高中数列专题常见求和方法总结

专题：数列及其数列求和

?重点、考点精读与点拨

一、基本知识

1．定义：

(1) .数列：按一定次序排序的一列数

(2) 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列叫做等差数列

(3) 等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一

个常数，则这个数列叫做等比数列

2． 通项公式与前n 项和公式

}{n a 为等差数列：

d n a a n )1(1-+= 2

)

(2

)1(11n n a a n d n n na S +=

-+

=

}{n b 为等比数列：

)1(1

1≠=-q q

b b n n

q

q a a q

q a S n n

n --=

--=

11)1(11（q )1≠

3． 常用性质

}{n a 为等差数列，则有

（1） 从第二项起，每项是前一项与后一项的等差中项，2

1

1-++=n n n a a a （n>1）

（2） ),()(*

N n m d

m n a a m n ∈-+=

（3） 若m+n = p+q , 则：q p n m a a a a +=+，特殊的：若m+n=2r ,则有：r n m a a a 2=+ （4） 若,,m a n a n m ==则有：0=+n m a （5） 若)(,,n m S m S n S n m n m +-===+则有：

（6） }{n a 为等差数列q p q pn a n ,(+=?为常数)?),(2

R q p qn

pn S n ∈+=

（7） m m m m m S S S S S 232,,--┅┅仍成等差数列

（8）}{},{n n b a 为等差数列，则}{n n qb pa +为等差数列（p ，q 为常数） （9）若项数为偶数2n ，nd ＝－奇偶S S ，

1

+n n a a S S ＝

偶

奇

若项数奇数2n －1，n a S S =偶奇－，1

-n n S S ＝

偶

奇

（10）???=≥-=-1

11)2

(S a n S S a n n n

}{n a 为等比数列，则有

（1） 只有同号的两数才存在等比中项 （2） ),(*

N n m q a a m

n m n ∈=-

（3） 若m+n = p+q , 则：q p n m a a a a ?=?，特殊的：若m+n=2r ,则有：2

r n m a a a =? （4） }{},{n n b a 为等比数列，则}{n n b a ?，}{

n

n b a ，{n ca }为等比数列（0≠c ）

（5） 等比数列中连续n 项之积构成的新数列仍是等比数列，当1≠q 时，连续项之和仍为

等比数列

（6） )1,0()

0,0(≠≠-=≠≠=q q k kq

S q c cq

a n

n n

n

二、在数列中常见问题：

1、等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，)(1d a dn a n -+=（定义域为正整数集），一次项的系数为公差；等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数，

n d a n d s n )2

(2

12

-

+=

二次项系数为公差的一半，常数项为0. 证明某数列是等差（比）

数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证：

常数）常数，（==-++n

n n n a a a a 11

2、等差数列当首项a 1>0且公差d<0时(递减数列)，前n 项和存在最大值。利用???<≥+001

n n a a 确

定n 值，即可求得s n 的最大值（也可以用二次函数的性质或图象解）。

等差数列当首项a 1<0且公差d>0时（递增数列），前n 项和存在最小值。

3、遇到数列前n 项和S n 与通项a n 的关系的问题应利用???≥-==-2

111n S S n S a n n n

4、满足???+==+)

(11n f a a a

a n n 的数列，求通项用累加（消项）法，

如：已知数列{a n }中，a 1=1,a n+1=a n +2n

, 求a n ；

满足???==+)

(11n f a a a a n n 的数列，求通项用累乘（消项）法，

如：已知数列{a n }中，a 1=1,a n+1=1

+n n a n , 求a n ；

三、数列求和的常用方法：

(1)公式法：必须记住几个常见数列前n 项和 等差数列：2

)1(2

)

(11d

n n na a a n S n n -+

=+=

；

等比数列：?

?

?

??≠--==11)1(111q q q a q na S n n

；

(2)分组求和：如：求1+1,41+a ,712

+a

,…,

231

1

-+-n a

n ,…的前n 项和

可进行分组即：237411

11111

3

2

-+++++

++++

-n a

a

a

a n

前面是等比数列，后面是等差数列，分别求和

（注：???

???

?≠-=+=12)13(12

)13(a n n a n

n S n

） (3)裂项法：如)

2(1+=

n n a n ，求S n ，常用的裂项

1

11)

1(1+-

=

+n n

n n ，

)211(21)

2(1+-=

+n n n n ；])

2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n (4)错位相减法：其特点是c n =a n b n 其中{a n }是等差，{b n }是等比 如：求和

S n =1+3x+5x 2+7x 3+……+(2n －1)x

n －1

注意讨论x ，

??

?

??≠-+++--==+1)1()

1()12()12(12

12x x x x n x n x n S n n n

(5)倒序求和：等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来的。如求证：C n 0

+3C n 1

+5C n 2

+… +(2n —1) C n n

=(n+1)2n

?名题归类例释

错位相减法：

例1 n

n 2

n 16

4834221S +

??++++=

求和

例2 求数例1，3a ，5a 2，7a 3，…(2n－1)a n-1，…(a≠1)的前n 项和．

解：因 S n =1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)a n-1， (1) (1)×a 得

aS n =a ＋3a 2＋5a 3＋…(2n－3)a n-1＋(2n －1)a n ，（2）

两式相减得

(1－a)S n =1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n-1－(2n －1)a n =2(1＋a ＋a 2＋a 3＋…＋a n-1)－(2n －1)a n -1 =1)12(1)112

-----?n

n

a n a

a （

所以:a a n a a S n

n

n -+--

--=

11

)12()

1()1(22

例3．已知数列{}n a 的首项123

a =

，121

n n n a a a +=

+，1,2,3,n =…．

（Ⅰ）证明：数列1{1}n

a -是等比数列；

（Ⅱ）数列{

}n

n a 的前n 项和n S ．

解：（Ⅰ） 121

n n n a a a +=

+，

∴

1

1111

1

222n n n

n

a a a a ++=

=

+

?

，

∴

1

1

1

1

1(1)2n n

a a +-=

-

又123

a =

，∴1

1112

a -=

，

∴数列1{

1}n

a -是以

12

为首项，

12

为公比的等比数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

1

1

11

1

1122

2

n n

n a -+-=

?

=

，即

1112

n

n

a =

+，∴

2

n

n

n n n a =

+．

设2

3

1232

2

2

n T =+++ (2)

n

n +， ①

则

2

3

1122

2

2

n T =

++ (1)

12

2

n n n n +-+

+

，②

由①-②得

2

1112

2

2n T =

++ (1)

1

1

1

1(1)112

211

2

2

2

2

2

12n

n

n n n

n n n

n +++-+

-

=-=-

-

-

，

∴1

122

2

n n n n T -=-

-．又123+++ (1)

2

n n n ++=

． ∴数列{

}n

n a 的前n 项和 2

2(1)4

222

2

2

2

n n

n

n n n n n n S +++++=-

+

==

．

例4：已知数列{a n }是等差数列，且a 1=2，a 1+ a 2+ a 3=12，令b n = a n x n (x ∈R)，

求数列{b n }的前n 项和公式。 裂项相消法：

例1 求和：)(,32114

3211

3211

211

1*

N n n

∈+++++

+++++

+++

++

解：)

1(2211+=

+?++=

k k k a k ，

])

1n (n 1

3

212

11[

2S n ++

?+?+

?=∴

211121113121211[2=

??? ?

?

+-=??? ??+-+?+??? ??-+??? ?

?-

=n n n n

例2：数列{a n }通项公式是11++

=

n n a n ，若前n 项的和为10，求项数。

例3：求和)

12()12()

2(5

34

3

12

2

2

2

+?-+

+?+

?=

n n n S n

分部求和法：

例1 已知等差数列{}n a 的首项为1，前10项的和为145，求.242n

a a a +++

解：首先由31452

91010110=?=??+

=d d

a S

则12(1)32322n n

n a a n d n a =+-=-?=?- 2

2423(222)2n n

a a a n ∴+++=+++- 1

2(12)3

232

2612

n

n n n +-=-=?---

例2已知数列}a {n 的通项公式为??

?-=为偶数）

（为奇数）（n 2n 5n 6a n

n ，求其前n 项和Sn

例3：1，1+2，1+2+3，…，1+2+3+…+n ； 例4：2

22

2

2

)

1()1()1(n

n

x

x x

x x

x +

+++

++

倒序相加法：

例1 sin 21°+ sin 22°+ sin 23°+……+ sin 288°+ sin 289°的值

例2 设数列{}n a 是公差为d ，且首项为d a =0的等差数列，求和：

n

n n n n n C a C a C a S +++=+ 1

10

01

解：因为n

n n n n n C a C a C a S +++=+ 11001 （1）

01

11n n n

n n n n n C a C a C a S +++=--+ （2）

（1）+（2）得

01101102()()()n

n n n n n n n S a a C a a C a a C +-∴=++++++

0100()()()2n n

n n n n n a a C C C a a =++++=+

1

10()2

n n n S a a -+∴=+?

例3设2

21)(+

=

x

x f ，利用课本推导等差数列的前n 项和公式的方法，可求得

f(-5)+ f(-4)+…+ f(5)+ f(6)的值。