高考数学模拟复习试卷试题模拟卷218 4

高考模拟复习试卷试题模拟卷

【高频考点解读】 1.理解等差数列的概念；

2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；

3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；

4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系． 【热点题型】

题型一 等差数列基本量的运算

例1、(1)在数列{an}中，若a1＝－2，且对任意的n ∈N*有2an ＋1＝1＋2an ，则数列{an}前10项的和为( )

A ．2

B ．10C.52D.5

4

(2)(·课标全国Ⅰ)设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，Sm －1＝－2，Sm ＝0，Sm ＋1＝3，则m 等于( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6 【提分秘籍】

(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a1，an ，d ，n ，Sn ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．

(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．

【举一反三】

(1)若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于( ) A ．12B ．13C ．14D ．15

(2)记等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若a1＝1

2，S4＝20，则S6等于( ) A ．16B ．24C ．36D ．48

(3)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且满足S33－S2

2＝1，则数列{an}的公差是( ) A.1

2B ．1C ．2D ．3

题型二 等差数列的性质及应用

例2、(1)设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( ) A ．63B ．45C ．36D ．27

(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为( )

A ．13

B ．12

C ．11

D ．10

(3)已知Sn 是等差数列{an}的前n 项和，若a1＝－，S －S

＝6，则S ＝________. 【提分秘籍】

在等差数列{an}中，数列Sm ，S2m －Sm ，S3m －S2m 也成等差数列；{Sn

n }也是等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具．

【举一反三】

(1)设数列{an}是等差数列，若a3＋a4＋a 5＝12，则a1＋a2＋…＋a7等于( ) A ．14B ．21C ．28D ．35

(2)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________. 题型三 等差数列的判定与证明

例3、已知数列{an}中，a1＝35，an ＝2－1an －1(n≥2，n ∈N*)，数列{bn}满足bn ＝1

an －1(n ∈N*)．

(1)求证：数列{bn}是等差数列；

(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由． 【提分秘籍】

等差数列的四个判定方法：

(1)定义法：证明对任意正整数n 都有an ＋1－an 等于同一个常数．

(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2an ＋1＝an ＋an ＋2后，可递推得出an ＋2－an ＋1＝an ＋1－an ＝an －an －1＝an －1－an －2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列．

(3)通项公式法：得出an ＝pn ＋q 后，得an ＋1－an ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列．

(4)前n 项和公式法：得出Sn ＝An2＋Bn 后，根据Sn ，an 的关系，得出an ，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．

【举一反三】

(1)若{an}是公差为1的等差数列，则{a2n －1＋2a2n}是( ) A ．公差为3的等差数列B ．公差为4的等差数列 C ．公差为6的等差数列D ．公差为9的等差数列

(2)在数列{an}中，若a1＝1，a2＝12，2an ＋1＝1an ＋1

an ＋2(n ∈N*)，则该数列的通项为( )

A ．an ＝1n

B ．an ＝2

n ＋1

C ．an ＝2n ＋2

D ．an ＝3

n

【高考风向标】

【高考新课标1，文7】已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则

10a =（）

（A ）

172（B ）19

2

（C ）10（D ）12 【高考陕西，文13】中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为，则该数列的首项为________ 【高考福建，文16】若,a b 是函数()()2

0,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2

a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于________．

【高考浙江，文10】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且

1221a a +=，则1a =，d =．

1．（·安徽卷）数列{a n}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.

2．（·北京卷）若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n ＝________时，{an}的前n 项和最大．

3．（·福建卷）等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若a1＝2，S3＝12，则a6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14

4．（·湖北卷）已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式．

(2)记Sn 为数列{an}的前n 项和，是否存在正整数n ，使得Sn>60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．

5．（·湖南卷）已知数列{an}满足a1＝1，|an ＋1－an|＝pn ，n ∈N*. (1)若{an}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p 的值；

(2)若p ＝1

2，且{a2n －1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式． 6．（·辽宁卷）设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列，则( )

A．d<0 B．d>0 C．a1d<0 D．a1d>0

7．（·全国卷）等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn＝1

anan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.

8．（·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．

(1)证明：an＋2－an＝λ.

(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．

9．（·山东卷）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn＝(－1)n－14n

anan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.

10．（·陕西卷）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.

(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；

(2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．

11．（·天津卷）设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．

12．（·重庆卷）设a1＝1，an＋1＝a2n－2an＋2＋b(n∈N*)．

(1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式．

(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n

13．（·新课标全国卷Ⅰ] 某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的体积为()

图1－3

A ．16＋8π

B ．8＋8π

C ．16＋16π

D ．8＋16π

14．（·新课标全国卷Ⅰ] 设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若Sm －1＝－2，Sm ＝0，Sm ＋1＝3，则m ＝( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

15．（·广东卷）在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a 5＋a7＝________．

16．（·北京卷）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为An ，第n 项之后各项an ＋1，an ＋2，…的最小值记为Bn ，dn ＝An －Bn.

(1)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N*，an ＋4＝an)，写出d1，d2，d3，d4的值；

(2)设d 是非负整数，证明：dn ＝－d(n ＝1，2，3，…)的充分必要条件为{an}是公差为d 的等差数列；

(3)证明：若a1＝2，dn ＝1(n ＝1，2，3，…)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1. 17．（·全国卷）等差数列{an}前n 项和为Sn.已知S3＝a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．

18．（·山东卷）设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且S4＝4S2，a2n ＝2an ＋1. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)设数列{bn}的前n 项和为Tn ，且Tn ＋an ＋1

2n ＝λ(λ为常数)，令cn ＝b2n(n ∈N*)，求数列{cn}的前n 项和Rn.

19．（·四川卷） 在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n 项和．

20．（·新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{an}的前n 项和为Sn ，已知S10＝0，S15＝25，则nSn 的最小值为________．

21．（·重庆卷）已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn 为其前n 项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________．

【高考押题】

1．已知数列{an}是等差数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，则数列{an}的公差d 等于( ) A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4

2．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )

A．a1＋a101>0B．a2＋a100<0

C．a3＋a99＝0D．a51＝51

3．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于()

A．0B．37C．100D．－37

4．等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为()

A．S4B．S5C．S6D．S7

5．在等差数列{an}中，a1>0，a10·a11<0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值是()

A．24B．48C．60D．84

6．已知递增的等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a22－4，则an＝________.

7．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则当Sn取最大值时，n的值是________．

8．已知数列{an}中，a1＝1且1

an＋1＝1

an＋1

3(n∈N*)，则a10＝________.

9．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．

10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1<0，S＝0.

(1)求Sn的最小值及此时n的值；

(2)求n的取值集合，使其满足an≥Sn.高考模拟复习试卷试题模拟卷

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【高频考点解读】

1.了解基本不等式的证明过程．

2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 【热点题型】

题型一 通过配凑法利用基本不等式求最值

例1、(1)已知x<54，求f(x)＝4x －2＋1

4x －5的最大值；

(2)已知x 为正实数且x2＋y2

2＝1，求x 1＋y2的最大值； (3)求函数y ＝x －1

x ＋3＋x －1

的最大值．

(2)因为x>0，

所以x 1＋y2＝2

x212＋y22≤2[x2＋12＋y2

2

]

2

，

又x2＋(12＋y22)＝(x2＋y22)＋12＝3

2， 所以x 1＋y2≤2(12×32)＝32

4， 即(x 1＋y2)max ＝32

4.

(3)令t ＝x －1≥0，则x ＝t2＋1， 所以y ＝t t2＋1＋3＋t ＝t

t2＋t ＋4.

当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0； 当t>0，即x>1时，y ＝1

t ＋4t ＋1

，

因为t ＋4

t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)， 所以y ＝1t ＋4t ＋1

≤1

5，

即y 的最大值为1

5(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值)． 【提分秘籍】

(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．

(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．

【举一反三】

(1)已知0

(2)若函数f(x)＝x ＋1

x －2(x>2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )

A ．1＋2

B ．1＋3

C ．3

D ．4 答案 (1)B (2)C

题型二 通过常数代换或消元法利用基本不等式求最值

例2、(1)已知x>0，y>0且x ＋y ＝1，则8x ＋2

y 的最小值为________． (2)已知x>0，y>0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．

答案 (1)18 (2)6 解析 (1)(常数代换法) ∵x>0，y>0，且x ＋y ＝1， ∴8x ＋2y ＝(8x ＋2

y )(x ＋y) ＝10＋8y x ＋2x

y ≥10＋2

8y x ·2x

y ＝18.

当且仅当8y x ＝2x

y ，即x ＝2y 时等号成立， ∴当x ＝23，y ＝13时，8x ＋2

y 有最小值18. (2)由已知得x ＝9－3y

1＋y .

方法一 (消元法) ∵x>0，y>0，∴y<3， ∴x ＋3y ＝9－3y

1＋y ＋3y

＝

12

1＋y

＋(3y ＋3)－6≥212

1＋y

·3y ＋3－6＝6， 当且仅当12

1＋y

＝3y ＋3，

即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y)m in ＝6. 方法二 ∵x>0，y>0，

9－(x ＋3y)＝xy ＝13x·(3y)≤13·(x ＋3y

2)2， 当且仅当x ＝3y 时等号成立． 设x ＋3y ＝t>0，则t2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0， 又∵t>0，∴t≥6.

故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y)min ＝6. 【提分秘籍】

条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．

【举一反三】

(1)若两个正实数x ，y 满足2x ＋1

y ＝1，并且x ＋2y>m2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪[4，＋∞) B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞) C ．(－2,4) D ．(－4,2)

(2)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________． 答案 (1)D (2)5

解析 (1)x ＋2y ＝(x ＋2y)(2x ＋1y )＝2＋4y x ＋x

y ＋2≥8， 当且仅当4y x ＝x

y ，即x ＝2y 时等号成立． 由x ＋2y>m2＋2m 恒成立，

可知m2＋2m<8，即m2＋2m －8<0，解得－4

5x ＝1， ∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y)(15y ＋3

5x ) ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5.

(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝1

2时，等号成立)， ∴3x ＋4y 的最小值是5.

题型三 基本不等式与函数的综合应用

例3、(1)已知f(x)＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f(x)恒为正值，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，22－1) C ．(－1,22－1) D ．(－22－1,22－1)

(2)已知函数f(x)＝x2＋ax ＋11

x ＋1

(a ∈R)，若对于任意x ∈N*，f(x)≥3恒成立，则a 的取值范围是

________．

答案 (1)B (2)[－8

3，＋∞)

解析 (1)由f(x)>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，

解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ， 即x ＝log32时，等号成立)， ∴k ＋1<22，即k<22－1.

(2)对任意x ∈N*，f(x)≥3恒成立，即x2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a≥－(x ＋8

x )＋3.

设g(x)＝x ＋8x ，x ∈N*，则g(2)＝6，g(3)＝17

3. ∵g(2)>g(3)，∴g(x)min ＝173.∴－(x ＋8x )＋3≤－8

3， ∴a≥－83，故a 的取值范围是[－8

3，＋∞)． 【提分秘籍】

(1)a>f(x)恒成立?a>f(x)max ， a

(2)求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性． 【举一反三】

已知函数f(x)＝x ＋p x －1(p 为常数，且p>0)，若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为

________．

答案 94

解析 由题意得x －1>0，f(x)＝x －1＋p

x －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，因为f(x)

在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2p ＋1＝4，解得p ＝9

4.

题型四基本不等式的实际应用

例4、某楼盘的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成，已知土地使用权费为2000元/m2；材料工程费在建造第一层时为400 元/m2，以后每增加一层费用增加40元/m2.要使平均每平方米建筑面积的成本费最低，则应把楼盘的楼房设计成________层．

答案 10

【提分秘籍】

对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后再利用基本不等式求最值．

【举一反三】

(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x

8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )

A ．60件

B ．80件

C ．100件

D ．120件

(2)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：每次都提价p ＋q

2%，若p>q>0，则提价多的方案是________．

答案 (1)B (2)乙

解析 (1)设每件产品的平均费用为y 元，由题意得 y ＝800x ＋x 8≥2

800x ·x 8＝20.

当且仅当800x ＝x

8(x>0)，即x ＝80时“＝”成立，故选B. (2)设原价为1，则提价后的价格为 方案甲：(1＋p%)(1＋q%)， 方案乙：(1＋p ＋q

2%)2， 因为

1＋p%

1＋q%

≤

1＋p%2＋1＋q%2＝1＋p ＋q

2%，

且p>q>0，所以1＋p%1＋q%

<1＋p ＋q 2%，

即(1＋p%)(1＋q%)<(1＋p ＋q

2%)2， 所以提价多的方案是乙． 【高考风向标】

1.【高考湖南，文7】若实数,a b 满足

12

ab a b

+=，则ab 的最小值为( ) A 、2 B 、2 C 、22 D 、4 【答案】C 【解析】

12

121220022,22ab a b ab ab a b

a b a b ab

+=∴=

+≥?=∴≥，＞，＞，，（当且仅当2b a =时取等号），所以ab 的最小值为22，故选C.

2.【高考重庆，文14】设,0,5a b a b ,则1++3a b 的最大值为________.

【答案】23

3.【高考福建，文5】若直线1(0,0)x y

a b a b

+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】C 【解析】由已知得

111a b +=，则11=()()a b a b a b +++2+b a

a b

=+，因为0,0a b >>，所以+2b a b a a b a b ≥?，故4a b +≥，当=b a

a b

，即2a b ==时取等号． 4．（·辽宁卷）对于c>0，当非零实数a ，b 满足4a2－2ab ＋4b2－c ＝0且使|2a ＋b|最大时，3

a －4

b ＋5

c 的最小值为________．

【答案】－2

5．（·山东卷）若????ax2＋b x 6

的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________． 【答案】2

【解析】Tr ＋1＝Cr 6(ax2)6－r·???

?b x r ＝Cr 6a6－r·brx12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，所以C36a6－3b3＝

20，即a3b3＝1，所以ab ＝1，所以a2＋b2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ，且ab ＝1时，等号成立．故a2＋b2的最小值是2.

6．(·福建卷)要制作一个容积为4 m3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 ( )

A ．80元

B ．120元

C ．160元

D ．240元

【解析】设底面矩形的长和宽分别为a m ，b m ，则ab ＝4(m2)．容器的总造价为20ab ＋2(a ＋b)×10＝80＋20(a ＋b )≥80＋40ab ＝160(元)(当且仅当a ＝b 时等号成立)．故选C.

【答案】C

7．(·重庆卷)若log4(3a ＋4b)＝log2ab ，则a ＋b 的最小值是________． 【解析】由log4(3a ＋4b)＝log2ab 得3a ＋4b ＝ab ， 且a ＞0，b ＞0，∴4a ＋3

b ＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b)·????4a ＋3b ＝7＋????3a b ＋4b a ≥ 7＋2

3a b ·4b a ＝7＋43，当且仅当3a b ＝4b a 时取等号．

【答案】7＋43

8．（·四川卷）已知F 为抛物线y2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →

＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是()

A ．2

B ．3 C.172

8 D.10 【答案】B

【解析】由题意可知，F ????14，0.设A(y21，y1)，B(y22，y2)，∴OA →·OB →＝y1y2＋y21y22＝2，

解得y1y2＝1或y1y2＝－2.又因为A ，B 两点位于x 轴两侧，所以y1y2＜0，即y1y2＝－2. 当y21≠y 2时，AB 所在直线方程为y －y1＝y1－y2y21－y22(x －y21)＝1

y1＋y2(x －y21)，

令y ＝0，得x ＝－y1y2＝2，即直线AB 过定点C(2，0)．

于是S △ABO ＋S △AFO ＝S △ACO ＋S △BCO ＋S △AFO ＝12×2|y1|＋12×2|y2|＋12×14|y1|＝1

8(9|y1|＋8|y2|)≥1

8×29|y1|×8|y2|＝3，当且仅当9|y1|＝8|y2|且y1y2＝－2时，等号成立．当y21＝y22时，取y1＝2，y2＝－2，则AB 所在直线的方程为x ＝2，此时求得S △ABO ＋S △AFO ＝2×12×2×2＋12×14×2＝1728，而172

8>3，故选B.

9．(高考山东卷)设正实数x ，y ，z 满足x2－3xy ＋4y2－z ＝0，则当z

xy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为()

A ．0 B.98 C ．2 D.9

4

【答案】C

10．（·重庆卷）（3－a ）（a ＋6）(－6≤a≤3)的最大值为()

A ．9 B.92 C ．3 D.3 2

2

【答案】B 【解析】因为－6≤a≤3，所以（3－a ）（a ＋6）≤（3－a ）＋（a ＋6）2＝9

2，当且仅当3－a ＝a ＋6，即a ＝－3

2时等号成立，故选B.

【高考押题】

1．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg(x2＋1

4)>lgx(x>0) B ．sinx ＋1

sinx ≥2(x≠kπ，k ∈Z) C ．x2＋1≥2|x|(x ∈R) D.1x2＋1>1(x ∈R) 答案 C

解析 当x>0时，x2＋14≥2·x·1

2＝x ， 所以lg(x2＋1

4)≥lgx(x>0)， 故选项A 不正确；

运用基本不等式时需保证“一正”“二定“三相等”， 而当x≠kπ，k ∈Z 时，sinx 的正负不定， 故选项B 不正确；

由基本不等式可知，选项C 正确；

当x ＝0时，有1

x2＋1

＝1，故选项D 不正确．

2．若a>0，b>0，且ln(a ＋b)＝0，则1a ＋1

b 的最小值是( ) A.1

4B ．1C ．4D ．8 答案 C

解析 由a>0，b>0，ln(a ＋b)＝0得????

?

a ＋

b ＝1，a>0，b>0.

故1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1

ab ≥

1a ＋b

2

2＝1

122＝4.

当且仅当a ＝b ＝1

2时上式取“＝”．

3．已知x>0，y>0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) A.2

2B ．22C.2D ．2 答案 D

解析 ∵x>0，y>0，x ＋2y≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y)≤4xy －22xy ， ∴4≤4xy －22xy ， 即(2xy －2)(2xy ＋1)≥0， ∴

2xy ≥2，∴xy≥2.

4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b(a

2 答案 A

5．设正实数x ，y ，z 满足x2－3xy ＋4y2－z ＝0.则当z

xy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( ) A ．0B.98C ．2D.94 答案 C

解析 由题意知：z ＝x2－3xy ＋4y2，

则z xy ＝x2－3xy ＋4y2xy ＝x y ＋4y x －3≥1，当且仅当x ＝2y 时取等号，此时z ＝xy ＝2y2. 所以x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y2＝－2y2＋4y ＝－2(y －1)2＋2≤2.

6．若对于任意x>0，x

x2＋3x ＋1

≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．

答案 a≥1

5 解析

x x2＋3x ＋1

＝1

3＋x ＋1x

， 因为x>0，所以x ＋1

x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号)， 则

1

3＋x ＋1x

≤13＋2＝15，

即

x x2＋3x ＋1的最大值为15，故a≥1

5.

7．设x ，y ∈R ，且xy≠0，则(x2＋1y2)(1

x2＋4y2)的最小值为________． 答案 9

解析 (x2＋1y2)(1x2＋4y2)＝5＋1

x2y2＋4x2y2≥5＋2

1x2y2·4x2y2＝9，当且仅当x2y2＝12时“＝”成立．

8．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是________．

答案 20

9．(1)当x<32时，求函数y ＝x ＋8

2x －3的最大值；

(2)设0

2.

当x<3

2时，有3－2x>0， ∴

3－2x 2＋8

3－2x

≥23－2x 2·8

3－2x

＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x

，即x ＝－1

2时取等号．

于是y≤－4＋32＝－5

2. 故函数的最大值为－5

2. (2)∵00，

∴y ＝x 4－2x ＝2·x 2－x ≤2·x ＋2－x

2＝2，

当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，

∴当x ＝1时，函数y ＝x 4－2x 的最大值为 2.

10．某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？

高考模拟复习试卷试题模拟卷

高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆

一．基础题组

1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )

A ．1

B ．13-

C ．2

3

-

D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．

3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线

)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.

4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线

0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．

二．能力题组

1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线2

1y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22

430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）

A.

4515- B.25

15

- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2

2

14x y +-=。若过点11,2P ??

???

的直线l 与此圆交于,A B 两点，圆心为C ，则当ACB ∠最小时，直线l 的方程为。

3.（武汉市部分学校 新高三调研、文、15）圆O 的半径为1,P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周逆时针滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为_________.