中南大学高等工程数学考试
中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷（开卷）
考试日期：2010年 4 月 日 时间110分钟
注：解答全部写在答题纸上
一、填空题(本题24分，每小题3分)
1. 若函数1()[,]x C a b ?∈,且[,]x a b ?∈有()[,]x a b ?∈和1)('<≤L x ?, 则方程()x x ?=在[,]a b 上
的解存在唯一，对 任意[]b a x ,0∈为初值由迭代公式)(1
n n x x ?=+产生的序列{}n x 一定收敛于方程
()x x ?=在[,]a b 上的解*x ，且有误差估计式
*x x k
-≤
L
-1ε
；
2. 建立最优化问题数学模型的三要素是： 确定决策变量 、 建立适当的约束条件 、 建立目标函数 ； 3．求解无约束非线性最优化问题的最速下降法会产生“锯齿现象”，其原因是： 最速下降法前后两个搜索方向总是垂直的 ；
4．已知函数)(x f y =过点(,),0,1,2,,i i x y i n =L ，[,]i x a b ∈，设函数)(x S 是()f x 的三次样条插值函数，则)(x S 满足的三个条件（1）在每个子区间[]i i x x ,1-（i=1，2，…，n ）上是不高于三次的多项式；（2）S （x ），S ’（x ），S ’’（x ）在[]b a ,上连续；（3）满足插值条件S （x i ）=y i （i=1，2，…，n ）；
5．随机变量1210~(3,4),(,,,)X N X X X L 为样本，X 是样本均值，则~X N （3，0.4）； 6．正交表()p q N L n m ?中各字母代表的含义为 L 表示正交表，N 表示试验次数，n 、m 表示因子水平数，p 、q 表示试验至多可以安排因素的个数 ；
7．线性方程组Ax b =其系数矩阵满足 A=LU ，且分解唯一 时，可对A 进行LU 解，选主元素的Gauss 消元法是为了避免 采用绝对值很小的主元素 导致误差传播大，按列选取主元素时第k 步消元的主元a kk 为
)1,2,......,1(1-=?
??? ??-=∑+=n i a y a b y ii
n i j i ij i i 8．取步长0.01h =，用Euler 法解'3,[0,1](0)1
y x y x y ?=-∈?
=?的公式为 。 二、（本题6分）某汽车厂三种汽车：微型轿车、中级轿车和高级轿车。每种轿车需要的资源和销售的利润如下表。为达到经济规模，每种汽车的月产量必须达到一定数量时才可进行生产。工厂规定的经济规模为微型车1500辆，中级车1200辆，高级车1000辆，请建立使该厂的利润最大的生产计划数学模型。
解：设微型车生产了x 1辆，中级车生产了x 2辆，高级车生产了x 3辆，而钢材、人工均有限制，所以应满足限制条件：
钢材：1.5x 1+2x 2+2.5x 3≤6000 人工：30x 1+40x 2+50x 3≤55000
生产数量：x 1≥1500 x 2≥1200 x 3≥1000 从而问题的数学模型为： Max c 1x 1+c 2x 2+c 3
()1002,1,009.003.01Λ=+=+n y x y n n n
???
??≥≥≥≤++≤++1000
1200150055000
50403060005.225.1321
321321x x x x x x x x x 三、（本题10分）已知)(x f 的数据如表：
用Newton 插值法求)(x f 的三次插值多项式，计算(6)f 的近似值，给出误差估计式。 解：
因此3
2335.155.97.105.0)(x x x x N +-+=，而5.12)6()6(3==N f
[]504.27)56()26()16(6
2292.0)()6(43
210
3-=-?-?-??-==x x x x x x f R ω
四、（本题12分）为了研究小白鼠在接种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数有没有差异，现试验了在接种三种不同菌型伤寒杆菌（记为123,,A A A 并假设2~(,)i i A N μσ，1,2,3i =，）后的存活日数，得到的数据 (1) 试把上述方差分析表补充完整（请在答卷上画表填上你的答案）
(2) 小白鼠在接种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数有无显著差异？（取0.05α=，0.05(2,12) 3.89F =） 解：（1）见表中红色部分
（2）设H 0：μ1=μ2=μ3=…=μi 选取统计量
)
1()
1(--=
N SSE I SSA
F ，由于显著性水平未给出，设α=0.05，查表得89.3)12,2(05.0=F ，因为
F=6.286>)12,2(05.0F ，所以拒绝H 0，即小白鼠在接种不同型伤寒杆菌后存活日数有显著差异。
五、（本题12分）用表格形式单纯形法求解
1231231213132max 2086832250250
..43150,0
,Z s t x x x x x x x x x x x x x =++++≤??
+≤???
+≤??≥?? 六、（本题10分）试确定求积公式 1
012 1
()(1)(0)(1)f x dx A f A f A f -≈-++?
中的待定系数，使其代数精
度尽量高。
解：将2
,,1)(x x x f =分别代入式中得
???
??????
+=+-=++=2
0202
103
202A
A A A A A A ，因此得35,31120=
==A A A
七、（本题12分）（1）在多元线性回归建模过程中，需要考虑自变量的选择问题。常用的方法有向前回归法、向后回归法、逐步回归法。试解释什么是逐步回归法？
（2）如果要考察因素A 、B 、C 及交互作用A ×B 、A ×C 、B ×C ，如何用正交表78(2)L 安排试验，交互作用见下表，试作表头设计。
表 78(2)L 两列间交互作用表
解：(1)逐步回归法就是对全部因子按其对y 影响程度大小（偏回归平方的大小），从大到小地依次逐个地引入回归方程，并随时对回归方程当时所含的全部变量进行检验，看其是否仍然显著，如不显著就将其剔除，知道回归方程中所含的所有变量对y 的作用都显著是，才考虑引入新的变量。再在剩下的未选因子中，选出对y 作用最大者，检验其显著性，显著着，引入方程，不显著，则不引入。直到最后再没有显著因子可以引入，也没有不显著的变量需要剔除为止。
（2）如果因子A 放在第1列，因子B 放第2列，则A ×B 放在第3列。如C 放在第4列，再查交互作用表，A ×C 和B ×C 应分别放在第5列和第6列。表头设计如下：
八、（本题14分）设方程组为
1230259510430102014x x x ?????? ??? ?
= ??? ? ??? ???????
（1）对方程组进行适当调整，使得用Gauss-Seidel 迭代法求解时收敛； （2）取(0)0x =，用Gauss-Seidel 迭代法计算两步迭代值(1)x ，(2)x ； （3）取(0)
0x
=，估计用Jacobi 迭代求解(100)x 与准确解*x 的误差。
解：（1）将原矩阵变换为如下：
???
?
?
??=????? ??????? ??9301452041050210321x x x ，
经变换后的矩阵为严格对角占优阵，因此在用Gauss-Seidel 迭代法求解时收敛。 （2）由G —S 迭代公式得：
???
?
?????-=--=-=+++++)29(51)4530(101)214(101)1(2)1(3)(3
)1(1)1(2)(2)1(1k k k k k k k x x x x x x x ，又由于(0)0x =，因此经两步迭代后得()88.03.24.1)1(=x ，()9288.0178
.294.0)2(=x
（3）由Jacobi 迭代公式得：
???
?
?????-=--=-=+++)29(51)4530(101)214(10
1)(2)1(3)
(3)(1)1(2
)(2)1(1
k k k k k k k x x x x x x x 因此??
?
??----=)29(51)
4530(101)214(101)99(2)
99(3)99(1)99(2)
100(x x x x x
1
42222
31+-+--=+k k k
k
k k k x x x x x x x 142142222
22
3
1+--=+-+-?-=+k k k
k k k k k k k x x x x x x x x x x 1422
1+--
=+k k k k x x x x 中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷
考试日期：2011年 月 日 时间110分钟
注：解答全部写在答题纸上
一、填空题(本题24分，每小题3分)
（1） 对方程32()2f x x x x =-+，写出其Newton 迭代公式
，使得由迭代公式产生的序列{}n x 可以2阶收敛于方程的唯一正根*
x ；
解：由牛顿迭代公式得
因其存在2重跟，故需对其进行修正得
（2）在[,]a b 上，设0)(=x f 与)(x x ?=等价，
则当)(x ?满足 φ(x)于[a,b]一阶导数存在， 当x ∈[a,b]时，有φ(x)∈[a,b] 和 |g ＇(x)|≤L ≤1，?x ∈[a,b]时，由)(1k k x x ?=+（L ,2,1,0=k ）产生的序列{}k x 收
敛于方程)(x x ?=的根；
（3）用Doolittle 分解法求方程：123211413261225x x x ??????
??????=??????????????????
则：L = ，U = ，解x = ； 解：
????????=11
1
323121l l
l L ，????????=332322131211u u u u u u U ，???
??======1
12
131312121111a u a u a u ， ???
????
====2
121
113131112121u a l u a l ， ???
????=
-==-=2553122122222212313232u l a u u u l a l ，43,23232213212323=
--=u u l u l a u 2021
233213313333=--=u l u l a u ,因此????????????
????
=1
532112
11L ,???????
?
???
?
????
=20214325112U ,()T x 111= ???
???
??
????????153211211?????
???????????=20214325112U ()T
111
（4）已知 2114132,61225A x ????????=-=-????????????，则：A ∞= {}564m ax =6 ；1A = {}564m ax =6 ；1
x = 4+6+5=15 。
（5）已知)(x f y =在区间],[b a 上通过点(,),0,1,2,,i i x y i n =L ，则其三次样条插值函数)(x S 是满足 在每个子区间[])2,1(,1n i x x i i Λ=-上不高于三次的多项式 ， S(x ），S ’（x ），S ’’（x ）在[]b a ,上连续 ， 满足插值条件)2,1()(n i y x S i i Λ==；
（6）设有线性回归模型11121223
12322y y y βεββεββε
=+??
=-+??=++?，其中2~(0,)(1,2,3)i N i εσ= 且相互独立，写出参数
12,ββ的最小二乘估计， 。
解：?????--=+-=-=2
133212211122ββεββεβεy y y ，∑=--++-+-==3
12
21322122112)2()2()(i i y y y Q βββββε
因此得???????+-=??+---=??2
322
13211104212242ββββy y Q
y y y Q ，故?????+-=++-=52623223211y y y y y ββ
（7）在多元线性回归建模过程中，需要考虑自变量的选择问题。写出三种常用的自变量的选取方法 向后回归法、向前回归法、逐步回归法 。
（8）影响数学模型数值求解结果的误差有： 截断误差 ， 舍入误差 ， 观测误差 。 二、（本题8分）已知)(x f 的数据如表：
试求三次Newton 插值多项式3()N x ，求(5)f 的近似值，并给出相应的误差估计式。
因此)2()2(32
9
)2(45)2(2)(3-+++-
+=x x x x x x x N 而21875.0)5()5(3-==N f
[]0))()()(()5(32103
210
3=----=x x x x x x x x x x x x x f R
三、（本题10分）引入人工变量利用大M 法求解下面的线性规划（要求写出计算过程）：
12121212max 34..240.510,
Z x x s t
x x x x x x =++≤-≥≥≥
解：将约束条件加上松弛变量x 3，剩余变量x 4和人工变量x 5后得到一个有基可行解的典型方程如下：
???
??=≥=+--=++)
51(,015.04
25421321Λi x x x x x x x x i
相应的目标函数为
521)43(m ax Mx x x z -+=
列出初始单纯形表，并进行迭代得：
这时的检验数已全部非负。得最优解T X )000
15.1(=*
；人工变量X5=0，去掉人工变量部分，
得原线性规划问题的最优解为()T
X 0015.1=*，最优值=Z 8.5
四、（本题8分）某厂生产甲、乙、丙三种产品，都分别经A,B 两道工序加工，A 工序在设备1A 或2A 上完成，B 工序在1B ，2B ，3B 三种设备上完成。已知产品甲可在A ，B 任何一种设备上加工；产品乙可在任何规格的A 设备上加工，但完成B 工序时，只能在1B 设备上加工；产品丙只能在2A 与2B 设备上加工。加工单位产品所需要工序时间及其他数据见下表。
（1）建立线性优化模型，安排使该厂获利最大的最优生产计划（不要求计算出结果）； （2）写出所建立的模型的对偶形式。 解：（1）设在A1设备上生产甲x11件，乙x12件，在A2设备上生产甲x21件，乙x22件，丙x23件，在B1设备上生产甲x31件，乙x32件，在B2设备上生产甲x41件，丙x43件，在B3设备上生产甲x51件
由已知条件得
)
05.021.144.048.036.0(94.138.115.179.075.0m ax
51434132312322122111x x x x x x x x x x ++++-++++ ?????????????==≥=-=-+=---+≤≤+≤+≤++≤+)
3,2,1,51(00004000770001144000
8610000312976000
105.43233222125141312111514341
32
31
222211211j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s ij Λ
（2）因目标函数为最大值，而线性规划方程符合要求，故不需转换形式，由此得：
54321400070004000100006000m in
y y y y y ++++
????
??
??
??
??
?????
??
??
??=≥-≥--≥--≥--≥--≥-≥+≥+≥+≥+≥+无约束
8766
5
846473638
27
2
716261,,),52,1(005
.0721.11144.0448.0836
.0694
.11238
.1915.11079.0775.05.y y y i y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y t
s i
Λ
五、（本题12分）一种生产降血压药品的生产厂家声称，他们生产的一种降压药服用一周后能使血压明显降低的效率可以达到80%，今在高血压的人群中随机抽取了200人服用此药品，一周后有148人血压有明显降低，试问生产厂家的说法是否真实)01.0(=α？ 解：设降压效率为p ，作假设
H 0：p ≥80% H 1：p ＜80%
由点估计，n
m
X n p
n i i ==∑=11?，m 为血压明显降低的人数，抽取的样本为大样本，因此选取统计量为)
1(n
m m np
m U --=
，对α=0.01，拒绝域{
}01.0Z U W >=。由已知得m=148，n=200,因此统计量0269.49799.212
)
200
148
1(1482008.0148-≈-=-??-=
u ，查表得Z 0.01=2.33，从而，样本观测值未落入拒绝域中，不能拒绝H 0，即生产厂家说法是真实的。
六、（本题10分）设有数值求积公式
3
012 3
()(2)(0)(2)f x dx A f A f A f -=-++?
，试确定012,,A A A ，使
该数值积分公式有尽量高的代数精度，并确定其代数精度为多少。
解：将2
,,1)(x x x f =分别代入式中得
???
??=+=+-=++9
2202262020210A A A A A A A ，因此A 0=2.25，A 1=1.5，A 2=2.25 将却不成立代入式中是成立的，但4
3
)()(x x f x x f ==，因此代数精度为3。 七、（本题12分）影响水稻产量的因素有秧龄、每亩基本苗数和氮肥，其水平如下表
若考虑之间的交互作用，采用)2(8L 安排试验，并按秧龄、每亩基本苗数、氮肥分别放在表的第一、二、四列，解答下列问题：
（1）它们的交互作用分别位于哪一列？（2）若按这种表头作试验并测得产量为83.4, 84.0, 87.3, 84.8, 87.3, 88.0, 92.3, 90.4，试寻找较好的生产条件。 解：列表如下：
由表计算数据及直观分析可知，因子B ×C 、A 、B 是重要的。显然A 取水平A 2，B 取水平B 2，而B ×C 由B 2×C 1：
75.892
3
.923.87=+，B 2×C 2：
6.8724.908.84=+ 故C 取C 1水平。从而最优水平为A 2B 2C 1。
八、（本题16分）设方程组为
12329112125883213x x x ????????????=??????????????????
（1）对方程组进行适当调整，使得用雅可比迭代方法和高斯—塞德尔迭代法求解时都收敛；
（2）写出对应的高斯－塞德尔迭代格式的分量形式； （3）取初始向量(0)
(0,0,0)T x
=，用雅可比迭代方法求准确解*x 的近似解
)1(+k x ，使
(1)*
310k x x +-∞
-≤ 至少需要迭代多少次？
解：（1）???
?
????=????????????????81213521192238321x x x ，经变换后的矩阵为严格对角占优阵，因此在用Gauss-Seidel 迭代法求解
时收敛。
（2）????
?????--=--=--=++++++)
28(51)212(91)2313(81)1(2
)1(1)1(3)
(3)1(1)1(2
)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x
（3）解方程组可知
雅克比迭代法形式为 ???
?
?????--=--=--=+++)
28(51)212(91)2313(81)(2
)(1)1(3)
(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x
()T
x 0215961.19368725
.00182736
.1=*
中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷
考试日期：2010年 4 月 日 时间110分钟
注：解答全部写在答题纸上
一、填空题(本题24分，每小题3分) 1. 若方程0)(=x f 可表成)(x x
?=，且在[,]a b 有唯一根*x ，那么)(x ?满足
，则由迭代公式)(1
n n x x ?=+产生的序列{}n x 一定收敛于*x 。
（)(x ?满足：1()[,]x C a b ?∈,且[,]x a b ?∈有()[,]x a b ?∈, '()1x L ?≤<；）
2. 已知二元非线性函数221122120()24,(2,2)T
f x x x x x x x X =-++-=，该函数从X 0 出发的最速下降方
向为 （最速下降方向为：()4,2T
p =-）
； 3．已知二元非线性函数221122120()24,(2,2)T
f x x x x x x x X =-++-=，该函数从X 0 出发的Newton 方
向为 （Newton 方向为： ()2,0T
p =-）
； 4．已知)(x f y =在区间],[b a 上通过点(,),0,1,2,,i i x y i n =L ，则其三次样条插值函数)(x S 是满足 （（1）在每个小区间是次数不超过3次的多项式，（2）在区间[,]a b 上二阶导数连续，（3）满足插值条件(),0,1,2,,i i S x y i n ==L ）；
5．设某个假设检验问题的拒绝域为W ，且当原假设H 0成立时，样本值12(,,,)n X X X L 落入W 的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为________（0.15） ；
6．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 大 愈好，而置信区间的长度愈 短 愈好。但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 变长 ； 7
．
取
步
长
2
.0=h ，解
]1,0[,1
)0(2'∈??
?=-=x y y
x y 的Euler 法公式为：
（1(2)0.60.2,0,1,2,,5n n n n n n y y h x y y x n +=+-=+=L ）；
8．对实际问题进行建模求解时可能出现的误差有： （模型误差，观测误差，方法误差，舍入误差。） 。
二、（本题8分）某钢铁公司生产一种合金，要求的成分是：锡不少于28%，锌不多于15%，铅恰好10%，镍介于35%到55%之间，不允许有其他成分。钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如下表。矿石杂质在冶炼中废弃，并假设矿石在冶炼过程中金属含量没有发生变化。
（1）建立线性优化模型，安排最优矿物冶炼方案，使每吨合金产品成本最低。（不要求计算出结果）； （2）写出所建立的模型的对偶形式。
（1）设 ,1,2,5)j x j =L （ 是第j 种矿石的数量，目标是使成本最低，得线性规划模型如下：
123451245124513512345123451min 340260*********..0.250.40.20.080.280.10.150.20.050.150.10.050.150.1
0.250.30.20.40.170.550.250.30.20.40.170.350.70Z x x x x x s t
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++++≥+++≤++=++++≤++++≥+2345.70.40.80.4510,
1,2,5
j x x x x x j +++=≥=L 4分
（2）上述线性规划模型的对偶形式如下：
1234561234561456234561245612max 0.280.150.10.550.35..0.25-0.10.10.25
0.250.73400.40.30.30.7260
0.150.050.20.20.41800.20.20.40.40.8230
0.080.050.1f y y y y y y s t
y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y =-+-+++-++≤-++≤-+-++≤--++≤-+345611
12453650.170.170.451900,0,0,0,,y y y y y y y y y R y R -++≤≥≥≥≥∈∈ 4分
三、（本题8分）已知)(x f 的数据如表：
试求三次插值多项式P(x)，求(4)f 的近似值，并给出相应的误差估计式。
解：
用Newton 插值法求)(x f 的插值多项式，由所给数据如表可得差商表如下：
由差商表得出)(x f 的三次插值多项式为：
30.25 1.375
()0.5(1)(1)(3)342
N x x x x x x x =+
---- 3分 于是有
30.25 1.375
(4)(4)0.5443431342
2.7518.25
2177
f N ≈=?+
??-???=+-=
2分
相应的误差估计式为：
3()[0,1,3,7,](1)(3)(7)
[0,1,3,7,4]431(0.000075(36)3)0.0027
R x f x x x x x f -?-==---=????-≈ 2分
四、（本题12分）为了考察硝酸钠NaNO 3的可容性温度之间的关系，对一系列不同的温度（C 0
），观察
它在100的水中溶解的NaNO 3的重量（g ），得观察结果如下：
温度x 20 30 33 40 15 13 26 38 35 43 重量y 7 9 8 11 5 4 8 10 9 10
（1） 求Y 对X 的线性回归方程。（结果保留小数点后两位。）
29310
1
=∑=i i
x
,
8110
1
=∑=i i
y
,
∑==10
1
2574i i i
y x
,
957710
1
2
=∑=i i
x
,
70110
1
2=∑=i i
y
（2）对回归方程的显著性进行检验。（取显著水平为0.05，0.01），0.05(1,8)=5.32F 0.01(1,8)11.26F =，
0.050.01(8) 1.8595(8) 2.8965t t ==。
解：
（１）29.3
8.1x y ==
25741029.38.1200.7xY i i L x y nx y =-?=-??=∑
2
2225741029.3992.1xx i L x nx =-=-?=∑
2
22701108.144.9YY i L y ny =-=-?=∑ 4分
200.7?0.20230.20992.1
xy xx L b L ==≈≈ ??8.10.202329.3 2.17a y bx =-≈-?≈ 回归函数为 ?() 2.170.20x x μ
=+ 4分 （２）211??()(44.90.2023200.7)0.5428
YY xY
L bL n σ
=-=-?=- 222
?0.2023200.715.21?0.54
xY
b L F σ?===
，或 3.9T == 2分 0.050.01(1,8)
(1,8)F F F F >> 故在显著水平为0.05，0.01下线性回归是显著的 或0.050.01(8)
(8)T t T t >> 故在显著水平为0.05，0.01下线性回归是显著的。12分
五、（本题10分）利用单纯形方法求解下面的线性规划（要求写出计算过程）：
12121212max 300400..2401.5300,
Z x x s t
x x x x x x =++≤+≤≥≥
解：
第一步： 化为标准型，……………… ……………………..(2分) 第二步： 列出是单纯形表，…………………………… …..(2分) 第三步： 第一次单纯形迭代计算，…………………………..(3分) 第四步： 列出是单纯形表，…………………………… ……..(3分) 第五步： 正确写出结果，最优解*
*
(15,10),8500T
x f ==…(2分)
六、（本题10分）试确定求积公式?--++-≈h h h f A f A h f A dx x f 101)()0()()(中的待定系数，使其代数精
度尽量高。 解：
七、（本题12分）设有4种治疗荨麻疹的药，要比较它们的疗效。假定将24个病人分成4组，每组6人，令同组病人使用一种药，并记录病人从使用药物开始到痊愈所需时间，得到下面的记录：
试检验不同药物对病人的痊愈时间有无差别？（05.0=α，0.05(3,20) 3.10F =） 解：
222161
129124()21124
ij SST x nx =-=-?=∑∑
222221234666612911090.5200.5ij SSE x x x x x =----=-=∑∑
10.5SSA AAT SSE =-=
由于0.05(3,20)
3.10F F <=，故接受假设，即不同药物对病人的痊愈时间无显著差别
八、（本题16分）设方程组为
?????=--=+-=+-7
9897
8321
3121x x x x x x x
（1）对方程组进行适当调整，使得用高斯—塞德尔迭代法求解时收敛；
（2）写出对应的高斯－塞德尔迭代格式；
（3）取初始向量T x )0,0,0()0(=，用该方法求近似解)
1(+k x
，使
3)
()1(10-∞
+≤-k k x x 。
解：
（1）将原方程组调整为??
?
?
?=+-=+-=--8
978793121321x x x x x x x ，此方程组系数矩阵按行严格对角占优，故用高斯—塞
德尔迭代法求解时收敛。 5分 （2）高斯－塞德尔迭代格式为
???
?
?????+=+=++=+++++989187
919
7
9191)1(1)1(3)1(1)1(2
3)(2)1(1
k k k k k k k x x x x x x x 5分
（2）取T )0()0,0,0(=x ，用上述迭代格式计算得
k )(1
k x )(2k x )
(3k x
1 0.7777778 0.972222
2 0.9753086 2 0.9941701 0.999271
3 0.9993522 3 0.9998471 0.9999809 0.9999830
4 0.9999960 0.999999
5 0.9999996
因
(4)(3)
30.000148910x x -∞
-=<，
故取近似解*
(4)(0.9999960,0.9999995,0.9999996)T x
x ≈=。 6分
*(4)(0.9999960,0.9999995,0.9999996)T x x ≈=。 6分
中南大学2015高等数学下期末题及答案
1 ---○---○--- ---○---○--- ………… 评卷密封线………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理…………评卷密封 线………… 一、填空题（每小题3分，总计15分） 1、点(3,1,1)A -到平面:2340x y z π-+-=的距离为 （ ） 2、曲面42222-+=y x z 在点()1,1,0-处的法线方程为（ ） 3、设Ω是由曲面22z x y =+及平面1z =围成的闭区域，则 (),,d d d f x y z x y z Ω ??? 化为顺序为z y x →→的三次积分为（ ） 4、设∑是xoz 面的一个闭区域xz D , 则曲面积分(),,d f x y z S ∑ ??可化为二重积分 为（ ） 5、微分方程2 1 2y x y '=-满足初始条件()10y =的解为（ ）
2 3分，总计15分） =1绕z 轴旋转而成的曲面为（ ） 152=z ； （B ）15 42 22=+-z y x ； 152=z ； （D ）()15 42 2=+-z y x D 内具有二阶偏导数222222,,, f f f f x y x y y x ??????????，则（ ） 2f y x ???； （B ）则(,)f x y 在区域D 内必连续； D 内必可微； (D) 以上都不对 其中D 由2 y x =及2y x =-所围成，则化为二次积分后的结果为I = xydy ； （B ）??-+21 2 2y y xydx dy ； ?? -+41 2 x x xydy dx xydy （D ）??-+21 2 2y y xydy dx 2=介于点(0,2)到点(2,0)的一段，则 =? ( ) （B ）; （C ; （D ）2. ()()()y p x y q x y f x '''++=的解， 则（ ）. （B ）12y y -也是方程的解 （D ）122y y -也是方程的解
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中南大学2002-2011年研究生入学考试数学分析试题
中南大学2002-2011年研究生考试数学分析试题 2002年 一、求下列极限 （1）lim ,(0)n n n n n x x x x x --→+∞->+； （2）1lim ( )1 x x x x →+∞+-； （3）01lim sin A A xdx A →∞?。 二、（共16分，每小题8分）设函数 ()sin f x x π =，(0,1)x ∈ （1）证明()f x 连续； （2）()f x 是否一致连续？（请说明理由）。 三、（共16分，每小题8分） （1）设ax by u e +=，求n 阶全微分n d u ； （2）设cos u x e θ=，sin u y e θ=，变换以下方程 22220z z x y ??+=??。 四、（共20分，每小题10分） （1）求积分1 01 ln 1dx x -?； （2）求曲面22az x y =+ (0)a > ，和z =所围成的体积。 五、（共12分，每小题6分）设 1 cos 21p q n n n I n π ∞ ==+∑ ，(0)q > （1）求I 的条件收敛域；
（2）求I 的绝对收敛域。 六、证明：积分 2 ()0()x a F a e dx +∞ --=? 是参数a 的连续函数。 七、（8分）设定义于(,)-∞+∞上的函数()f x 存在三阶的导函数(3)()f x ，且 (1)0f -=，(1)1f =，(1)(0)0f = 证明：(3)(1,1) sup ()3x f x ∈-≥。 2003年 一、（共27分，每小题9分）求下列极限 （1 ）lim n →+∞ ； （2）12 20 lim[3(cos )]x x x x t dt →+?； （3）设()f x 在[0,1]上可积，且1 ()1f x dx =? ，求1 121 lim ()2n n k k f n n →+∞=-∑。 二、（共24分，每小题12分）设函数()f x 在[,)a +∞上连续， （1）证明：若lim ()x f x →+∞ 存在，则()f x 在[,)a +∞上一致连续； （2）上述逆命题是否成立？（请给出证明或举出反例）。 三、（共27分，每小题9 分）设22 2222(0,(,)0, 0. x y x y f x y x y ?++≠?=? ?+=? （1）求偏导数'x f 和'y f ； （2）讨论函数'x f 和'y f 在原点(0,0)的连续性；
高等工程数学模拟考试试卷1
中南大学专业硕士“高等工程数学”考试试卷（开卷） 考试日期：2014年 月 日 时间100分钟 注：解答全部写在答题纸上 一、填空题(本题24分，每小题3分) （1）如果71 12232 61,3531133 4 4Ax b A ??-????? ? ==-??????-???? ， A ∞= ，利用Gauss-Seidel 迭代法求解此方程组是否收敛 ； （2）利用迭代法求解非线性方程2()30x f x x e =+=的根，取初值00.5x =-。给出一个根的存在 区间 ，在该区间上收敛的迭代函数为 ； （3）在一元线性回归模型中，试写出三个影响预测精度的主要因素 ； （4）已知)(x f y =通过点(,),0,1,2, ,i i x y i n =，则)(x f 的三次样条插值函数)(x S 在每个小区间 ],[1i i x x -上是次数不超过 次的多项式函数，在整个区间上二阶导函数连续且满足插值条件； （5）已知)(x f y =通过点(,),0,1,2,,i i x y i n =，则其Lagrange 插值基函数=)(3x l ； （6）总体1210~(3,4),(,, ,)X N X X X 为样本，X 是样本均值，则~X .， （7）算法2 121212),(x x x x x f y +==，已知1x 和2x 的绝对误差分别为)(1x ε和)(2x ε，则 =)(y ε ； （8）已知)(x f y =通过点3,2,1,0),,(=i y x i i ，则其Lagrange 插值基函数=)(1x l 。 二、（本题12分）已知)(x f y =的函数值如下 选用适当的方法求三次插值多项式，以计算)5.0(-f 的近似值，给出相应的误差估计。 三、（本题16分）已知某工厂计划生产I ，II ，III 三种产品，各产品需要在A ，B ，C 设备上加工，有关数据见下表。
中南大学土木工程材料课后习题及答案
土木工程材料习题集与参考答案 第一章 土木工程材料的基本性质 1. 试述材料成分、结构和构造对材料性质的影响？ 参考答案：材料的成分对性质的影响：材料的组成及其相对含量的变化，不仅会影响材料的化学性质，还会影响材料的物理力学性质。材 料的成分不同，其物理力学性质有明显的差异。值得注意的是，材料中某些成分的改变，可能会对某项性质引起较大的改变，而对其他性质的影响不明显。 材料的结构对性质的影响：材料的结构是决定材料物理性能的重要因素。可分为微观结构和细观结构。材料在微观结构上的差异影响到材料的强度、硬度、熔点、变形、导热性等性质，可以说材料的微观结构决定着材料的物理力学性能。 材料的构造对性质的影响：材料的构造主要是指材料的孔隙和相同或不同材料间的搭配。不同材料适当搭配形成的复合材料，其综合性能优于各个单一材料。材料的内部孔隙会影响材料的强度、导热性、水渗透性、抗冻性等。 总之，材料的组成、结构与构造决定了材料的性质。材料的组成、结构与构造的变化带来了材料世界的千变万化。 2．试述材料密度、表观密度、孔隙率的定义、测定方法及相互关系。密度与视密度的区别何在？ 参考答案：密度ρ：是指材料在密实状态下单位体积的质量。测定方法：将材料磨细成粒径小于0.25mm 的粉末，再用排液法测得其密实 体积。用此法得到的密度又称“真密度”。 表观密度0ρ：是指材料在自然状态下单位体积的质量。测定方法：对于外形规则的块体材料，测其外观尺寸就可得到自然体积。对于外观不规则的块体材料，将其加工成规则的块体再测其外观尺寸，或者采用蜡封排液法。 孔隙率P ：材料中的孔隙体积与总体积的百分比。 相互关系：%10010???? ? ??- =ρρP 密度与视密度区别：某些散粒材料比较密实，其内部仅含少量微小、封闭的孔隙，从工程使用角度来说，不需磨细也可用排液法测其 近似的密实体积，这样测得的密度称为“视密度”。 3．孔隙率及孔隙特征对材料的表观密度、强度、吸水性、抗渗性、抗冻性、导热性等性质有何影响？ 参考答案：对表观密度的影响：材料孔隙率大，在相同体积下，它的表观密度就小。而且材料的孔隙在自然状态下可能含水，随着含水量 的不同，材料的质量和体积均会发生变化，则表观密度会发生变化。 对强度的影响：孔隙减小了材料承受荷载的有效面积，降低了材料的强度，且应力在孔隙处的分布会发生变化，如：孔隙处的应力集 中。 对吸水性的影响：开口大孔，水容易进入但是难以充满；封闭分散的孔隙，水无法进入。当孔隙率大，且孔隙多为开口、细小、连通时， 材料吸水多。 对抗渗性的影响：材料的孔隙率大且孔隙尺寸大，并连通开口时，材料具有较高的渗透性；如果孔隙率小，孔隙封闭不连通，则材料不易 被水渗透。 对抗冻性的影响：连通的孔隙多，孔隙容易被水充满时，抗冻性差。 对导热性的影响：如果材料内微小、封闭、均匀分布的孔隙多，则导热系数就小，导热性差，保温隔热性能就好。如果材料内孔隙较大， 其内空气会发生对流，则导热系数就大，导热性好。 4．材料的耐水性、吸水性、吸湿性、抗冻性、导热性、热容、抗渗性的含义是什么？ 参考答案：耐水性： 材料抵抗水破坏作用的能力称为耐水性，即材料经水浸泡后，不发生破坏，同时强度也不显著降 低的性质。指标：软化系数 吸水性：材料与水接触时其毛细管会吸收水分的性质。指标：吸水率 吸湿性：材料在潮湿空气中吸收水分的性质。指标：平衡含水率 抗冻性：材料在吸水饱和状态下，能经受多次冻融循环作用而不被破坏，强度也不严重降低的性质。指标：抗冻等 级，其划分取决于材料在一定条件下经受冻融而不被破坏的次数。 导热性：当材料两面存在温度差时，热量会从温度较高的一面传导到温度较低的一面的性质。指标：导热系数 热容：某块材料在温度升降1K 时所放出或吸收的热量。 指标：C （热容）＝c （比热容）?m（材料质量） 抗渗性：材料抵抗压力水或液体渗透的性质。指标：渗透系数 5．材料的导热系数、比热容和热容与建筑物的使用功能有什么关系？ 参考答案：材料的导热系数小，建筑物的保温隔热性能就好。如果建筑物围护结构的热容越大，则在气温变化较大时，能较好地保持室内 温度。 6．试述材料的弹性、朔性、脆性和弹性磨量的意义？ 参考答案：弹性： 当撤去外力或外力恢复到原状态，材料能够完全恢复原来形状的性质。 塑性： 当撤去外力或外力恢复到原状态，材料仍保持变形后的形状和尺寸，并不产生裂缝的性质。 脆性：是材料在外力作用下不产生明显变形而突然发生破坏的一种性能。 弹性模量： 晶体材料如金属材料表现为线弹性，一些非晶体材料如玻璃等也表现为线弹性，其应力与应变之比为常数，比值称为弹性 模量，它是衡量材料抵抗外力使其变形能力的一个指标。 7．影响材料强度试验结果的因素有哪些？强度与强度等级是否不同，试举例说明。 参考答案： 试验条件对材料强度试验结果有较大的影响，其中主要有试件的形状和尺寸、试验机的加载速度、试验时的温度和湿度，以 及材料本身的含水状态等。 强度与强度等级不一样。强度是一个具体值，而强度等级是一个等级范围。如：混凝土的强度等级为C30，那么属于C30强度等级的 混凝土的实际强度值有可能是30MPa 或与30MPa 接近的强度值。 8．某地红砂岩，已按规定将其磨细，过筛。烘干后称取50g ，用李氏瓶测得其体积为18.9cm 3 。另有卵石经过清洗烘干后称取1000g ，将其浸水饱和后用布擦干。又用广口瓶盛满水，连盖称得其质量为790g ，然后将卵石装入，再连盖称得其质量为1409g ，水温为25℃，求红砂岩及卵石的密度或视密度，并注明哪个是密度或视密度。
中南大学网络教育(高起专)高等数学习题答案
《高等数学》课程复习资料 一、填空题： 1.函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是______。 2.若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f ______。 3.sin lim x x x x →∞-=______。 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a ______，=b ______。 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ，则=a ______，=b ______。 6.函数?????≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x =______。 7.设()()()n x x x x y -??--= 21, 则() =+1n y ______。 8.2)(x x f =，则(()1)______f f x '+=。 9.函数) 1ln(4222 y x y x z ---=的定义域为______。 10.已知2 2),(xy y x y x y x f +=-+,则=),(y x f ______。 11.设2 2),(y x x xy y x f ++ =，则=')1,0(x f ______，=')1,0(y f ______。 12.设2 3 sin ,cos ,z x y x t y t =+==,则 t z d d ＝______。 13. =?? dx x f d d dx d )(______。 14.设)(x f 是连续函数，且x dt t f x =? -1 3)(，则=)7(f ______。 15.若 2 1 d e 0 = ? ∞+-x kx ，则______k =。 16.设函数f(x,y)连续，且满足?? +=D y d y x f x y x f 2),(),(σ， 其中,:2 22a y x D ≤+则f(x,y)=______。
中南大学高等数学下期末题及答案
-- ○○ ○○ ………… 评卷密封线………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按分处理…………评卷密封 线………… 一、填空题（每小题分，总计分） 、点(3,1,1)A -到平面:2340x y z π-+-=的距离为 （ ） 、曲面4222 2 -+=y x z 在点()1,1,0-处的法线方程为 （ ） 、设Ω是由曲面2 2 z x y =+及平面1z =围成的闭区域，则 (),,d d d f x y z x y z Ω ??? 化为顺序为z y x →→的三次积分为（ ） 、设∑是xoz 面的一个闭区域xz D , 则曲面积分(),,d f x y z S ∑ ??可化为二重积分 为（ ） 、微分方程2 1 2y x y '=-满足初始条件()10y =的解为（ ）
-- =1绕z 轴旋转而成的曲面为（ ） 152=z ； （）15 42 22=+-z y x ； 152=z ； （）()15 42 2=+-z y x D 内具有二阶偏导数222222,,, f f f f x y x y y x ??????????，则（ ） 2f y x ???； （）则(,)f x y 在区域D 内必连续； D 内必可微； () 以上都不对 D 由2y x =及2y x =-所围成，则化为二次积分后的结果为I = ； （）??-+21 2 2y y xydx dy ； ?? -+41 2 x x xydy dx （）??-+21 2 2y y xydy dx 2=介于点(0,2)到点(2,0)的一段，则 =? ( ) （）; ; （）2. ()()()y p x y q x y f x '''++=的解， 则（ ）. （）12y y -也是方程的解 （）122y y -也是方程的解
中南大学研究生入学考试数学分析试题
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中南大学 - 研究生考试数学分析试题 一、求下列极限 （1）lim ,(0)n n n n n x x x x x --→+∞->+； （2）1lim ( )1 x x x x →+∞+-； （3）0 1lim sin A A xdx A →∞?。 二、（共16分，每小题8分）设函数 ()sin f x x π =，(0,1)x ∈ （1）证明()f x 连续； （2）()f x 是否一致连续？（请说明理由）。 三、（共16分，每小题8分） （1）设ax by u e +=，求n 阶全微分n d u ； （2）设cos u x e θ=，sin u y e θ=，变换以下方程 2222 0z z x y ??+=??。 四、（共20分，每小题10分） （1）求积分101 ln 1dx x -?； （2）求曲面22az x y =+ (0)a >，和22z x y =+所围成的体积。 五、（共12分，每小题6分）设 1cos 21p q n n n I n π ∞ ==+∑ ，(0)q > （1）求I 的条件收敛域； （2）求I 的绝对收敛域。 六、证明：积分 2 ()0()x a F a e dx +∞ --=? 是参数a 的连续函数。
七、（8分）设定义于(,)-∞+∞上的函数()f x 存在三阶的导函数(3)()f x ，且 (1)0f -=，(1)1f =，(1)(0)0f = 证明：(3)(1,1) sup ()3x f x ∈-≥。 一、（共27分，每小题9分）求下列极限 （1）lim ()n n n n →+∞ +-； （2）1 2 20 lim[3(cos )]x x x x t dt →+?； （3）设()f x 在[0,1]上可积，且1 ()1f x dx =? ，求1 121 lim ()2n n k k f n n →+∞=-∑。 二、（共24分，每小题12分）设函数()f x 在[,)a +∞上连续， （1）证明：若lim ()x f x →+∞ 存在，则()f x 在[,)a +∞上一致连续； （2）上述逆命题是否成立？（请给出证明或举出反例）。 三、（共27分，每小题9分）设22 2222 221()sin ,0,(,)0, 0. x y x y x y f x y x y ?++≠?+=? ?+=? （1）求偏导数'x f 和'y f ； （2）讨论函数'x f 和'y f 在原点(0,0)的连续性； （3）讨论(,)f x y 在原点(0,0)的可微性。 四、（共30分，每小题15分） （1）求2()ln(2)f x x =+在0x =处的幂级数展开式及其收敛半径； （2）计算三重积分22()V I x y dxdydz =+???，其中V 是由曲面22x y z +=与平面 4z =所围的区域。 五、（12分）计算下列曲面积分 333S I x dydz y dzdx z dxdy =++??，
中南大学高等数学答案
中南大学网络教育课程考试复习题及参考答案 高等数学(专科) 一、填空题： 1.函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是 。 解：),2[]2,(∞+--∞ 。 2.若函数52)1(2 -+=+x x x f ，则=)(x f 。 解：62 -x 3.sin lim x x x x →∞-= 。 答案：1 正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a _____, =b _____。 由所给极限存在知，024=++b a ，得42--=a b ， 又由234 12lim 2lim 22 22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ，则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b a b e x a x x x ，∴0,1a b =≠ 6.函数????? ≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x = 。 解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01 sin lim 00 ==+=+-→→f x x x x x 所以函数)(x f 在0=x 处是间断的， 又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。 7.设()()()n x x x x y -??--= 21, 则() =+1n y (1)!n +
高等工程数学试题--2013-11-3工程硕士
中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷（开卷） 考试日期：2013年 月 日 时间110分钟 注：解答全部写在答题纸上 一、填空题(本题24分，每小题3分) 1. 对矩阵 A 进行Doolittle 分解的条件是 ； 2．设总体2212~(,),~(,)X N Y N θσθσ，从总体分别独立抽取容量为,m n 的简单随机样本 12(,,,)m X X X ，12(,,,)n Y Y Y 。记2,X X S 为样本12(,,,)m X X X 的样本均值与方差，2,Y Y S 为 样本12(,,,)n Y Y Y 的样本均值与方差，则12θθ-的95%的置信区间为 ； 3．如果2 113342 53,5351154 6 4Ax b A ??????? ? ==?????????? ，矩阵A ∞= ， 利用Jacobi 和 Gauss-Seidel 迭代法求解此方程组的敛散性情况是 ； 4．在进行二元方差分析时，当两个因子之间存在交互作用时，需要进行重复试验，假设两个因子都取3水平，各种组合时试验的重复次数均为4，则体现两因子的交互作用的平方和的自由度是 ； 5．函数22 1212(,)y f x x x x ==，已知1x 和2x 的绝对误差限分别为1()0.1x ε≤和2()0.2x ε≤，则函数 值的绝对误差限为： ； 6．线性规划123123123123min 32..2363260,0,x x x s t x x x x x x x x x +-? ?++≥??-+≤? ?≤≥-∞≤≤∞ ? 的标准形式是 ； 7．方程()sin(1)2 x f x x =+- 与()x x ?== 等价，由于迭代函数()x ?满足： ，可用迭代法求方程()0f x =的唯一正根* x 的近似值； 8. 设011n n a x x x x b -=<< <<=为区间[,]a b 的n 等分点，n T 和2n T 为定积分()b a f x dx ?复合梯 形公式，利用Romberg 思想写出复化Simpson 求积计算式 n S = 。 二、（本题14分）某工厂生产A 、B 两种产品，需利用甲、乙两种资源。已知生产产品A 一件 需消耗资源甲、乙分别为3吨、4吨，生产产品B 一件需消耗资源甲、乙分别为4吨、3吨。A 、B 产品每件产值分别为1、2万元。工厂现有甲、乙资源量分别为120、120吨。 （1） 建立工厂安排生产使总产值最大数学模型。 （2） 列出并利用单纯形法求工厂的最优生产方案。
中南大学高等数学下册试题全解
中南大学2002级高等数学下册 一、填空题（4*6） 1、已知=-=+),(,),(2 2y x f y x x y y x f 则（）。 2、设=???=y x z x y arctg z 2,则（）。 3、设D 是圆形闭区域：)0(2222b a b y x a <<≤+≤，则=+??σd y x D 22（）。 4、设L 为圆周122=+y x 上从点），（到经01-)1,0()0,1(B E A 的曲线段，则=?dy e L y 2 （）。 5、幂级数∑∞ =-1)5(n n n x 的收敛区间为（）。 6、微分方程06'''=-+y y y 的通解为（）。 二、解下列各题（7*6） 1、求)()()cos(1lim 2222220 0y x tg y x y x y x +++-→→。 2、设y x e z 23+=，而dt dz t y t x 求,,cos 2==。 3、设),(2 2 y x xy f z =，f 具有二阶连续偏导数，求dt dz 。 4、计算}10,10|),{(,||2≤≤≤≤=-??y x y x D d x y D 其中σ。 5、计算?++-L y x xdy ydx 22，L 为1||||=+y x 所围成的边界，L 的方向为逆时针方向。 6、求微分方程2''')(12y yy +=满足1)0()0('==y y 的特解。 三、（10分） 求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体。 四、（10分） 计算??∑ ++zdxdy dydz z x )2(，其中∑为曲面)10(22≤≤+=z y x z ，其法向量与z 、z 轴正向的夹角为锐角。 五、（10分）
中南大学土木工程工程地质期末试题
工程地质试题（中澳10） 一．填空题：（每题4分，第6题5分，共25分） 1. 矿物的光学性质包括：、、、。 2. 沉积岩的成岩作用包括作用、作用、作用和作用。 3. 褶曲根据其轴面及两翼岩层产状分为：、、、。 4. SiO2含量是不同岩浆岩的重要标志之一；按SiO2含量不同，岩浆岩常可分为、、、等四大类。 5．断层两盘相对位移是判别断层性质的根据，正断层为，逆断层为，平移断层为。 6．矿物的颜色是，根据其产生的原因可分为、、三种。其中对判别矿物最有鉴定意义的是，无鉴定意义的是。 二．单选题（每题1分，共15分） 1.条痕是指矿物( ) A.固有颜色 B.粉末的颜色 C.杂质的颜色 D.表面氧化物的颜色 2. 解理是指( ) A.岩石受力后形成的平行破裂面 B.岩石中不规则的裂隙 C.矿物受力后沿不规则方向裂开的性质 D.矿物受力后沿一定方向平行裂开的性质 3. 在下列矿物中，硬度最高的是( ). A.石英 B.长石 C.辉石 D.方解石 4.玄武岩是属于( ) A.浅成岩 B.深成岩 C.喷出岩 D.火山碎屑岩 5.在碎屑岩胶结物中，强度最大的是( ) A.铁质 B.硅质 C.泥质 D.碳质 6．大理岩是由( )变质而成的岩石.
A.石灰岩 B.石英砂岩 C.泥岩 D.花岗岩 7.岩层的倾角表示( ) A.岩层面与水平面的锐夹角 B.岩层面与水平面相交的交线方位角 C.岩层面最大倾斜线与水平面交线的夹角 D.岩层面的倾斜方向 8.岩层产状记录为135°∠5°时，表示岩层的走向为( ). A.15° B.135° C.45° D.315° 9. 视倾角与真倾角的关系中，视倾角（）真倾角。 A、恒小于 B、小于或等于 C、恒大于D大于或等于 10. 下列有关地震的说法不正确的是（）。 A、震中烈度越大，其破坏能力越大 B、同一震级的地震其烈度大小相同 C、同一震级的地震其烈度可以不同 D、一般来说，地震震级越高，烈度越大，其破坏能力越大 11.黄土的( )是黄土地区浸水后产生大量沉陷的重要原因. A.湿陷性 B.崩解性 C.潜蚀性 D.易冲刷性 12.埋藏并充满两个隔水层之间的重力水叫做( ) A.潜水 B.承压水 C.上层滞水 D.饱气带水 13.阶地是( ) A.河流侵蚀作用的产物 B.河流沉积作用的产物 C.地壳升降作用的产物 D.前述三种作用的产物 14.坡积层是( ) A.淋滤作用的产物 B.洗刷作用的产物 C.冲刷作用的产物 D.河流地质作用的产物 15. 关于褶曲分类正确的是（）。 A、按褶曲的轴面产状分为水平褶曲、直立褶曲
中南大学2013年春季校本部12级工程硕士公共课表
校本部2013年春季12级在职攻读工程硕士专业学位研究生公共课课表 注意事项二： 1．3月16日（第三周的周六）正式上课，4月14日结束。其它三次集中学习时间为：2013年秋季10月-11月、2014年春季3月-4月、2014年秋季10月-11月。具体开学日期以研究生院培养与管理办在“研究生院网站主页”或者在“研究生教育管理信息系统”上发布的《公共课表》和《开学通知》为准。 2．课程名称前的数字表示起止周，课程名称后的数字表示上课地点。 3．必须在3月14日—3月25日期间完成本学期有关网上操作 （1）注册：在研究生教育管理信息系统“学生注册”模块“申请注册”中办理，或持本人校园卡到校园卡触摸屏电脑（分布在各食堂）上进行自助电子注册。未缴费的研究生必须缴清学费后才能注册，注册成功后才能进行网上选课。 （2）选课：根据每学期的课表安排和网上选课时间安排，在研究生教育管理信息系统“学习管理”模块“学期选课”中进行选课，选课地点、班级、课程编码均不得有误；不在我办规定的时间内选课或不选课者均不能参加有关课程考试；切忌盲目选课，已进行网上选课者必须参加所选课程考试，无故不参加者成绩以0分计，须重修；已选课但因不可抗力等特殊原因不能参加有关考试者，须由本人事先向研究生院培养与管理办311房黄老师递交书面申请，经批准后办理缓考手续，与下一年级同堂同卷考试（须在下一年重新选课才能参考），成绩以卷面成绩为准。 （3）制定修课计划和培养计划：在研究生教育管理信息系统“学习管理”模块“制订修课计划”中，按培养方案课程设置的要求（含培养环节）进行选课；在“制定培养计划”中录入实践环节内容、学位论文课程及工作时间并确认（课程信息会自动生成），制订完毕后，请导师审核。以后若要修改需导师授权。 4．新生报到时由所在二级单位研究生助理发给本学期纸质课表；以后每次课表不再发纸质版，研究生本人可在研究生教育管理信息系统“学习管理”模块“课表下载”栏中下载（公共课表于下次开学前一个月，专业课课表于下次开学前一周或在开学后向所在二级单位研究生助理索取）。 5．本课表上所有课程均实行“考教分离”考试，由研究生院培养与管理办组织。 6．参加任何课程考试，务必同时携带身份证（军官证）和研究生证（校园一卡通），否则不能参加考试。 7. 4月4日-6日清明节放假3天，3月31日（周日）补4月4日（周四）的课，4月7日（周日）补6日（周六）的课，4月5日（周五）的课程请任课教师提前一周与研究生商量补课时间和地点，报研究生院培养与管理办备案。 研究生院培养与管理办 2013-01-16
中南大学土木工程学院简介
学院简介 中南大学土木工程学院前身是1953年成立的中南土木建筑学院的铁道建筑系和桥梁隧道系。1960年成立长沙铁道学院以来，土木建筑学院几经更名，1964年铁道建筑系更名为铁道工程系，1970年铁道工程系和桥梁隧道系合并称工程系，1984年更名为土木工程系，1994年建筑工程专业（即工业与民用建筑专业）分出，成立建筑工程系，1997年土木工程系与建筑工程系合并成立土木建筑学院。中南大学成立后，2002年5月，以原长沙铁道学院土木建筑学院为主体、机电工程学院建筑环境与设备工程系、数理力学系基础力学教研室及实验室、原中南工业大学资源环境与建筑工程学院土木所及力学中心合并组建中南大学土木建筑学院。2005年，建筑环境与设备工程系调出，并入能源与动力工程学院。 学院领导 2010年院长由余志武教授担任，党委书记由黄建陵同志担任。 学科建设 学院经过50多年的建设，学院已发展成为师资力量雄厚、专业设置齐全、学科学位建设成绩卓著、科研水平一流、学术成果突出的教学与科研实体。 学院设有桥梁工程系、隧道工程系、道路与铁道工程系、建筑工程系、岩土工程系、工程管理系、力学系、建筑与城市规划系、工程制图教研室、工程测量教研室11个系（或教研室）；拥有桥梁工程研究所、隧道工程研究所、道路与铁道工程研究所、城市轨道交通研究所、建筑工程研究所、工程管理研究所、城市设计研究所、防灾科学与安全技术研究所、工程力学研究所、土木工程材料研究所、岩土及地下工程研究中心、结构与市政工程研究中心13个研究所（或研究中心）；拥有高速铁路建造与技术国家工程实验室，湖南省土木工程与安全重点实验室，设有土木工程中心实验室、力学教学实验中心、工程力学实验室、防灾减灾实验室、计算中心等10多个实验室，其中土木工程中心实验室是湖南省建筑企业一级实验室。 重点学科 学院拥有土木工程国家一级重点学科，是我国拥有土木工程国家一级重点学科的六所院校之一（其余五所分别为：清华大学，同济大学，浙江大学，哈尔滨工业大学，湖南大学），土木工程一级学科拥有博士学位授权点，是全国13所具有一级学科博士授权的土木类院校之一。学院2010年设在有桥梁与隧道工程、道路与铁道工程、结构工程、岩土工程、市政工程、供热供燃气通风、防灾减灾及防护工程、消防工程、城市轨道交通工程、工程力学、土木工程规划与管理、土木工程材料12个博士点；桥梁与隧道工程、道路与铁道工程、结构工程、岩土工程、市政工程、供热供燃气通风及空调工程、防灾减灾及防护工程、消防工程、城市轨道交通工程、土木工程规划与管理、土木工程材料、固体力学、工程力学、建筑技术科学、建筑设计及其理论、城市规划与设计16个硕士点以及建筑土木与工程领域硕士学位授予权、高
高等数学复习题与答案
中南大学现代远程教育课程考试复习题及参考答案 高等数学 一、填空题 1．设2 )(x x a a x f -+=，则函数的图形关于 对称。 2．若???<≤+<<-=2 0102sin 2x x x x y ，则=)2(π y . 3． 极限lim sin sin x x x x →=0 21 。 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a _____, =b _____。 5.已知0→x 时，1)1(3 12 -+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数a = 6.设)(2 2y z y z x ?=+，其中?可微，则 y z ??= 。 7.设2 e yz u x =，其中),(y x z z =由0=+++xyz z y x 确定的隐函数，则 =??) 1,0(x u 。 8.设??,),()(1 f y x y xy f x z ++=具有二阶连续导数，则=???y x z 2 。 9.函数y x xy xy y x f 2 2),(--=的可能极值点为 和 。 10.设||)1(sin ),(22xy x y x y x f -+=则_____________)0,1('=y f . 11.=? xdx x 2sin 2 . 12.之间所围图形的面积为上曲线在区间x y x y sin ,cos ],0[==π . 13．若 21 d e 0 = ?∞ +-x kx ，则_________=k 。 14.设Ｄ：122≤+y x ,则由估值不等式得 ??≤++≤D dxdy y x )14(2 2 15.设D 由22 ,2,1,2y x y x y y ====围成（0x ≥），则 (),D f x y d σ??在直角坐标系下的
高等工程数学试题及参考答案-工程硕士
中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷 考试日期：2010年 4 月 日 时间110分钟 注：解答全部写在答题纸上 一、填空题(本题24分，每小题3分) 1. 若方程0)(=x f 可表成)(x x ?=，且在[,]a b 内有唯一根*x ，那么)(x ?满足 ，则由迭代公式)(1 n n x x ?=+产生的序列{}n x 一定收敛于*x 。 （)(x ?满足：1()[,]x C a b ?∈,且[,]x a b ?∈有()[,]x a b ?∈, '()1x L ?≤<；） 2. 已知二元非线性函数221122120()24,(2,2)T f x x x x x x x X =-++-=，该函数从X 0 出发的最速下降方 向为 （最速下降方向为：()4,2T p =-） ； 3．已知二元非线性函数221122120()24,(2,2)T f x x x x x x x X =-++-=，该函数从X 0 出发的Newton 方 向为 （Newton 方向为： ()2,0T p =-） ； 4．已知)(x f y =在区间],[b a 上通过点(,),0,1,2,,i i x y i n =L ，则其三次样条插值函数)(x S 是满足 （（1）在每个小区间是次数不超过3次的多项式，（2）在区间[,]a b 上二阶导数连续，（3）满足插值条件(),0,1,2,,i i S x y i n ==L ）； 5．设某个假设检验问题的拒绝域为W ，且当原假设H 0成立时，样本值12(,,,)n X X X L 落入W 的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为________（0.15） ； 6．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 大 愈好，而置信区间的长度愈 短 愈好。但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 变长 ； 7 ． 取 步 长 2 .0=h ，解 ]1,0[,1 )0(2'∈?? ?=-=x y y x y 的Euler 法公式为： （1(2)0.60.2,0,1,2,,5n n n n n n y y h x y y x n +=+-=+=L ）； 8．对实际问题进行建模求解时可能出现的误差有： （模型误差，观测误差，方法误差，舍入误差。） 。 二、（本题8分）某钢铁公司生产一种合金，要求的成分是：锡不少于28%，锌不多于15%，铅恰好10%，镍介于35%到55%之间，不允许有其他成分。钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如下表。矿石杂质在冶炼中废弃，并假设矿石在冶炼过程中金属含量没有发生变化。
高等数学(专科)复习题及答案
中南大学现代远程教育课程考试（专科）复习题及参考答 案 《高等数学》（专科） 一、填空题 1．函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是 . 解. ),2[]2,(∞+--∞ 。 2．若函数52)1(2 -+=+x x x f ，则=)(x f ． 解. 62 -x 3．________________sin lim =-∞→x x x x 答案：1 正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a _____, =b _____。 由所给极限存在知, 024=++b a , 得42--=a b , 又由 23412lim 2lim 2222=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ，则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b a b e x a x x x , 1,0≠=∴b a 6．函数????? ≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x = 。 解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01 sin lim 00 ==+=+-→→f x x x x x
中南大学现代远程教育平台—高等数学在线作业一答案
单选题 1. 函数在点处（）． (A) 有定义 且有极 限 (B) 无定义 但有极 限 (C) 有定义 但无极 限 (D) 无定义 且无极 限 参考答案： (B) 2. 下列无穷积分中收敛的是()。 (A) (B) (C) (D) 参考答案： (C) 3. 若 (A) (B) (C) (D) 参考答案： (C)
4. 设 (A) (B) (C) (D) 参考答案： (C) 5. 设函数处（） (A) 极限不 存在； (B) 极限存在 但不连续 (C) 连续但不 可导； (D) 可 导 参考答案：(C) 6. 设函数 (A) (B) (C) (D) ｘ 参考答案：(C)
7. 已知 (A) 1 (B) 任意实数(C) 0.6 (D) -0.6 参考答案： (D) 8. 当 (A) 不取极值 (B) 取极大值 (C) 取极小值 (D) 取极大值 参考答案： (B) 9. 下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（） (A) (B) (C) (D) 参考答案： (C)
10. 处的值为（） (A) (B) (C) (D) 1 参考答案： (C) 11. 设其中 的大小关系时（） (A) (B) (C) (D) 参考答案： (A) 12. 设则 (A) 2 (B) 1 (C) -1 (D) -2
参考答案： (A) 13. 若函数 (A) (B) (C) (D) 参考答案： (B) 14. 下列极限存在的是（） (A) (B) (C) (D) 参考答案： (D) 15. 函数 (A) 是奇 函数 (B) 是偶 函数 (C) 既奇函数 又是偶函 数 (D) 是非奇 非偶函 数 参考答案：
中南大学土木工程施工思考题与答案
土木工程施工 第一章土方工程 1、试述土的可松性及其对土方规划的影响。 可松性：天然土经开挖后，其体积因松散而增加，虽经振动夯实，仍然不能完全复原的性质，称为土的可松性。 影响：土的可松性对土方量的平衡调配，确定运土机具的数量及弃土坑的容积，以及计算填方所需的挖方体积等均有很大的影响。 2、试述土壁边坡的作用、表示方法、留设原则及影响边坡的因素。 作用：合理地选择基坑、沟槽、路基、堤坝的断面和留设土方边坡，是减少土方量的有效措施。 表示方法： 留设的原则及影响边坡的因素：边坡坡度应根据不同的挖填高度、土的性质及工程的特点而定，既要保证土体稳定和施工安全，又要节省土方。在山坡整体稳定情况下，如地质条件良好，土质较均匀，使用时间在一年以上，高度在10m 以内的临时性挖方边坡应按表 1.5 规定；挖方中有不同的土层，或深度超过10m 时，其边坡可作成折线形或台阶形，以减少土方量。 当地质条件良好，土质均匀且地下水位低于基坑、沟槽底面标高时，挖方深度在5m 以内，不加支撑的边坡留设应符合表 1.6 的规定。 对于使用时间在一年以上的临时行填方边坡坡度，则为：当填方高度在10m 以内，可采用1：5；高度超过10m ，可作成折线形，上部采用1：1.5，下部采用1：1.75。至于永久性挖方或填方边坡，则均应按设计要求施工。 3、确定场地设计标高H0时应考虑哪些因素？ 满足生产工艺和运输的要求； 充分利用地形，分区或分台阶布置，分别确定不同的设计标高； 考虑挖填平衡，弃土运输或取土回填的土方量最少； 要有合理的泄水坡度(≧2‰)，满足排水要求； 考虑最高洪水位的影响。 4、试述按挖填平衡原则确定H0的步骤和方法。 (1) 划分方格网 (2) 确定各方格网角点高程 (3) 按挖填平衡确定设计标高 5、为什么对场地设计标高H0要进行调整？如何调整？ 求得的H0仅为一理论值，还应考虑以下因素进行调整 (1)土的可松性影响 (2)场内挖方和填方的影响 (3) 场地泄水坡度的影响 6、如何计算沟槽和基坑的土方量？ 平均高度法 平均断面法 7、土方调配应遵循哪些原则，调配区如何划分，如何确定平均运距？ 力求挖填平衡、运距最短、费用最省，考虑土方的利用，以减少土方的重复挖填和运输。 最优调配方案的确定，是以线性规划为理论基础，常用“表上作业法”求解。