【高一年级竞赛数学数论专题讲义：5.素因数分解

高一竞赛数论专题 5.素因数分解

算术基本定理：设整数1a >,那么12

.s a p p p =其中j p 是素数,在不计次序下唯一.把12

.s a p p p =中相

同的素数合并,则得到标准素因数分解式12121212, ,,,,0.n

n n n a p p p p p p αα

α

ααα=<<

<≥

正因数个数定理：设|()1d n

n τ=∑表示大于1的整数n 的所有正因数的个数,若1212s

s n p p p ααα=,其中j p 是

素数,则1

()(1).s

i

i n τα==+∏

正因数和定理：设|()d n

n d σ=

∑表示大于1的整数n 的所有正因数之和,若1

2

1

2s s n p

p p ααα=,其中j p 是素

数,则111

().1i s

i i i

p n p ασ+=-=-∏

1.设,a b 是非零的整数,证明：(,)[,].a b a b ab =

2.设n 是正整数,证明：!n 的素因数分解式为(,)

!,p n p n

n p

α≤=∏其中p 是素数,1(,).j j n p n p α∞

=??

=????

∑

3.求2017!的十进制表示式中末尾的零的个数.

4.设n 为正整数.证明：若n 的所有正因数之和为2的整数次幂,则这些正因数的个数也为2的整数次幂.

5.设整数3n ≥,不超过n 的素数共有k 个.设A 为集合{2,3,,}n 的子集,A 的元素个数小于,k 且A 中任意

一个数不是另一个数的倍数.证明存在集合{2,3,,}n 的k 元子集,B 使得B 中任意一个数也不是另一个

数的倍数,且B 包含.A

高一竞赛数论专题 5.素因数分解解答

算术基本定理：设整数1a >,那么12

.s a p p p =其中j p 是素数,在不计次序下唯一.把12

.s a p p p =中相

同的素数合并,则得到标准素因数分解式12121212, ,,,,0.n

n n n a p p p p p p αα

α

ααα=<<

<≥

正因数个数定理：设|()1d n

n τ=∑表示大于1的整数n 的所有正因数的个数,若1212s

s n p p p ααα=,其中j p 是

素数,则1

()(1).s

i

i n τα==+∏

正因数和定理：设|()d n

n d σ=

∑表示大于1的整数n 的所有正因数之和,若1

2

1

2s s n p

p p ααα=,其中j p 是素

数,则111

().1i s

i i i

p n p ασ+=-=-∏