函数求导习题
函数求导习题
一 函数全导
t
z dt
dv v z dt
du u z dt
dz dt
dw w z dt dv v z dt du u z dt dz t w w t v v t u u w v u f z dt dv v z dt du u z dt dz t v v t u u v u f z ??+??+
??=
=??+
??+
??=
====??+??====，公式简化为
特别t w )
(),(),(),,,()(),(),,(
t
t e te t t u ve t z dt dv v z dt du u z dt dz dt
dz t v e u t uv z t
t t
t
cos sin cos cos )sin (,cos ,,sin 1
+-=+-+=??+
??+??===+=解：求全导例
t
Lnt
t
t
t xy
xy
xy
xy
xy
t e tLnt t
t tLnt t t
Lnt tLnt t t yz y e
t
yz z e
yz ye
t
yz ye
dt dz z u dt dy y u dt dx x u dt du dt
du t z t Ln y t
x yz e
u 1
1
2
12
12
)
sin cos )(cos(cos )1)(
sin(cos )
sin )(cos(1))
cos()sin(()1)(sin(,cos ),(,1),sin(2=-+-=-+++-
=??+
??+??====
=此处注意解：求全导
例
下面给出一个抽象函数的例子
]
)
()
()()()(2[])
()
()()()()
()([
2)()()(1)(1)()(,,,,)(),(),,(32
`
``2
2
`
``
1`
2
``
`
2
`
2`
12
2
t t t t t t f t t t t t t
t t f dt
du t
t y
x t y
t
q dt
dy y q dt
dx x q dt
dq x
y t x
t
t x
y t t p dt dy y p dt dx x p dt dp f q
u f p u dt
dq q u dt
dp p u dt du y
x t q x y t p dt
du f t y t x y
x t x y t
f u ψψ?ψ??ψ?ψ??ψψ?ψ?ψ?ψ?-+
+-+=+-+=??+
??+
??=
+
+-=??+??+??==??=????+
??=+====+=代入解：令均可微求全导
其中设例
二 求偏导
`
2
`
3`
2`
1`
3`
12
2
2
2
2
`
3
2
`
2
2
`
2
22),(,))
,(,,()2()
()())(()()(:
)(14
????f yf dx
dw w z dx
dv v z dx
du u z y
z xf f dx
dw w z dx
dv v z dx
du u z x
z y x w y v x u y x y x f z xy f xy xy yf xy f xy xy f xy x
z xy xyf z +=??+
??+
??=??+=??+
??+
??=
??====+=+=??=，解：令解）（，假设所有函数均可微
求下列函数的的偏导数例
三 求高阶导数
1
||lim
|0,00,)()(2)3)((1
||lim
|0,00,)
()(2)3)((|,|,0,00,)(),()2()
()(1
)(1
)()(
)
()()(y
x z ),()(1
15
)
0,0()0,(0
)0,0(2
222
22
222222322)
0,0(),0(0
)0,0(2
222
22
222223222)
0,0(2)0,0(222222
222``
`
``
``
2
```2
=??-
??=?????
???=+>++---+=??-=??-
??=?????
???=+>++---+=?????????????=+>++-=--+
=????
=
???-+=?????+=
→→x
y
f y
f
x
y f y x y x y x y x xy xy x y x y f y
x
f x
f
y
x f y x y x y x y x y x y y x y x x f x y f y x f y x y x y x y x xy y x f x
y
f x y
x y f x x y f x xy xf
x
z
y y
x z x y f x y x y
f xy f x z f x
y xf xy f y z x y y y 解：求解：求
具有连续二阶偏导数，）（偏导数
求下列函数指定的二阶例
四 求分段函数导数
重点考察分段函数“连接点”的可导性。
???????
∈-=∈==-=--=
=--=????
???
∈=∈=∈=
==+→-)2,1(,1
1
)1,0(,1)(1,11
1
1
,11
1lim
)1()2,1(,1
1
,1)1,0(,)()
2,0(),(,1,)(,20)},(),(min{)(6
2`
`
1
`
`
2121x x
x x x F x x x
F x x F x x
x x x x F x x F x
f x x f x f x f x F x 不存在，处导数不存在故在解：求）内，其中定义在（设例
五 隐函数求导
可以运用隐函数求导定理，不过推荐的做法是直接对函数等式两边直接做求导运算。
3
222
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
)
1(1)
(0)
(
1,0),,(37z
z
z
z
z
z
z
z
e y
e x
z e
x
z
e x
z x
z x
z e
x
z e x e
y x
z y x
z x
z e
x x
z y x f z xy z e
-=
??-??=
??=??-
??+??-=
??=+??-
????==+-代入，即得，得到
求一次偏导，有
再对得到
求偏导，有解：两边对求
确定隐函数设方程例
六 对数求导法
对于需要求导的变量位于指数部分的问题时，可以对函数等式两边求对数。
)
1()
1(]
1)1([)1()
1(1,
1)1(1,)
1(,
,)
1(8
x xLn x y
z x
xy x yLn x x z x xLn y
z z x
xy x yLn x z z y x x xyLn Lnz
y
z x
z x z xy
xy
xy
++=??++++=??+=??+++=??+=????+=可得到求偏导，即得
两边对解：两边取对数，有求
设例
七 由参数方程确定的函数求导法则
)1(4)1()12()2()
()(
,
2
1,
12:,,arctan )()1()(9
2
2
22
2
2
2
22
2
2
2t t t
t d t
d dx
dx dy
d dx
dy
dx d
dx
y d t dx
dy t
t
dt
dy t
t dt dx dx y d dx dy t t t y t Ln t x -+=+==
=
=+=
+=?
??-=+=，即得到
解求设例
常用基本初等函数求导公式积分公式
基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间 x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则
设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或 ２. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出． 可以推出下表列出的公式：
求导法则与求导公式
§2.2 求导法则与导数的基本公式 教学目标与要求 1. 掌握并能运用函数的和、差、积、商的求导法则 2. 理解反函数的导数并能应用； 3. 理解复合函数的导数并会求复合函数的导数； 4. 熟记求导法则以及基本初等函数的导数公式。 教学重点与难度 1. 会用函数的和、差、积、商的求导法则求导； 2. 会求反函数的导数； 3. 会求复合函数的导数 前面，我们根据导数的定义，求出了一些简单函数的导数。但是，如果对每一个函数都用定义去求它的导数,有时候将是一件非常复杂或困难的事情。因此，本节介绍求导数的几个基本法则和基本初等函数的导数公式。鉴于初等函数的定义，有了这些法则和公式，就能比较方便地求出常见的函数——初等函数的导数。 一、函数的和、差、积、商求导法则 1.函数的和、差求导法则 定理1 函数()u x 与()v x 在点x 处可导，则函数()()y u x v x =±在点x 处也可导，且 [()()]()()y u x v x u x v x ''''=±=± 同理可证：' ' ' [()()]()()u x v x u x v x -=- 即证。 注意：这个法则可以推广到有限个函数的代数和，即 12''' ' 12[()()()]()()()n n u x u x u x u x u x u x ±± ±=±±±， 即有限个函数代数和的导数等于导数的代数和。
例1 求函数4 cos ln 2 y x x x π =+++ 的导数 解 4 c o s l n 2y x x x π'??'=+++ ?? ? ()()()4 cos ln 2x x x π'??'''=+++ ??? 3 1 4s i n x x x =-+ 2.函数积的求导公式 定理2 函数()u x 与()v x 在点x 处可导，则函数()()y u x v x =在点x 也可导，且 ''''[()()]()()()()y u x v x u x v x u x v x ==+。 注意：1）特别地，当u c =（c 为常数）时， '''[()]()y cv x cv x ==， 即常数因子可以从导数的符号中提出来。而且将其与和、差的求导法则结合，可得： ''''[()()]()()y au x bv x au x bv x =±=±。 2）函数积的求导法则，也可以推广到有限个函数乘积的情形，即 ''' '12 1212 12 ()n n n n u u u u u u u u u u u u =+++。 例2 求下列函数的导数。 1）32 3254sin y x x x x =+-+； 解 ()()()()3 2 3254sin y x x x x '''''=+-+
高中数学典型例题详解和练习- 求分段函数的导数
求分段函数的导数 例 求函数?????=≠=0 ,00 ,1sin )(2 x x x x x f 的导数 分析：当0=x 时因为)0(f '存在，所以应当用导数定义求)0(f '，当 0≠x 时，)(x f 的关系式是初等函数x x 1 sin 2，可以按各种求导法同求它的导数． 解：当0=x 时，01sin lim 1 sin lim ) 0()(lim )0(0200 ===-='→?→?→?x x x x x x f x f f x x x 当 ≠x 时， x x x x x x x x x x x x x x x f 1 cos 1sin 2)1cos 1(1sin 2)1(sin 1sin )()1sin ()(22222-=-+='+'='=' 说明：如果一个函数)(x g 在点0x 连续，则有)(lim )(0 0x g x g x x →=，但如 果我们不能断定)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续，不能认为 )(lim )0(0 x f f x →='． 指出函数的复合关系 例 指出下列函数的复合关系． 1．m n bx a y )(+=；2．32ln +=x e y ； 3．)32(log 322+-=x x y ；4．)1sin(x x y +=。 分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常
见的基本函数，逐步确定复合过程． 解：函数的复合关系分别是 1．n m bx a u u y +==,； 2．2,3,ln +===x e v v u u y ； 3．32,log ,322+-===x x v v u y u ； 4．.1,sin ,3x x v v u u y +=== 说明：分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式，而最内层可以是关于自变量x 的基本函数，也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数，导致陷入解题误区，达不到预期的效果． 求函数的导数 例 求下列函数的导数． 1．43)12(x x x y +-=；2．2 211x y -= ； 3．)3 2(sin 2π +=x y ；4．21x x y +=。 分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数．求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数．
常用基本初等函数求导公式积分公式.doc
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) ， (13) (14) (15) (16) 函数的和、差、积、商的求导法则 设，都可导，则 （ 1）（ 2）（是常数） （ 3）（ 4） 反函数求导法则 若函数在某区间内可导、单调且，则它的反函数在对应区间内也可导，且 或 复合函数求导法则 设，而且及都可导，则复合函数的导数为 或 ２. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．
可以推出下表列出的公式： 常用积分公式表·例题和点评 ⑴kdx kx c ( k 为常数) ⑵x dx( 1) 1 x 1 c 1 特别， 1 dx 1 c , x d x 2 x23 c , 1 dx 2 x c x 2 x 3 x ⑶1 dx ln | x | c x ⑷ a x d x a x c , 特别，e x d x e x c ln a
⑸ sin x dx cos x c ⑹ cos x d x sin x c ⑺ 1 d x csc 2 x dx cot x c sin 2 x ⑻ 1 d x sec 2 x dx tan x c cos 2 x ⑼ 1 dx x c ( a 0) , 特别， a 2 x 2 arcsin a ⑽ 1 dx 1 x c (a 0) , 特别， a 2 x 2 arctan a a ⑾ 1 1 a x a 2 x 2 d x 2a ln a x c ( a 0) 或 1 1 x a x 2 a 2 dx 2a ln x a c ( a 0) ⑿ tan x dx ln cos x c ⒀ cot x dx ln sin x c 1 arcsin x c 1 d x x 2 1 1 x 2 dx arctan x c 1 ln csc x cot x c ⒁ csc x d x x dx ln tan c sin x 2 1 ln sec x tan x c ⒂ secx d x x dx c cos x ln tan 4 2 1 ( a 0) x 2 a 2 ⒃ a 2 dx ln x c x 2 ⒄ a 2 x 2 dx ( a 0) a 2 x x a 2 x 2 c arcsin 2 2 a ⒅ x 2 2 (a 0) x x 2 a 2 a 2 ln x x 2 a 2 c a d x 2 2
函数与导数练习题(有答案)
函数与导数练习题（高二理科） 1．下列各组函数是同一函数的是 （ ） ①()f x = ()g x =()f x x = 与()g x =； ③0()f x x =与01 ()g x x = ；④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--. A 、①② B 、①③ C 、③④ D 、①④ 2．函数2 4 ++= x x y 的定义域为 . 3．若)(x f 是一次函数，14)]([-=x x f f 且，则)(x f = . 4．如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上单调递减，那么实数a 的取值范围是（ ） A 、3a -≤ B 、3a -≥ C 、a ≤5 D 、a ≥5 5．下列函数中，在()0,2上为增函数的是（ ） A ．12 log (1)y x =+ B ．2 log y =C ．2 1log y x = D ．2 log (45)y x x =-+ 6．)(x f y =的图象关于直线1-=x 对称，且当0>x 时，,1 )(x x f =则当2- 一．基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2 csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2 v v u v u v u '-'= ' ??? ?? 反函数求导法则 若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则 设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx =g 或()()y f u x ?'''=g 二、基本积分表 （1）kdx kx C =+? （k 是常数） （2）1 ,1 x x dx C μμ μ+= ++? (1)u ≠- （3）1 ln ||dx x C x =+? （4）2 tan 1dx arl x C x =++? （5） arcsin x C =+ （6）cos sin xdx x C =+? （7）sin cos xdx x C =-+? （8）21 tan cos dx x C x =+? （9）21 cot sin dx x C x =-+? （10）sec tan sec x xdx x C =+? （11）csc cot csc x xdx x C =-+? 复合函数求导练习题 一．选择题（共26小题） 1．设，则f′（2）=（） A．B．C．D． 2．设函数f（x）=g（x）+x+lnx，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（） A．y=4x B．y=4x﹣8 C．y=2x+2 D． 3．下列式子不正确的是（） A．（3x2+cosx）′=6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′=ln2 C．（2sin2x）′=2cos2x D．（）′= 4．设f（x）=sin2x，则=（） A．B．C．1 D．﹣1 5．函数y=cos（2x+1）的导数是（） A．y′=sin（2x+1）B．y′=﹣2xsin（2x+1） C．y′=﹣2sin（2x+1）D．y′=2xsin（2x+1） 6．下列导数运算正确的是（） A．（x+）′=1+B．（2x）′=x2x﹣1C．（cosx）′=sinx D．（xlnx）′=lnx+1 7．下列式子不正确的是（） A．（3x2+xcosx）′=6x+cosx﹣xsinx B．（sin2x）′=2cos2x C．D． 8．已知函数f（x）=e2x+1﹣3x，则f′（0）=（） A．0 B．﹣2 C．2e﹣3 D．e﹣3 9．函数的导数是（） A． B． C．D． 10．已知函数f（x）=sin2x，则f′（x）等于（） A．cos2x B．﹣cos2x C．sinxcosx D．2cos2x 11．y=e sinx cosx（sinx），则y′（0）等于（） A．0 B．1 C．﹣1 D．2 12．下列求导运算正确的是（） A． B． C．（（2x+3）2）′=2（2x+3）D．（e2x）′=e2x 13．若，则函数f（x）可以是（） A．B．C．D．lnx 14．设 ，则f2013（x）=（） A．22012（cos2x﹣sin2x）B．22013（sin2x+cos2x） C．22012（cos2x+sin2x）D．22013（sin2x+cos2x） 15．设f（x）=cos22x，则=（） A．2 B．C．﹣1 D．﹣2 16．函数的导数为（） A．B． C．D． 17．函数y=cos（1+x2）的导数是（） A．2xsin（1+x2） B．﹣sin（1+x2） C．﹣2xsin（1+x2）D．2cos（1+x2） 18．函数y=sin（﹣x）的导数为（） A．﹣cos（+x）B．cos（﹣x）C．﹣sin（﹣x）D．﹣sin（x+） 19．已知函数f（x）在R上可导，对任意实数x，f'（x）＞f（x）；若a为任意的正实数，下列式子一定正确的是（） A．f（a）＞e a f（0）B．f（a）＞f（0）C．f（a）＜f（0）D．f（a）＜e a f（0）20．函数y=sin（2x2+x）导数是（） A．y′=cos（2x2+x）B．y′=2xsin（2x2+x） C．y′=（4x+1）cos（2x2+x）D．y′=4cos（2x2+x） 21．函数f（x）=sin2x的导数f′（x）=（） A．2sinx B．2sin2x C．2cosx D．sin2x 22．函数的导函数是（） A．f'（x）=2e2x B． C．D． 函数与导数 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、 函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。 （Ⅰ）解：当1t =时，3 2 2 ()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+- (0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =- （Ⅱ）解：2 2 ()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2 t x t x =-=或 因为0t ≠，以下分两种情况讨论： （1）若0,,2 t t t x <<-则 当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x ,2t ? ?-∞ ?? ? ,2t t ?? - ??? (),t -+∞ ()f x ' + - + ()f x 所以，()f x 的单调递增区间是(), ,,;()2t t f x ? ?-∞-+∞ ? ??的单调递减区间是,2t t ?? - ??? 。 （2）若0,2 t t t >-< 则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x (),t -∞ ,2t t ??- ?? ? ,2t ?? +∞ ??? ()f x ' + - + ()f x 高中数学导数典型例题 题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。 （1）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （3）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 2. 已知).(323 2)(23R a x ax x x f ∈--= (1)当41||≤ a 时, 求证：)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 题型二：利用导数解决恒成立的问题 例1：已知322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ） ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ?∈ 有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 例2：已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++，1()()2g x f x '= ． （1）证明：当t <时，()g x 在R 上是增函数； （2）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ， 上是减函数； （3）证明： 3()2 f x ≥． 例3：已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f （1）求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值 （2）对(0,),2()()x f x g x ?∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围 题型三：利用导数研究方程的根 例4：已知函数a x ax x f 313)(23-+-=. （Ｉ）讨论函数)(x f 的单调性； （Ⅱ）若曲线()f x 上两点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点，求实 数a 的取值范围. 6.2.3 通过乘积法则求积函数的导数 2010-08-19 16:30 杨爽赵晓婷高璞译人民邮电出版社我要评论(0)字号：T | T 综合评级： 想读(0)在读(0)已读(7)品书斋鉴(2)已有7人发表书评 《普林斯顿微积分读本》阐述了求解微积分的技巧, 详细讲解了微积分基础、极限、连续、微分、导数的应用、积分、无穷级数、泰勒级数与幂级数等内容，第6章讲述如何求解微分问题。本节说的是通过乘积法则求积函数的导数。 AD： 6.2.3 通过乘积法则求积函数的导数 处理函数乘积的时候要更有技巧的, 你不能只是将两个导数乘在一起. 例如,不做展开 (那样将会太费时 间了),我们想要求 的导数. 我们设 f(x) = x5+2x?1及 g(x) = 3x8?2x7?x4?3x.函数 h 是 f和 g 的乘积. 我们可以很容易地写出 f 和 g 的导数, 它们是 f0(x) = 5x4+2及g0(x)=24x7?14x6?4x3?3.正如我说的,乘积h的导数是这两个导数的乘积,这是不正确的. 即h0(x)6=?5x4+2￠?24x7?14x6?4x3?3￠.说h0(x)不是什么是没有用的,我们需要说它是什么！ 这表明你需要混合匹配. 这就是说,你取f 的导数并用它和g 相乘(不是g 的导数). 然后, 你也需要取 g 的导数并用它和 f 相乘. 最后, 将它们加在一起. 这就是法则： 因此, 对于我们例子中的 h(x) =?x5+2x?1￠?3x8?2x7?x4?3x￠,我们将h写成f 和g 的乘积并求它们的导数,就像我们上面做的一样. 将我们的发现总结一下,取每一列分别对应 f 和 g： 习 题 4.4 复合函数求导法则及其应用 ⒈ 求下列函数的导数： ⑴ y x x =-+()2122； ⑵ y x x =e sin 23； ⑶ y x = +1 13 ； ⑷ y x x = ln ； ⑸ y x =sin 3； ⑹ y x =cos ； ⑺ y x x x =+-++11ln()； ⑻ y x =-arcsin (e )2 ； ⑼ ?? ? ? ?- =221ln x x y ； ⑽ y x x =+1 222(sin )； ⑾ y x x x = +-1122 ln ； ⑿ y x x = +12 csc ； ⒀ y x x = -++2213 31 23 34； ⒁ y x =-e sin 2 ； ⒂ y x a x x a x =-+-2 2 22. 解 （1）)14)(12(2)'12)(12(2'222-+-=+-+-=x x x x x x x y 。 （2）)3sin 23cos 3(3sin )'()'3(sin '222x x e x e x e y x x x +=+=。 （3）23 32323 3)1(2 3 )'1()1(21'--+-=++-=x x x x y 。 （4）2 12 ' 2 1 ln 2ln 1ln ln 21'?? ? ??-=?? ? ????? ??=x x x x x x x x y 。 （5）3233cos 3)'(cos 'x x x x y ==。 （6）x x x x y 2sin )'(sin '- =-=。 （7 ）1'2y = （8 ）2 2 'x x y --= = = 1 22 2--x e x 。 （9）44 2 4(1)'1'[ln(1)ln(]'21x y x x x x -=--=--=4422 (1)x x x +-。 （10）2232(2sin )''(2sin )x x y x x -+=+=3 2) sin 2() cos 4(2x x x x ++-。 （11 ）'y = = 2 322222)1() 21)(ln 1(ln )1(2x x x x x x - -+--。 （12 ）2 ' '1csc x x y x =+ = 2222 322 1csc csc cot (1csc ) x x x x x ++= +。 （13 ）'y =+ 452323 4112()(21)(4)3()(31)(9)34x x x x --=--+-+ 45 223 34827(21)(31)34 x x x x --=---+。 （14）2sin 2'e (sin )'x y x -=-2 sin sin 2x x e -=-?。 函数、导数部分 1、已知函数()x f y =，[]b a x ,∈，那么集合()()[]{}(){} 2,,,,=∈=x y x b a x x f y y x 中元素的个数为 1或0 2、将函数()x x f 2=的图象向左平移一个单位得到图象1C ，再将1C 向上平移一个单位得图 象2C ，作出2C 关于直线x y =对称的图象3C ，则3C 对应的函数的解析式为 ()11log 2--=x y 3、函数x x x y sin cos -=在下面的哪个区间上是增函数（ B ） A. ?? ? ??23,2ππ B. ()ππ2, C. ??? ??25,23ππ D. ()ππ3,2 4、设()x x x f s i n =，1x 、?? ? ???-∈2,22ππx ，且()1x f ＞()2x f ，则下列结论必成立的是（D ） A. 1x ＞2x B. 1x +2x ＞0 C. 1x ＜2x D. 2 1x ＞2 2x 5、方程2log 2=+x x 和2log 3=+x x 的根分别是α、β，则有（ A ） 6、方程0122 =++x ax 至少有一个负的实根的充要条件是 a ≤ 1 7、在同一坐标系中，函数1+=ax y 与1 -=x a y （a >0且a ≠1）的图象可能是 C 8、函数()()()b x b x a ax x f +-+-+=34812 3 的图象关于原点中心对称，则()x f （B ） A. 在[]34,34-上为增函数 C. 在[)+∞,34上为增函数，在(] 34,-∞-上为减函数 B. 在[]34,34-上为减函数 D. 在(]34,-∞-上为增函数，在[)+∞,34上为减函数 9、设(){}12,2 ++==bx x y y x M ，()(){}b x a y y x P +==2,，(){}φ==P M b a S ,， 则S 的面积是π 反函数求导法则 刘云 （天水师范学院数学与统计学院数学与应用数学11级六班 甘肃天水 741000） 摘 要：主要叙述了反函数求导定理，基本初等函数的导数和微分公式，求导定理的推广以及在实际例题中的应用。 关键词：反函数；基本初等函数；求导 引 言 除了少数几个最简单的函数之外，可以直接用定义较方便地求出导数的函数实在是微乎其微，因而就有必要对一般的函数导出一系列的求导运算法则，故本节主要讨论反函数的求导法则以及应用。 1. 反函数求导定理 若函数)(x f y =在()b a ,上连续、严格单调、可导并且0)(≠'x f ,记α))(),(min(-+=b f a f ,))(),(max(-+=b f a f β,则它的反函数)(y f x '=在()b a ,上可导，且有 [])(1)(1x f y f '='-. 证明： 因为函数)(x f y =在()b a ,上连续且严格单调，由反函数连续定理，它的反函数)(1y f x -=在),(βα上存在、连续、且严格单调，这时0)()(≠-?+=?x f x x f y 等价于0)()(11≠-?+=?--y f y y f x ，并且当0→?y 时有0→?x 。 因此 []y y f y y f y f y ?-?+='--→?-)()(lim )(1101 )()(lim 0x f x x f x x -?+?=→? )(1)()(lim 10x f x x f x x f x '=?-?+=→?. 2.基本初等函数的导数和微分公式： 0)(='C 0*0)(==dx C d 1)(-='a a ax x dx ax x d a a 1)(-= x x cos )(sin =' xdx x d cos )(sin = x x sin )(cos -=' xdx x d sin )(cos -= x x 2sec )(tan =' xdx x d 2sec )(tan = x x 2csc )(cot -=' xdx x d 2csc )(cot -= x x x sec tan )(sec =' xdx x x d sec tan )(sec = x x x csc cot )(csc -=' xdx x x d csc cot )(csc -= 3.求导定理的推广 (1)多个函数线性组合的导函数 ∑∑=='='?? ????n i i i n i i i x f c x f c 11)()(， 其中),,3,2,1(n i c i =为常数。 （2）多个函数乘积的导函数 ∑∏∏=≠==?? ????????'='??????n j n j i i i j n i i x f x f x f 111)()()(. 举例说明函数的积的求导法则 山东省临朐县第二中学 刘海涛 李本习 在导数这一章中，导数的运算是非常重要的内容，也是这一章中的重点，在这里我们讨论一下函数积的求导法则。 （一）、函数积的求导法则是： 设f(x)、g(x)是可导的，则 [()()]f x g x '=()()f x g x '+()()f x g x ' 即：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数加上第一个函数乘上第二个函数的导数。 例：（1）求y=x 2cosx 的导数 分析：此题就是简单的积的求导，在此过程中要注意x 2与cosx 这两个基本函数的导数公式。 解：y '=2(cos )x x ' =2()cos x x '+2(cos )x x ' =22cos sin x x x x - (2) 求y=(x 2 解：y ' =2[(x '+ =2(1)x + 2(x + =2 21x + =251x + 利用此法则需要注意：（1）必须是f(x)、g(x)可导的 （2）要正确掌握应用此公式，不要用错此法则， 如： [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+ （3）此题的关键是要正确的掌握基本初等函数的导数公式。如：y=c y=x n y=a x y=sinx 等 （二）、要灵活的应用法则以简便的方法求解 例：求2311()y x x x x =++的导数 分析：直接应用积的求导法则时，中间有一个和的求导法则，若我们把此题的式子进行一下化简，那么此题将会是直接的和的求导法则。 解：法一：应用积的求导法则 22331111()()y x x x x x x x x '''=+++++ =3x 2 - 32x 法二：应用和的求导法则 3211y x x =++ 所以2323y x x '=- 显然法二相对来说比较简单明了。 （三）、若f(x)g(x)中，f(x)g(x)有一个为常数，则此求导法则为： 常数与函数之积的导数等于常数乘以函数的导数 四、基本求导法则与导数公式 １. 基本初等函数的导数公式和求导法则 基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下： 基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设 )(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间x I 内也可导，且 函数求导习题 一 函数全导 t z dt dv v z dt du u z dt dz dt dw w z dt dv v z dt du u z dt dz t w w t v v t u u w v u f z dt dv v z dt du u z dt dz t v v t u u v u f z ??+??+ ??= =??+ ??+ ??= ====??+??====，公式简化为 特别t w ) (),(),(),,,()(),(),,( t t e te t t u ve t z dt dv v z dt du u z dt dz dt dz t v e u t uv z t t t t cos sin cos cos )sin (,cos ,,sin 1 +-=+-+=??+ ??+??===+=解：求全导例 t Lnt t t t xy xy xy xy xy t e tLnt t t tLnt t t Lnt tLnt t t yz y e t yz z e yz ye t yz ye dt dz z u dt dy y u dt dx x u dt du dt du t z t Ln y t x yz e u 1 1 2 12 12 ) sin cos )(cos(cos )1)( sin(cos ) sin )(cos(1)) cos()sin(()1)(sin(,cos ),(,1),sin(2=-+-=-+++- =??+ ??+??==== =此处注意解：求全导 例 下面给出一个抽象函数的例子 ] ) () ()()()(2[]) () ()()()() ()([ 2)()()(1)(1)()(,,,,)(),(),,(32 ` ``2 2 ` `` 1` 2 `` ` 2 ` 2` 12 2 t t t t t t f t t t t t t t t f dt du t t y x t y t q dt dy y q dt dx x q dt dq x y t x t t x y t t p dt dy y p dt dx x p dt dp f q u f p u dt dq q u dt dp p u dt du y x t q x y t p dt du f t y t x y x t x y t f u ψψ?ψ??ψ?ψ??ψψ?ψ?ψ?ψ?-+ +-+=+-+=??+ ??+ ??= + +-=??+??+??==??=????+ ??=+====+=代入解：令均可微求全导 其中设例 第二节 函数的求导法则 教学目的：1.使学生掌握函数的和、差、积、商的求导法则； 2使学生掌握反函数的导数法则、复合函数的求导法则； 3使学生熟练掌握初等函数的求导公式。 教学重点：初等函数的求导公式、复合函数的求导法则 教学过程： 一、函数的和、差、积、商的求导法则 定理 1：若函数)(x u 和)(x v 在点0x 都可导，则)()()(x v x u x f ±=在0x 点也可导，且 )()()(000x v x u x f '±'='。 证明：0 0000)] ()([)]()([lim )()(lim 00 x x x v x u x v x u x x x f x f x x x x -±-±=--→→ =0 000)()(lim )()(lim 00x x x v x v x x x u x u x x x x --±--→→=)()(00x v x u '±' 所以)()()(000x v x u x f '±'='。 注 1：本定理可推广到有限个可导函数上去。 2：本定理的结论也常简记为v u v u '±'='±)(。 定理2：若)(x u 和)(x v 在0x x =点可导，则)()()(x v x u x f =在0x 点可导，且有 )()()()()(00000'+'='x v x u x v x u x f 。 证明：0 0000) ()()()(lim )()(lim 00 x x x v x u x v x u x x x f x f x x x x --=--→→ =0 0000) ()()()()()()()(lim 0x x x v x u x v x u x v x u x v x u x x --+-→ =0 0000) ()()(lim )()()(lim 00x x x v x v x u x v x x x u x u x x x x --+--→→ =0 0000) ()(lim )()(lim )()(lim 000x x x v x v x u x v x x x u x u x x x x x x --+--→→→ 1．若f （x ）=sin α－cos x ，则f ′（α）等于 A ．sin α B ．cos α C ．sin α+cos α D ．2sin α 2．f （x ）=ax 3+3x 2+2，若f ′（－1）=4，则a 的值等于 A ．319 B ．316 C ．313 D ．310 3．函数y =x sin x 的导数为 A ．y ′=2x sin x +x cos x B ．y ′= x x 2sin +x cos x C ．y ′=x x sin +x cos x D ．y ′= x x sin －x cos x 4．函数y =x 2cos x 的导数为 A ．y ′=2x cos x －x 2sin x B ．y ′=2x cos x +x 2sin x C ．y ′=x 2cos x －2x sin x D ．y ′=x cos x －x 2sin x 5.若y =(2x 2-3)(x 2-4),则y ’= . 6. 若y =3cosx -4sinx ,则y ’= . 7．与直线2x －6y +1=0垂直，且与曲线y =x 3+3x 2－1相切的直线方程是______． 8．质点运动方程是s =t 2（1+sin t ），则当t =2 时，瞬时速度为___________． 9.求曲线y=x3+x2-1在点P （-1，-1）处的切线方程. 1．函数y =2 2x a x +（a >0）的导数为0，那么x 等于 A ．a B ．±a C ．－a D ．a 2 2．函数y =x x sin 的导数为 A ．y ′=2 sin cos x x x x + B ．y ′= 2 sin cos x x x x - C ．y ′=2 cos sin x x x x - D ．y ′=2cos sin x x x x + 3.若2 1,2x y x +=-则y ’= . 4.若423 335 ,x x y x -+-=则y ’= . 5.若1cos ,1cos x y x += -则y ’= . 6．已知f （x ）= 3 54 33 7x x x x ++，则f ′（x ）=___________． 7．已知f （x ）=x x ++-1111，则f ′（x ）=___________． 8．已知f （x ）=x x 2cos 12sin +，则f ′（x ）=___________． 9．求过点（2，0）且与曲线y =x 1 相切的直线的方程． 10.质点的运动方程是23 ,s t t =+求质点在时刻t=4时的速度. 函数与导数 一、填空题 （2017·11）若2x =-是函数2 1` ()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ） A.1- B.32e -- C.35e - D.1 （2016·12）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1 x y x += 与()y f x =图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)m m x y ，则1 ()m i i i x y =+=∑ （ ） A ．0 B ．m C ．2m D ．4m （2015·5）设函数211log (2)(1) ()2 (1)x x x f x x -+-0时，()()0xf x f x '-<，则使得f (x ) >0成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞-U B ．(1,0)(1,)-+∞U C ．(,1)(1,0)-∞--U D ．(0,1)(1,)+∞U （2014·8）设曲线y =ax -ln(x +1)在点(0,0)处的切线方程为y =2x ，则a =（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 （2014·12）设函数()3x f x m π=，若存在()f x 的极值点0x 满足22200[()]x f x m +<，则m 的取值范围 是（ ） A ．(,6)(6,+)-∞-∞U B ．(,4)(4,+)-∞-∞U C ．(,2)(2,+)-∞-∞U D ．(,1)(4,+)-∞-∞U （2013·8）设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（ ） A .c b a >> B .b c a >> C .a c b >> D .a b c >> （2013·10）已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ） A .00,()0x f x ?∈=R B .函数()y f x =的图像是中心对称图形(完整版)【经典】常用的求导和定积分公式(完美)
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