高三物理总复习专题讲座(运动学)

高三物理总复习专题讲座（运动学）

一、基本概念

l.描述物体是否运动要看它相对于参照物的位置是否改变.

2.同一运动，如果选取的参照物不同，观察到物体运动的状况可能不同.例如，在行驶的火车车厢里自由落下一物体，车厢里的人观察到的是竖直下落运动，但对于站在路边不动的人来说，却是向前的平抛运动.

3.虽然参照物可以任意选取，但是应本着使观测方便和尽量使对运动的研究简化为原则.例如，研究火车的运动，运载火箭的发射等，通常取地球或固定在地球上的物体为参照物比较简便，当研究宇航器绕太阳运动时，通常取太阳为参照物比较简便.

4.平动和转动是机械运动中两种最基本的运动，任何复杂的机械运动都可以看作是由平动和转动组成的.

5.在物理学中，为了突出事物的本质特征，使对事物的研究简化，常常采取抓住主要矛盾，暂时撇开起作用很小的次要因素，将事物理想化的方法.这种经过思维加工，理想化的事物，物理学中称为理想化模型.质点、光线等就是一种理想化模型.

6.将物体看成质点的两种情况：(1)物体大小在研究的运动中可以忽略不计(2)不考虑物体的转动效应时.

7.物理量是根据对物理问题研究的需要，采用科学简明的方法定义的.定义物理量有不同方式，如初中学过的“力”的定义是“物体对物体的作用”，它是用叙述物理现象的方式来定义的.速度是用“比值”来定义的，即用两个物理量

的比值来定义新的物理量，初中学过的密度也是用“比值”

来定义的.

8.速度不但有大小，而且有方向，是矢量，它的方向就

是位移的方向.汽车朝东开或朝西开，实际效果当然不同，用

速度矢量才能较全面地反映匀速运动的实际效果，当只考虑

运动快慢而不考虑运动方向时，就用速率表示.

9.根据实验作出图像，利用图像反映物理规律，是探求

自然规律的一个重要的基本的途径.图像较直观表示物理量

之间的变化规律，比较方便处理实验(或观测)结果，找出事

物的变化规律，必修课本上的图2—6就是典型例子.

10.匀速运动的位移和速度随时间变化的规律都可以用图像表示.匀速运动的位移图

像是一条过坐标原点的直线，如图2—1所示，它反映位移和时

间的正比关系.从图像中可以看出：(1)根据时间求位移.如图2

—l所示，2秒内的位移是20m.(2)根据位移求时间，如2—1图，

位移30m时，经历时间3s，(3)根据图线求出速度，如图2—2，

v=Δs/Δt＝10m／s.匀速运动的速度图像是一条平行于时间轴

的直线，如图2—2所示，它反映出速度的值不随时间改变的特

点.根据图像不仅可以直观地看出速度的大小及速度不变的特

点，而且可以根据某段时间内图线与坐标轴所围成的矩形面积求

出位移，如图2—2中，3s内位移是斜线所表示的矩形面积.

11.表示物理运动规律的图像一般就是位移图像和速度图像两种，两种图像的区别就在于直角坐标系的纵轴表示的是位移s还是速度v，虽然s和v一字之差，但整个图像表示的物理意义是截然不同的.

12.平均速度:平均速度为矢量，也有大小和方向，它的方向就是位移方向，理解平均速度应注意以下几点:

(1)变速运动中，不同时间内，平均速度一般不同，所以平均速度总是对应某一段时间(或位移).

(2)平均速度大小不叫平均速率.平均速率是指物体

通过的路程与通过这段路程所用的时间比值.例如物体从

A经C到B,如图，所用时间为t,则有平均速度V＝AB/t.平均速率v＝(AC+CB)/t.

(3)平均速度与速度的平均是有严格区别的，两者的物理意义是不同.v＝(v1+v2)/2只运用于匀变速直线运动，不运用于一般变速运动.

13.瞬时速度：物体在某时刻(或经过某位置)的速度为瞬时速度.瞬时速度是矢量，瞬时速度的方向是沿着物体运动轨迹各点的切线方向.瞬时速度大小为瞬时速率.在题目中不加特殊说明的速度均指瞬时速度而言.

14.加速度和速度是两个不同的物理量，加速度的大小反映了物体速度变化的快慢，速度大小反映了物体运动的快慢，它们之间不存在必然联系.速度大，加速度不一定大，速度为零时，加速度不一定为零，速度小，加速度也可以很大.

15.加速度和速度变化所表示的意义也是不同的.速度变化量只表示速度变化大小和方向，并不表示速度变化的快慢，所以速度变化大，并不一定表示加速度大.

16.加速度是矢量，加速度的方向与速度变化量的方向相同.

17.运动学的基本任务之一是描述瞬时速度和时刻的对应规律,速度公式v t=v0+at反映匀变速运动瞬时速度与时刻的关系，用此公式解匀变速运动问题时要注意，在规定了初速度方向为正方向后，若物体是加速运动，则a取正值；若速度减小，则a取负值.公式中共有四个量，已知其中三个量就可以求第四个量，因此要求会将公式变形，在解题时应首先搞清楚物体运动过程，切忌硬套公式，

18.v—t图像的意义和用途:(1)可以从图像上读出某一时刻的瞬时速度，或某一瞬时速度对应的时刻.(2)判断出是加速还是减速运动，可求出物体加速度的大小.(3)可求出物体在某段时间内的位移，速度图线和对应的时间轴上的线段围成的面积表示位移.时间轴上方的面积表示正向位移，下方面积表示反向位移，它们的代数和表示合位移.

19.描述运动物体的位置与时刻的对应规律是运动学的另一个基本任务. 公式s=v0t+at2/2反映了匀变速运动的位移和时间的关系.用位移公式解题.同样要注意物体的运动是加速还是减速，当运动是加速时“取正值，减速时入取负值，

20.匀变速直线运动规律小结:

匀变速直线运动的两个基本公式是：v t=v0+at (1)

s=v0t+at2/2 (2)

由两个基本公式推导的一个有用公式：v t2-v02=2as (3)

匀变速运动的平均速度公式：v＝(v1+v2)/2 (4)

注意：(3)式中不直接含有时间，所以用它解决一些未知时间条件的问题很方便.要注

意加速度的正负取法.(4)式只适用匀变速运动，对于非匀变速运动不能用.

21.匀变速直线运动的几个有用推论:

(1)对于初速度为零的匀加速运动.

物体在 l、2、3、…、ns内位移之比是1:4:9:…:n2

物体在第一、第二、第三、…….第Ns内的位移之比是1:3:5: …:(2N-1)

(2)做匀变速直线运动物体在各个连续相等时间内位移之差都相等，即：S N-S N-1=aT2

式中a是加速度，T是所取的相等的时间间隔，该式常用于判断物体是否做匀变速直线运动.

22.匀变速直线运动问题的解题步骤：

(1)选定研究对象.

(2)明确运动性质：是匀速运动还是匀变速运动，是加速还是减速，位移方向如何等.

(3)分析运动过程，并根据题意画草图.要对整个运动过程有个全面了解，分清经历几个不同过程.

(4)根据已知条件及待求量，选定有关公式列方程.

(5)统一单位，求解方程.

(6)分析所得结果，并注意对结果进行有关讨论，舍去不合理部分.

23.用运动学公式解题时，可先进行文字运算，得出用已知量表达未知量的关系式，然后进行数值计算.这样能够清楚地看出未知量与已知量的关系，进行数值计算也比较简便.

24.伽利略研究自由落体运动的方法：

(1)巧妙推理：伽利略用巧妙的推理方法推翻了亚里士多德的“关于物体下落的快慢是由它们所受重力的大小决定的，即物体越重，下落越快”的阐述.

(2)提出假说：自由落体是一种最简单的变速运动，即经过相等的时间，速度变化相等.

(3)数学推理

(4)实验验证：由于自由落体下落的时间太短，伽利略采用间接验证；让一个铜球从阻力很小的斜面滚下，小球通过的位移跟所用时间的平方之比是不变，由此证明小球运动是匀变速直线运动，改变斜面角度和小球质量结论不变.

(5)合理外推：把上述结论外推到斜面倾角增大到90°的情况，这时小球成为自由落体运动，小球仍然会保持匀变速运动性质.

25.匀速圆周运动与匀速运动的区别：匀速运动是匀速直线运动的简称，它是指速度的大小和方向都不随时问改变的一种运动，匀速圆周运动首先是圆周运动；它的运动方向(即速度的方向)时刻在改变，只是速度大小不变，所以它是一种变速运动。

[练习一]

（1）关于速度和加速度的说法中，正确的是：

A．速度是描述运动物体位置变化大小的物理量，而加速度是描述物体运动速度变化快慢的物理量；

B．运动物体速度变化大小与速度变化快慢在实质上是同一个意思；

C．速度的变化率表示速度变化的快慢，速度变化的大小表示速度增量的大小；

D．速度是描述运动物体位置变化快慢的物理量，加速度是描述物体位移变化快慢的

物理量。

（2）质量一定的物体，受到恒定的合外力作用时，那么：

A ．物体的速度随时间均匀发生变化；

B ．物体的速度跟所经历的时间成正比；

C ．在任何相等的时间内，物体位置的变化都相等；

D ．在任何相等的时间内，物体速度的变化都相等．

（3）作变速运动的物体，若前一半时间的平均速度为4m/s ，后一半时间的平均速度为8m/s ，则全程内的平均速度是多少？若物体的前一半位移的平均速度为4m/s ，后一半位移的平均速度为8m/s ，则全程的平均速度是多少？

二、匀变速直线运动的基本公式

速度公式：at v v t +=0；位移公式：2021at t v s +

= 推论：as v v t 2202+=；t v v s t 20+=；22

1at t v s t -= 注意：①以上公式涉及五个物理量，每一个公式各缺一个物理量，在解题中，题目不要求和不涉及的哪个物理量，就选用缺这个物理量的公式，这样可少走弯路．

②当a 与v 0反向时，以上公式包括正方向减速和反方向加速两种情况，一般取v 0的方向为正方向，与此方向相反的其它矢量的数值要带上负号代入运算．

其它公式： 打点计时器：T s s v A 221+=，T

s s v B 232+=，……（中间时刻速度等于这段时间平均速度）

=-=-=-=

21421321232T

s s T s s T s s a ……

初速为零的匀加速直线运动：

1T 末、2T 末、3T 末……瞬时速度之比：1∶2∶3∶……

1T 内、2T 内、3T 内……位移之比：1∶4∶9∶……

第1T 内、第2T 内、第3T 内……位移之比：1∶3∶5∶……

通过连续相等的位移时间之比：1∶12-∶23-∶……

[练习二]

（1）一质点由静止沿斜面下滑做匀变速运动．已知它在开始2s 内的位移是3m ，则它在第5s 内的位移是多少?

[解答]质点在第1s,第2s …直到第5s 内的位移比应是1:3:5:7:9，设每一份为s 0，则：

s2=4s0=3m，s0=3/4m

s v=9s0=6.75m．

（2）一物体作初速度为零、加速度为2m/s2的匀变速直线运动，在最初4s内的平均速度是:

A．16m/s． B．8m/s． C．2m/s． D．4m/s

[解答]此题不难，求解的方法也不止一种．但如果运用“作匀变速直线运动的质点在t时间内的平均速度等于该段时间中点时刻t/2的即时速度”这一结论，则容易看出v=v2=at=4m/s．

故应选D．

（3）某物体做匀减速直线运动，初速度为3m/s，加速度为-O.4m/s2．若在某1s内物体的位移为0.4m，那么在这1s前物体己运动了＿＿＿＿s．

（4）有一个做匀加速直线运动的质点，它在开始的两个连续相等的时间间隔内所通过的路程分别是24m和64m，每一时间间隔为4s，则质点运动的初速度和加速度分别为多少?

（5）一物体做匀加速直线运动，它在第3s内和第6s内的位移分别是2.4m和3.6m，试求质点运动的加速度、初速度和前6s内的平均速度．

（6）一做匀加速直线运动的物体．在t1时间内通过s路程，在接着的t2时间内又通过相同的路程s，试求此物体的加速度多大?

[解答]

分别列出在t1时间内和在(t1+ t2)时间内位移的表达式．设初速度为v0，则有：

s=v0t1+at12/2

2s=v0(t1+t2)+a(t1+t2)2/2

因v0不是已知量，所以从两式均不能直接求解求知量a。但这两式所含有的求知量是相同的，从数学上来讲，这是一个二元一次方程组。我们可将它们联立求解，并可得到：a=2s(t1- t2)/[ (t1+ t2) t1t2]

由求解此题的过程可知，在处理这一类题型时，既要分段分析，独立列式，又要抓住运动全过程与某—段过程的联系，联立有关表达式，才能得到结果．

（7）小球由静止从斜面上的A点匀加速滑到B点，随后在水平面上做匀减速直线运动，最后停止于C点．已知AB＝4m，及C＝6m，从开始到停止共历时10s，求小球在AB和BC段的加速度.

[解答]

小球经历了两个不同的匀变速过程．从A到B是初速度为零的匀加速运动，从B到C 是速度减到零的匀减速运动．有两个物理量联系着这两个不同的过程，一是时间，t1+ t2=10s．二是在B点的速率，既是前段过程的末速率，又是后段过程的初速率．从A到B，s1=(0+v B)t1/2

从B到C，s2=(v B+0)t2/2

这两式都不能独立求解，将两式两边分别相加，可得：

s1+s2= v B(t1+t2)/2

代人数据即得：v B=2m/s．

再将v B数值代人v B2＝2a1s1和0- v B2=2a2s2，可分别求得：

a 1=0.5m/s 2，a 2=-0.33m/s 2

（8）升降机以2m/s 2的加速度加速下降，一螺丝钉突然从顶板自由落下．已知顶板距

底板3m 高，试求螺丝钉落到底板所需的时间．

[解答]此题出现了两个运动物体：螺丝钉和升降机．离开顶板后的螺丝钉以一定的初

速度做下抛运动，加速度为g ．升降机仍以2m/s 2的加速度向下做加速运动．再看它们的

联系：①螺丝钉从顶板下落时的初速度与此时升降机的速度相等；②在下落过程中螺丝钉和升降机的位移差是3m ．对两运动物体分别列式，可得：

对螺丝钉：s 1=v 0t+gt 2/2

对升降机：s 2=v 0t+at 2/2

将上述两式两边分别相减，可得：

s 1-s 2=（g-a ）t 2/2，代入数据，即得：

t ＝0.87s

（9）甲、乙两处相距8m ，物体A 由甲处向乙处作初速度为零、加速度为2m/s 2的匀

加速直线运动．物体B 比A 早1s 出发，从乙处作速度为4m/s 的匀速运动．A 、B 速度方向相同。试求：(1)A 运动多长时间可追上B ？追上时，A 、B 各运动了多少距离?(2)A 追上B 前，何时两者相距最远，这最远的距离多大？

[解答]分析此题时，最好画一草图，从图中便可清楚地看到，A 追上B 时，两者运动距离的关系是s A =s B +8，也可看出最大距离指的是什么．

对A ：s A =at 2/2

对B ：s B =v(t+1)

(1)A 追上B 时，s A =s B +8， 即： at 2/2= v(t+1)+8，代人数据，得

t=6s ，并可得：s A =36m ，s B =28m

(2)未追上时，Δs=(s B ’+8)-s A ’，即

Δs= 4(t+1)+8-at 2/2

求此二次函数极值，当t=2s 时，Δs=16m(最大)

三.自由落体和竖直上抛运动

1．自由落体运动：v 0=0，a=g

2．竖直上抛运动：

(1)两种解题方法

● 分段解题法：

上升：a=-g 的匀减速运动；下降：自由落体运动。 上升最大高度g v H 22

0=，上升时间：g

v t 0=，下落速度v t =v 0 注意：①两过程实际上有着不同的正方向。上升过程是以向上为正方向的，下降过程是以向下为正方向的。尽管重力加速度g 本身并未变化，但在这两过程中却要分别取负值和正值；②位移的起点位置也是不同的，前一段过程以抛出点为起点，后一段过程以最高点为起点。

● 全程解题法：

a=-g 的匀减速运动。

注意：需要确定一个正方向(以向上为正、速度、加速度、位移的正负皆以此为标准)，一个位移起点(抛出点)，物体上升到最高点以后再下落，可看成是速度减少到零后再继续减少到负值，用负号来反映速度方向的改变．下列公式在上升、下降的全过程中都是适用的：

gt v v t -=0；202

1gt t v s -=；gs v v t 2202-=；t v v s t 20

+= 公式中v O 取正号，g 取负号，v t 、s 的正负有待于运算的结果。

(2)竖直上抛运动的对称性

这里所说的对称性是指以最高点为分界，上升过程和下降过程在时间、速度上的对称性．

● 从抛出点上升到最高点的时间等于从最高点落回到抛出点的时间，t 上=t 下=v 0/g ● 抛出时初速度的大小等于落回原处末速度的大小；

● 上升到任一高度的速度大小也等于下降到同一高度速度的大小；

● 从任—高度上升到最高点的时间也等于从最高点下降到此高度的时闻；

● 上升时通过任意两点所需时间等于下降时通过该两点所需时间．

[例] 从地面上抛一物体，它两次经过较低的A 点的时间间隔为t 1，两次经过较高的B 点的时间间隔为t 2，则AB 相距多远?

[解答]我们可以把AB 两处分别看成是以v A 、v B 的速度上抛的两个抛出点。

对抛出点A 有：t 1=2v A /g ，v A =gt 1/2

对抛出点B 有：t 2=2v B /g ，v B =gt 2/2

A 、

B 之间有：v B 2- v A 2=-2gh

解得h=（t 12-t 22）g/8

（3）竖直上抛运动的双解

这里的双解是指对于竖直上抛运动来说：

(1)某一确定的位移有两段时间与之对应．一是上升时经过此位置的时间t 1，二是下降时回到此位置的时间t 2，从数学角度来说，竖直上抛运动位移规律的表达式202

1gt t v s -=是关于t 的二次方程．这个二次方程通常是有两个解的(当然数学上的解还应受到物理上的约束，如t ＞0等)；

(2)某一确定的位移有大小相等、方向相反的两个速度与之对应．由公式gs v v t 22

02-=得v t 可取正负值，其中正值为上升速度，负值为下降速度．

注意到双解，我们对问题的考虑和解答就全面、完整了。

[例]一人从阳台上以20m/s 的初速度竖直向上抛出一小球，经多长时间小球与抛出位置相距15m?

[解答]小球后来的位置与抛出点相距15m ，这可能是位于抛出点上方15m ，也可能是位于抛出点下方15m ．对这两种情况、我们分别列式：

在上方时：s=v 0t-gt 2/2 （1）

在下方时：-s=v0t-gt2/2 （2）

由(1)式可得：t1=1s，t2=3s

由(2)式可得：t3=4.64s，t4=-0.64s(舍去)

（4）负位移概念的运用

若求解竖直上抛运动的物体下落到抛出点下方后的有关问题，我们也无需把后来的过程分开处理，仍可统一在匀减速运动的大过程中．不过当物体到达抛出点下方时，从起点(抛出点)到终点的位移方向变为向下，与正方向相反，应取负值．而在抛出点上方，不管是上升还是下降，速度是正值还是负值，位移都是向上的，仍是正值，运用负位移的概念并代入到有关公式中计算，我们可方便地求出有关物理量．

[例]一气球悬吊着一重物，以10m/s的速度匀速上升．在距地面240m高处，绳突然断开，重物脱离气球。试问重物经多长时间将落地?落地时速度多大?

[解答]需要指出的是：绳断时，重物并不是立即下落做自由落体运动，而是以10m/s 的初速度向上做竖直上抛运动．它先上升后下降，最后落地．我们可把这一过程看成是一个匀减速过程，并运用负位移的概念求解．

由s=v0t-gt2/2，可得 -240＝10t-5t2

代人数据可得：t1=8s，t2=-6s(舍去)

再由v t=v0-gt，可得

v t=-70m/s(负号表示速度方向向下)

[练习三]

（1）物体竖直上抛运动(不考虑空气阻力)，以下说法中正确的是：

A．可以看作一个竖直向上的匀速运动和一个自由落体运动的合运动；

B．物体在上升过程中，速度和加速度都在减小；

C．物体在最高点时速度为零，加速度为零；

D．物体作匀变速直线运动.

（2）从地面上竖直上抛一物体，此物体通过某层楼一高1.75m的窗子所用的时间为0.1s．当它下落时，它从该窗的窗台落到地面所用的时间为0.2s。求物体上升的最大高度.

[解答]此题不论是把此物体的上抛运动看成统一的过程,还是分成上、下两段过程求解，都难以下手．但如果我们能根据上抛运动的对称性，注意到从地面上升到窗台的时间与从窗台下落到地面的时间都应等于0.2s时，我们便找到了解决问题的突破口.

从地面上升到窗顶:s1=v0(t1+t2)-g(t1+t2)2/2

从地面上升到窗台: s2=v0t1-gt12/2

将两式相减，注意到t1=0.2s, t2=0.1s, s2-s1=1.75m,代入数据，即得：

v0=20m/s．H=v02/(2g)=20m．

四、归纳法和演绎法

归纳法：个别到一般，特殊到普遍

演绎法：一般到个别，普遍到特殊

[练习四]

（1）一列车由等长的车厢连接而成，车厢之间的间隙忽略不计．一人站在小台上与第一节车厢的最前端相齐，当列车由静止开始做匀加速立线运动时开始计时，测量第一节车厢通过的时间为2s，则他测得从第5节(第4节尾)至第16节(第16节尾)车厢通过的时

间为多少s ？

五、应用图像解题

在理解s-t 图像和v-t 图像意义的基础上，可运用图像知识来分折、处理一些问题．图像有时能直接用于解题，有时能直观地为我们提供解题线索．

在s-t 图像中，图线的斜率表示速度的大小。

在v-t 图像中，图线的斜率表示加速度的大小，图线下“面积”表示位移。

[练习五]

（1）两辆完全相同的汽车沿水平公路一前一后均以速度v 0匀速行驶．若前车突然发现了情况，便以加速度a 紧急刹车，刹车后该车又向前行驶了s 停住．它刚停止时，后车司机才发觉，随即以相同的加速度紧急刹车．要使两车不相撞，则两车在匀速行驶时至少应相距多远?

[解答]依题意做出两车匀速行驶时的v-t 图线(如图所示)．在t 1时刻之前，两车的速度图线相同，都是与t 轴平行的PA 。在t 1时刻，前车开始刹车，到t 2时刻前车停住．在这段时间内前车的图线是At 2，后车的图线是AB ．到t 2时刻后车刹车，t 3时刻后车停住．在这一段时间内后车的图线是Bt 3，由于两车刹车时a 相同，因此，刹车阶段图线的斜率相同，是平行线，即At 2//Bt 3。

已知前车在刹车过程中运动的距离为s(由图中三角形At 1t 2的面积来表示)．后车在前车开始刹车t 1时刻算起，到它停下来运动的距离可由图中梯形ABt 3t 1的面积表示．比较这两个几何图形的面积，可看出，后车在t 1到

t 3这段时间内运动的距离是3s ，比前车多行

3s-s=2s ．所以，要保持两车不相撞，在匀速

行驶时两辆车距离至少为2s ．

（2）一辆汽车沿平直公路由静止出发从

A 地驶向

B 地，并停止在B 地．A 、B 两地相

距s ．汽车作加速运动时，加速度为a 1，作减速运动时，加速度为a 2．则这辆汽车由A 到B 所需的时间为多少?

[解答]先做出汽车从A 到B 先加速后减速的速度图像的示意图(如图示)．其中OC 、CD 及两支图线的长短、斜率、t 1、t 的位置均不是确定值，只起示意作用．但是它加反映出汽车从其出发先加速运动，到某一时刻t 1后再减速运动，最后停止于B 的运动情况。AB 之间的距离s 是己知的定值．s 就是图像中△OCD 的“面积”．t 、v 可分别看成这个三角形的底和高，a 1、a 2分别是这两条图线的斜率．

从图形中我们可得到：

△OCD 的“面积”为：s=vt/2

图线OC 的斜率为：a 1=v/t 1

图线CD 的斜率为：a 2=v/（t-t 1）

三式联立，消去v 、t 1，即可得2121/)(2a a a a s t +=

此题尽管还是列式求解的，但是图像为我们提供了简明、清晰的思路，它的作用是不可忽略的．

六、运动的合成和分解

1．运动的合成

物体的运动都是相对于某一参照物来说的，同一物体相对于不同的参照物，其运动形式可能是不同的.一物体在行驶的列车中自由下落，它相对于列车或列车上的人做的是自由落体运动．但它相对于地面或地面上的人来说，它参与了两种运动：一是随列车行进的水平运动，二是竖直方向上的自由落体运动．它实际的运动，应是这两种运动的合运动，即平抛运动．所以当一个物体相对于某一参照物(系统)有P 运动，而这个参照物相对于地面有Q 运动时，此物体相对于地面的运动应是P 运动和Q 运动的合运动.

求分运动的合运动的过程叫运动的合成．运动的合成也是指速度、加速度、位移的合成，它同样也要符合平行四边形定则．运动的分解是把复杂变为简单，以便于研究．运动的合成是将分运动研究的结果进行归纳综合，从而揭示出整体远动的规律，即速度、加速度、位移随时间变化的规律．

例如，我们若知道飞艇在无风时向南飞行的速度是v 1，又知道东风的速度是v 2，利用运动合成的方法，我们就可求出有风时飞艇实际向哪个方向飞行，实际飞行的速度多大，飞行时间是多少．

竖直上抛运动也可按看成是向上的匀速直线运动和向下的自由落体运动的合运动．这个合运动速度、位移的变化规律应是两个分运动速度、位移变化规律的合成．以向上为正方向，按同一直线上矢量运算的方法可求得：

v=v 上+v 下=v 0-gt ，s=s 上-s 下=v 0t-gt 2/2

这与已知的竖直上抛运动速度公式和位移公式是一致的．

两个匀速直线运动的合运动一定也是匀速直线运动．但其余情况的两直线运动的合运动，并不一定是直线运动．是直线还是曲线，如前面所述，关键还在于物体所受外力的方向与速度方向是否共线．

[例]如图所示，半径为R 的大圆盘以角速度ω旋转．一人站在盘边缘P 随盘转动，他想要用枪击中圆盘中心的木柱O ，设子弹射出枪口的速度为v ，则枪口瞄准的方向应是:

A ．方向对准O ．

B ．与PO 连线向前偏θ角，sin θ=ωR ／v

C ，与PO 连线向后偏θ角，sin θ=ωR ／v

D ．与PO 连线向后偏θ角，tg θ=ωR ／v

[解答]我们的研究对象应是子弹．题中所说的v 是子弹相对于枪口的速度．枪相对于人和盘是不动的，所以v 也就是子弹相对于转盘的速度．子

弹在射出时，实际上参与了两个运动：一是随转盘转动，

具有切向速度ωR ，二是相对于枪口(转盘)的运动，具有速

度v ．要击中木柱，则这两个分速度的合速度应指向木柱．现

已知转盘的边缘的线速度的大小和方向，合速度的方向和子弹出枪口的速度大小v ，则v 的方向可由图(b)中的矢量

三角形看出：sin θ=ωR ／v ．所以应选答案C 。

有时从地面的观察者来看，物体参与了两种运动，运动状态较复杂．但从某一选择恰当的参照物来看，它仅参与了某种较简单的运动，求解比较容易．

[例]射击运动员在阳台上水平瞄准悬挂在树上的靶。当他刚扣动扳机时，靶的悬绳突然断了，靶自由下落．试问，子弹能不能击中靶

?

[解答]相对于地面，子弹所做的是较复杂的平抛运动，但相对于同时下落的靶，子弹没有了竖直方向的自由落体运动，只有水平方向的匀速直线运动。如果开始瞄准时，子弹初速度的方向直指靶心的话，则子弹就一定能击中靶心。

2．分运动的独立性和等时性

物体可同时参与几个分运动，但各分运动之间却是相对独立、互不影响的．例如，横渡河流的小船，当它始终将船头直指对岸以不变的速度渡河时，这时不管河中的水是静止的还是流动的，水流速度多大，都不会影响渡河时间．因为渡河时间仅取决于小船垂直于河岸的分运动．它是由河宽L 和小船垂直于河岸的速度v y 来决定的，t=L/v y ，小船参与的另一平行于河岸的水流运动，不能延长或缩短这个时间．

合运动和组成它的各分运动所经历的时间一定是相等的。合运动结束了，分运动必然也停止了．某一个分运动停止了，另一个分运动也就不再进行了。等时性是分运动之间相互制约的一个因素．它为我们从一个分运动去推求另一个分运动提供了条件．在前面所说的小船渡河的例子中，船垂直于河岸分运动进行的时问，也就是船随水流沿河岸分运动进行的时间，利用这个时间我们就可求得小船将停靠在对岸多远处．

[例]如图所示，AB 杆水平固定，另一细杆可绕AB 上方距AB 高为h 的O 铀摆动，两杆都穿过光滑的P 环，当细杆绕O 轴以角速度ω顺时针转动到

与竖直线成30°角时，环运动的速度为多大？

[解答]环的实际运动是沿AB 杆向右的．它可被看成是

随细杆以角速度ω绕轴的转动与沿细杆上滑运动的合运动

(这样的分解与环实际运动的效果是吻合的)．随细杆转动这个分运动的线速度v 1垂直于细杆．V 1=ωR=ωh/cos30°。沿

细杆上滑分运动的速度v 2垂直于v 1，实际合运动的速度v 沿AB 杆．在v 1、v 2、v 三速度大小围成的直角三角形中，可得：

v=v 1/cos30°=ωh/cos30°=4ωh/3

处理这一类问题，我们应该明确：合速度一定是物体实际运动的速度，它在矢量的平行四边形中一定是处在对角线的位置上(在矢量三角形中不一定处于最长边的位置)．被分解出来的分运动，要与物体实际运动效果相符合．

3．小船渡河问题：

设v1为水流速度，v2为船相对静水速度，θ为v1与v2的夹角，d 为河宽。

水流方向：速度为v1+v2cos θ的匀速直线运动

垂直河岸方向：速度为v2sin θ的匀速直线运动

要船垂直河岸渡河时：在水流方向上船速度为零，v 1+v 2cos θ＝O ，θ=arccos(-v 1/v 2)． 要船渡河时间最短：在垂直于河岸的方向上t ＝d/v2sin θ，当θ＝90°时，t 有最小值d/v 2

在轮船渡河问题中，我们常常需要求解：渡河花费了多长时间?轮船停靠在对岸什么地方?船头应指向什么方向?

在渡河过程中，轮船的实际运动应是船随水流的运动和船自身在静水中运动的合运动。有时为了求解方便，也可把船的实际运动看成是由沿河岸的分运动和垂宜于河岸的分运动组成的．沿河岸的分运动速度应是水流速度与船在静水中速度v 静沿河岸分量的代数和，即v x =v 水±v 静cos θ，垂直于河岸分运动的速度只能由船自身来提供，v y =v 静sin θ．(

如

图1所示)

(1)渡河的时间

根据运动独立性的原理。渡河时间可由垂直于河岸的分运动求出。设河宽L ，则： t=L/v y =L/v 静sin θ

由此式可推断，在v 静大小一定的情况下，θ＝90°时，即船身垂直河岸航行时所需时间最短．t min =L/v 静，这时v 静垂直于河岸，其沿河岸的分量为零，船速全部用来渡河．但此时船实际航行速度及实际航线与河岸并不垂直．

22水静船v v v +=，tg θ=v 静/v 水

θ为船实际航行速度方向与河岸的夹角，如图2所示．

(2)到达对岸的地点

轮船到达对岸什么地方取决于渡河时间和沿河岸的分速度，即：

x=v x t=（v 静+v 水cos θ）L/v 静sin θ

若要到达正对岸处，则：

x=0，v 水=-v 静cos θ，cos θ=-v 水/v 静

这说明，只要船身(v 0)的方向与水

流方向的夹角θ符合上式(式中负号表

示船身应偏向上游)，船将到达正对

岸．船的实际航线与河岸垂直，并且是

最短的(如图3所示)．但这时航行时间

并不是最短的，因为实际用于渡河的速度仅是v 静的一个分量v 静sing ．

[例]已知河宽200m ，水速2m/s ，对岸码头偏向下流250m ，轮船在静水中速率为5m/s ．试问轮船的船身成什么方向航行时，才能到达正对岸的码头？

[解答]将轮船的运动分解为垂直于河岸和平行于河岸的分运动．

v x =v 静cos θ+v 水，v y =v 静sin θ

由垂直于河岸的分运动可求得渡河时间t=L/v 静sin θ

在此时间内，沿河岸的分运动行驶了x(250m)距离．

x=v x t=（v 静cos θ+v 水）L/（v 静sin θ）

代人数据得25sin θ＝20cos θ+8

解之得：cos θ＝0.6，θ＝53°

即船身与水流方向夹角为53°时恰能到达对岸码头．

4．跨过定滑轮物体拉绳(或绳拉物体)运动的速度分解：物体运动的速度为合速度v ，物体速度v 在沿绳方向的分速度v 1就是使绳子拉长或缩短的速度，物体速度v 的另一个分速度v 2就是使绳子摆动的速度，它一定和v 1垂直．

七、平抛物体的运动

在仅受重力的情况下，将物体以一定的水平初速度抛出去后物体的运动叫平抛运动．平抛运动是曲线运动，它的轨迹是半支抛物线．

平抛运动可被分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．这是因为它在水平方向上不受外力作用，在竖直方向上没有初速度，只有重力产生的重力加速度．

（1）平抛运动的速度

平抛的两个分运动的速度规律就是匀速直线运动和自由落体运动速度的规律：v x =v 0，v y =gt

其合速度的大小和方向，分别为：

22022)(gt v v v v y x +=+=

v gt arctg =θ (θ为v 偏离水平方向的角度)． （2）平抛运动的加速度

平抛的水平分运动没有加速度，故a=g

（3）平抛运动的位移

以抛出点为原点，v 0方向为x 轴，竖直向下方向为y 轴，则平抛物体在任一时刻的位

置由它两个方向的分运动位移公式来确定：x=v 0t ，y=gt 2/2

这两个表达式完全能够确定物体在运动平面中的位置了，通常不需要求出合位移的大小和方向．如果有特殊要求，合位移222022)2

1()(gt t v s s s +=+=竖直水平 从位移和速度的公式可看出：v y /v x ≠y/x ，即速度和位移与水平方向偏角并不相等，初学者常容易将它们混淆．

（4）平抛运动的下落时间：g h t t 2=

=自由落体（只与下落高度有关，与其它因素无关）

[例]如图所示，光滑斜面长为a ，宽为b ，一物块沿斜

面左上方顶点P 水平射人，从右下方顶点Q 离开斜面．试求

其入射的初速度v 0.

[解答]小球在沿斜面宽度的水平方向上不受外力作用，

在此方向它做匀速直线运动。在沿斜面向下的方向受下滑力

mgsin θ作用，在此方向它做初速度为零，加速度a=gsin θ

的匀加速运动．可仿照求解平抛运动的方法列式：

b=v 0t ，a =at 2/2=gsin θt 2/2 解之得：)2/(sin 0b g a v θ=

[例]一密度为0.5×103kg ／m 3的木球自水面上5m 高处自由落下．河水流速为2m ／s ，不计水的阻力，并设木球接触水面后即完全浸入水中,试求木球第一次落入水中的落点位置与浮出水面位置的距离．

[解答]木球在落水前作自由落体运动，它刚接触水面时的速度为s m gh v /1020==

落水后它参与了两个方向的运动：一是水平方向随水流的匀速直线运动(

因不计水的

阻力)；二是在竖直方向上的匀减速直线运动(这个匀减速运动与竖直上抛相类似)．

对于竖直方向的分运动，以向下为正方向，可得：

mg-f浮=ma，ρ木gV-ρ水gV=ρ木Va

a=-10m／s2(不论球下沉还是上浮，a均不变)

木球返回水面时，竖直方向位移为零：

y=(v t+v0)t／2＝0，v t=-v0

根据v t=v0+at，t=-2v0/a=2s．

对于水平方向分运动，有：

x=v水t=2×2=4m

[练习七]

（1）一架飞机水平匀速飞行，从飞机上每隔1s释放一个铁球，先后共释放4个，若

不计空气阻力，则这四个球：

A．在空中任何时刻总是排列成抛物线，它们的落地点是等间距的；

B．在空中任何时刻总是排列成抛物线，它们的落地点是不等间距的；

C．在空中任何时刻总是在飞机的正下方排列成竖直的直线，它们的落地点是等间距

的；

D．在空中任何时刻总是在飞机的正下方排列成竖直的直线，它们的落地点是不等间

距的．

(2)如图在倾角为θ的斜面上以速度v0水平抛出一小球，该斜面足够长，则从抛出开

始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？

若不计空气阻力，则：（）

A．这些炸弹落地前，排列在同一竖直线上．

B．这些炸弹都落于地面上同一点．

C．这些炸弹落地时速度大小方向都相同．

D．相邻炸弹在空中距离保持不变．

[解答]这些炸弹在落地前在水平方向上的运动完全相同，水平运动的距离也相同．所

不同的是在竖直方向下落的距离．如以后离开飞机的炸弹为参照物，则先离开飞机的炸弹

相对于参照物的运动就是自由落体运动，所以答案A是正确的．

答案B是错误的。先下落的炸弹落地后，后下落的炸弹在水平方向仍要向前运动，故

不可能落于地面上同一点．

答案C是正确的．这些炸弹水平分运动的速度和竖直分运动的末速度都相同，故它们

落地速度的大小方向必相同．

设投放炸弹相隔的时间为Δt，则当后一颗炸弹离开飞机时前一颗炸弹与它相隔的距

离为：Δh=g（t+Δt）2/2-gt2/2=Δt（Δt+2t）g/2

上式中Δt是定值，放随着t增大，两炸弹相隔的距离Δh也增大，答案D是错误的。

（4）平抛一物体，抛出1s后其速度方向与水平方向成45°角，落地时速度与水平方

向成60°角，求其初速度v0、落地速度v t、开始的高度和水平射程分别是多少．(g取10m

／s2)

[解答]①此物体被抛出1s后的竖直分速度可从自由落体运动求得：v y=gt=10m／s．

再从tg45°= v y/v x，可得：v0= v x=v y=10m／s．

②落地时v x、v y、v t是直角三角形三条边的关系，故v t=v o／cos60°=20m／s，v y’=v0tg60°=17.3m／s．

③由v y2=2gh可得：h=15m．

④从竖直分运动可得运动时间：t=v y`/(2g)=1.73s 从水平分运动求得水平射程：s=v0t=17.3m．