分式函数的图像与性质

高一数学选修课系列讲座（一）

-----------------分式函数的图像与性质

一、概念提出

1、分式函数的概念

形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。如221x y x x +=+，212x y x +=-，41

3

x y x +=+等。

2、分式复合函数

形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。如22112x x y +=-，sin 2

3sin 3x y x +=

-，12

x y -+=

等。

二、学习探究 探究任务一：函数(0)b

y ax ab x

=+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax b

y a b c d R cx d

+=

∈+的图像是怎样的？ 例1 画出函数21

1

x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。

小结：(,,,)ax b

y a b c d R cx d

+=

∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。 分式函数(,,,)ax b

y a b c d R cx d

+=

∈+的图像与性质： （1）定义域： ； （2）值域： ；

（3）单调性：单调区间为 ；

（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线 ，对称中心为点 ；

（5）奇偶性：当 时为奇函数； （6）图象：如图所示

x O y

x

O y

问题2：(0)

b

y ax ab

x

=+≠的图像是怎样的？

例2、根据y x

=与

1

y

x

=的函数图像，绘制函数

1

y x

x

=+的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。小结：分式函数(,0)

b

y ax a b

x

=+>的图像与性质：

（1）定义域：；（2）值域：；

（3）奇偶性：；

（4）单调性：在区间上是增函数，

在区间上为减函数；

（5）渐近线：以轴和直线为渐近线；

（6）图象：如右图所示

例3、根据y x

=与

1

y

x

=的函数图像，绘制函数

1

y x

x

=-的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。结合刚才的两个例子，思考

1

y x

x

=--与

1

y x

x

=-的图像又是怎样的呢？

思考

1

2+

y x

x

=与

2

3

y x

x

=-的图像是怎样的呢？(,,0)

b

y ax a b R ab

x

=+∈≠的图像呢？

小结：(,,0)

b

y ax a b R ab

x

=+∈≠的图像如下：

（i）(0,0)

b

y ax a b

=+>> (ii) (0,0)

b

y ax a b

=+>< (iii) (0,0)

b

y ax a b

=+<> (iv) (0,0)

b

y ax a b

x

=+<<

(,,0)b

y ax a b R ab x

=+∈≠的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。

探究任务二：函数22

(,,,,,)ax bx c

y a b c d e f R dx ex f

++=∈++的图像与性质 问题3：例4 函数221

1

x x y x ++=+的图像是怎样的？单调区间如何？

思考：函数21

21

x y x x +=

++的性质如何呢？单调区间是怎样的呢？

小结：对于分式函数22

(,,,,,)ax bx c

y a b c d e f R dx ex f

++=∈++而言，分子次数高于分母时，可以采用问题3中的方法，将函数表达式写成部分分式，再结合函数的图像的平移，由熟悉的四类分式函数的图像得到新的函数图像，再结合函数的图像研究函数的性质。对于分子的次数低于分母的次数的时候，可以考虑分子分母同时除以分子（确保分子不为0），再着力研究分母的性质与图像，间接地研究整个函数的性质。如：

22111

(1)221212(1)3

11

x y x x x x x x x x +=

==≠-++++++-++

巩固练习：

1、若,,3,x y R xy y +

∈+=则x y +的最小值是 ；

2、函数234

x

y

x =

+的值域是 ；

3、已知[)221

(),1,ax x f x x x

--=

∈+∞单调递减，则实数a 的取值围是 ； 4、不等式2

0x a x

-->的在[]2,1有实数解，则实数a 的取值围是 ； 5、不等式2

0x a x

-

->的在[]2,1恒成立，则实数a 的取值围是 ； 6、已知()a

f x x x

=-+

在区间[2,3)单调递减，求a 的取值围是 ；

7、函数221

x x

y x x -=-+的值域是

8、定义在R 上函数()f x ，集合{A a a =为实数，且对于任意},()x R f x a ∈≥恒成立，且存在常数m A ∈，对于

任意n A ∈，均有m n ≥成立，则称m 为函数()f x 在R 上的“定下界”．若21

()12x x

f x -=+，则函数()f x 在R 上

的“定下界”m =__________．

9、设

(),[0,+)1

a

f x x x x =+

∈∞+． （1）当4a =时，求()f x 的最小值； （2）当(0,1)a ∈时，判断()f x 的单调性，并写出()f x 的最小值。

10、已知函数()2a

f x x x

=+

的定义域为(]0,2（a 为常数）. （1）证明：当8a ≥时，函数()y f x =在定义域上是减函数；

（2）求函数()y f x =在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值。

11、（1）若函数()log 4,(0,1)a a f x x a a x ??

=+->≠ ???

的定义域为R +，数a 的取值围； （2）若函数()log 4,(0,1)a a f x x a a x ??

=+->≠ ???

的值域为R +，数a 的取值围。

12、已知函数a

y x x

=+

有如下性质：如果常数0a >,那么该函数在上是减函数，

在)+∞上是增函数。

（1）如果函数2b

y x x

=+在(0,4]上是减函数, 在[4,)+∞上是增函数，常数b 的值；

（2）设常数[1,4]c ∈，求函数(12)c

y x x x

=+≤≤的最大值和最小值。

分式函数的图像与性质

一、概念提出

1、分式函数的概念

形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。如221x y x x +=+，212x y x +=-，41

3

x y x +=+等。

2、分式复合函数

形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。如22112x x

y +=-，sin 2

3sin 3x y x +=-，

2

3

y x =

+等。

二、学习探究

探究任务一：函数(0)b

y ax ab x

=+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax b

y a b c d R cx d

+=

∈+的图像是怎样的？ 例1、画出函数21

1

x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。

【分析】212(1)112111x x y x x x --+===+---，即函数211x y x -=

-的图像可以经由函数1

y x

=的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示：

12

111211

y y y x x x =??→=??→=+--右上

由此可以画出函数21

1

x y x -=

-的图像，如下：

单调减区间：(,1),(1,)-∞+∞； 值域：(,2)

(2,)-∞+∞；

对称中心：(1,2)。

【反思】(,,,)ax b

y a b c d R cx d +=∈+的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？ 【小结】(,,,)ax b

y a b c d R cx d

+=∈+的图像的绘制，

可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。

分式函数(,,,)ax b

y a b c d R cx d

+=∈+的图像与性质 （1）定义域：{|}d

x x c ≠- ；

（2）值域：{|}a

y y c

≠；

（3）单调性：单调区间为(,),(,+)d d

c c

-∞--∞；

（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线,d a x y c c =-=，对称中心为点(,)d a

c c

-；

（5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数；

（6）图象：如图所示

问题2：(0)b

y ax ab x

=+

≠的图像是怎样的？ 例2、根据y x =与1y x =的函数图像，绘制函数1

y x x

=+的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。

【分析】画函数图像需要考虑函数的定义域、值域、单调性与单调区间，奇偶性，周期性，凸凹性（此点不作要

求），关键点坐标（最值点、与坐标轴交点）、辅助线（对称轴、渐近线）。绘图过程中需综合考虑以上要素，结合逼近与极限思想开展。

解：函数的定义域为：{|0}x x ≠； 根据单调性定义，可以求出1

y x x

=+

的单调区间 x O

y

x

O y

x

O

y

x

O

y

1

2

x

O

y 1

增区间：(,1][1,)-∞-+∞ 减区间：[1,0),(0,1]-

函数的值域为：(,2][2,)-∞-+∞ 函数的奇偶性：奇函数

函数图像的渐近线为：,y x =0x = 函数的图像如下：

【反思】如何绘制陌生函数的图像？研究新函数性质应从哪些方面入手？ 【小结】分式函数(,0)b

y ax a b x

=+

>的图像与性质： （1）定义域：{|0}x x ≠；

（2）值域：{|2,2}y y ab y ab ≥≤-或； （3）奇偶性：奇函数； （4）单调性：在区间(,[,+)b b

a a

-∞∞上是增函数， 在区间],[,0)b b

a a

上为减函数； （5）渐近线：以y 轴和直线y ax =为渐近线；

（6）图象：如右图所示

例3、根据y x =与1y x =

的函数图像，绘制函数1

y x x

=-的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。 【分析】结合刚才的绘图经验，不难绘制出1

y x x

=-的图像

x

O

y

y x

=x

O y

y x

=1y x

=y ax

=b a

b a

-

2ab

2ab

-x

O

y