七年级数学典型几何证明50题

初一典型几何证明题

1、已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC

在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC

∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4

即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=2

2、已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2

证明：连接BF 和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴△BCF ≌△EDF (S.A.S)

A B

C D

E

F 2

1 A

D

B

C

∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE

在△BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。 ∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。 ∴ AB=AE 。 在△ABF 和△AEF 中 AB=AE,BF=EF,

∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴△ABF ≌△AEF 。

∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

3、已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC

过C 作CG∥EF 交AD 的延长线于点G CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD DE ＝DC

∠FDE＝∠GDC（对顶角） ∴△EFD≌△CGD EF ＝CG ∠CGD＝∠EFD 又，EF∥AB ∴，∠EFD＝∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD＝∠2

∴△AGC 为等腰三角形， AC ＝CG 又 EF ＝CG ∴EF ＝AC

4、已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C

B

A C

D

F

2 1 E

A

证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE

∵AD平分∠BAC

∴∠EAD＝∠CAD

∵AE＝AC，AD＝AD

∴△AED≌△ACD （SAS）

∴∠E＝∠C

∵AC＝AB+BD

∴AE＝AB+BD

∵AE＝AB+BE

∴BD＝BE

∴∠BDE＝∠E

∵∠ABC＝∠E+∠BDE

∴∠ABC＝2∠E

∴∠ABC＝2∠C

5、已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE

证明：

在AE上取F，使EF＝EB，连接CF

∵CE⊥AB

∴∠CEB＝∠CEF＝90°

∵EB＝EF，CE＝CE，

∴△CEB ≌△CEF ∴∠B ＝∠CFE

∵∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° ∴∠D ＝∠CFA ∵AC 平分∠BAD ∴∠DAC ＝∠FAC ∵AC ＝AC

∴△ADC ≌△AFC （SAS ） ∴AD ＝AF

∴AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE

6、如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。

在BC 上截取BF=AB ，连接EF ∵BE 平分∠ABC ∴∠ABE=∠FBE 又∵BE=BE

∴⊿ABE ≌⊿FBE （SAS ） ∴∠A=∠BFE ∵AB//CD ∴∠A+∠D=180o ∵∠BFE+∠CFE=180o ∴∠D=∠CFE

又∵∠DCE=∠FCE CE 平分∠BCD CE=CE

∴⊿DCE ≌⊿FCE （AAS ） ∴CD=CF

∴BC=BF+CF=AB+CD

7. P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：

PC-PB

P

D

A

C

B

8. 已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE 证明：

在AC 上取一点D ，使得角DBC=角C ∵∠ABC=3∠C

∴∠ABD=∠ABC -∠DBC=3∠C -∠C=2∠C； ∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C; ∴AB=AD

∴AC – AB =AC-AD=CD=BD

在等腰三角形ABD 中，AE 是角BAD 的角平分线， ∴AE 垂直BD ∵BE⊥AE

∴点E 一定在直线BD 上，

在等腰三角形ABD 中，AB=AD ，AE 垂直BD ∴点E 也是BD 的中点 ∴BD=2BE ∵BD=CD=AC-AB ∴AC-AB=2BE

9. 如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ． 解：延长AD 至BC 于点E,

∵BD=DC ∴△BDC 是等腰三角形 ∴∠DBC=∠DCB

又∵∠1=∠2 ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2 即∠ABC=∠ACB ∴△ABC 是等腰三角形 ∴AB=AC

在△ABD 和△ACD 中 AB=AC ∠1=∠2

BD=DC

∴△ABD 和△ACD 是全等三角形（边角边） ∴∠BAD=∠CAD ∴AE 是△ABC 的中垂线 ∴AE⊥BC ∴AD⊥BC

10. 如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．

求证：∠OAB =∠OBA 证明： ∵OM 平分∠POQ ∴∠POM ＝∠QOM ∵MA ⊥OP ，MB ⊥OQ

∴∠MAO＝∠MBO＝90

∵OM＝OM

∴△AOM≌△BOM （AAS）

∴OA＝OB

∵ON＝ON

∴△AON≌△BON （SAS）

∴∠OAB=∠OBA，∠ONA=∠ONB

∵∠ONA+∠ONB＝180

∴∠ONA＝∠ONB＝90

∴OM⊥AB

11. 如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于

D．求证：AD+BC=AB．

证明：

在AB上取F，使AF＝AD，连接EF ∵AE平分∠DAB

∴∠DAE=∠FAE

在⊿ADE和⊿AFE中

AD＝AF

∠DAE=∠FAE

AE = AE

∴⊿ADE≌⊿AFE（SAS）

∴∠ADE=∠AFE

∵AB//CD

∴∠ADE+∠C=180o

∵∠AFE+∠BFE=180o

∴∠C=∠BFE

∵ BE平分∠ABC

∠CBE=∠FBE

在⊿BFE和⊿BCE中

∠C=∠BFE

∠CBE=∠FBE

CE=CE

∴⊿BFE≌⊿BCE（AAS）

∴CB=BF

∴AB=AF+FB=AD+BC

P

E

D

C

B

A

{ {

12. 如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，

AF =CE ，BD 交AC 于点M ． （1）求证：MB =MD ，ME =MF

（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

(1)证：∵DE⊥AC 于E ，BF⊥AC 于F ， ∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF， 在Rt△DEC 和Rt△BFA 中， ∵AF=CE，AB=CD ，

∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL ） ∴DE=BF．

在△DE M 和△BF M 中 ∠DE M =∠BF M ∠D M E=∠B MF DE=BF

∴△DE M ≌△BF M(AAS) ∴MB=MD ，ME=MF

(2) 证：∵DE⊥AC 于E ，BF⊥AC 于F ， ∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF， 在Rt△DEC 和Rt△BFA 中， ∵AF=CE，AB=CD ，

∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL ） ∴DE=BF．

在△DE M 和△BF M 中 ∠DE M =∠BF M ∠D M E=∠B MF DE=BF

∴△DE M ≌△BF M(AAS) ∴MB=MD ，ME=MF

13如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过

C

{

{

点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．

求证：BD=2CE．

证：∵∠CEB=∠CAB=90°

∠ADB=∠CDE

在△ABD中，∠ABD = 180°-∠CAB-∠ADB

在△CED中，∠DCE = 180°-∠CEB-∠CDE

∴∠ABD =∠DCE

在△ABD和△ACF中

∠DAB=∠CAF

AB=AC

∠ABD =∠DCF

∴△ABD≌△ACF(ASA)

∴BD=CF

∵BD是∠ABC的平分线

∴∠FBE =∠CBE

在△FBE和△CBE中

∠FBE =∠CBE

BE=BE

∠BEF =∠BEC

∴△FBE≌△CBE(ASA)

∴CE=FE CF=2CE

∴BD=2CE

14. 如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。证明：∵DF=CE，

∴DF-EF=CE-EF，

即DE=CF，

在△AED和△BFC中，

∵ AD=BC，∠D=∠C ，DE=CF

∴△AED≌△BFC（SAS）

15. 如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。求证：AM是△ABC的中线。

证明：∵BE‖CF

∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM ∵BE=CF

∴△BEM≌△CFM

F

E

D C

B

A

F

E

D

C

B

A

{ {

∴BM=CM

∴AM 是△ABC 的中线

16.AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。求证：BF=CF 证：在△ABD 与△ACD 中

AB=AC BD=DC AD=AD

∴△ABD ≌△ACD(SSS) ∴∠ADB=∠ADC ∴∠BDF=∠FDC 在△BDF 与△FDC 中 BD=DC ∠BDF=∠FDC DF=DF

∴△FBD ≌△FCD(SAS) ∴BF=FC

17. 如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。求证：AF=DE 。 证：∵CF=CE+EF EB=EF+FB 又∵CE=FB ∴CF=EB

在△CDF 与△ABE 中

AB=CD AE=DF BE=CF

∴△CDF ≌△ABE(SSS) ∴∠DCB=∠ABF 在△ABF 与△CDE 中

AB=CD ∠ABF =∠DCE BF=CE

∴△ABF ≌△CDE (SAS) ∴AF=ED

18. 公园里有一条“Z”字形道路ABCD ，如图所示，其中AB ∥CD ，在AB ，CD ，BC 三段路旁各有一只小石凳E ，F ，M ，且BE ＝CF ，M 在BC 的中点，试说明三只石凳E ，F ，M 恰好在一条直线上. 证明：连接EF

∵AB∥CD

M

F

E

C

B

A

F

D

C

B

A

F

E

D

C

B

A

{

{

{

{

∴∠B=∠C

∵M是BC中点

∴BM=CM

在△BEM和△CFM中 BE=CF

∠B=∠C ∴△BEM≌△CFM（SAS）∴CF=BE

BM=CM

19. 已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证： AE＝AF。

证：连接AC

∵在△ADC和△ABC中

AD=AB

DC=BC

AC=AC

∴△ADC≌△ABC（SSS）

∴∠B=∠D

∵E、F分别是DC、BC的中点又∵BC＝DC

∴DE=BF

∵在△ADE和△ABF中

AD=AB

∠D=∠B

DE=BF

∴△ADE≌△ABF（SAS）∴AE=AF

20. 如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．

证明：∵在△ADC和△ABC中∠BAC=∠DAC

∠BCA=∠DCA

AC=AC

∴△ADC≌△ABC（AAS）

∵AB=AD，BC=CD

在△DEC与△BEC中

CE=CE

∠BCA=∠DCA ∴△DEC≌△BEC（SAS）∴∠DEC=∠BEC

BC=CD

21.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：DE=DF．

证明：∵AD是∠BAC的平分线∴∠EAD=∠FAD ∵DE⊥AB，DF⊥AC

∴∠BFD=∠CFD=90°

6

5

4

3

2

1

E

D

C

B

A

D

B

C A

F

E

{

{ {

{

∴∠AED 与∠AFD=90° 在△AED 与△AFD 中

∠EAD=∠FAD AD=AD ∠AED=∠AFD

∴△AED ≌△AFD （AAS ）

∴AE=AF

22. 如图：AB=AC ，ME ⊥AB ，MF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，ME=MF 。求证：MB=MC 证明： ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵ME ⊥AB ，MF ⊥AC ∴∠BEM=∠CFM=90° 在△BME 和△CMF 中

∵ ∠B=∠C ∠BEM=∠CFM=90° ME=MF ∴△BME ≌△CMF （AAS ）

∴MB=MC ．

23. 在△ABC 中，?=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，

MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ?≌CEB ?；②BE AD DE +=； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；

若不成立，说明理由.

（1）

①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，

∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°． ∴∠CAD=∠BCE ． ∵AC=BC ， ∴△ADC ≌△CEB ． ②∵△ADC ≌△CEB ， ∴CE=AD ，CD=BE ．

B

C M

A

F

E A

E

B

D

C

F {

∴DE=CE+CD=AD+BE ．

（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠CBE ． 又∵AC=BC ， ∴△ACD ≌△CBE ． ∴CE=AD ，CD=BE ． ∴DE=CE ﹣CD=AD ﹣BE

24. 如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。求证：（1）EC=BF ；（2）EC ⊥BF

（1）∵AE ⊥AB ，AF ⊥AC ， ∴∠BAE=∠CAF=90°， ∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC ， 即∠EAC=∠BAF ， 在△ABF 和△AEC 中，

∵AE=AB ，∠EAC=∠BAF ，AF=AC ， ∴△ABF ≌△AEC （SAS ）， ∴EC=BF ；

（2）如图，根据（1），△ABF ≌△AEC ， ∴∠AEC=∠ABF ， ∵AE ⊥AB ， ∴∠BAE=90°， ∴∠AEC+∠ADE=90°， ∵∠ADE=∠BDM （对顶角相等）， ∴∠ABF+∠BDM=90°，

在△BDM 中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°， ∴EC ⊥BF ．

25. 如图：BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，BM=AC ，CN=AB 。求证：（1）AM=AN ；（2）AM ⊥AN 。

A

E B

M C

F

证明：

（1）∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB

∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90° ∴∠ABM=∠ACN ∵BM=AC ，CN=AB ∴△ABM ≌△NAC ∴AM=AN

（2）∵△ABM ≌△NAC ∴∠BAM=∠N ∵∠N+∠BAN=90° ∴∠BAM+∠BAN=90° 即∠MAN=90° ∴AM ⊥AN

26. 已知：如图，AB ＝CD ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，E ，F 是垂足，DE BF ． 求证：AB CD ∥． 证明：

∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ∴∠CED=∠AFB=90o 又∵AB=CD ，BF=DE

∴Rt ⊿ABF ≌Rt ⊿CDE （HL ） ∴AF=CE ∠BAF=∠DCE ∴AB//CD

F

B

C A M

N

E 123

4

A

D

E

C

B

F

1、如图，四边形ABCD 中，∠A ＝∠C =90°，BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC ，试问BE 与DF 平行吗？为什么？

2、如图，△ABC 中，∠A=36°，∠ABC=40°，BE 平分∠ABC ，∠E=18。试证明CE 平分∠ACD.

3、已知：如图∠1=∠2，∠C=∠D ，那么∠A=∠F 吗？试说明理由

4、如图AB ∥CD ∠1=∠2，∠3=∠4，试说明AD ∥BE ；

5、已知AB ∥CD ，直线a 交AB 、CD 分别于点E 、F ，点M 在EF 上，P 是直线CD 上的一个动点，（点P 不与F 重合）

（1）当点P 在射线FC 上移动时，∠FMP+∠FPM=∠AEF 成立吗？请说明理由。

（2）当点P 在射线FD 上移动时，∠FMP+∠FPM 与∠AEF 有什么关系？并说明你的理由。

H

G

2

1

F

E

D

C

B

A

6、如图，E 、F 分别AB 、CD 是上一点，D ∠=∠2，1∠与C

∠互余， AF EC ⊥.试说明CD AB //

7、如图，已知ABC ?，AD BC ⊥于D ，E 为AB 上一点，EF BC ⊥于F ，//DG BA 交CA 于G .求证12∠=∠.

8、如图5-29，已知：AB //CD ，求证：∠B +∠D +∠BED =3

60?（至少用三种方法）

E

A

B

C

D

9、如图，已知AB ∥CD ，∠1：∠2：∠3=1：2：3，求证：BA 平分∠

EBF

10、已知，如图，AB ∥CD ∥GH ，EG 平分∠BEF ，FG 平分∠EFD,求证：∠EGF=90°

11.如图，AD ∥BC ，∠B=∠D ，求证：AB ∥CD 。

12.如图CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，∠1=∠2，求证：∠AGD=

∠ACB 。

1

A

E 2 3

F C

D

D

G A E B H C

F

1 2

3 4 B

D

C

A

13. 已知∠1=∠2，∠1=∠3，求证：CD ∥OB 。

14. 如图，已知∠1=∠2，∠C=∠CDO ，求证：CD ∥OP 。

15. 已知∠1=∠2，∠2=∠3，求证：CD ∥EB 。

16. 如图∠1=∠2，求证：∠3=∠4。

17. 已知∠A=∠E ，FG ∥DE ，求证：∠CFG=∠B 。

B D E

/F

C A

2G

3B D

/

P C A

O

2

3B D /P

C O 2B

D

E /

C O 2

3B D /C A

23

4B A

18.已知，如图，∠1=∠2，∠2+∠3=1800，求证：a ∥b ，c ∥d 。

19.如图，AC ∥DE ，DC ∥EF ，CD 平分∠BCA ，求证：EF 平分∠BED 。

20、已知，如图，∠1=450，∠2=1450，∠3=450，∠4=1350，求证：l 1∥l 2，l 3∥l 5，l 2∥l 4。

21、如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠E=900，求证：AB ∥CD 。

22、如图，∠A=2∠B ，∠D=2∠C ，求证：AB ∥CD 。

2

1

3a c d

b A B C D F

E 21

l l l 3

412

3

4

5

l 2

1A B C D 34E C D O

23、如图，EF ∥GH ，AB 、AD 、CB 、CD 是∠EAC 、∠FAC 、∠GCA 、∠HCA 的平分线，求证：∠BAD=∠B=∠C=∠D 。

24、已知，如图，B 、E 、C 在同一直线上，∠A=∠DEC ，∠D=∠BEA ，∠A+∠D=900，求证：AE ⊥DE ，AB ∥CD 。

25、如图，已知，BE 平分∠ABC ，∠CBF=∠CFB=650，∠EDF=500，，求

证：BC ∥AE 。

26、已知，∠D=900，∠1=∠2，EF ⊥CD ，求证：∠3=∠B 。

27、如图，AB ∥CD ，∠1=∠2，∠B=∠3，AC ∥DE ，求证：AD ∥BC 。

28．已知：BC ＝DE ，∠B ＝∠E ，∠C ＝∠D ，F 是CD 中点，求证：∠

1＝∠2

B C

D F E

A

G H

B C D E A

B C D

E

A 21

B C D

F

3E A 2

1B C D 3

E A

29．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC＝AB＋DC。

30．已知：AB＝CD，∠A＝∠D，求证：∠B＝∠C.

31．如图：DF＝CE，AD＝BC，∠D＝∠C。求证：△AED≌△BFC。

32．如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE＝CF。求证：AM是△

ABC的中线。

33．AB＝AC，DB＝DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF＝CF

34．如图：AB＝CD，AE＝DF，CE＝FB。求证：AF＝DE。

35．已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证： AE＝AF。

36．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证: ∠5＝∠6．

37．如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论.

38．如图（13）△ABC≌△EDC。求证：BE=AD。

39．如图：AD=BC，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，DE=BF。求证：（1）AF=CE，（2）AB∥CD。

40．如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D，（1）∠PCD=∠PDC吗？为什么？（2）OP是CD的垂直平分线吗？为什么？