全国名校高中数学题库--直线方程

高三数学第一轮总复习讲义 讲义31 直线的的方程、两条直线的位置关系

一、基本知识体系：

1、 直线的倾斜角、斜率、方向向量：

① 求直线斜率的方法：（1）、定义法：k= tan α (α≠π2)；②斜率公式：k= y 2-y 1

x 2-x 1

(x 1

≠x 2）；当x 1=x 2时，斜率不存在。③直线的方向向量：直线L 的方向向量为→

m =（a,b),则该直线的斜率为k= b a

2、 直线方程的五种形式：

名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式

y-y 1=k(x-x 1) (x 1,y 1)为直线上的一个定点，且k 存在

不垂直于x 轴的直线

斜截式

y= kx+b k 是斜率，b 是直线在y 轴上的截距

不垂直于x 轴的直线

两点式 y-y 1y 2-y 1 = x-x 1

x 2-x 1 (x 1≠x 2,y 1≠y 2

(x 1,y 1)、 (x 2,y 2)为直线上的两个定点，

不垂直于x 轴和y 轴的直线

截距式 x a +y

b =1 (a,b ≠0)

a 是直线在x 轴上的非零截距，

b 是直线在y 轴上的非零截距 不垂直于x 轴和y 轴，且不过原点的直线

一般式

Ax+By+C=0 (A 2+B 2

≠0) 斜率为-A

B

，在x 轴上的截距为-C

A

，在y 轴上的截距为

-C B

任何位置的直线

3、 判断两条直线的位置关系的条件：

斜载式：y=k 1x+b 1 y=k 2x+b 2

一般式：A 1x+B 1y+C 1=0

A 2x+

B 2y+

C 2=0 相交 k 1≠k 2 A 1B 2-A 2B 1≠0 垂直 k 1·k 2=-1 A 1A 2+B 1B 2=0

平行 k 1=k 2且b 1≠b 2 A 1B 2-A 2B 1=0且 A 1C 2-A 2C 1≠0 重合

k 1=k 2且b 1=b 2

A 1

B 2-A 2B 1= A 1

C 2-A 2C 1= B 1C 2-B 2C 1≠0=0

4、 直线L 1到直线L 2的角的公式：tan θ = k 2-k 1

1+k 1k 2 (k 1k 2

≠-1) 直线L 1与直线L 2的夹角公式：tan θ = |

k 2-k 1

1+k 1k 2

| (k 1k 2≠-1) 5、点到直线的距离：点P （x 0,y 0)到直线Ax+By+C=0的距离为d=

| Ax 0+By 0+C| A 2

+B 2

6、两条平行的直线之间的距离：两条平行线Ax+By+C 1=0 和Ax+By+C 2=0之间的距离d=

|C 1-C 2|

A 2

+B 2

7、直线系方程：①、过定点P （x 0,y 0)的直线系方程：y-y 0=k(x-x 0)；②、平行的直线系方程：y=kx+b ；③、过两直线A 1x+B 1y+C 1=0 和A 2x+B 2y+C 2=0的交点的直线系方程为：

A 1x+

B 1y+

C 1+λ（A 2x+B 2y+C 2）=0

8、对称问题：点关于点对称、点关于线对称、线关于线对称、线关于点对称： 二、典例剖析：

★【例题1】、设函数?（x ）=asinx-bcosx 图象的一条对称轴方程为x=π

4,则直线ax-by+c=0

的倾斜角为（B ）

A

π4 B 3π4 C π3 D 2π3

★【例题2】已知集合A={（x,y)|x=cos θ且y=sin θ,θ∈[0,π]},B={(x,y)|y=kx+k+1},若A ∩

B 有两个元素，则k 的取值范围是_____▲解：画图可知，直线与半圆有两个交点，则[-1

2,0)

★【例题3】已知直线过点P （-1，2）,且与以点A （-2，-3）、B （3，0）为端点线段相交，则直线L 的斜率的取值范围是__ (k ≥5,或k ≤-12)

三、巩固练习：

★【题1】已知两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则a 等于

（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1-

▲解：两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则(2)1a a +=-，∴ a=－1，选D.

★【题2】已知过点()2A m -，和()4B m ，

的直线与直线210x y +-=平行，则的值为 ( )

A 0

B 8-

C 2

D 10 ▲解： (m+2)×(-2)-1×(4-m)=0,m=-8, 选(B) ★【题3】 “2

1=

m ”是“直线0

3)2()2(013)2(=-++-=+++y m x m my x m 与直线相互垂直”的（ B ）A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 ▲【详解】当12

m =时两直线斜率乘积为1-，从而可得两直线垂直；当2m =-时两直线一

条斜率为0，一条

斜率不存在,但两直线仍然垂直；因此12

m =是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要

条件.

●注意：对于两条直线垂直的充要条件①12,k k 都存在时12.1k k =-；②12,k k 中有一个不存在另一个为零；

对于②这种情况多数考生容易忽略.

★【题4】 若三点 A （2，2），B （a ，0），C （0，b ）（0 ,b ）(ab ≠0)共线，则, 11a b

+的值

等于________1/2

★【题5】已知两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，则a =____.

▲解：已知两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，233

a -=-

，则

a =2.

★【题6】已知圆2x －4x －4＋2y ＝0的圆心是点P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是 ．

▲ 解：由已知得圆心为：(2,0)P ，由点到直线距离公式得：|201|2

2

11

d --=

=+； ★【题7】过点（1，2）的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最

小时，直线l 的斜率k ＝ ． 2

2

★【题8】直线1x y +=与圆2220(0)x y ay a +-=>没有公共点，则a 的取值范围是

A ．(0,21)-

B ．(21,21)-+

C ．(21,21)--+

D ．(0,21)+ ▲解：由圆2220(0)x y ay a +-=>的圆心(0,)a 到直线1x y +=大于a ，且0a >，选A 。

★【题9】． 若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的 距离为22,则直线l 的倾斜角的取值范围是：A ． ]412[ππ

， B ．]12512[π

π， C ．]36[

π

π， D ．]2

0[π

，

▲解：圆010442

2

=---+y x y x 整理为222

(2)(2)(32)x y -+-=，∴圆心坐标为(2，

2)，半径为32，要求圆上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，则圆心到直线的距离应小于等于2， ∴

2

2

|22|2a b a b

++≤

，∴ 2()4()1a a

b b ++≤0，∴ 23()23a

b

--

-+

≤≤，

()a

k b

=-，∴ 2323-

+≤k ≤，直线l 的倾斜角的取值范围是]12

512[

π

π

，，选B.

★【题10】7．圆0104422=---+y x y x 上的点到直线0

14=-+y x 的最大距离与最小距离

的差是

A ．36

B . 18 C. 2

6

D . 2

5

▲．解：圆0104422=---+y x y x 的圆心为(2，2)，半径为32，圆心到到直线0

14=-+y x 的距离为

|2214|

252

+-=>32，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R

=62，选C.

★【题11】设直线过点(0，a)，其斜率为1， 且与圆x 2+y 2=2相切，则a 的值为( ) A ．± 2 B ．±2 B ．±2 2 D ．±4

▲解；直线过点(0，a)，其斜率为1， 且与圆x 2+y 2

=2相切，设直线方程为y x a =+，圆心(0，0)道直线的距离等于半径2，∴

||22a =

，∴

a 的值±2，选B ． ★【题12】如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1， l 2与l 3间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上， 则△ABC 的边长是(D):（A ）32

（B ）

3

64 （C ）4

173 （D ）3

212

★【题13】如图，三定点A(2，1)，B(0，－1)，C(－2，1); 三动点D ，E ，M 满足AD →=tAB →， BE → = t BC →， DM →=t DE →

， t ∈[0，1]． (Ⅰ) 求动直线DE 斜率的变化范围; (Ⅱ)求动点M 的轨迹方程．

．▲解： 如图， (Ⅰ)设D(x 0，y 0)，E(x E ，y E )，M(x ，y)．由AD →=tAB →， BE → = t BC →

， 知(x D －2，y D －1)=t(－2，－2)． ∴???x D =－2t+2y D =－2t+1 同理 ???x E =－2t y E =2t －1

． ∴k DE =

y E －y D x E －x D = 2t －1－(－2t+1)

－2t －(－2t+2)

= 1－2t ． ∴t ∈[0，1] ， ∴k DE ∈[－1，1]． (Ⅱ) ∵DM →=t DE →

∴(x+2t －2，y+2t －1)=t(－2t+2t －2，2t －1+2t －1)=t(－2，4t －2)=(－2t ，4t 2

－2t)． ∴???x=2(1－2t)y=(1－2t)2 ， ∴y=x 24

， 即x 2

=4y ． ∵t ∈[0，1]， x=2(1－2t)∈[－2，2]． 即所求轨迹方程为: x 2=4y ， x ∈[－2，2]

※★【题14】已知圆M ：（x ＋cos θ）2＋（y －sin θ）2＝1，直线l ：y ＝kx ，下面四个命题：

（A ） 对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切； （B ）对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有

公共点；

（C ） 对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与和圆M 相切；（D ）对任意实数k ，必存

在实数θ，使得直线l 与和圆M 相切；其中真命题的代号是______________（写出

所有真命题的代号）

▲解：圆心坐标为（－cos θ，sin θ）d ＝

2

2

2

|k cos sin |

1k |sin |

1k

1k

|sin |1

θθθ?θ?≤－－＋（＋）＝

＋＋＝（＋）;故选

y

x

O M D A C

－1 －1 －2 1

2

B

E

（B ）（D ）

※★【题15】在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为２，宽为１，AB 、AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合（如图５所示）．将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上．（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k ，试写出折痕所在直线的方程；（Ⅱ）求折痕的长的最大值． ▲解：（Ⅰ）( i ) 当0=k 时,此时A 点与D 点重合, 折痕所在的直线方程

2

1=

y ，

( ii ) 当0≠k 时，设A 点落在线段DC 上的点)1,(0x A '， )20(0≤≤x ，则直线A O '的斜率0

01x A k =

'，∵,A O '折痕所在直线垂直平分

∴

1-=?'k k A O ，∴

110

-=?k x ，∴k x -=0；又∵折痕所在的直线与A O '的交点坐标（线段

A O '的中点）；为)2

1

,2(k M -

， ∴折痕所在的直线方程)2

(21k x k y +=-，即2

1

22k y kx =++，由( i ) ( ii )得折痕所在的

直线方程为：2

12

2

k

y kx =+

+

)02(≤≤-k

（Ⅱ）折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为)0,21

(,)2

1,

0(2

2

k

k

F k

E +-

+

由（Ⅰ）知，0x k -=，∵200≤≤x ，∴02≤≤-k ，设折痕长度为d ，所在直线的倾斜角为θ，

( i ) 当0=k 时，此时A 点与D 点重合, 折痕的长为2 ；( ii )当02<≤-k 时， 设k

k

a 21

2

+-

=，2

12

+=

k

b ，20=≤

322+-≤≤-k ，

2=>AB a 时，l 与线段BC 相交，此时032<<+

-k ，10≤

相交，此时01<≤-k ，

1>b 时，l 与线段DC 相交，此时12-<≤-k ，∴将k 所在的分为３个子区间：

①当12-<≤-k 时，折痕所在的直线l 与线段DC 、AB 相交， 折痕的长

O (A)

B C

D

x

y

图5

11|

|11||1|

sin |12

22

+=

+=

+=

=

k k k k k d θ，∴

22

5<≤d ，②当3

21+-≤≤-k 时，折痕所在的直线l 与线段AD 、AB 相交，

折痕的长

4

3414

34

)

2

1(

)21(2

242

2

2

2

+

+

+

=

+++-

=k

k k k k

k d

令0)(≥'x g ，即0212

33

3≥-

+k

k k ，

即013246≤-+k k ，即 0)2

1()1(222≤-+k k ，

∵321+-≤≤-k ，∴解得322

2+-≤≤-k ；令0)(≤'x g ， 解得

2

21-

≤≤-k ，

故当2

21-

≤≤-k 时，)(x g 是减函数，当322

2+-≤≤-

k 时，)(x g 是增函数，

∵2)1(=-g ，)348(4)32(-=+-g ，∴)32()1(+-<-g g ，∴当3

2+-=k 时，)348(4)32(-=+

-g ，)26(23482)32(-=-=+-=g d ，∴当

321+

-≤≤-k 时， )26(2-≤d ，③当032<<+-k 时，折痕所在的直线l 与

线段AD 、BC 相交，折痕的长22

12112|

c o s |2k k

d +=+=

=

θ， ∴

34822-<

综上所述得，当32+-=k 时，折痕的长有最大值，为)26(2-

．

高三数学第一轮复习：直线方程与两直线的位置关系

【本讲主要内容】

直线方程与两直线的位置关系

直线斜率的概念、直线方程的几种形式、两条直线的位置关系、两条相交直线的夹角和到角公式、点到直线距离公式。

【知识掌握】

【知识点精析】

1. 直线斜率的概念：

（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。当直线和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0o。因此，直线的倾斜角α的取值范围是0o≤α＜180o。

（2）直线的斜率：倾斜角α≠90o的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tanα(α≠90o)。

（3）直线的方向向量：设F

1(x

1

，y

1

)、F

2

(x

2

，y

2

)是直线上不同的两点，则向量

2

1

F

F=( x2-

x 1，y

2

- y

1

)称为直线的方向向量。向量

2

1

1

2

1

F

F

x

x-

=(1，

1

2

1

2

x

x

y

y

-

-

)=(1，k)也是该直线的

方向向量，k是直线的斜率。

（4）求直线斜率的方法：

①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90o，则斜率k=tanα

②公式法：已知直线过两点P

1(x

1

，y

1

)、P

2

(x

2

，y

2

)，且x

1

≠x

2

，则斜率k=

1

2

1

2

x

x

y

y

-

-

③方向向量法：若a=(m，n)为直线的方向向量，则直线的斜率为k=

m

n

说明：平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率。斜率的图象如图：

2. 直线方程的几种形式：

（1）点斜式：）（11x x k y y -=-，其特例是：b kx y +=（斜截式）； （2）两点式：

1

211

21x x x x y y y y --=--，其特例是：

1=+

b

y a

x （截距式）

； （3）一般式：0=++C By Ax （A 、B 不同时为0）

说明：使用直线方程时，要注意限制条件。如点斜式的使用条件是直线必须存在斜率；截距式的使用条件是两截距都存在且不为0；两点式的使用条件是直线不与x 轴垂直，也不与y 轴垂直。

3. 两条直线的位置关系：

（1）当直线方程为111:b x k y l +=、222:b x k y l +=时，若1l ∥2l ，则2121b b k k ≠=且；若1l 、2l 重合，则2121b b k k ==且；若1l ⊥2l ，则121-=?k k 。

（2）当两直线方程为0:0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 、时，若1l ∥2l ，则

1

22112211221C B C B C A C A B A B A ≠≠=或且；若

1

l 、

2

l 重合，则

122112211221C B C B C A C A B A B A ===且且；若1l ⊥2l ，则02121=+B B A A 。

说明：利用斜率来判断两条直线的位置关系时，必须是在两直线斜率都存在的前提下才行，否则就会得出错误结论，而利用两条直线的一般式方程的系数来判断就不易出错。 例如：已知直线()021:1=-++y x a l 与直线()0122:2=+++y a ax l 互相垂直，则实数a 的值为（ ）

A. -1或2

B. -1或-2

C. 1或2

D. 1或-2 解析：1l ⊥2l ?()()210221-=-=?=+++a a a a a 或，故选B 。 4. 点到直线的距离、直线到直线的距离：

（1）点P ()00,y x 到直线0=++C By Ax 的距离为：2

2

00B

A C

By Ax d +++=

（2）当1l ∥2l ，且直线方程分别为0:0:2211=++=++C By Ax l C By Ax l 、时，

两直线间的距离为：2

2

21B

A C C d +-=

5. 两直线的夹角：

若直线1l 、2l 的斜率分别为21k k 、，则 （1）直线1l 到2l 的角θ满足：()11tan 2

11

212-≠?+-=

k k k k k k θ

（2）直线1l 、2l 所成的角（简称夹角）θ满足：()11tan 2

11

212-≠?+-=

k k k k k k θ

若直线1l 、2l 的斜率至少有一个不存在时，可根据图象直接求出所求的角。 6. 两直线的交点：

两直线的交点的个数取决于由两直线组成的方程组的解的个数。 7. 对称问题：

（1）中心对称：

设平面上两点()()111,,y x P y x P 和关于点()b a A ,对称，则点的坐标满足：b y y a x x =+=+2

,2

1

1

；若一个图形与另一个图形上任一对对应点满足这种关系，那么这

两个图形关于点A 对称。 （2）轴对称：

①设平面上有直线0:=++C By Ax l 和两点()()111,,y x P y x P 、，若满足下列两个条件：

（ⅰ）PP 1⊥直线l ；

（ⅱ）PP 1的中点在直线l 上，则点1P P 、关于直线l 对称；若一个图形与另一个图形上任意一对对应点满足这种关系，那么这两个图形关于直线l 对称。 ②对称轴是特殊直线的对称问题：

对称轴是特殊直线的对称问题可直接通过代换求解： （ⅰ）关于x 轴对称，以y -代y ； （ⅱ）关于y 轴对称，以x -代x ；

（ⅲ）关于直线x y =对称，x 、y 互换；

（ⅳ）关于直线0=+y x 对称，以x -代y ，同时以y -代x ； （ⅴ）关于直线a x =对称，以x a -2代x ； （ⅵ）关于直线b y =对称，以y b -2代y ；

③对称轴是一般直线的对称问题，可根据对称的意义，由垂直平分列方程找到坐标之间的关系：

设点()()2211,,y x Q y x P 、关于直线()00:≠=++AB C By Ax l 对称 则??

?

????=++?++?=--02221211

21

2C y y B x x A A B x x y y

【解题方法指导】

例1. 若θ为三角形中最大内角，则直线0tan :=++m y x l θ的倾斜角的范围是（ ）

A.??? ??????

?

?32,22,

0πππ B.??

?

?????? ??32223ππππ，， C.??

? ?????

? ?

?πππ，，3

30 D.??

?

?????

? ?

?πππ，，3

220

解析：∵θ是三角形中的最大内角，∴

3

π≤θ＜π，

∴直线l 的斜率()(]

3,,0tan -∞-?+∞∈-=θk

∴它的倾斜角的范围是??

?

??????

?

?32,22,

0πππ 评述：若已知斜率的取值范围，要求倾斜角的范围时，应利用“正切函数x y tan =在

??????2

0π，和??

?

??ππ

，2

上均递增”这一性质来求解。

例2. 已知直线062:1=-+y x l 和点()1,1-A ，过点A 做直线l 与已知直线l 1相交于B 点，且5=AB ，求直线l 的方程。

解析：过点()1,1-A 与y 轴平行的直线为1=x ，解方程?

??=-+=0621

y x x

求得B 点坐标为()4,1，此时5=AB ，即1=x 为所求 设过()1,1-A 且与y 轴不平行的直线为l ：()11-=+x k y

解方程组()

??

?-=+=-+11062x k y y x

得两直线交点为???

????

+-=++=2242

7k k y k k x （2-≠k ，否则与已知直线平行）

由已知2

2

251224127=??

? ??++-+??? ??-++k k k k

解得4

3-

=k ，∴()14

31--

=+x y

即0143=++y x 为所求

评述：利用待定系数法设直线方程时可能由于所用方程的形式，设出时就漏掉了斜率不存在的一种情况。解题时一般先考虑特殊情形。

例 3. 已知三条直线02:1=+-a y x l （a ＞０），直线0124:2=++-y x l 和直线

01:3=-+y x l ，且1l 与2l 的距离是

510

7。

（1）求a 的值； （2）求3l 到1l 的角θ；

（3）能否找到一点P ，使得P 点同时满足下列三个条件：①P 是第一象限的点；②P

点到1l 的距离是P 点到2l 的距离的2

1

；③P 点到1l 的距离与P 点到3l 的距离之比是

5:

2；若能，求P 点的坐标；若不能，说明理由。

解析：（1）2l 即0212=-

-y x

∴1l 与2l 的距离()

10

5712212

2

=

-+?

??

??--=

a d

∴

10575

21=+

a

∴2

72

1=+

a ，∵a ＞０，∴a ＝3

（2）由⑴，1l 即032=+-y x ∴21=k ，而3l 的斜率13-=k ∴()()

3121121tan 3

131-=-+--=

?+-=

k k k k θ

∵０≤θ＜π，∴θ＝3arctan -π （3）设点()00y x P ，，若P 点满足条件②

则P 点在与1l 、2l 平行的直线02:'

=+-C y x l 上

且

5

2

12

15

3+=

-C C

即6

11,2

13=

=

C C 或

∴06

112,02

1320000=+

-=+-y x y x 或；

若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式，有

2

1

5

25

3

20000-+?

=

+-y x y x

即1320000-+=+-y x y x ∴023042000=+=+-x y x ，或； 由P 点在第一象限，∴0230=+x 不可能 联立方程04202

1320000=+-=+

-y x y x 和

解得??

?

??=-=；

21300y x 应舍去

由?????=+-=+-，，04206

1120000y x y x 解得???

????

=

=18379

10

0y x ∴??

?

??183791，P 即为同时满足三个条件的点

评述：与直线0=++C By Ax 平行的所有直线总能设为01=++C By Ax 的形式（称为平行直线系方程），而两条平行直线间的距离除用公式表示外，总能看成是其中一条直线上的任一点到另一直线的距离，最终化归为点到直线的距离。

【考点突破】

【考点指要】

关于直线的方程，直线的斜率、倾斜角，两点间距离公式，点到直线的距离公式，夹角与到角公式，两直线的垂直、平行关系等知识的试题，都属于基本要求，既有选择题、填空题，也有解答题，所占的分值为5～10分，一般涉及到两个以上的知识点，这些仍将是今后高考考查的热点。

考查通常分为三个层次：

层次一：考查与直线有关的基本概念、公式；

层次二：考查不同条件下的直线方程的求法；

层次三：考查直线与其它知识的综合。

解决问题的基本方法和途径：数形结合法、分类讨论法、待定系数法。

【典型例题分析】

例4. （2006上海）已知圆22440x x y --+=的圆心是P ，则点P 到直线10x y --=的距离是__________。 答案：

22

解析：由题意圆的方程22440x x y --+=可化为()2

2

28x y -+=

∴圆心()2,0P ，代入点到直线距离公式得2

2)

1(1|

1-(-1)012|d 2

2

=

-+?+?=

评述：此题主要体现对基本公式的考查。

例5. (2006上海)若曲线2

1y x =+与直线y kx b =+没有公共点，则k b 、分别应满足的条件是____________。 答案：k=0且-1

x x x x x 2

110

10=+=+>-+

||，，画出图象得

设图象与y 轴的交点分别为()()0101A B -，

、，，过点A B 、作平行于x 轴的直线，根据题意，直线y kx b =+与曲线没有公共点，则只能与x 轴平行且在虚线区域内移动。 评述：由于曲线方程中含有绝对值，所以先分情况去掉绝对值符号，若联立方程组2211

y x y x y kx b y kx b

??=+=-+?

?=+=+??或，分别利用判别式“△<0”去求解没有公共点的情况，题目会变的非常烦琐。借助于图象既快捷又直观，利用数形结合是解决这类题目非常有效的方法。

例6. （2006湖北）设过()P x y ，点的直线分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A B 、两点，

点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =

且1O Q A B ?= ，则点P 的轨迹

方程为（ ） A. )0,0(12

3x 32

2>>=+y x y

B. )0,0(12

332

2>>=-y x y

x

Ｃ.

)0,0(132

32

2

>>=-y x y x

Ｄ.

)0,0(132

32

2

>>=+y x y x

答案：Ｄ

解析：设过点()P x y ，的直线方程为)0,0(><+=b k b kx y ，则(),0,0,b

A B b k ?

?

-

???

，

由题意知点Q 与点P 关于y 轴对称，得(),Q x y -，又()0,0O ∴()()0,2,00,00,01b x y b x y k b x y b k ???

--=--- ??

???

??????---?---= ?????????

即3231b x k b y b

x by k

?-=??=???-+=?，得22

3312x y +=

0,0,0,0>>∴>

评述：此题体现了直线与向量知识的综合运用，向量的坐标运算和解析几何关系密切。本题需注意在得到轨迹方程后，要对x y 、的范围进行讨论，这里容易忽略造成丢分。

【达标测试】

一. 选择题：

1. 直线ab ay bx =+﹝a ＜０，b ＜０＝的倾斜角的范围是（ ）

A. ??? ?

?-a b arctan B. ??? ?

?

-

b a arctan C. a

b arctan -π D. b

a arctan -π

2. 设点()()2332，、，

B A -，若直线02=++y ax 与线段ＡＢ有交点，则a 的取值范围是（ ）

A. ??

?

???∞+???? ?

?

-

∞-，，3425

B. ??

??

??

-

2534， C. ??

?

?

?

?

-

3425，

D. ??

????∞+???? ?

?-

∞-，，2534 3. 在直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别为()()()023330，，，，，C B A ，若直线a x =将 △ABC 分割成面积相等的两部分，则实数a 的值是（ ） A. 3 B. 2

31+

C. 3

31+

D. 2

22-

4. 已知()()2,53,1-B A 、，Ｐ为x 轴上的点，如果BP AP -的绝对值最大，则Ｐ点的坐标为（ ） A. ()0,4.3

B. ()0,13

C. ()0,5

D. ()0,13-

5. 过点()2,1A 且与原点距离最大的直线方程是 （ ） A. 052=-+y x B. 042=-+y x C. 073=-+y x

D. 053=--y x

6. 直线0632=-+y x 关于点()1,1-对称的直线方程是（ ） A. 0223=+-y x B. 0732=++y x C. 01223=--y x

D. 0832=++y x

7. 已知直线1l 和2l 的夹角平分线为x y =，如果1l 的方程为0=++c by ax (ab ＞0)， 那么2l 的方程为（ ） A. 0=++c ay bx B. 0=+-c by ax C. 0=-+c ay bx

D. 0=+-c ay bx

8. 已知两条直线0:,0:21=++=++p ny mx l c by ax l ，则bm an =是直线1l ∥2l 的（ ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

二. 填空题：

9. 设k b a =+(k 为常数)，则直线1=+by ax 恒过定点___________。 10. 实数y x 、满足0523=--y x (1≤x ≤3)，则

x

y 的最大值、最小值分别是_______。

11. 若直线x y =与1+=kx y 有两个交点，则k 的取值范围是___________。 12. 设点P 在直线03=+y x 上，且P 到原点的距离与P 到直线023=-+y x 的距离相等，则P 点坐标是_________。

三. 解答题：

13. 已知两点()(),2,3,1A m B ，求直线AB 的斜率与倾斜角以及倾斜角的范围。 14. 已知直线l 过()32，P ，且和两条平行直线0843074321=++=-+y x l y x l ：，：分别相交于B A 、两点，如果23=AB ，求直线l 的方程。

15. 等腰直角ABC ?的斜边AB 所在的直线方程是023=+-y x ，??

?

??52514，C ，求直线AC 和直线BC 的方程及ABC ?的面积。

【综合测试】

一. 选择题 1. （2004湖南）设直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sin α+cos α=0，则a 、b 满足（ ） A. a+b=1 B. a-b=1 C. a+b=0

D. a-b=0

2. （2006潍坊）过点()21，-P 且方向向量为()21，-=a 的直线方程为（ ） A. 02=+y x B. 052=+-y x C. 02=-y x

D. 052=-+y x

3. （2005南京）与直线0543=++y x 的方向向量共线的一个单位向量是（ ）

A. ()43，

B. ()34-，

C. ??

? ??5453， D. ??

?

??-

535

4

， 4. 已知三条直线03010=++=-+=-y mx y x y x ，，不能构成三角形，则m 的取值范围是 （ ） A. {}11-，

B. {}711--，，

C. {}711，，-

D. ?

??

?

??

-

-7111，， 5. （2006山东）已知两条直线021=-=y ax l x y l ：，：（其中a 是实数），当这两条

直线的夹角在??

?

?

?120π，内变动时，a 的取值范围是（ ）

A. ()10，

B. ???

?

??333， C. ()

31133，，????

?

?? D. ()

31，

6. （2006黄冈）点()θθcos sin ，到直线01sin cos =+?+?θθy x 的距离小于2

1，则θ的

取值范围是（ ） A. ()Z k k k ∈??

?

??

-

-

62652ππππ，

B. ()Z k k k ∈??

?

?

?

-

-

1212

5ππππ，

C. ()Z k k k ∈??

?

??-

-32322ππππ，

D. ()Z k k k ∈??

?

?

?

-

-

63

πππ

π， 7. （2006豫南三市联考）如果点()a ，5在两条平行直线0186=+-y x 和

0543=+-y x 之间，则整数a 的值为（ ）

A. 5

B. -5

C. 4

D. -4

8. （2006海淀）在平面直角坐标系内，将直线l 向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，得到直线'l ，l 与'l 的距离为13，则直线l 的倾斜角为( ) A. 3

2arctan B. 2

3arctan

C. 3

2arctan

-π D. 2

3arctan

-π

二. 填空题：

9. （2005上海）在平面直角坐标系中，若定点()21，

A 与动点()y x P ，满足4=?OA OP ，则点P 的轨迹方程是___________。

10. 光线从点()43，

-A 出发射到x 轴上，被x 轴反射到y 轴上，又被y 轴发射后到点()61，-B ，则光线所经过的路程长为_____________。

11. 过点()41，

P 作一直线，使其在两坐标轴上的截距为正，当其和最小时，这条直线的方

程为____________。

12. （2006江西九校联考）将一张坐标纸折叠一次，使得点()0,2与点()2,0-重合，且点()2003,2004与点(),m n 重合，则n m -=_________。

三. 解答题：

13. 设直线:210l x By +-=的倾斜角为α （1）试将α表示为B 的函数； （2）若

3

26παπ

<

<，试求B 的取值范围；

（3）若()(),21,B ∈-∞-?+∞，求α的取值范围。 14. 已知直线系方程为()()()212430m x m y m ++-+-= （1）求证：不论m 为何实数，直线过定点；

（2）过这定点引一直线分别与x 轴、y 轴的负半轴交于A 、Ｂ两点，求AO B ?面积的最小值及此时直线l 的方程。

15. （2004宣武）如图，一列载着危重病人的火车从O 地出发，沿射线O A 方向行驶，其中10sin 10

α=

。在距离O 地()5a a 为正常数千米、北偏东β角的N 处住有一位医学专

家，其中3sin 5

β=。现120指挥中心紧急调离O 地正东p 千米B 处的救护车，先到N 处

载上医学专家，再全速赶往乘有危重病人的火车，并在C 处相遇。经测算，当两车行驶的路线与O B 所围成的三角形O B C 面积S 最小时，抢救最及时。

（1）在O 以为原点，正北方向为y 轴的直角坐标系中，求射线O A 所在的直线方程； （2）求S 关于p 的函数关系式()S f p =；

（3）当p 为何值时，抢救最及时？

达标测试答案

一. 选择题： 1. C

解析：由ab ay bx =+得斜率a

b k -

=＜０，倾斜角??

?

??∈ππ

α，2 ∴a

b arctan -=πα

2. D

解析：直线方程可化为2--=ax y 知过定点()20-，P ，2

5-=PA k ，3

4=

PB k

由a -≥

3

4，得a ≤3

4- 由a -≤2

5-，得a ≥

2

5

3. A

解析：显然△ABC 的面积为

2

9

且0＜a ＜2，设a x =与AC 、AB 的交点分别为E 、F ，则

只要求出E 、F 点的坐标，△AEF 的面积可用含有a 的代数式表示。

由ABC AEF S S ??=

2

1便可求出a ，13

2

:

=+

y x l AC

由??

???==+a

x y x 132得??? ??

-233,a a E ，同理求得()3,a F

∴2

32333a

a EF =

??? ?

?

-

-= 于是4

9212321==??=??ABC AEF S a a S 解得3=

a （3-=a 舍）

4. B

解析：画出坐标系，作Ｂ关于ｘ轴对称点B ’，连结AB ’并延长与x 轴交于P 点，则P 点即为所求。

∵''AB PB PA PB PA PB PB =-=-=’

，，其他位置，'PB PA -＜’AB

由两点式AB ’方程1

513

23--=

--x y ，从而求得P 点的坐标为()013，

。 5. A

解析：过点A 与OA 垂直的直线即为所求。 ∵2=OA k ，故所求的直线方程为()12

12--=-x y ，即052=-+y x

6. D

解析：分析1：直线关于点的对称直线一定是与原直线平行，所以排除A 、C.在0632=-+y x 上取一点()03，

，它关于()11-，的对称点是()21--，，此点在直线0832=++y x 上。

分析2：设()y x P ，是对称直线上的任一点，则它关于点()11-，的对称点

()y x ---22，在已知直线上，即为直线()()0

62322=---+-y x ，整理后得

0832=++y x 为所求。

7. A

解析：易知1l 和2l 关于直线x y =对称，设()y x P ，是2l 上任一点，则它关于x y =的对称点()x y ，在1l 上，所以有0=++c ay bx 即为所求。 8. B

解析：当bm an =时1l 与2l 有可能重合，故bm an =不一定有1l ∥2l ； 当1l ∥2l 时，若0=a ，则0=m 有bm an =，0=b 亦然； 若0≠ab ，有bm an n

m b a =?-

=-

故1l ∥2l ?bm an =

二. 填空题： 9. ???

?

?k k 11， 解析：b k a -=代入1=+by ax 得()1=--y x b kx

∴此直线恒过??

???=

=-k x y x 1

的交点，即点???

??k k 11， 10.

3

2 -1 解析：设x

y k =，则

x

y 表示线段0523=--y x AB ：(1≤x ≤3)上的点与原点连线的

斜率。

∴()()2311，，，

B A -