平面向量专题突破之数形结合法
平面向量专题突破之数形结合法
学习目标： 1.理解向量的概念及几何意义；
2.熟练运用向量的运算；
3.学会数形结合法解决向量问题.
学习重点：学会数形结合法解决向量问题.
学习难点：选择恰当的方法解决向量问题.
学习过程：
一、真题欣赏
1、【2016四川文9】已知正三角形ABC 的边长为32，平面ABC 内的动点P M 、满足1AP =， PM MC =，则2BM 的最大值是( )
（A ）434 （B ）494
（C （D 2、
【2014湖南文10】在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -，(0B ,()30C ，，动点D 满 足1CD =,则OA OB OD ++的取值范围是（ ）
（A ）[]46， （B ）?? （C ）?? （D ）??
3、【2012全国文9】ABC ?中，AB 边的高为CD ，若CB a =，CA b =，0a b ?=，||1a =，||2b =，则AD =( ) （A ）1133a b - （B ）
2233a b - （C ）3355a b - （D ）4455a b - 二、问题探究
问题.如图，平面内有三个向量,,OA OB OC ，其中OA 与OB 的夹角为120?，OA 与OC 的夹角为30?，且
1OA OB ==，23OC =(,)OC OA OB R λμλμ=+∈，则λμ+的值为________．
三、变式训练.
1.已知A B C 、、是圆22
1x y +=上不同的三点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），若存在实数,λμ满足+OC OA OB λμ=，则实数,λμ的关系满足（ ）
A ．1
1
1λμ+= B ．221λμ+= C ．1λμ= D ．1λμ+=
2.如图所示，将45°的直角三角板ADC 和30°的直角三角板ABC 拼在一起组成平面四边形ABCD ，其中45°的直角三角板的斜边AC 与30°的直角三角板的30°所对的直角边重合，若DB DA DC λμ=+，则,λμ分别等于（ ）
A
B
C ．
D .
3.将两个直角三角形如图拼在一起，当E 点在线段AB 上移动时，若AE=AC+AD λμ,当λ取最大值时，+λμ的值是 ．
四、课堂总结
五、课后作业
（一）真题欣赏的3道高考真题
（二）专题限时集训（二）
D C
平面向量与解三角形
第八单元平面向量与解三角形 (120分钟150分) 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.锐角△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,若2c sin B=b,则角C的大小为 A.B.C.D. 解析:由正弦定理得2sin B==,∴sin C=,∴C=. 答案:A 2.若向量u=(3,-6),v=(4,2),w=(-12,-6),则下列结论中错误的是 A.u⊥v B.v∥w C.w=u-3v D.对任一向量,存在实数a,b,使=a u+b v 解析:因为u·v=0,所以u⊥v,显然w∥v,因为u与v不共线,所以对任意向量,存在实数a,b,使=a u+b v. 答案:C 3.在△ABC中,B=,三边长a,b,c成等差数列,且ac=6,则b的值是 A.B.C.D. 解析:因为2b=a+c,由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B=(a+c)2-3ac,化简得b=. 答案:D 4.在△ABC中,AB=4,∠ABC=30°,D是边BC上的一点,且·=·,则·等于 A.—4 B.0 C.4 D.8 解析:由·=·,得·(-)=·=0,即⊥,所以||=2,∠BAD=60°,所以 ·=4×2×=4. 答案:C 5.在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若a2+b2=2c2,则cos C的最小值为 A.B.C.D.-
解析:cos C==≥=,当且仅当a=b时等号成立. 答案:C 6.设A(a,1),B(2,b),C(4,3)为坐标平面上三点,O为坐标原点,若与在方向上的投影相同,则 a与b满足的关系式为 A.5a-4b=3 B.4a-3b=5 C.4a+5b=14 D.5a+4b=14 解析:由与在方向上的投影相同,可得·=·?(a,1)·(4,3)=(2,b)·(4,3),即4a+3=8+3b,4a-3b=5. 答案:B 7.在△ABC内,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b sin B+a sin A=c sin C,c2+b2-a2=bc,则B等于 A.B.C.D. 解析:因为c2+b2-a2=bc,所以cos A==,所以cos A=,A=, 因为b sin B+a sin A=c sin C,所以b2+a2=c2,所以C=,B=. 答案:A 8.已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),其中x>1,y>0,若a∥b,则log2(x-1)+log2y等于 A.1 B.2 C.3 D.4 解析:∵a∥b,则=,∴(x-1)y=8,∴log2(x-1)+log2y=log2(x-1)y=log28=3. 答案:C 9.在△ABC中,若(a+b+c)(a+b-c)=3ab且sin C=2sin A cos B,则△ABC是 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 解析:因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab,所以a2+b2-c2=ab,cos C==,所以C=,因为sin C=2sin A cos B,所 以c=2a·,得a=b,所以△ABC是等边三角形. 答案:B 10.如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·=,则·的值是
数形结合法解决问题
数形结合法解决问题 教学目标： 1．使学生进一步感受和认识转化的策略，能根据一些算式的特点，采用转化策略用简便的方法计算得数；能发现一些计算的规律，并能应用规律简便计算。 2．使学生经历采用转化策略使计算简单的体悟过程，进一步感受转化的思想方法，积累数学活动的基本经验，发展思维的灵活性和敏捷性。 3．使学生在获得策略体验的过程中，感受转化策略的价值，增强策略意识；在应用转化中感受计算规律，产生学习数学的兴趣；受到事物可以互相转化观点的熏陶。 教学重点：用转化策略解决相关计算。 教学难点：理解算式转化的依据和方法。 课前准备：课件。 教学过程： 一、揭示内容 谈话：我们上节课学习了解决问题的策略，认识了转化的策略，知道转化就是把要解决的新问题，变成已经能解决的问题，获得解决问题的相应的思路和方法。今天我们继续学习解决问题转化的策略，主要研究一些计算问题的转化策略，发现一些转化的具体方法，获得一些计算的规律，使一些计算比较简便。 二、学习策略
1．了解特点，计算结果。 出示例2，让学生观察有没有什么特点。提问：观察算式，你有什么发现吗？ 说明：这个算式中作加数的分数，后一个加数都是前一个的一半。让学生想办法计算得数，和同学说说怎样计算的。 交流：你是怎样计算的？（板书算式和计算过程）先通分实际上用了什么策略？ 2．引导转化。 （1）引导：先通分再计算，实际上是把异分母分数加法转化成了同分母分数加法，使算式可以直接计算得数。那这个算式能不能转化成更简单的，使计算变得更方便呢？看看有没有办法。 现在先想一想， 1/1什么意思？和其余的分数呢？2/4那能不能根据每个分数的意义，像学习分数加法那样，在图上用涂色的方法来计算表示结果呢？可以怎样表示呢，哪位来说一说？ （2）引导：那我们就把正方形看作单位“1”，（呈现图形）大家能在正方形里填上算式里的4个加数吗？请在课本上填一填，然后观察图形，想想可以怎样转化。 提问：观察图中分数相加的结果，能想到怎样转化吗？ 启发：没有涂色的空白部分占大正方形的几分之几？相加的和跟“1\（）”有什么关系？原来的算式可以怎样转化？
(浙江专用)高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形学案
第2讲 三角恒等变换与解三角形 高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题. 真 题 感 悟 1.(2018·全国Ⅲ卷)若sin α＝1 3，则cos 2α＝( ) A.89 B.79 C.－79 D.－89 解析 cos 2α＝1－2sin 2 α＝1－2×? ????132 ＝7 9 . 答案 B 2.(2018·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 2 4 ， 则C ＝( ) A.π2 B.π3 C.π4 D. π6 解析 根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C ＝a 2 ＋b 2 －c 2 4，所以sin C ＝a 2 ＋b 2 －c 2 2ab ＝cos C ，所以在△ABC 中，C ＝π4 . 答案 C 3.(2018·浙江卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________. 解析 因为a ＝7，b ＝2，A ＝60°，所以由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝2× 3 27＝21 7.由 余弦定理a 2 ＝b 2 ＋c 2 －2bc cos A 可得c 2 －2c －3＝0，所以c ＝3. 答案 21 7 3 4.(2017·浙江卷)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接 CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.
数形结合解决问题
第课时总课时 数形结合解决问题 【教学内容】： 义务教育课程标准实验教科书青岛版小学数学六年级下册116——117页。 【教学目标】： 在回顾整理的过程中，加深对数形结合思想方法的认识，使学生充分感受数形结合在小学数学学习中的应用。 【教学重点】： 通过一些数形结合的实例，使学生体会数形结合思想的优越性，并能帮助学生建立思路解决问题。【教学过程】; 一、谈话引入。 师：同学们，在我们的数学学习中，除了研究各种数以外，还经常要用到各种各样的图形。利用图形来研究问题，会使问题变得更加简单明了。请同学们回忆所学的知识，你能举一些这样的例子吗？学生思考后举例。 二、自主探究。 1、教师出示某电脑公司2008年各种电脑销售情况的具体数据及条形统计图、扇形统计图和某电脑公司2004-2008最畅销的两种电脑销量折线统计图。 师：仔细观察这些数据和统计图，你有什么发现？ 学生各抒己见，发表自己的看法。 师引导学生总结：图形描述数据更加直观、有效。条形统计图能清楚看出数量的多少，扇形统计图能清楚看出个部分同总数之间的关系，折线统计图能清楚看出数量增长情况。 2、师：图形不仅在描述数据方面有优越性，在其他方面同样能体现出优势。你还能举例说明数形结合在其他方面的应用吗？（生独立思考）下面请同学们以小组为单位交流自己的想法。交流过程中，要注意倾听他人的想法。 集体交流。 教师在学生交流的基础上引导学生发现：画图可以帮助我们理解计算方法、图形可以更加形象的反映成正比例关系的两种量的变化情况、在平面内确定物体的位置也利用了数形结合。 3、小结 师：通过刚才的交流，我们发现实际上许多问题的解决都利用了数形结合，你能谈一谈自己的体会吗? 三、拓展延伸。 师：同学们，我们在解决问题中常常用到的线段图，也是数形结合思想的一个重要应用。例如前面学过的相遇问题、百分数应用题等等。下面我们就做两个题目，体会画线段图解决问题的优越性。 1、育才小学2000年有60台计算机，2006年以达到150台。2006年比2000年增加了百分之几？ 2、有两根蜡烛，一根长8厘米，另一根长6厘米。把两根都燃掉同样长的一部分后，短的一根剩下的长度是长的一根剩下的3/5。每段燃掉多少厘米？ （学生独立解答，体会用线段图解决问题的优越性。） 集体交流，引导学生陈述自己的解题思路。 四、归纳梳理。 师：这节课我们主要研究了利用数形结合的方法来解决问题，你能谈 谈自己的收获吗？ 学生谈自己收获，提出尚存疑惑的问题。
平面向量与三角形三心
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇 一、四心的概念介绍 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 （1）?=++0OC OB OA O 是ABC ?的重心. 证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O ?=++???=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ??? ????++=++=?33 321 321y y y y x x x x ?O 是ABC ?的重心. 证法2：如图 OC OB OA ++ 2=+= ∴2= ∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ?的重心 （2）??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为ABC ?的垂心. 证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足. 0)(=?=-??=? AC OB ⊥? 同理BC OA ⊥，AB OC ⊥ ?O 为ABC ?的垂心 （3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是?ABC 的内心 O c b a ?=++为ABC ?的内心. 证明：b AC c AB 、 分别为方向上的单位向量， ∴ b c +平分BAC ∠, ( λ=∴b AC c AB +)，令c b a bc ++=λ B C D B C D
(完整版)平面向量基本定理练习题
平面向量基本定理及坐标表示强化训练 姓名__________ 一、选择题 1．下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ） A ．e 1=(0,0), e 2 =(1,－2) ; B ．e 1=(-1,2),e 2 =(5,7); C ．e 1=(3,5),e 2 =(6,10); D ．e 1=(2,-3) ,e 2 =)4 3,2 1(- 2. 若AB u u u r =3a, CD u u u r =－5a ,且||||AD BC =u u u r u u u r ,则四边形ABCD 是 （ ） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．等腰梯形 D ．不等腰梯形 3. 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD → =2DB →, CD → =13CA →+λCB → ,则λ 等于（） A. 23 B. 13 C. 13- D. 2 3- 4．已知向量a 、b ，且AB u u u r =a +2b ,BC u u u r = -5a +6b ,CD u u u r =7a -2b ,则一定共线的三点是 （ ） A ．A 、 B 、D B ．A 、B 、 C C ．B 、C 、 D D ．A 、C 、D 5．如果e 1、 e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有 （ ）①λe 1＋μe 2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α中的任一向量a ,使a =λe 1＋μe 2的λ, μ有无数多对； ③若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数k ,使λ2e 1+μ2e 2=k (λ1e 1+μ1e 2)； ④若实数λ, μ使λe 1＋μe 2=0，则λ=μ=0. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．仅② 6．过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD u u u r =x AB u u u r ,AE u u u r =y AC u u u r ,xy ≠0，则11 x y +的值 为 （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 7．若向量a =(1,1),b =（1,-1) ,c =(-2,4) ,则c = ( ) A ．-a +3b B ．3a -b C ．a -3b D ．-3a +b 二、填空题 8．作用于原点的两力F 1 =(1,1) ,F 2 =(2,3) ,为使得它们平衡，需加力F 3= ; 9．若A (2,3)，B (x , 4),C (3,y ),且AB u u u r =2AC u u u r ,则x = ，y = ; 10．已知A (2,3),B (1,4)且12 AB u u u r =(sin α,cos β), α,β∈(-2π,2 π),则α+β= *11．已知 a =(1,2) , b =(-3,2),若k a +b 与a -3b 平行，则实数k 的值为
数形结合在小学数学解决问题中的运用
数形结合在小学数学解决问题中的运用 许巷中心小学傅玲玲 [摘要]数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，数与形是数学的基本研究对象，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。数形结合是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。它包含“以形助教”、“以数解形”和“数形互译”三个方面。本文将结合小学数学中的教学实例，阐述数形结合思想在解决问题这个方面教学中的运用。 [关键词]数形结合；解决问题；小学数学 数学是以现实世界的空间形式和数量关系作为自己特定的研究对象，也就是说，数学是研究“数”与“形”及其相互关系的一门科学。数形结合的思想是数学的重要思想之一。［1］ 数形结合就是通过数(数量关系)与形(空间形式)的相互转化、互相作用来解决数学问题的一种思想方法。其实质是将抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，使得抽象的数学概念或复杂的数量关系直观化、形象化、简单化。[2] 数形结合是指在数学问题解决过程中，结合问题中各要素间的本质联系，根据实际需要，将数量关系与几何图形相结合，依据数与形的对应关系，通过数与形相互转化的方式使问题得到巧妙解决的一种思想方法。在解决问题中，其策略具体表现为把有关数量关系的问题转化成图形性质的问题进行分析，或者将有关图形性质的问题转化成数量关系的问题加以讨论，最终解决问题。这种思想方法不仅分析问题的代数含义，而且还要揭示其几何意义，把抽象的数学运算和直观的几何图形紧密地联系起来。这种思想方法具备了数的精确性和形的直观性的双重优势，以数精确地分析形，或以形直观地表示数，正如数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”。 故而，数形结合是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。它包含“以形助教”、“以数解形”和“数形互译”三个方面。
讲义平面向量与三角形四心的交汇
讲义---平面向量与三角形四心的交汇 一、四心的概念介绍 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 （1）?=++0OC OB OA O 是ABC ?的重心. 证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O ?=++???=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ??? ????++=++=?33 321 321y y y y x x x x ?O 是ABC ?的重心. 证法2：如图 ++ 02=+=OD OA ∴OD AO 2= ∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ?的重心 （2）??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为ABC ?的垂心. 证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=?=-??=?CA OB OC OA OB OC OB OB OA ⊥? 同理BC OA ⊥，AB OC ⊥ ?O 为ABC ?的垂心 （3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是?ABC 的内心 O c b a ?=++为ABC ?的内心. 证明：b AC c AB 、 分别为 AC AB 、方向上的单位向量， ∴ b c +平分BAC ∠, ( λ=∴b c +)，令c b a bc ++= λ B C D
平面向量基本定理及经典例题
平面向量基本定理 一．教学目标： 了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件； 教学重点: 用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行. 二.课前预习 1.已知=(x,2)，=(1,x)，若//，则x 的值为 ( ) A 、2 B 、 2- C 、 2± D 、 2 2.下列各组向量，共线的是 ( ) ()A (2,3),(4,6)a b =-=r r ()B (2,3),(3,2)a b ==r r ()C (1,2),(7,14)a b =-=r r ()D (3,2),(6,4)a b =-=-r r 3.已知点)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ,且?=?=2,3,则=MN ____ 4．已知点(1,5)A -和向量=(2,3),若=3,则点B 的坐标为 三.知识归纳 1. 平面向量基本定理：如果12,e e u r u u r 是同一平面内的两个___________向量，那么对于这一平面内的任意向量a r ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+r u r u u r 成立。其中12,e e u r u u r 叫做这一平面的一组____________，即对基底的要求是向量___________________； 2．坐标表示法：在直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ?，j ? 作基底， 则对任一向量a ?，有且只有一对实数x ，y ，使j y i x a ???+=、就把_________叫做向量a ? 的坐标，记作____________。 3．向量的坐标计算：O （0，0）为坐标原点，点A 的坐标为（x ，y ），则向量的坐标为＝___________，点1P 、2P 的坐标分别为（1x ，1y ），2P （2x ，2y ），则向量21P P 的坐标为
复习专题数形结合解决数学问题的重要手段
A B O C x y P 复习专题 数形结合—解决数学问题的重要手段 一、内容提要： 1、数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性。 2、一般说来，依形想数，可使几何问题代数化.由数想形，可使代数问题几何化.这样数形结合，相辅相成，既有利于开拓解题思路，又有利于发展思维能力. 二、例题分析： 例1．如图，图象（折线OEFPMN ）描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系.根据图像所给的信息，下列说法中 ①第3分时汽车的速度是40千米/时； ②从第3分到第6分，汽车的速度是40千米/时； ③从第3分到第6分，汽车行驶了120千米； ④从第9分到第12分，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时； 正确的有_______________．（只填序号） 例2.如图，直线l 是一次函数y kx b =+的图象,点A 、B 在 直线l 上．根据图象回答下列问题： （1）写出方程0=+b kx 的解； （2）写出不等式b kx +＞1的解集； (3)若直线l 上的点P （a,b ）在线段AB 上移动， 则a 、b 应如何取值？ 例3、如图，矩形ABCO ，O 为坐标原点，B 的坐标为（8，6），A 、C 分别在坐标轴上，P 是线段BC 上动点，设PC ＝m ，已知点D 在第一象限，且是两直线y 1＝2x ＋6、y 2＝2x －6中某条上的一点，若△APD 是等腰Rt △，求点D 的坐标 例4、..甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴距出发地480千米的目的地，乙车比甲车晚出发2小时（从甲车出发时开始计时）．图中折线OABC 、线段DE 分别表示甲、乙两车所行路程y （千米）与时间x （小时）之间的函数关系对应的图象（线段AB 表示甲出发不足2小时因故停车检修）．请根据图象所提供的信息，解决如下问题： y 与时间x 的函数关系式； （2）求两车在途中第二次相遇时，它们距出发地的路程； （3）乙车出发多长时间，两车在途中第一次相遇？（写出解题过程） 三、思维提升： 1.已知关于x 的不等式组 ?? ?---0125＞＞a x x 无解，则a 的取值范围是 ． A O D P B F C E y （千米） x （小时） 480 6 8 10 2 4.5 速度/（千米/时） /分 60 40 20 3 6 9 12
(完整版)平面向量与三角形四心问题
平面向量基本定理与三角形四心 已知0是 ABC 内的一点， BOC, AOC, AOB 的面积分别为 S A , S B , S C ,求证: S A ?0A S B ?0B S C ?0C 0 0D 罟0B 誥0C 0D S B0D S C0D S B0D S C0D S A 0A S B0A E OA S B0A S C0A S B S C 0D S B S C S A ?0A S B ?0B S C ?0C 0 推论o 是ABC 内的一点，且 x ?0A y ?0B z ?0c 0，则 S B0C : S C0A : S A0B X ： y ： z 如图2延长0A 与BC 边相交于点D 则 BD DC S A BD S B0D S ABD S B0D S ACD S C0D S ACD S C0D S C S 鱼 0B 生 0C S B S C S B S C 0A oA S B S B S C S B S C 0B 二0C
有此定理可得三角形四心向量式 O是ABC的重心 S BOC : S COA : S AOB 1：1：1 O A OB O C 0 是 S ABC的内心 BOC : S COA :S AOB ■ a:b:c a ?OA b?oB c?oC 0 0是ABC的外心 S BOC : S COA :S AOB sin 2A:sin 2B :sin 2C sin 2A?OA sin2B ?O B sin2C ?OC 0 O是ABC的垂心 S BOC : S COA : S AOB tan A: tan B: tanC tan A?OA tan B?OB tan C ?OC 0 tanA 竺,tanB AD CD DB tan A: tanB DB: AD S BOC : S COA DB: AD S BOC : S COA tan A:tan B 同理得S COA : S AOB tan B :tanC, S BOC：S AOB tan A:tanC S BOC : S COA : S AOB tan A: tan B : tanC 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统 证明：如图0为三角形的垂心,
最新小学数学六年级下册《数形结合解决问题》
小学数学六年级下册《数形结合解决问 题》
青岛版小学数学六年级下册《数形结合解决问题》精品教案 【教学内容】： 义务教育课程标准实验教科书青岛版小学数学六年级下册116——117页。【教学目标】： 在回顾整理的过程中，加深对数形结合思想方法的认识，使学生充分感受数形结合在小学数学学习中的应用。 【教学重点】： 通过一些数形结合的实例，使学生体会数形结合思想的优越性，并能帮助学生建立思路解决问题。 【教学过程】; 一、谈话引入。 师：同学们，在我们的数学学习中，除了研究各种数以外，还经常要用到各种各样的图形。利用图形来研究问题，会使问题变得更加简单明了。请同学们回忆所学的知识，你能举一些这样的例子吗？ 学生思考后举例。 【设计意图】教师给学生一定的思考时间，可以使学生对所学过的用图形来研究问题的有关知识进行初步的梳理，从而为本节课的学习做好铺垫。 二、自主探究。 1、教师出示某电脑公司2008年各种电脑销售情况的具体数据及条形统计图、扇形统计图和某电脑公司2004-2008最畅销的两种电脑销量折线统计图。 师：仔细观察这些数据和统计图，你有什么发现？
学生各抒己见，发表自己的看法。 师引导学生总结：图形描述数据更加直观、有效。条形统计图能清楚看出数量的多少，扇形统计图能清楚看出个部分同总数之间的关系，折线统计图能清楚看出数量增长情况。 【设计意图】将原始数据和统计图同时呈现，可以给学生造成视觉上的冲击。原始数据杂乱无章而统计图简单明了，能够帮助阅读的人有效的提取信息。对于用图形描述数据的优越性，学生一目了然。 2、师：图形不仅在描述数据方面有优越性，在其他方面同样能体现出优势。你还能举例说明数形结合在其他方面的应用吗？（生独立思考）下面请同学们以小组为单位交流自己的想法。交流过程中，要注意倾听他人的想法。 集体交流。 教师在学生交流的基础上引导学生发现：画图可以帮助我们理解计算方法、图形可以更加形象的反映成正比例关系的两种量的变化情况、在平面内确定物体的位置也利用了数形结合。 3、小结 师：通过刚才的交流，我们发现实际上许多问题的解决都利用了数形结合，你能谈一谈自己的体会吗? 【设计意图】学生个人的想法可能是粗浅的、片面的，而通过小组交流，倾听他人的想法和意见，可以进一步完善自己的想法。教师在学生交流的基础上运用多媒体呈现相关的例子，通过这些数形结合的直观的例子，让学生充分感受数形结合在数学学习中的应用。 三、拓展延伸。
平面向量基本定理03913
2.3.1平面向量基本定理 学习目标： 1. 了解基底的含义，理解平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量. 2. 掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义. 3. 两个向量的夹角与两条直线所成的角. 学习重点：平面向量基本定理 学习难点：两个向量的夹角与两条直线所成的角. 课上导学： ［基础初探］ 教材整理1平面向量基本定理 阅读教材P93至P94第六行以上内容，完成下列问题. 1. ____________ 定理：如果e i, e是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的____________ 向量a, ______________ 实数入，入2，使a= _________________________ 2. ____________ 基底：___________________________ 的向量e1, e2叫做表示这一平面内______________________________ 向量的一
组基底. 判断(正确的打“，错误的打“X” ) (1) 一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所 有向量的基底.() (2) 若e i, e是同一平面内两个不共线向量，则入& + 说 k, 入2为实数)可以表示该平面内所有向量.() (3) 若ae i + be2=ce i + de2(a, b, c, d€ R)，则a = c, b = d.( ) 教材整理2两向量的夹角与垂直 阅读教材P94第六行以下至例1内容，完成下列问题. 1. __________________ 夹角：已知两个_________________ a 和b,作OA= a, OB= b,则__ = B叫做向量a与b的夹角.
“数形结合”在解决问题中的应用
“数形结合”在解决问题中的应用 从一年级开始就已经开始渗透解决问题的方法，一年级已知一部分，已知另一部分，求总数，是用加法。 我不禁回想起我的小学时代我的数学老师在教学应用题时，总是先让同学们读题，然后要我们找出已知条件和未知条件。我不禁想问，应用题也就是解决问题的本质到底是什么。我们在解决问题时，一般分为三步：1.读题，也就是理解题意，审题，对条件加工，整理。2.列算式，将条件抽象成算式。3.解答。这三步当中最重要的就是第一步加工，整理条件。在整理条件过程中，将所有已知条件联系在一起，通过某种关系，解决问题。我认为解决问题的本质是建立数学模型。 从低年级到高年级，已知一部分，已知另一部分，求总数，用加法。已知总数，已知一部分，求另一部分，用减法。已知每份数，份数，求总数，用乘法等，实际上都是建立了一个数学模型。 一、植树问题 人教版四年级下的数学广角设置了“植树问题”，更是建立数学模型的典型课例。 这三种不同的情况，就建立了三种数学模型，也就是三种线段图。不仅种树问题适用，凡是满足这种数学模型的，都可以使用。比如路边的路灯，铁轨，上楼梯等。 上过本节课的老师都知道，学生掌握起来非常难，我在教学时，重点教会学生分析题目。要做好植树问题必须先弄清楚什么叫总长，什么叫间隔数，什么叫间距，要学生清楚，间隔数实际上就是间距的数量。弄清楚各个数据之后就要结合模型进行解题。总长÷间距=间隔数。当两端都栽时，棵数=间隔数+1；当只栽一端时，棵数=间隔数；当两端都不栽时，棵数=间隔数—1。 先明确要求什么，已知什么条件，将条件罗列出来可以帮助同学们解题。 二、单位一问题 在四年级期末复习时候，习题中出现这样几题： 1.起航小学四、五年级的同学上山去采集树种，四年级采集了18.5千克，五年级比四年级多采了3.8千克，两个年级一共采集了多少千克？ 2.一批货物给了甲乙丙三个运输队，甲队运了95.8吨，比乙队多运2.8吨，比丙队少运4.8吨，这批货物多少吨？ 在做第一题的时候，学生很自然的18.5+3.8，可是在第二题时，也有的同学乙队:95.8+2.8，丙队：95.8-4.8。第二题是错解。在讲解时候，教师马上在黑板上出示：
高三数学解三角形,平面向量与三角形的综合练习
解三角形，平面向量与三角形的综合练习 一、填空题 1．若角α的终边经过点(12)P -，，则tan 2α的值为______________． 2．已知向量a 与b 的夹角为120o ，且4==a b ，那么g a b 的值为________． 3．已知向量)3,1(=，)0,2(-=，则b a +=_____________________. 4． )6cos()(π ω-=x x f 最小正周期为5π ，其中0>ω，则=ω 5．b a ρ?,的夹角为ο 120，1,3a b ==r r ，则5a b -=r r 6．若BC AC AB 2,2= =，则ABC S ?的最大值 7．设02x π?? ∈ ??? ，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ． 8．设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ． 9．若向量a r ，b r 满足1 2a b ==r r ，且a r 与b r 的夹角为3 π，则a b +=r r ． 10．若3 sin()25 πθ+=，则cos2θ=_________。 11．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若 ( ) C a A c b cos cos 3=-， 则=A cos 。 12已知a r 是平面内的单位向量，若向量b r 满足()0b a b -=r r r g ，则||b r 的取值范围是 。 13．.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知3,30,a b c ===? 则A ＝ . 14． 关于平面向量，，a b c ．有下列三个命题： ①若g g a b =a c ，则=b c ．②若(1)(26)k ==-，，，a b ，∥a b ，则3k =-． ③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为60o ． 其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号） 三、解答题 1．已知函数()cos(2)2sin()sin()344 f x x x x π ππ =- +-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程
必修四平面向量基本定理
平面向量基本定理 [学习目标] 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题． 知识点一 平面向量基本定理 (1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. (2)基底：把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 思考 如图所示，e 1，e 2是两个不共线的向量，试用e 1，e 2表示向量AB →，CD →，EF →，GH →，HG → ， a . 答案 通过观察，可得： AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2，EF → ＝4e 1－4e 2， GH → ＝－2e 1＋5e 2，HG → ＝2e 1－5e 2，a ＝－2e 1. 知识点二 两向量的夹角与垂直 (1)夹角：已知两个非零向量a 和b ，如图，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB ＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量a 与b 的夹角． ①范围：向量a 与b 的夹角的范围是[0°，180°]． ②当θ＝0°时，a 与b 同向． ③当θ＝180°时，a 与b 反向． (2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，则称a 与b 垂直，记作a⊥b .
思考 在等边三角形ABC 中，试写出下面向量的夹角． ①AB →、AC →；②AB →、CA →；③BA →、CA →；④AB →、BA →. 答案 ①AB →与AC → 的夹角为60°； ②AB →与CA → 的夹角为120°； ③BA →与CA → 的夹角为60°； ④AB →与BA → 的夹角为180°. 题型一 对向量的基底认识 例1 如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________． ①λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝ λ(λ2e 1＋μ2e 2)； ④若存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. 答案 ②③ 解析 由平面向量基本定理可知，①④是正确的． 对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的． 对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个． 跟踪训练1 设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．(写出所有满足条件的序号)
数形结合解决问题
课题：数形结合解决问题 【教学内容】： 义务教育课程标准实验教科书青岛版小学数学五年级下册140——141页。【教学目标】： 在回顾整理的过程中，加深对数形结合思想方法的认识，使学生充分感受数形结合在小学数学学习中的应用。 【教学重点】： 通过一些数形结合的实例，使学生体会数形结合思想的优越性，并能帮助学生建立思路解决问题。 【教学过程】; 一、谈话引入。 谈话：同学们，在我们的数学学习中，除了研究各种数以外，还经常要用到各种各样的图形。利用图形来研究问题，会使问题变得更加简单明了。请同学们回忆所学的知识，你能举一些这样的例子吗？ 学生思考后举例。 【设计意图】教师给学生一定的思考时间，可以使学生对所学过的用图形来研究问题的有关知识进行初步的梳理，从而为本节课的学习做好铺垫。 二、自主探究。 1、复习统计图 （出示某电脑公司2008年各种电脑销售情况的具体数据及条形统计图、扇形统计图和某电脑公司2004-2008最畅销的两种电脑销量折线统计图。）设问：仔细观察这些数据和统计图，你有什么发现？ 思考交流。 总结：图形描述数据更加直观、有效。条形统计图能清楚看出数量的多少，扇形统计图能清楚看出个部分同总数之间的关系，折线统计图能清楚看出数量增长情况。
【设计意图】将原始数据和统计图同时呈现，可以给学生造成视觉上的冲击。原始数据杂乱无章而统计图简单明了，能够帮助阅读的人有效的提取信息。对于用图形描述数据的优越性，学生一目了然。 2、复习画图 设问：图形不仅在描述数据方面有优越性，在其他方面同样能体现出优势。你还能举例说明数形结合在其他方面的应用吗？ 生独立思考。 谈话：下面请同学们以小组为单位交流自己的想法。交流过程中，要注意倾听他人的想法。 班内交流。 总结：画图可以帮助我们理解计算方法、图形可以更加形象的反映成正比例关系的两种量的变化情况、在平面内确定物体的位置也利用了数形结合。 3、小结 谈话：通过刚才的交流，我们发现实际上许多问题的解决都利用了数形结合，你能谈一谈自己的体会吗? 【设计意图】学生个人的想法可能是粗浅的、片面的，而通过小组交流，倾听他人的想法和意见，可以进一步完善自己的想法。教师在学生交流的基础上运用多媒体呈现相关的例子，通过这些数形结合的直观的例子，让学生充分感受数形结合在数学学习中的应用。 三、拓展延伸。 谈话：同学们，我们在解决问题中常常用到的线段图，也是数形结合思想的一个重要应用。例如前面学过的相遇问题、百分数应用题等等。下面我们就做两个题目，体会画线段图解决问题的优越性。 1、育才小学2000年有60台计算机，2006年以达到150台。2006年比2000年增加了百分之几？ 2、有两根蜡烛，一根长8厘米，另一根长6厘米。把两根都燃掉同样长的
(完整版)平面向量与三角形四心问题.docx
平面向量基本定理与三角形四心 已知 O 是ABC 内的一点，BOC ,AOC , AOB 的面积分别为S A， S B， S C，求证：S A? OA S B? OB S C? OC 0 A 如图 2延长 OA 与 BC 边相交于点 D 则 O B C 图 1 BD S A BD S BOD S ABD S BOD S C DC S ACD S COD S ACD S COD S B OD DC OB BD OC BC BC A O S B OB S C OC S B S C S B S C B D C OD S BOD S COD S BOD S COD S A OA S BOA S COA S BOA S COA S B S C 图2 OD S A OA S B S C S A OA S B OB S C OC S C S B S B S C S B S C S A? OA S B? OB S C? OC 0 推论 O 是 ABC 内的一点，且 x?OA y?OB z?OC0 ，则S BOC: S COA: S AOB x : y : z
有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC 的重心 S BOC: S COA: S O 是ABC 的内心 S BOC: S COA: S O 是ABC 的外心 S BOC: S COA: S AOB AOB AOB 1:1:1OA OB OC0 a : b : c a ?OA b ?OB c ?OC0 sin 2A :sin 2B : sin 2C sin 2A ? OA sin 2B ? OB sin 2C ?OC0 O 是ABC 的垂心 S BOC: S COA: S AOB tan A: tan B : tan C tan A ?OA tan B ? OB tan C ?OC0 C O A D B 证明：如图 O 为三角形的垂心， tan A CD , tan B CD tan A: tan B DB : AD AD DB S BOC: S COA DB : AD S BOC: S COA tan A : tan B 同理得 S COA: S AOB tan B : tan C ， S BOC: S AOB tan A : tan C S BOC: S COA: S AOB tan A: tan B : tan C 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一
平面向量的基本定理
平面向量的基本定理 各位老师大家好，今天，我说课的内容是：人教B版必修4第二章第二节《平面向量的基本定理》第一课时，我将从教材分析、学生分析、教学方法和手段、教学过程以及教学评价五个方面进行分析 一、说教材 1.关于教材内容的分析 （1）平面向量基本是共线向量基本定理的一个推广，将来还可以推广到空间向量，得到空间向量基本定理，这三个定理可以看成是在一定范围内向量分解的唯一性定理。所以它是进一步研究向量问题的基础；是解决向量或利用向量解决问题的基本手段。 （2）平面向量基本定理揭示了平面向量的基本关系和基本结构，是进行向量运算的基本工具，它、也为平面向量坐标表示的学习打下基础。 （3）平面向量基本定理蕴涵了一种十分重要的数学思想——转化思想，因此，有着十分广阔的应用空间。 2.关于教学目标的确定 根据教学内容的特点，依据新课程标准的具体要求，我从以下三个方面来确定本节课的教学目标。 1、①了解平面向量基本定理及其意义,会做出由一组基地所表示的向量
②会把任意向量表示为一组基地的线性组合。掌握线段中点的向量表达式 2、通过对平面向量基本定理的归纳，抽象、概况，体验定理的产生和形成过程，提高学生抽象的能力和概括的能力 3、通过对定理的应用增强向量的应用意识，进一步体会向量是处理几何问题的强有力的工具。 3.重点和难点的分析 掌握了平面向量基本定理，可以使向量的运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题就转化为学生熟知的数量运算，这也是中学数学课中学习向量的目的之一，所以我认为对平面向量基本定理的应用是本节课的重点。另外对向量基本定理的理解这一点对于初学者来说有一定难度，所以是本节的难点。突破难点的关键是在充分理解向量的平行四边形法则的和向量共线的充要条件下多方位多角度的设计有关训练题从而加深对定理的理解。 二、说教学方法与教学手段 结合新课标“以学生为本”的课堂教学原则和实际情况，确定新课教学模式为：质疑—合作—探究式。 此模式的流程为激发兴趣--发现问题，提出问题--自主探究，解决问题--自主练习， 采用多媒体辅助教学，增强数学的直观性，实物投影的使用激发学生的求知欲。