(

2(3

1

)1

)(

1

(2

1

1

)[

(

2

1

2

1

2

1

1

2t

t

t

t

t t

t

t

-

-

-

-

-

+

-

=.

由

4

5

1

2

1

<

<

t知，

16

25

1

2

1

<

8

1

)1

)(1

(2

2

1

<

-

-

t,

16

3

9

)

2

)(

2(3

2

1

>

-

-t

t.从而<

-

-

<)1

)(

1

(2

2

1

t

t)

2

)(

2(3

2

1

t

t-

-,

即0

)

2

)(

2(3

1

)1

)(

1

(2

1

2

1

2

1

>

-

-

-

-

-t

t

t

t

所以0

)

(

)

(

2

1

>

-t

g

t

g，得)(t

g在区间)

4

5

,1(上也单调递减，

证得

4

5

,1(

)

,

(=

b

a.

所以，存在区间)

4

5

,1(，使得函数)(t

f和)(t

g在该区间上均单调递减，且a

b-的最大值为

4

1

.