圆周率π的计算及简单应用

一、π的来历

π即圆周率，定义为：圆的周长与直径之比，是一个常数。通常用希腊字母π来表示。英国人琼斯在1706年首次创用π代表圆周率。但是，他的符号并未立刻被采用，后来，欧拉予以提倡，才渐渐被推广开来。此后π才成为圆周率的专用符号。π的历史是饶有趣味的。对π的研究程度，在一定程度上反映一个地区和时代的数学水平，。

实际上，在古代长期使用π＝３这个数值，古巴比伦、古印度、古中国都是如此。直到公元前２世纪，中国的《周髀算经》里已有周三径一的记载。后来东汉的数学家又将π值改为约为3.16。然而直正使圆周率的计算建立在科学的基础上，应归功于阿基米德。他用几何方法证明了圆周率与圆直径之比小于22/7而大于223/71，为此专门写了一篇论文《圆的度量》，同时这也是第一次在科学中创用上、下界来确定近似值。但是第一次用正确方法计算π值的，是中国魏晋时期的刘徽，在公元263年，他首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法即穷竭法，算得π值约为 3.14。在我国称这种方法为割圆术。直到1200年后，西方人才找到了类似的方法。后人为纪念刘徽的贡献，也将圆周率称为徽率。

公元460年，南朝的祖冲之利用刘徽的割圆术，把π值算到小点后第七位即3.1415926，这个具有七位小数的圆周率在当时是世界首次。同时，祖冲之还找到了两个分数，分别是22/7和355/113。用

分数来代替π，极大地简化了计算，这种思想比西方也早一千多年。

由中国南朝数学家祖冲之计算出的圆周率，保持了一千多年的世界记录。直到在1596年，才由荷兰数学家卢道夫打破了。他把π值推到小数点后第15位小数，后来又推到了第35位。人们在他1610年去世后，为了纪念他的这项成就，为此在他的墓碑上刻上：

3.14159265358979323846264338327950288这个数，从此也把它称为"卢道夫数"。

之后，随着数学的发展，尤其是微积分的发现，西方数学家计算π的工作，有了飞速的进展。1948年1月，费格森与雷思奇合作，算出了808位小数的π值。π的人工计算时代随着电子计算机的问世而宣告结束。在20世纪50年代，人们借助计算机算得了10万位小数的π，在70年代又突破这个记录，算到了150万位。到90年代初，用新的计算方法，算到的π值已到4.8亿位。至2010年最新记录是2000万亿。π的计算经历了几千年的历史，它的每一次重大进步，都标志着算法和技术的革新。

二、π的定义

圆周率（Pi）是圆周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。π也等于圆形之面积与半径平方之比。因此，π是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。在分析学里，π可以严格地定义为满足0

x的

sin=

最小正实数x。

圆周率（π）一般定义为一个圆的周长（C ）与直径（d ）的比：d

C =π。由图形的相似性可以知道对于任何的图形的d C 的值都相等。这样就定义出了常数π。但是也可以换一个角度--从求圆面积和半径的比来定义。现说明如下：

任取半径为R 的圆，画出它的内接正n 边形，并把多边形的面积记作n S 。显然，当n 无限增加时，内接正n 边形周长n p 接近于圆周长C ，n p 接近于圆周长；同时，n S 也接近一个确定值。这个值叫圆的面积A 。也就是说当n 无限增加C 时，内接正多边形面积组成的无穷数列,...,...,,543n S S S S 的极限是A 。

现在证明：圆周率π又是A 和R 的平方的比，即（1）2R A π=成立。事实上，这时R D 2=,而n a n ,和园内接正n 2边形的面积n S 2之间，有

2/)2(2n n nRa S =和n n na p =)3(的关系。其中（3）成立是显然的，下面证

明（2）也成立。

如左图画⊙O 的内接正n 2边形并连接它的中心

和顶点，这n 2条连线就把它分成n 2个三角形。把

其中相邻的两个三角形记作,,OCB OAC ??这时，AB

与AC 垂直相交于D ，于是有（4）AOB ?的面积2/B A CD /?=。而=AB n a 是圆内接正n 边形的一边，又R OC CD OD ==+。因此，从（4）和（5）就可以得到OAC ?)6(的面积OCB ?+的面积AOB ?=的面积ACB ?+的面

积2/2/)(n Ra B

A CD OD =/?+=。

而圆内接正n 2边形是由n 个这样的相邻三角形组OCB OAC ??,拼成的，因此由（6）就得到（2）。

从（2）和（3）就可得到2/)7(2R p S n n =。

当n 无限增加时，n S 2趋向于A ，n p 趋向于C ，所以)7(的两边就分别趋向于A 和2/CR ，而,2/2/2R DR CR ππ==这就得到)1(。

这样就从另外一个角度——用圆面积来定义了π。

三、π的性质

π的性质怎样？这是人们研究了几千年的的问题。

关圆周率的性质及人们对它进行研究的历史，不同的数学家研究方法各不相同。在美国数学史家达维德.尤金.史密斯的著作《数论尺规作图及周率》一书中，将π的历史分为以下三个时代：

（1）自古时至17世纪中期，这个时代大都是求一个正方形等于一个已知圆等的努力，或用目前的初等教科书中所描述的那种纯粹几何方法，来求π的近似值。

（2）自微积分起，到德国数学家兰伯特证明π是无理数为止，即约17世纪60年代至18世纪60年代的100年，这一时代的特色，是解析方法替代了古代的几何方法；并认为其著名的研究者为牛顿、莱布尼兹、詹姆斯.伯努利和约翰.伯努利、欧拉等。这个时代求π值的方法，不再用古代的“穷竭法”，而是用无穷级数及无穷乘积等。

（3）从18世纪中期至20世纪，其特色是探求π的性质，即是否为有理数、代数数、超越数等。

下面要说的是π的性质，指的是π是一个什么样的数。例如，它是整数还是分数？是常数还是变量？是有理数还是无理数？等等。

古希腊数学家欧几里得在《几何原本》一书中，就提到了π是常数。中国公元前的古书《墨子》中也有“小圆之圆与大圆之圆同”的记载；《周髀算经》中也有“径一而周三”的记载，也认为π是一个常数。

虽然古人一直笃信π是一个常数，而且知道它的近似值，但其准确值却无人知晓。多数国家的古人最早都认为π是整数3.在中国，出上述《周髀算经》等书籍之外，大约在1世纪的《九章算术》中也是这样认为。在古希腊、巴比伦、埃及、印度、日本中关于数学的史料中也是同样的记载。例如，希伯来人的《两个编年史》中就有3

π的

≈

记载。

这种3

π的认识，大致持续到刘徽之前，即约3世纪。不过古希

≈

腊是一个例外--因为阿基米德在公元前200多年就科学地求得实用

而较准确的π值3.14.

无理数最早由古希腊数学家毕达哥拉斯学派中的西帕索斯发现。他计算出边长为1的正方形的对角线长2。但是2不能用任何两个数的比来表示即不是有理数，也就是是无限不循环小数。在当时叫“没有比”或“不能表示”，后来称之为“不可通约量”。14世纪。数学家布拉德瓦丁最早采用“无理”一词后，至十六七世纪，欧洲人逐渐将无理数纳入运算。荷兰科学家西蒙.斯蒂文、两位英国数学家沃利斯和哈利奥特、法国数学家笛卡尔等都承认无理数。

无理数的本质特征是“无限不循环”，由于在各种形式的π的级

数展开式中，始终没有找到一个递减的几何级数，也一直没有找到π的“莱布尼兹级数和”的公式，对π值的“马拉松”式的计算竞赛中也一直没有发现任何循环现象。于是，认为π可能是有理数的希望逐渐消失。事实上，早在十五六世纪，印度数学家尼拉斯塔.萨玛亚吉就确信π是无理数了。此后在超越数时期，人们又猜测π是超越数，在1822年，林德曼在连续函数的意义下，用欧拉公式01=+πi e ，终于证明了π是超越数。下面分别给出π是无理数好超越数的证明。

π是无理数的证明

苏格兰数学家詹姆斯.格雷戈里是第一个企图证明π是无理数的人。不过，他的巧妙的证明不很严格，因而不太令人满意。

此外，法国数学家托马斯.范特.德.拉尼也在17世纪末对π的物理性做出过推断，这一推断在半个世纪后，有兰伯特证明。

1737年，欧拉给出了用无限连分数计算平方根的一般方法，并将自然对数的底展开成三种无限连分数。

1761年，兰伯特向柏林科学院提交论文，初步证明了π也是无理数。他用欧拉的方法，并从欧拉发现的 ...141101611121+

+++=-e 和数学家布隆克子爵发现的

(25232114)

22++++=π 入手，先得到后来以他姓氏命名的两个连分式：

.../51/31/11tan ...,/101/61/2111x

x x x x x x e e x x --++==+-。

兰伯特研究了两个式子的性质之后，得到以下两个定理。定理1 如果x 是0以外的有理数，则x tan 必然是无理数；反之，如果x tan 是0以外的有理数，则x 必然是无理数。

定理2 如果x 是0以外的有理数，则x e 必然是无理数；反之，如果x e 为1以外的有理数，则x 必然为无理数。

最后，他假设4/π=x ，则;1tan =x 因为1是有理数，所以由定理1知道，4/π必然是无理数，因而π也必然是无理数。

不过，兰伯特的上述证明并不十分严格。下面给出π是无理数的两种证明方法。

证法一：

首先给出π一个定义。

定义 {}0cos ,0m in 2=>=ααπ，即π是使0cos =α的最小正数的两倍。按这个定义，利用定积分容易得到半径为r 的圆的面积为r π2，因此这样的定义是合理的。下面证明π是无理数。

利用反证法。设π是有理数，则π2也是有理数，于是存在正整数p ，

q ，使得q p =2

π。由于),(0!∞→→n n p n

因此存在正整数N 使得1!

)1()(N X x x f N

N -= 则f 满足

,...)2,1)(1()1()(),1()()()(=--=-=k x f x f x f x f k k k

展开f 的表达式得

∑==N

n n n x C N x f 2!1)(。对其求导k 次)20(N k ≤≤得

{}∑=-+--=N k N n k n n k x C k n n n N x f 2,max )()1)...(1(1)(。

若,0N k ≤≤显然Z f k ∈)0()(，因此由)1()1()()()(x f x f k k k --=，知Z f k ∈)1()(；若N k N 2≤≤,显然Z C N k f k k ∈=

!!)0()(,因此显然Z f k ∈)1()(。令∑=--=N j j j j N j x f q p x F 0

)2(),()1()(则利用Z f Z f k k ∈∈)1(,)0()(得到

Z F Z F ∈∈)1(,)0(。进一步计算得

()()()1()()1()()

1()()1()()1()()(211)22(0)2(11)2(11010)2(0

2)22(2)(x f p x f q p x f q x f q p x f q p x f q p x f q p x F x F N N N N N N j j j j N j j j N j j N j N j j j j N j N j j j j N j

n πππ=+-=-+-=-+-=+-++=-+--+=--=-=+-∑∑∑∑

其中利用了f 是N 2次多项式，因此0)()22(=+x f N 。

再令,cos )(sin )()('x x F x x F x g πππ-=则

x x f p x x F x F x g N ππππsin )(sin )]()([)(22'''=+=。且)]0()1([1

)0()1(g g F F -=+π。利用Lagrange 中值定理得，存在)1,0(∈ξ，使得 πξξπξπsin )()(1)0()1('f p g F F N ==

+。由f 的定义可知!1)(0N f <<ξ，于是!

1sin )(0N f <<πξξ，因此 1!

sin )()0()1(0<<=+

是无理数。

证法二：

定理设,,,n b a 为正整数，令,!

)()(n bx a x x f n

n -=则有（1）)()(x f x b a f =-；

（2）当b

a x x ==,0时，)20)(()(n k x f k ≤≤取值为整数；

（3）假设π是有理数，即b a b a ,,=π为即约正整数，则?π0sin )(xdx

x f 为整数，由此可知π不可能是有理数。

证明（1）直接验算可得

)(!)(!)()(1!)]([)()(x f n x bx a n x b bx a b n x b a b a x b a x b a f n n n

n n n n =-=--=---=-；（2）可由（1）得

;2...,2,1,)1)(()0(;2,...2,1,)1).(()()()()()(n k b

a f f n k x

b a f x f k k k k k k =-==--=显然0)0()(==f b

a f ，由于0=x 是)(x f 的n 阶零点，于是0)()0()()(==b

a f f k k ，1,...2,1-=n k ；利用∑=-+-=n i n n i i n a x

b C n x f 011)(!1)(，当n i ,...1,0=时，1)1()!()(!

1)0(-++-=n i i n n a i n b C n f 为正整数，所以)0()(k f 和)()(b a f k 均为整数0)(),2,...,1,0()12(==+x f n k n ；

（3）假设π是有理数，即b

a =π，其中a,

b 为即约正整数。用分部积分法并由（2）的结果，即知?π0sin )(xdx x f 为整数，事

实上，由于)(sin ),0(sin ),(),0()()()()(ππk k k k f f )2,...,2,1(n k =均为整数，且0)()12(=+x f n ，经过分部积分得：

)]cos )(()sin )((...))(sin ())(sin ([)1(]sin )(..0))(sin (0))(sin ([)1(]))(sin (0))(sin (0))(sin ([)1(]))(sin (0)

)(sin ([)1()(sin )1)((sin )(2)12()22(')12(0)2()12(')12(0)12('')12(')12(0)12(')12(00

)2(π

ππ

πx x f x x f x x f x x f xdx x f x x f x x f dx x x f x x f x x f dx x x f x x f dx x x f xdx x f n n n n n n n n n n n n n n n n n n -+-++--=++--=+--=--=-=----------?????，由此可知?π0sin )(xdx x f 为整数；

另一方面，当b

a x <<0时，有

n n n n n n n n b

a n

b a b n x b a x b n x b a b x n x f )4(!1)4(!1)]([!1)(!1)(2

≤≤-=-=，即n b a n x f )4(!1)(02

<<，于是)(0)4(!sin )(002∞→→≤

0sin )(xdx x f 不是整数，这个矛盾说明了π不是有理数，因此π是无

理数。

认识了π是无理数，从理论上彻底解决了求π精确值的问题。从理论上讲，人们尽管可以求得它准确到任意有限位小数的值，但实际上永远不可能得到准确值--有无限多位。

π是超越数的证明虽然在1822年，林德曼给出了π是超越数的证明，但其证明相当冗长。后来很多数学家对这个证明进行了简化并且给出了初等证明。下面用反证法来说明。

定理 π是超越数

证明：若π是代数数，则πθi =也是代数数，以n θθθθ,...,21=表示θ

的极小多项式的全部零点，记)(θden m =，由1-=θe ，则有

0)1)...(1)(1(21=+++n e e e θθθ （1）

（1）式也可以写成n 2个βe 之和，其中

n n θεθεβ++=...11， i ε为0或1.

假设这些β有l 个不为零，记l αα,...,1，那么（1）式写为

l q e e q n l

-==+++2,0...1αα。设p 为充分大的素数，含多项式)(x f 为

p l p p lp x x x m x f )...()()(11αα--=-

和

∑∑?==-==l k l k u k k k du u f e I J 110)()(ααα

四、π的计算

π值是多少和它是怎样被计算出来的？国内外关于π值计算方面的论著颇丰，但归纳起来主要有五种：割圆术、分析法、椭圆积分法、概率模型法。下面就分别以这四种方法来计算π值。

割圆术

古希腊数学家、物理学家阿基米德是割圆术的鼻祖，因此介绍阿基米德的割圆方法，其他割圆方法都可以从此出得来。

阿基米德割圆术的数学思想是：圆周长介于这个圆的内接多边形和外切多边形之间，当这些多边形的边数增加时，圆周长和它们的周长差相差越小；因此，通过计算这些多边形的周长来接近圆的周长--

只要多边形的边数增多到某种程度，就能得到符合精确度的圆周长进而得到一定精度的π值。

如图所示，o 为圆心，AB 为⊙O 的外

切正6边形一边的一半，OA 为半径，

∠AOB =`o 30,O 是角∠AOB 的角平分线。显然，此时有1532653,2>==AB OA AB OB 。把这两个式子相加，就得到153571>+AB AB OA 。又AC

CB AC OA OB OA AC CB OA OB +=+=,或AC OA AB OB OA =+。该式子与前面的153571>+AB AB OA 比较，就得到153

571>AC OA 。从这个不等式出发，立即可以推出圆外切正6边形、正12边形的周长与直径之比的上界。同样，计算圆内接正多边形的边长，可以确定比值的下界。利用比例关系和勾股定理重复上述过程，一直算到96边形，最后得到

<<412017633671223直径边形周长96外切直径边形周长96内接正<<π7222

1467314688<<。由此可得出7/2271/223<<π。事实上采用较简单的7/22，而不取71/223。

阿基米德首次科学而准确地确定7/2271/223<<π。取π两位实用值为3.14或22/7。从理论上指出了一种可以求得任意准确度的π值的计算方法——-割圆术即“古典方法”。且第一次在科学中提出误差估计及其准确度和如何确定的问题，即用上下界确定近似值；这与其后的祖冲之确定π值的计算方法有异曲同工之妙。

分析法

随着微积分的发现，数学家们对π值的计算方法的改进也在不断进行，人们开始摆脱由阿基米德开创的“割圆术”--几何方法，而采用分析法来计算π值。下面先来介绍分析法计算π值的简要历史，然后提出一种易于理解的计算方式。

1650年，英国数学家沃利斯利用类比、归纳和极限的方法，从计算圆的面积入手，得出...

55331...664424??????????=π

，载于他的著作《无穷算述》中。这是分析法计算π值正式诞生前的“前奏曲”。1671年，詹姆斯.格雷戈里公开他发现的公式：

)11...(9

753arctan 9

753≤<--+-+-=x x x x x x x 。但其没有认识到发现的上述公式已经为计算π值开辟了一个新的时代。如果设式子中的1=x ，就可以得到 (9)

171513114-+-+-=π。由于是莱布尼兹发现这个式子，后人把它称之为“莱布尼兹公式”或“莱布尼兹级数和”。但是，用莱布尼兹公式算π，则收敛太慢，工作量太大。例如，要求出3.14要算628项。而要求出π值的第六位小数，就不多不少正好取6102?项。由于工作繁杂，所以很少有人实际用这种方法去计算π值。

1676年，微积分的发明者牛顿，发现了一个反正弦函数的展开式：

...7

64253542332arcsin 7

52+????+??+?+=x x x x x 。

他设式子中的2/1=x ，就得到

...,2

764253254232321216753+?????+???+??+=π

并用他计算出π的14位小数。

由于用上述式子计算值效率并不高，所以牛顿的这个值还不如早于他的古典方法。虽然牛顿计算π的位数不多，但此时由他和莱布尼兹创立的微积分正开始显示强大的生命力——他的计算是用分析法算π值的第一次小试牛刀。

1699年英国数学家阿伯拉罕.夏普假设格雷戈里公式公式里的3/1=x ，就得到夏普公式：

...)9

317315313311(3/16432-?+?-?+?-=π

。他用这个公式将π算到小数点后72位，其中71位正确。在夏普之前分析法在提高π值位数上并无辉煌战果。69年后的夏普用分析法把π值增加到72位，才开始了分析法大规模计算π值的实战历程。其后令人眼花缭乱的各种算π值的分析法如雨后春笋。这一漫长历程一

直持续了近300年--知道20世纪50年代之后。

1789年威加利用欧拉发现的公式：

1arctan 31arctan 2793arctan 271arctan 54+=+=π。将π值计算到143位。

1844年德国汉堡的数学家约翰.马丁.扎卡赖亚斯.达什用许尔茨.冯.斯特拉斯尼茨基教授发现的公式：

1arctan 701arctan 51arctan 44++=π 将π值计算到后205位。

1948年弗格森利用高斯发现的公式： 19851arctan 201arctan 41arctan 34++=π。将π值计算到后809位。

1949年6月，美国数学家列维.史密斯和雷恩奇，算出了1121位π值，创造了人工算π值的最高纪录。

随后随着科学技术的发展，尤其是电子计算机的出现，“人工”算π的时代宣告结束，电子计算机在计算的准确性和速度方面比人工计算快乐许多。在1973年，法国数学家让.吉劳德和同事马丁.玻叶等，用CDC-7600型机花去23小时18分钟，将π值算到小数点后1001250位，登上100万高峰。直到2010年利用“云计算”利用23天已经达到2000万亿位。

下面从分析法中具体举例如下：

例一：利用沃利斯公式

Wallis 公式几种表达式如下：

(1)

或

(2)

或

(3)

下面证明这个公式：

令

(4)

利用分部积分法

于是有关系式

(5)

从上式可知I0=1，I1=π/4.根据这两个初值条件有

(6)

或者

(7)其中m=0,1,2,...而由(7)式也可知

(8)

将(9)式代入(8)式

即

(9)

其中

由式(9)可知W m>0且有上限，而

说明

W随着m的增大递增，所以如下极限存在，且由夹逼定理得m

其值

Wallis 公式得证。

例二显然Wallis 公式比割圆术要易于计算得多，且简单易懂，但是Wallis 公式在形势上仍显复杂，且全部乘除算法也难以提高计算机计算效率。在计算机上计算最好是只有乘除项之和，如：

在(4)式中，实际上令?cos =x ，则有??d dx sin =.式(4)变为

如果令?sin =x ，则只变换形式不影响结果。可以据此设想利用其它的三角函数也能得到同样的结果。令

(10)

注意这里的积分上限改成了4/π，因为4/2/πθπ>>的时候1tan >θ，将导致积分发散。

对(10)式做变换

于是有关系式

(11)

而初值4/0π=T ，观察规律有

...

总结规律得

(12)

其中...3,2,1=m 而从式(10)中可知

结合(12)式，得到

(13)

或者

(14)

显然利用这种方法在形式上要比利用Wallis 简单得多，计算机执行运算的时候也能更加快速。

例三椭圆积分法

椭圆积分法建立在椭圆积分变换的理论上，始作俑者是印度数学家拉马努金。他在1914年“模方程和π的逼近”一文中，给出了14个计算π的公式。其中之一，是关于椭圆积分变换理论和π的快速逼近之间，联系紧密的“拉马努金公式”（“LM ”）

)396263901103(])!()!4([9801221

404n n n n n ??=∑∞=π。用“LM ”每计算一项就可以得到8位的十进制精度，“LM ”的一个有趣的“变种”是

)99263901103()!()4/3()2/1()4/1(221

2403+∞

=+?=∑n n n n n n n π，这里)(n c 是递增阶乘，即)1)...(2)(1()(-+++=n c c c c c n 。

不过，拉马努金没有给出公式的哦证明，仅仅给出了一些不充分的解释。直到1987年，才有加拿大的波尔稳兄弟给出证明。只取“LM ”的前两项就有

)396

1263901103(])!1()!14([980122)3960263901103(])!0()!04([9801221

144044???+???+?+???=π，

关于圆周率的计算

关于圆周率的计算祖冲之在数学方面的突出贡献是关于圆周率的计算，确定了相当精确的圆周率值。中国古代最初采用的圆周率是“周三径一”，也就是说，π＝3。这个数值与当时文化发达的其他国家所用的圆周率相同。但这个数值非常粗疏，用它计算会造成很大的误差。随着生产和科学的发展，π＝3 就越来越不能满足精确计算的要求。因此，中外数学家都开始探索圆周率的算法和推求比较精确的圆周率值。在中国，据公元一世纪初制造的新莽嘉量斛（亦称律嘉量斛，王莽铜斛，是一种圆柱形标准量器，现存）推算，它所取的圆周率是3.1547 。二世纪初，东汉天文学家张衡在《灵宪》中取用π＝≈3.1466，又在球体积计算中取用π≈3.1622。三国时东吴天文学家王蕃在浑仪论说中取用π≈3.1556。以上这些圆周率近似值，比起古率“周三径一”，精确度有所提高，其中π＝ 10还是世界上最早的记录。但这些数值大多是经验结果，并没有可靠的理论依据。在这方面最先取得突破性进展的是魏晋之际的数学家刘徽，他在《九章算术注》中创立了“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法。他所得到的圆周率值π＝3.14 与π＝＝3.1416，都很精确，在当时世界上是很先进的，至今仍在经常使用。继刘徽之后，祖冲之则将圆周率推算到更加精确的程度。据《隋书·律历志》记载，祖冲之确定了π的不足近似值 3.1415926 和过剩近似值 3.1415927，π的真值在这两个近似值之间，即 3.1415926＜π＜3.1415927 精确到小数 7 位。这是当时世界上最先进的数学成果，直到约一千年后，才为 15 世纪中亚数学家阿尔·卡西（Al—? kash1）和16世纪法国数学家韦达（F.Vièta，1540—1603）所超过。关于他得到这两个数值的方法，史无明载，一般认为是基于刘徽割圆术。通过现代计算验证，如果按照割圆术计算，要得到小数 7 位准确的圆周率值，必须求出圆内接正12288 边形的边长和 24576边形的面积，这样，就要对9位数进行上百次加减乘除和开方运算，还要选择适当的有效数字，保证准确的误差范围。对于用算筹计算的古代数学家来说，这绝不是一件轻而易举的事情，只有掌握纯熟的理论和技巧，并具备踏踏实实和一丝不苟的研究精神，才能取得这样的杰出成就。祖冲之的这项记录在中国也保持了一千多年。中国古代数学家和天文学家还往往用分数表示常量的近似值。为此，祖冲之确定了π的两个分数形式的近似值：约率π＝22/7≈3.14 ，密率π＝355/113 ≈3.1415929。这两个数值都是π的渐近分数。刘宋天文学家何承天及古希腊阿基米德等都已用到过。密率355/113 是π的分母小于10000的最佳近似分数，则为祖冲之首创。关于密率355/113是如何得到的，今人有“调日法”术，连分数法，解同余式或不定方程，割圆术等种种推测，迄今尚无定论。在欧洲，π＝ 355/113 是16世纪由德国数学家奥托（V.Otto，1550（？）—1605）和荷兰工程师安托尼兹（A.Anthonisz，1527—1607）分别得到，后通称“安托尼兹率”，但这已是祖冲之以后一千多年的事情了。自从我国古代灿烂的科学文化逐渐得到世界公认以来，一些学者就建议把π＝ 355 称为“祖率”，以纪念祖冲之的杰出贡献。关于球的体积公式及其证明：祖冲之的另一项重要数学成就是关于球的体积公式及其证明。各种几何体的体积计算是古代几何学中的基本内容。《九章算术》商功章已经正确地解决了

圆周率的计算方法

圆周率的计算方法古人计算圆周率，一般是用割圆法。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。Archimedes用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；Ludolph Van Ceulen用正262边形得到了35位精度。这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。下面挑选一些经典的常用公式加以介绍。除了这些经典公式外，还有很多其他公式和由这些经典公式衍生出来的公式，就不一一列举了。 ?Machin公式这个公式由英国天文学教授John Machin于1706年发现。他利用这个公式计算到了100位的圆周率。Machin公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。 Machin.c 源程序还有很多类似于Machin公式的反正切公式。在所有这些公式中，Machin公式似乎是最快的了。虽然如此，如果要计算更多的位数，比如几千万位，Machin 公式就力不从心了。下面介绍的算法，在PC机上计算大约一天时间，就可以得到圆周率的过亿位的精度。这些算法用程序实现起来比较复杂。因为计算过程中涉及两个大数的乘除运算，要用FFT(Fast Fourier Transform)算法。FFT可以将两个大数的乘除运算时间由O(n2)缩短为O(nlog(n))。关于FFT算法的具体实现和源程序，请参考Xavier Gourdon的主页 ?Ramanujan公式 1914年，印度数学家Srinivasa Ramanujan在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式，这是其中之一。这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。

常用数学公式

常用数学公式大全 1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 2、1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数 3、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度 4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价 5、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率 6、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 7、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数 8、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 9、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数小学数学图形计算公式 1、正方形C周长S面积a边长周长＝边长×4C=4a面积=边长×边长S=a×a 2、正方体V:体积a:棱长表面积=棱长×棱长×6S表=a×a×6体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3、长方形 C周长S面积a边长周长=(长+宽)×2C=2(a+b) 面积=长×宽S=ab 4、长方体 V:体积s:面积a:长b:宽h:高 (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高V=abh 5三角形s面积a底h高面积=底×高÷2s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高 6平行四边形 s面积a底h高面积=底×高s=ah 7梯形 s面积a上底b下底h高面积=(上底+下底)×高÷2s=(a+b)×h÷2 8圆形 S面积C周长∏d=直径r=半径 (1)周长=直径×∏=2×∏×半径C=∏d=2∏r (2)面积=半径×半径×∏ 9圆柱体 v:体积h:高s;底面积r:底面半径c:底面周长 (1)侧面积=底面周长×高 (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高（4）体积＝侧面积÷2×半径 10圆锥体 v:体积h:高s;底面积r:底面半径体积=底面积×高÷3 总数÷总份数＝平均数

圆周率计算公式

圆周率计算公式Revised on November 25, 2020

12 π= 22 π= 32 π= 42 π= 52 π= 62 π= 72 π= 82 π= 92 π= 102 π=314 112 π= 122 π= 132 π= 142 π= 152 π= 162 π= 172 π= 182 π= 192 π= 202 π=1256 212 π= 222 π= 232 π= 242 π= 252 π= 262 π= 272 π= 282 π= 292 π= 302 π=2826 312 π= 322 π= 332 π= 342 π= 352 π= 362 π= 372 π= 382 π= 392 π= 402 π=5024 412 π= 422 π= 432 π= 442 π=

452 π= 462 π= 472 π= 482 π= 492 π= 502 π=7850 512 π= 522 π= 532 π= 542 π= 552 π= 562 π= 572 π= 582 π= 592 π= 602 π=11304 612 π= 622 π= 632 π= 642 π= 652 π= 662 π= 672 π= 682 π= 692 π= 702 π=15386 712 π= 722 π= 732 π= 742 π= 752 π= 762 π= 772 π= 782 π= 792 π= 802 π= 812 π= 822 π= 832 π= 842 π= 852 π= 862 π= 872 π= 882 π=

892 π= 902 π=25434 912 π= 922 π= 932 π= 942 π= 952 π= 962 π= 972 π= 982 π= 992 π= 1002 π=31400 12~1002 12=1 22=4 32=9 42=16 52=25 62=36 72=49 82=64 92=81 102=100 112=121 122=144 132=169 142=196 152=225 162=256 172=289 182=324 192=361 202=400 212=441 222=484 232=529 242=576 252=625 262=676 272=729 282=784 292=841 302=900 312=961 322=1024 332=1089 342=1156 352=1225 362=1296 372=1396 382=1444 392=1521 402=1600 412=1681 422=1764 432=1849 442=1936 452=2025

圆周率计算表(π取3.14)

3.14× 1=3.14 3.14× 2=6.28 3.14 × 3=9.42 3.14 × 4=12.56 3.14×5=15.7 3.14×6=18.84 3.14×7=21.98 3.14×8=25.12 3.14×9=28.26 3.14×10=31.4 3.14×11=3 4.54 3.14×12=37.68 3.14×13=40.82 3.14×14=43.96 3.14×15=47.1 3.14×16=50.24 3.14×17=53.38 3.14×18=56.52 3.14×19=59.66 3.14×20=62.8 3.14×21=6 5.94 3.14×22=69.08 3.14×23=72.22 3.14×24=75.36 3.14×25=78.5 3.14×26=81.64 3.14×27=8 4.78 3.14×28=87.92 3.14×29=91.06 3.14×30=9 4.2 3.14×31=97.34 3.14×32=100.48 3.14×33=103.62 3.14×34=106.76 3.14×35=109.9 3.14×36=113.04 3.14×37=116.18 3.14×38=119.32 3.14×39=122.46 3.14×40=125.6 3.14×41=128.74 3.14×42=131.88 3.14×43=135.02 3.14×44=138.16 3.14×45=141.3 3.14×46=14 4.44 3.14×47=147.58 3.14×48=150.72 3.14×49=153.86 3.14×50=157 3.14×51=160.14 3.14×52=163.28 3.14×53=166.42 3.14×54=169.56 3.14×55=172.7 3.14×56=175.84 3.14×57=178.98 3.14×58=182.12 3.14×59=185.26 3.14×60=188.4 3.14×61=191.54 3.14×62=19 4.68 3.14×63=197.82 3.14×64=200.96 3.14×65=20 4.1 3.14×66=207.24 3.14×67=210.38 3.14×68=213.52 3.14×69=216.66 3.14×70=219.8 3.14×71=222.94 3.14×72=226.08 3.14×73=229.22 3.14×74=232.36 3.14×75=235.5 3.14×76=238.64 3.14×77=241.78 3.14×78=24 4.92 3.14×79=248.06 3.14×80=251.2 3.14×81=25 4.34 3.14×82=257.48 3.14×83=260.62 3.14×84=263.76 3.14×85=266.9 3.14×86=270.04 3.14×87=273.18 3.14×88=276.32 3.14×89=279.46 3.14×90=282.6 3.14×91=285.74 3.14×92=288.88 3.14×93=292.02 3.14×94=295.16 3.14×95=298.3 3.14×96=301.44 3.14×97=30 4.58 3.14×98=307.72 3.14×99=310.86 3.14×100=314

十秒速记圆周率小数点后30位

十秒速记圆周率小数点后30位商店要死要活就要遛 3.1415926 我傻我吧就去救 5358979 傻儿傻爸死脑儿 3238462 老师算算不傻啊 6433832 吃酒！ 79 关于圆周率的计算历史圆周率（π）是一个常数（约等于3.1415926），是代表圆周长和直径的比值。它是一个无理数，即是一个无限不循环小数。中国古算书《周髀算经》（约公元前2世纪）中有“径一而周三”的记载，也认为圆周率是常数。第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他在《圆的度量》（公元前3世纪）中用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，从正六边形开始，逐次加倍计算到正96边形，得到（3+（10/71））<π<（3+（1/7）），开创了圆周率计算的几何方法（亦称古典方法，或阿基米德方法），得出精确到小数点后两位的π值。中国数学家刘徽在注释《九章算术》（263年）时只用圆内接正多边形就求得π的近似值，也得出精确到两位小数的π值，他的方法被后人称为割圆术。他用割圆术一直算到圆内接正192边形，得出π≈根号10（约为3.14）。南北朝时代著名数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的π值（约5世纪下半叶），给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率355/113和约率22/7。他的辉煌成就比欧洲至少早了1000年。其中的密率在西方直到1573才由德国人奥托得到，1625年发表于荷兰工程师安托尼斯的著作中，欧洲不知道是祖冲之先知道密率的，将密率错误的称之为安托尼斯率。阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率17位精确小数值，打破祖冲之保持近千年的纪录。德国数学家柯伦于1596年将π值算到20位小数值，后投入毕生精力，于1610年算到小数后35位数，该数值被用他的名字称为鲁道夫数。

圆周率的计算历程及意义

圆周率π的计算历程及意义李毫伟数学科学学院数学与应用数学学号:080412047 指导老师:王众杰摘要: 圆周率π这个数,从有文字记载的历史开始,就引起了人们的兴趣.作为一个非常重要的常数,圆周率π最早是出于解决有关圆的计算问题.仅凭这一点,求出它的尽量准确的近似值,就是一个极其迫切的问题了.几千年来作为数学家们的奋斗目标,古今中外的数学家为此献出了自己的智慧和劳动.回顾历史,人类对π的认识过程,反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面.π的研究在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平. 关键词: 圆周率; 几何法; 分析法; 程序 1、实验时期通过实验对π值进行估算,这是计算π的第一个阶段.这种对π值的估算基本上都是以观察或实验为根据,是基于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出来 π=这个数据,最早见于有文字记载的基督教《圣经》的.在古代,实际上长期使用3 中的章节,其上取圆周率π为3.这一段描述的事大约发生在公元前950年前后.其他如巴比伦、印度、中国等也长期使用3这个粗略而简单实用的数值.在我国刘徽之前“圆径一而周三”曾广泛流传.我国第一部《周髀算经》中,就记载有“圆周三径一”这一结论.在我国,木工师傅有两句从古流传下来的口诀:叫做:“周三径一,方五斜七,”意思是说,直径为1的圆,周长大约是3,边长为5的正方形,对角线之长约为7,这正反应了人们早期对π和2这两个无理数的粗略估计.东汉时期,官方还明文规定圆周率取3为计算圆的面积的标准,后人称之为古率. 早期的人们还使用了其它的粗糙方法.如古埃及、古希腊人曾用谷粒摆在圆形上,以数粒数与方形对比的方法取得数值.或用匀重木板锯成圆形和方形以秤量对比取值……由此,得到圆周率π的稍好些的值.如古埃及人应用了约四千年的()≈2984 3.1605.在印度,公元前六世纪,曾取π≈10≈3.162.在我国东、西汉之

数学实验：怎样计算圆周率

怎样计算姓名：学号班级：数学与应用数学4班

实验报告实验目的：自己尝试利用Mathematica软件计算的近似值，并学会计算的近似值的方法。实验环境：Mathematica软件实验基本理论和方法：方法一：数值积分法（单位圆的面积是，只要计算出单位圆的面积也就计算出了的值）其具体内容是：以单位圆的圆心为原点建立直角坐标系，则单位圆在第一象限内的部分G是一个扇形，由曲线（）及坐标轴围成，它的面积是，算出了S的近似值，它的4倍就是的近似值。而怎样计算扇形G的面积S的近似值呢?如图

图一扇形G中，作平行于y轴的直线将x轴上的区间[0，1]（也就是扇形在x轴上的半径）分成n等份（n=20），相应的将扇形G分成n个同样宽度1/n的部分（）。每部分是一个曲边梯形：它的左方、右方的边界是相互平行的直线段，类似于梯形的两底；上方边界是一段曲线，因此称为曲边梯形。如果n很大，每个曲边梯形的上边界可以近似的看成直线段，从而将近似的看成一个梯形来计算它的面积；梯形的高（也就是它的宽度）h=1/n，两条底边的长分别是和，于是这个梯形面积可以作为曲边梯形面积的近似值。所有这些梯形面积的和T就可以作为扇形面积S的近似值： n越大，计算出来的梯形面积之和T就越接近扇形面积S，而4T就越接近的准确值。方法二：泰勒级数法其具体内容是：利用反正切函数的泰勒级数计算。方法三：蒙特卡罗法

其具体内容是：单位正方形的面积=1，只要能够求出扇形G 的面积S在正方形的面积中所占的比例，就能立即得到S，从而得到的值。而求扇形面积在正方形面积中所占的比例k的值，方法是在正方形中随机地投入很多点，使所投的每个点落在正方形中每一个位置的机会均等，看其中有多少个点落在扇形内。将落在扇形内的点的个数m与所投的点的总数n的比可以作为k的近似值。能够产生在区间[0，1]内均匀分布的随机数，在Mathematica中语句是 Random[ ] 产生两个这样的随机数x，y，则以（x，y）为坐标的点就是单位正方形内的一点P，它落在正方形内每一个位置的机会均等。P落在扇形内的充分必要条件是。这样利用随机数来解决数学问题的方法叫蒙特卡罗法。实验内容、步骤及其结果分析：问题1：在方法一中，取n=1000，通过计算图一中扇形面积计算的的近似值。分析：图一中的扇形面积S实际上就是定积分。与有关的定积分很多，比如的定积分

圆周率200位记忆口诀

圆周率的来源和2000位 “圆周率”即圆的周长与其直径之间的比率。关于它的计算问题，历来是中外数学家极感兴趣、孜孜以求的问题。德国的一位数学家曾经说过：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展的一个标志。”我国古代在圆周率的计算方面长期领先于世界水平，这应当归功于魏晋时期数学家刘徽所创立的新方法一一“割圆术”。所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法。这个方法，是刘徽在批判总结了数学史上各种旧的计算方法之后，经过深思熟虑才创造出来的一种崭新的方法。中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”（即）的数值来进行有关圆的计算。但用这个数值进行计算的结果，往往误差很大。正如刘徽所说，用“周三径一”计算出来的圆周长，实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长，其数值要比实际的圆周长小得多。东汉的张衡不满足于这个结果，他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率。这个数值比“周三径一”要好些，但刘徽认为其计算出来的圆周长必然要大于实际的圆周长，也不精确。刘徽以极限思想为指导，提出用“割圆术”来求圆周率，既大胆创新，又严密论证, 从而为圆周率的计算指出了一条科学的道路。在刘徽看来，既然用“周三径一”计算出来的圆周长实际上是圆内接正六边形的周长，与圆周长相差很多；那么我们可以在圆内接正六边形把圆周等分为六条弧的基础上，再继续等分，把每段弧再分割为二，

做出一个圆内接正十二边形，这个正十二边形的周长不就要比正六边形的周长更接近圆周了吗？如果把圆周再继续分割，做成一个圆内接正二十四边形，那么这个正二十四边形的周长必然又比正十二边形的周长更接近圆周。这就表明，越是把圆周分割得细，误差就越少，其内接正多边形的周长就越是接近圆周。如此不断地分割下去，一直到圆周无法再分割为止，也就是到了圆内接正多边形的边数无限多的时候，它的周长就与圆周“合体”而完全一致了。按照这样的思路，刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072 边形，并由此而求得了圆周率为3.14和3.1416这两个近似数值。这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确的数据。刘徽对自己创造的这个“割圆术”新方法非常自信，把它推广到有关圆形计算的各个方面，从而使汉代以来的数学发展大大向前推进了一步。以后到了南北朝时期，祖冲之在刘徽的这一基础上继续努力，终于求得了圆周率：精确到了小数点以后的第七位。在西方，这个成绩是由法国数学家韦达于1593年取得的，比祖冲之要晚了一千一百多年。祖冲之还求得了圆周率的两个分数值，一个是“约率”22/7 ,另一个是“密率” 355/113 ,其中355/113 这个值，在西方是由德国的奥托和荷兰的安东尼兹在16世纪末才得到的，都比祖冲之晚了一千一一百年。刘徽所创立的“割圆术”新方法对中国古代数学发展的重大贡献，历史是永远不会忘记的。答应了大宝，教她点东西，才知道自己才疏学浅，不知道教她什么。偶尔看到巧计圆周率，就截图下来和她一起背，呵呵还真的有效，花三

历史上一些圆周率计算方法

历史上一些圆周率计算方法从古至今，计算圆周率一直挑战着人类的探索能力极限，人们为此提出了效率越来越高的计算方法。可是，你知道多少圆周率的另类计算法呢？今天我们就来和大家分享一下，历史上出现的几个最奇怪的圆周率计算法。功亏一篑的人肉计算记录电脑计算圆周率屡破记录，但新时代对机器的信任和依赖使得人们已经主动放弃了自己手动演算的能力。为了打破手算圆周率的记录，让人们重新拾回对自己演算能力的信心，澳大利亚一个 16 岁的小伙子决定人肉计算圆周率的前 100 位。他挑选了圆周率的一个广义连分数公式，准备了 2000 张草稿纸，并精心地规划了一番。从此开始，他总是把这厚厚的一叠草稿纸带在身边。不管是在家还是在学校，他都端坐在草稿纸面前，不停地挥动着手中的笔。他很快成为了学校的一道风景线——无视上下课铃声，雷打不动地做着枯燥的加法和除法。 2 年后的某堂历史课上，就在他书写最后一个除法竖式时，悲剧发生了：新来的代课老师发现他有小动作，点名叫他起来回答问题。当他无视老师继续埋头苦算时，不明真相的代课老师一怒之下抢过草稿纸，并撕成了无数碎片。最辗转的计算方法在一本统计学读物中，为了告诉读者在日常生活中数字无处不在，作者统计出了自家厕所的卷筒纸平均每多少天换一次，乘以平均每天的大便次数，乘以平均每次大便需要扯下来的卫生纸张数，乘以每一截卫生纸的长度，乘以把一长截卫生纸对折 10 次的厚度，除以 1024 ，除以自动切割机从卷筒纸最外层切到最里层（厚度为 R-r ）的时间，除以切完整个卷筒纸（剩余的 R+r ）还需要的时间，除以切割机移动的速度，得出了圆周率近似值。作者顺便指出，若读者愿意，还可以在末尾乘以平均每个男人拥有的 jj 根数。用生命换来的圆周率这个多少有些标题党了，但实际情况就是如此——这个 3.14 真的是由无数人的鲜血换来的。 2003 年，美国纽约警方搜集了 30 年来发生在斑马线上的车祸，从里面抽取了所有身高在 5 英尺 6 英寸到 8 英寸之间（大概从 1.68 米到 1.73 米）的遇难行人，统计了他们的尸体与斑马线相交的概率，并应用Buffon 投针实验理论得到了圆周率的近似值。纽约警方还专门发表了文章，称由此他们得出，行人被撞事故是完全随机的，一切都是遵循大自然的规律的。文章末尾请求出行人看开一些，生命在规律面前弱不禁风，该发生的总会发生。凶案现场也有圆周率

圆锥体计算方法

圆锥体计算方法圆锥体的体积=底面积×高×1/3(圆锥的体积是等底等高圆柱体的三分之一)=1/3πr2h 圆柱体的表面积=高×底面周长+底面积×2 即S圆柱体=(π×d×h)+(π×r2×2) 圆锥的体积一个圆锥所占空间的大小，叫做这个圆锥的体积. 根据圆柱体积公式V=Sh(V=πr2h)，得出圆锥体积公式： V=1/3Sh(V=1/3SH) S是底面积，h是高，r是底面半径。圆锥的表面积一个圆锥表面的面积叫做这个圆锥的表面积. S=πl2×(n/360)+πr2或(α*l^2)/2+πr2(此α为角度制)或πr(l+r)(L表示圆锥的母线) 圆锥的计算公式圆锥的侧面积=母线的平方×π×360百分之扇形的度数圆锥的侧面积=1/2×母线长×底面周长圆锥的侧面积=π×底面圆的半径×母线圆锥的侧面积=高的平方*3.14*百分之扇形的度数圆锥的表面积=底面积+侧面积S=πr2+πrl (注l=母线) 圆锥的体积=1/3底面积×高或1/3πr2h 圆锥的母线：圆锥的顶点到圆锥的底面圆周之间的距离。圆锥的其它概念圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的距离叫做圆锥的高圆锥只有一条高。圆锥的侧面积：将圆锥的侧面积不成曲线的展开，是一个扇形圆锥的母线：圆锥的顶点到圆锥的底面圆周之间的距离。一般用字母L表示。知识总结：一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3。要知道了锥度的计算公式,你的问题就都可以解决了. 公式是C=（D-d)/L C表示锥度比D 表示大端直径d表示小端直径L表示锥的长度①已知锥度比C，小头直径d，总长L，则

大头直径D=C*L+d ②已知大头直径D，锥度比C，总长L，则小头直径d=D-C*L ③已知大头直径D，小头直径d，锥度比C，则总长L=(D-d)/C ④已知大头直径D，小头直径d，总长L，则锥度比C=（D-d)/L 各种管材理论重量计算公式、钢材理论重量计算公式1、角钢：每米重量=0.00785×（边宽+边宽—边厚）×边厚 2、管材：每米重量=0.02466×壁厚×（外径—壁厚） 3、圆钢：每m重量=0.00617×直径×直径(螺纹钢和圆钢相同） 4、方钢：每m重量=0.00786×边宽×边宽 5、六角钢：每m重量=0.0068×对边直径×对边直径 6、八角钢：每m重量=0.0065×直径×直径 7、等边角钢：每m重量=边宽×边厚×0.015 8、扁钢：每m重量=0.00785×厚度×宽度 9、无缝钢管：每m重量=0.02466×壁厚×(外径-壁厚) 10、电焊钢：每m重量=无缝钢管 11、钢板：每㎡重量=7.85×厚度 12、黄铜管：每米重量=0.02670×壁厚×（外径-壁厚） 13、紫铜管：每米重量=0.02796×壁厚×（外径-壁厚) 14、铝花纹板：每平方米重量=2.96×厚度 15、有色金属密度：紫铜板8.9 黄铜板8.5 锌板7.2 铅板11.37 16、有色金属板材的计算公式为：每平方米重量=密度×厚度 17、方管: 每米重量=(边长+边长)×2×厚×0.00785 18、不等边角钢：每米重量=0.00785×边厚(长边宽+短边宽--边厚) 19、工字钢：每米重量=0.00785×腰厚[高+f（腿宽-腰厚）] 20、槽钢：每米重量=0.00785×腰厚[高+e（腿宽-腰厚）]

圆周率计算公式

12π=3.14 22π=12.56 32π=28.26 42π=50.24 52π=78.5 62π=113.04 72π=153.86 82π=200.96 92π=254.34 102π=314 112π=379.94 122π=452.16 132π=530.66 142π=615.44 152π=706.5 162π=803.84 172π=907.46 182π=1017.36 192π=1133.54 202π=1256 212π=1384.74 222π=1519.76 232π=1661.06 242π=1808.64 252π=1962.5 262π=2122.64 272π=2289.06 282π=2416.76 292π=2640.74 302π=2826 312π=3017.54 322π=3215.36 332π=3419.46 342π=3629.84 352π=3846.5 362π=4069.44 372π=4298.66 382π=4534.16 392π=4775.94 402π=5024 412π=5278.34 422π=5538.96

432π=5805.86 442π=6079.04 452π=6358.5 462π=6644.24 472π=6936.26 482π=7234.56 492π=7593.14 502π=7850 512π=8167.14 522π=8490.56 532π=8820.26 542π=9456.24 552π=9498.5 562π=9847.04 572π=10201.86 582π=10562.96 592π=10930.34 602π=11304 612π=11683.94 622π=12070.16 632π=12462.66 642π=12861.44 652π=13266.5 662π=13677.84 672π=14095.46 682π=14519.36 692π=14949.54 702π=15386 712π=15828.74 722π=16277.76 732π=16733.06 742π=17194.64 752π=17662.5 762π=18136.64 772π=18617.06 782π=19103.76 792π=19596.74 802π=200.96 812π=20601.54 822π=21113.36 832π=21631.46 842π=22155.84 852π=22686.5 862π=23223.44

圆周率计算公式

圆周率计算公式 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

圆周率π的计算方法

圆周率π的计算方法圆周率的计算方法古人计算圆周率，一般是用割圆法。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。Archimedes用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；Ludolph Van Ceulen 用正262边形得到了35位精度。这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。 1、 Machin公式这个公式由英国天文学教授John Machin于1706年发现。他利用这个公式计算到了100位的圆周率。Machin公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。用马青公式计算Pi至小数点后100位程序 program Pi_Value; {$APPTYPE CONSOLE} //将Pi计算精确小数点后100位 //Machin公式

//Pi=16arctan(1/5)-4arctan(1/239) uses SysUtils; const N=100; S=2*N+50; aNum=5; bNum=239; type Num=array [1..S] of byte; //初始化数组 procedure AZero(var arr:Num); var i:smallint; begin for i:=1 to S do arr:=0; end; //除法 procedure Division(var arr:Num;const b:smallint); var c,y,i:smallint; begin c:=0; for i:=1 to S do begin y:=arr+c*10; c:=y mod b; arr:=y div b; end; end; //加法 procedure Addition(var arr:Num;const b:Num); var i,y,c:smallint; begin c:=0; for i:=S downto 1 do

圆周率π的计算及简单应用

圆周率π的计算及简单应用一、π的来历 π即圆周率，定义为：圆的周长与直径之比，是一个常数。通常用希腊字母π来表示。英国人琼斯在1706年首次创用π代表圆周率。但是，他的符号并未立刻被采用，后来，欧拉予以提倡，才渐渐被推广开来。此后π才成为圆周率的专用符号。π的历史是饶有趣味的。对π的研究程度，在一定程度上反映一个地区和时代的数学水平，。实际上，在古代长期使用π＝３这个数值，古巴比伦、古印度、古中国都是如此。直到公元前２世纪，中国的《周髀算经》里已有周三径一的记载。后来东汉的数学家又将π值改为约为3.16。然而直正使圆周率的计算建立在科学的基础上，应归功于阿基米德。他用几何方法证明了圆周率与圆直径之比小于22/7而大于223/71，为此专门写了一篇论文《圆的度量》，同时这也是第一次在科学中创用上、下界来确定近似值。但是第一次用正确方法计算π值的，是中国魏晋时期的刘徽，在公元263年，他首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法即穷竭法，算得π值约为 3.14。在我国称这种方法为割圆术。直到1200年后，西方人才找到了类似的方法。后人为纪念刘徽的贡献，也将圆周率称为徽率。公元460年，南朝的祖冲之利用刘徽的割圆术，把π值算到小点后第七位即3.1415926，这个具有七位小数的圆周率在当时是世界首次。同时，祖冲之还找到了两个分数，分别是22/7和355/113。用

分数来代替π，极大地简化了计算，这种思想比西方也早一千多年。由中国南朝数学家祖冲之计算出的圆周率，保持了一千多年的世界记录。直到在1596年，才由荷兰数学家卢道夫打破了。他把π值推到小数点后第15位小数，后来又推到了第35位。人们在他1610年去世后，为了纪念他的这项成就，为此在他的墓碑上刻上： 3.14159265358979323846264338327950288这个数，从此也把它称为"卢道夫数"。之后，随着数学的发展，尤其是微积分的发现，西方数学家计算π的工作，有了飞速的进展。1948年1月，费格森与雷思奇合作，算出了808位小数的π值。π的人工计算时代随着电子计算机的问世而宣告结束。在20世纪50年代，人们借助计算机算得了10万位小数的π，在70年代又突破这个记录，算到了150万位。到90年代初，用新的计算方法，算到的π值已到4.8亿位。至2010年最新记录是2000万亿。π的计算经历了几千年的历史，它的每一次重大进步，都标志着算法和技术的革新。二、π的定义圆周率（Pi）是圆周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。π也等于圆形之面积与半径平方之比。因此，π是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。在分析学里，π可以严格地定义为满足0 x的 sin= 最小正实数x。

圆周率的几种计算方法

圆周率的几种计算方法姓名李至佳学号 06205013 专业基础数学摘要：本文简要的介绍了圆周率的起源及其计算方法，正是圆周率这个数的特殊性，致使从古到今许多数学家为之奉献毕生的经历来研究的精确值。因此，用什么样的方法计算使其值更加精确，这是一个很值得研究的问题。关键词：圆周率，计算方法，正多边形，连分数一、很早以前就有了从人类祖先的祖先诞生在这个地球上算起，经历了几千万年的时间。我们看见的太阳几乎总是圆的，而月亮由于地球的遮挡，有圆有缺。椭圆、抛物线，双曲线等都是很晚才发现的曲线。地球诞生之前,太阳就是圆形的。月亮大概是和地球同时诞生的. 在使用工具和火不久,人类对太阳和月亮，或者对动物和鱼类的眼睛是圆的,也就是说对圆这种形状一定感到很奇妙。远古，数刚诞生时，肯定只在1和许多个之间有区别。而且，很早以前，就只考虑1和2这两个数。以后因为1个人有2只脚和2只手，2个人就有4只脚和4只手，1头家畜有4只脚，2头家畜有8只脚，等等。不久，就知道了比例的概念。到了这个阶段人们自然关顾圆周的长度与圆的直径之间一定的比例常数。尽管圆有大有小，但对一个圆来说，其周长与直径之间的比例常数就是圆周率二、的几种计算方法有一个关于圆周率的歌谣，盛行于古代："山巅一寺一壶酒，尔乐苦煞吾，把酒吃，酒杀尔，杀不死，乐而乐。" 圆周率是圆的周长与直径之比，表示的是一个常数，符号是希腊字母。人们为了计算圆周率，公元前便开始对它进行计算。魏晋时期刘徽曾于公元263年用割圆术的方法求到3.14，这被称为"徽率"。在公元460年，祖冲之应用了刘徽的割圆术（也就是下面提到的正多边形的方法），算得圆周率为3.1415926。祖冲之所求的值，保持了1000多年的世界纪录。 1596年，荷兰数学家鲁道夫经过长期的努力和探索，把值推算到15位小数，打破了祖冲之长达1000多年的纪录，后来他本人又把这个数推进到35位。 18世纪初，圆周率达到72位。19世纪时，圆周率又求到140位、200位、500位。1873年，威廉欣克用了几十年时间，将π值算到707位。到了1946年，世界上第一台电子计算机(ENIAC)问世美国，有人在计算机上用了70个小时，算出圆周率达到2035位。1955年达到10 017位，1962年达到10万位。1973年达到100万位，1981年日本数学家把它推算到200万位。1990年美国数学家继续新的计算，将值推到新的顶点4.8亿位。经过长时间艰苦的计算，值只是个近似值，这是一个永不循环的数学计算，也是数学史上的马拉松。下面介绍几种计算的方法：（一）公元前利用正多边形计算公元前1650年，埃及人著的兰德纸草书中提出＝（4/3） 3=3.1604。但是对的第一次科学的尝试应归功于阿基米德。阿基米德计算值是采用内接和外切正多边形的方法。数学上一般把它称为计算机的古典方法。

加工中心常用计算公式完整版本

CNC常用计算公式一、三角函数计算 1.tanθ=b/aθ=tan-1b/a 2.Sinθ=b/c Cos=a/c 二、切削速度的计算Ｖc＝(π*Ｄ*Ｓ)／１０００ Vc：线速度(m/min) π：圆周率(3.14159) D：刀具直径(mm) S：转速(rpm) 例题. 使用Φ25的铣刀Vc为(m/min)25 求S=?rpm Vc=πds/1000 25=π*25*S/1000 S=1000*25/ π*25 S=320rpm 三、进给量(F值)的计算Ｆ＝Ｓ＊Ｚ＊Ｆz F：进给量(mm/min) S：转速(rpm) Z：刃数Ｆz：(实际每刃进给) 例题.一标准2刃立铣刀以2000rpm)速度切削工件，求进给量(F 值)为多少？(Ｆz=0.25mm) Ｆ＝Ｓ＊Ｚ＊Ｆz Ｆ＝2000*2*0.25 Ｆ＝1000(mm/min) 四、残料高的计算 Scallop＝（ae＊ae）／8R Scallop：残料高(mm) ae：XY pitch(mm) R刀具半径(mm) 例题. Φ20R10精修2枚刃，预残料高0.002mm，求Pitch为多少？mm Scallop=ae2/8R 0.002=ae2/8*10 ae=0.4mm 五、逃料孔的计算 Φ＝√２Ｒ2Ｘ、Ｙ＝Ｄ／４ Φ：逃料孔直径(mm) R刀具半径(mm) D：刀具直径(mm) 例题. 已知一模穴须逃角加工(如图)，所用铣刀为ψ10；请问逃角孔最小为多少？圆心坐标多少？ Φ=√２Ｒ2 Φ=√２＊５２ Φ=7.1(mm) Ｘ、Ｙ＝Ｄ／４Ｘ、Ｙ＝１０／４Ｘ、Ｙ＝2.5 mm 圆心坐标为(2.5,-2.5) 六、取料量的计算Ｑ＝（ae＊ap＊Ｆ）／１０００Ｑ：取料量(cm3/min)ae：XY pitch(mm) ap：Z pitch(mm) 例题. 已知一模仁须cavity等高加工，Φ35R5的刀XY pitch是刀具的60%，每层切1.5mm，进给量为2000mm/min，

数学实验：怎样计算圆周率

怎样计算：学号班级：数学与应用数学4班

实验报告实验目的：自己尝试利用Mathematica软件计算的近似值，并学会计算的近似值的方法。实验环境：Mathematica软件实验基本理论和方法：方法一：数值积分法（单位圆的面积是，只要计算出单位圆的面积也就计算出了的值）其具体容是：以单位圆的圆心为原点建立直角坐标系，则单位圆在第一象限的部分G是一个扇形，由曲线（）及坐标轴围成，它的面积是，算出了S的近似值，它的4倍就是的近似值。而怎样计算扇形G的面积S的近似值呢?如图图一

扇形G中，作平行于y轴的直线将x轴上的区间[0，1]（也就是扇形在x轴上的半径）分成n等份（n=20），相应的将扇形G分成n个同样宽度1/n的部分（）。每部分是一个曲边梯形：它的左方、右方的边界是相互平行的直线段，类似于梯形的两底；上方边界是一段曲线，因此称为曲边梯形。如果n很大，每个曲边梯形的上边界可以近似的看成直线段，从而将近似的看成一个梯形来计算它的面积；梯形的高（也就是它的宽度）h=1/n，两条底边的长分别是和，于是这个梯形面积可以作为曲边梯形面积的近似值。所有这些梯形面积的和T就可以作为扇形面积S的近似值： n越大，计算出来的梯形面积之和T就越接近扇形面积S，而4T就越接近的准确值。方法二：泰勒级数法其具体容是：利用反正切函数的泰勒级数计算。方法三：蒙特卡罗法其具体容是：单位正方形的面积=1，只要能够求出扇形G的面积S 在正方形的面积中所占的比例，就能立即得到S，从而得到的值。而求扇形面积在正方形面积中所占的比例k的值，方法是在正方形中随机地投入很多点，使所投的每个点落在正方形中每一个位置的机会均等，看其中有多少个点落在扇形。将落在扇形的点的个数m与所投