1.8 完全平方公式(1)

1.8完全平方公式（1）

教学目标： 1．经历探索完全平方公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力； 2．会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算； 3．了解完全平方公式的几何背景．教学重点： 1．弄清完全平方公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点； 2．会用完全平方公式进行运算．教学难点：会用完全平方公式进行运算教学过程：一、探索练习：一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种．（图略）用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较你发现了什么？观察得到的式子，想一想：（1）(a＋b)2等于什么？你能不能用多项式乘法法则说明理由呢？（2）(a－b)2等于什么？小颖写出了如下的算式： (a－b)2＝[a＋（—b）]2．她是怎么想的？你能继续做下去吗？由此归纳出完全平方公式： (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a－b)2＝

a2—2ab＋b2 教师在此时应该引导观察完全平方公式的特点，并用自己的言语表达出来．例：（利用完全平方公式计算）（1）(2x－3)2 解：(2x－3)2 ＝(2x)2－2·(2x)·3＋32 ＝4x–x＋9二、巩固练习： 1．下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算_______________ （1）；（2）；（3）；（4）． 2．计算下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 4．填空：（1） _____________；（2）；（3）；三、提高练习： 1．求的值，其中 2．若

小结：熟记完全平方公式，会用完全平方公式进行运算．作业：课本p36习题1.13：1、2．教学后记：学生基本上能套用平方差公式进行运算，但是也有出现以下错误：（1）(a＋b)2＝a2＋b2 （2）(＋a)(2－a)＝6－a2对公式的真正理解有待加强．

块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种．（图略）用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较你发现了什么？观察得到的式子，想一想：（1）(a＋b)2等于什么？你能不能用多项式乘法法则说明理由呢？（2）(a－b)2等于什么？小颖写出了如下的算式： (a－b)2＝[a＋（—b）]2．她是怎么想的？你能继续做下去吗？由此归纳出完全平方公式： (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a－b)2＝

a2—2ab＋b2 教师在此时应该引导观察完全平方公式的特点，并用自己的言语

表达出来．例：（利用完全平方公式计算）（1）(2x－3)2 解：(2x－3)2 ＝(2x)2－2·(2x)·3＋32 ＝4x–x＋9二、巩固练习： 1．下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算_______________ （1）；（2）；（3）；（4）． 2．计算下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 4．填空：（1） _____________；（2）；（3）；三、提高练习： 1．求的值，其中 2．若

小结：熟记完全平方公式，会用完全平方公式进行运算．作业：课本p36习题

1.13：1、2．教学后记：学生基本上能套用平方差公式进行运算，但是也有出现以下错误：（1）(a＋b)2＝a2＋b2 （2）(＋a)(2－a)＝6－a2对公式的真正理解有待加强．

教学目标： 1．经历探索完全平方公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力； 2．会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算； 3．了解完全平方公式的几何背景．教学重点： 1．弄清完全平方公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点； 2．会用完全平方公式进行运

算．教学难点：会用完全平方公式进行运算教学过程：一、探索练习：一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种．（图略）用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较你发现了什么？观察得到的式子，想一想：（1）(a＋b)2等于什么？你能不能用多项式乘法法则说明理由呢？（2）(a－b)2等于什么？小颖写出了如下的算式： (a－b)2＝[a＋（—b）]2．她是怎么想的？你能继续做下去吗？由此归纳出完全平方公式： (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a－b)2＝

教学目标： 1．经历探索完全平方公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力； 2．会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算； 3．了解完全平方公式的几何背景．教学重点： 1．弄清完全平方公式的来源及其结

构特点，能用自己的语言说明公式及其特点； 2．会用完全平方公式进行运算．教学难点：会用完全平方公式进行运算教学过程：一、探索练习：一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种．（图略）用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较你发现了什么？观察得到的式子，想一想：（1）(a＋b)2等于什么？你能不能用多项式乘法法则说明理由呢？（2）(a－b)2等于什么？小颖写出了如下的算式： (a－b)2＝[a＋（—b）]2．她是怎么想的？你能继续做下去吗？由此归纳出完全平方公式： (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a－b)2＝

初二数学利用公式法(完全平方公式)因式分解课堂

设计思路：教师是学习活动的引导者和组织者，学生是课堂的主人。教师在教学中要充分体现教师的导向作用，尊重学生的个体差异，选择适合自己的学习方式，鼓励学生自主探索与合作交流，让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生的直觉并且运用基本方法进行相关的验证，指导学生注重数学知识之间的联系，不断提高解决问题的能力。教学过程：师生问好，组织上课。师：我们在初一第二学期就已经学习了乘法完全平方公式,请一位同学用文字语言来描述一下这个公式的内容？生1：（答略）师：你能用符号语言来表示这个公式吗？生1：（a＋b）2=a2＋2ab＋b2（a－b）2=a2－2ab＋b2 师：不错，请坐。由此我们可以看出完全平方公式其实包含几个公式？生齐答：两个。师：接下来有两道填空题，我们该怎么进行填空？ a2＋＋1=(a＋1)24a2－4ab＋=(2a－b)2 生2：（答略）师：你能否告诉大家，你是根据什么来进行填空的吗？生2：根据完全平方公式，将等号右边的展开。师：很好。（将四个式子分别标上○1○2○3○4）问题：○1、○2两个式子由左往右是什么变形？ ○3、○4两个式子由左往右是什么变形？生3：（答略）师：刚才的○1和○2是我们以前学过的完全平方公式，那么将这两个公式反过来就有：

a2＋2ab＋b2=（a＋b）2a2－2ab＋b2=（a－b）2（板书）问题：这两个式子由左到右的变形又是什么呢？生齐答：因式分解。师：可以看出，我们已将左边多项式写成完全平方的形式，即将左边的多项式分解因式了。这两个公式我们也将它们称之为完全平方公式，也是我们今天来共同学习的知识（板书课题）师：既然这两个是公式，那么我们以后遇到形如这种类型的多项式可以直接运用这个公式进行分解。这个公式到底有哪些特征呢？请同学们仔细观察思考一下，同座的或前后的同学可以讨论一下。（经过讨论之后）生4：左边是三项，右边是完全平方的形式。生5：左边有两项能够写成平方和的形式。师：说得很好，其他同学有没有补充的？生6：还有一项是两个数的乘积的2倍。师：这“两个数的乘积”中“两个数”是不是任意的？生6：不是，而是刚才两项的底数。师：刚才三位同学都回答得不错，每人都找出了一些特征。再请一位同学来综合一下。生7：左边的多项式要有三项，有两项是平方和的形式，还有一项是这两个数的积的2倍。右边是两个数的和或差的平方。教师在学生回答的基础上总结： 1)多项式是三项式 2)有两项都为正且能够写成平方的形式 3)另一项是刚才写成平方项两底数乘积的2倍，但这一项可以是正，也可以是负 4)等号右边为两平方项底数和或差的平方。

完全平方公式练习题一

完全平方公式为：注：1.完全平方公式和平方差公式不同：形式不同．结果不同：完全平方公式的结果是三项，即（a ?b ）2＝a 2 ?2ab+b 2 ; 平方差公式的结果是两项，即（a+b ）（a?b ）＝a 2?b 2. 2. 解题过程中要准确确定a 和b ，对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab 时不少乘2。 3. 口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方，同加异减。例1 用完全平方公式计算：（1）(2x ?3)2 ； (2) (4x +5y )2 ; (3) (mn ?a )2 练习： 1、计算：2 )221 (y x - (n +1)2－n 2 (2x 2－3y 2)2 2、下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算（1）()()x y y x +-+ （2）()()a b b a -- （3）()()ab x x ab +--33 （4）()()n m n m +-- 例2.计算：（1）(-1-2x )2 （2）()()n m n m +--22 （3）)432)(432(-++-y x y x （4）22)32 1()321(b a b a +-

练习： (1)()2c b a -+ (2) (-2x +1) 2 （3))4)(2)(2(22y x y x y x --+ （4）??? ??+-??? ??-b a b a 32132 1 拓展：1.已知31=+ x x ，则=+221x x ________________ 2. 已知131-=x y ，那么2323122-+-y xy x 的值是________________ 3、已知2216)1(2y xy m x +-+是完全平方公式，则m = 4、若22()12,()16,x y x y xy -=+=则=

初中数学人教版八年级上册完全平方公式的综合应用(习题及答案)

初中数学人教版八年级上册实用资料完全平方公式的综合应用（习题） ? 例题示范例1：已知12x x - =，求221x x +，441x x +的值．【思路分析】 ① 观察题目特征（已知两数之差和两数之积11x x ? =，所求为两数的平方和），判断此类题目为“知二求二”问题； ② “x ”即为公式中的a ，“ 1x ”即为公式中的b ，根据他们之间的关系可得：2 221112x x x x x x ??+=-+? ???； ③ 将12x x -=，11x x ?=代入求解即可； ④ 同理，2 4224221112x x x x x x ??+=+-? ???，将所求的221x x +的值及2211x x ?=代入即可求解．【过程书写】例2：若2226100x x y y -+++=，则x =_______，y =________．【思路分析】此题考查完全平方公式的结构，“首平方，尾平方，二倍乘积放中央”．观察等式左边，22x x -以及26y y +均符合完全平方式结构，只需补全即可，根据“由两边定中间，由中间凑两边”可配成完全平方式，得到22(1)(3)0x y -++=．根据平方的非负性可知：2(1)0x -=且2(3)0y +=，从而得到1x =，3y =-． ? 巩固练习 1. 若2(2)5a b -=，1ab =，则224a b +=____，2(2)a b +=____． 2. 已知3x y +=，2xy =，求22x y +，44x y +的值．

3. 已知2310a a -+=，求221a a +，44 1a a +的值. 4. （1）若229x mxy y ++是完全平方式，则m =________．（2）若22916x kxy y -+是完全平方式，则k =_______． 5. 多项式244x +加上一个单项式后，能使它成为一个整式的平方，则可以加上的单项式共有_______个，分别是__________ ______________________________． 6. 若22464100a b a b +--+=，则a b -=______． 7. 当a 为何值时，2814a a -+取得最小值，最小值为多少？ 8. 求224448x y x y +-++的最值． ? 思考小结 1. 两个整数a ，b （a ≠b ）的“平均数的平方”与他们“平方数的平均数”相等吗？若不相等，相差多少？

数学教案的运用完全平方公式法

数学教案的运用完全平方公式法 1。使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法； 2。理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力。 3．进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力． 4．通过运用公式法分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。 1。问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法? 答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解。我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法。 2。把下列各式分解因式： (1)ax4－ax2 (2)16m4－n4。解 (1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1) (2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2 =(4m2+n2)(4m2－n2) =(4m2+n2)(2m+n)(2m－n)。问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?

答：有完全平方公式。请写出完全平方公式。完全平方公式是： (a+b)2=a2+2ab+b2， (a－b)2=a2－2ab+b2。这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解。和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到 a2+2ab+b2=(a+b)2； a2－2ab+b2=(a－b)2。这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。式子 a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式。运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式。问：具备什么特征的多项是完全平方式? 答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式。问：下列多项式是否为完全平方式?为什么? (1)x2+6x+9； (2)x2+xy+y2； (3)25x4－10x2+1； (4)16a2+1。

人教版【教案】完全平方公式

完全平方公式【知识与技能】 1.完全平方公式的推导及其应用. 2.完全平方公式的几何解释. 【过程与方法】经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力. 【情感态度】在灵活应用公式的过程中激发学生学习数学的兴趣，培养探究精神. 【教学重点】完全平方公式的应用. 【教学难点】完全平方公式的结构特征及几何解释. 一、情境导入，初步认识问题一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们，来一个孩子，就给一块糖；来两个孩子，就给每个孩子两块糖，…… （1）第1天有a个男孩子去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？（2）第2天有b个女孩子去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？（3）第 3天这（a+b）个孩子一起去看老人，老人一共给了孩子们多少块糖？（4）这些孩子第3天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？【教学说明】（4）的结果需要化简，应用乘法法则可求出（a+b）2.引导学生结合教材认识从几何角度解释（a+b）2的结果.教师讲课前，先让学生完成“名师导学”. 【归纳总结】公式的表达式：（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2. 公式的特征：公式的左边是一个二项式的平方，右边是一个二次三项式；左边是两数和的形式时，右边就是这两数的平方和加上这两数积的2倍（和对应加）；左边是两数差的形式时，右边就是这两数的平方和减去这两数积的2倍（差对应减）；两公式结构相同，仅一个符号不同.

二、思考探究，获取新知例1计算下列各题. 【分析】（1）、（2）可直接应用公式.计算时，如遇小数，应将其化成分数，这样可方便计算.（3）、（ 4 ）应注意符号，或可直接应用公式（a-b）2=a2-2ab+b2. 例2计算：（1）1032；（2）2992. 【分析】通过观察可发现103=100+3，299=300-1，这样可应用完全平方公

运用公式法

运用公式法教学设计示例――完全平方公式(1) 教学目标1.使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法；2.理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力.3．进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力．4．通过分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。教学重点和难点重点：运用完全平方式分解因式. 难点：灵活运用完全平方公式公解因式.教学过程设计一、复习1.问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法? 答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法. 2.把下列各式分解因式：(1)ax4－ax2 (2)16m4－n4. 解(1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1)(2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2=(4m2+n2)(4m2－n2)=(4m2+n2)(2m+n)(2m－n).问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式? 答：有完全平方公式.请写出完全平方公式. 完全平方公式是：(a+b)2=a2+2ab+b2, (a－b)2=a2－2ab+b2. 这节1 ————来源网络整理，仅供供参考

课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解. 二、新课和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到a2+2ab+b2=(a+b)2；a2－2ab+b2=(a－b)2. 这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式. 问：具备什么特征的多项是完全平方式? 答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式. 问：下列多项式是否为完全平方式?为什么? (1)x2+6x+9；(2)x2+xy+y2；(3)25x4－10x2+1；(4)16a2+1. 答：(1)式是完全平方式.因为x2与9分别是x的平方与3的平方，6x=2·x·3，所以x2+6x+9=(x+3) . (2)不是完全平方式.因为第三部分必须是2xy. (3)是完全平方式.25x =(5x ) ，1=1 ，10x =2·5x ·1，所以25x －10x +1=(5x－1) . (4)不是完全平方式.因为缺第三部分. 请同学们用箭头表示完全平方公式中的a，b与多项式9x2+6xy+y2中的对应项，其中a=?b=?2ab=? 答：完全平方公式为：其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y. ————来源网络整理，仅供供参考 2

新人教版完全平方公式教案

14.2.2 完全平方公式时间：地点：初二（20）班开课教师：叶春意一、教学目标知识与技能：了解完全平方公式的推导过程，理解公式的几何背景；能用文字和符号语言表述完全平方公式，掌握公式的结构特征，会运用公式】进行准确的计算。过程与方法：经历完全平方公式的探索过程，使学生熟悉完全平方公式的特征，进一步发展学生的符号感和推理能力，培养学生的发现能力、归纳能力。情感、态度与价值观：体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中 ` 获得成功的体验与喜悦，树立学习信心。二、教学重难点教学重点：能用语言准确表述完全平方公式，会运用公式进行准确的计算教学难点：掌握公式的结构特征，会运用完全平方公式进行准确的计算三、教学过程 ! 1、复习旧知（1）多项式与多项式相乘的法则： ()()a b m n am an bm bn ++=+++ （2）根据乘方的定义，2()a b +应该写成什么样的形式呢 2()a b += ~ 2、探究新知问题1 计算下列多项式的积，你能发现什么规律（1）2(1)(1)(1)p p p +=++= （2）2(2)m +=

（3）2()a b += \ 师生活动：通过计算2()a b +=()()a b a b ++=22a ab ba b +++222a ab b =++，教师引导学生得出222()2a b a ab b +=++。让学生观察上述公式，尝试总结222()2a b a ab b +=++的特点，小组交流讨论，并派学生代表回答。教师给予肯定并进行相应补充：两个数的和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍。学生类比上题，计算下列多项式的积：（4）2(1)(1)(1)p p p -=--= ' （5）2(2)m -= （6）2()a b -= 通过计算，学生自主得出222()2a b a ab b -=-+，并尝试用文字语言表述该公式的特点：两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍。教师给予肯定，并让学生将两个公式进行对比，进一步挖掘公式的结构特征： ①积为二次三项式； ②积中两项为两数的平方和； . ③另一项是两数的积的2倍，但符号与乘式中间的符号相同； ④公式中的a 、b 可以表示数、单项式或多项式。 222 222()2()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+ 教师指出，这两个公式叫做乘法的完全平方公式，并板书课题。 3、应用新知 - 例1 运用完全平方公式计算：

《完全平方公式》

课题：§1·6 完全平方公式（第1课时）【北师大版七年级下学期】内容分析 1．课标要求数学课标要求在数学课程中，应该当注重发展学生的符号意识、运算能力、推理能力和模型思想．而学生已经学习并掌握了有理数的运算，合并同类项，多项式与多项式相乘等知识，通过学习本节课的学习，能够进一步发展学生的符号意识，运算能力和归纳能力等，同时利用完全平方公式进行运算过程中，有助于学生理解运算的算理，为下一节课解决有些类型的简便运算的问题打下坚实的基础． 2．教材分析（1）知识技能：学生在已经学习了有理数的运算，整式及其加减，幂的有关运算，整式的乘法等知识之后，自然过渡到多项式与多项式的乘法的特殊情况即两个相同的多项式相乘，本节课所学知识对今后学习因式分解，分式的计算以及解一元二次议程也奠定了坚实的基础．（2）数学能力：学生已经具备了合并同类项法则，幂的有关计算法则，多项式乘以多项式的法则等有关整式计算的能力，也从以往的学习过程中累积了一定的归纳与推理能力．本节课是继“平方差公式”之后学习的另一个公式．对于这个公式的学习，本质上还是归纳与推理的一个过程，通过例子总结归纳出完全平方公式的含义，继而运用完全平方公式进行准确计算．（3）数学思想：本节课的学习让学生经历从特殊到一般的推理过程，掌握推理过程中的归纳思想．并让学生用几何图形理解完全平方公式中，渗透数形结合的思想，体会模型的作用．3．学情分析学习本节课知识应该具备的知识和能力有：有关有理数的运算，整式的加减，整式的乘法等计算能力．而学生对于本节课要学习的知识已经具备的有：学生已经具备了多项式乘以多项式的能力，能够整理出公式的右边形式，主要是让学生在学习学习过程中归纳出从特殊到一般的规律，从而总结出完全平方公式，并能正确的使用公式．教学目标 1．知识技能：经历探索完全平方公式的过程，并能运用公式进行简单的计算．

完全平方公式(完整知识点)

完全平方公式完全平方公式即(a±b)2=a2±2ab+b2 该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解）。必须注意的： ①漏下了一次项 ②混淆公式（与平方差公式） ③运算结果中符号错误 ④变式应用难于掌握。学会用文字概述公式的含义: 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。

这两个公式的结构特征： 1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍； 2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）. 完全平方公式口诀前平方，后平方，二倍乘积在中央。同号加、异号减，符号添在异号前。（可以背下来）即 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2（注意：后面一定是加号）公式变形（习题）变形的方法（一）、变符号：例1：运用完全平方公式计算：（1）(-4x+3y)2（2）(-a-b)2 分析：本例改变了公式中a、b的符号，以第二小题为例，处理该问题最简单的方法是将这个式子中的(-a)看成原来公式中的a，将(-b)看成原来公式中的b，即可直接套用公式计算。解答： (1)原式=16x2-24xy+9y2 (2)原式=a2+2ab+b2 （二）、变项数：

因式分解(公式法之完全平方公式与平方差公式)

因式分解基础习题（公式法）专题训练一：利用平方差公式分解因式题型(一)：把下列各式分解因式 1.24x - 2.2 9y - 3.21a - 4.224x y - 5.2125b - 6.222 x y z - 7.2240.019m b - 8.2219 a x - 9.2236m n - 10.2249x y - 11.220.8116a b - 12.222549p q - 13.2422a x b y - 14.41x - 15. 44411681 a b m - 题型(二)：把下列各式分解因式 1.22()()x p x q +-+ 2. 22 (32)()m n m n +-- 3.2216()9()a b a b --+ 4.22 9()4()x y x y --+ 5.22()()a b c a b c ++-+- 6.22 4()a b c -+ 题型(三)：把下列各式分解因式 1.53x x - 2.22 4ax ay - 3.322ab ab -

4.316x x - 5.2433ax ay - 6.2 (25)4(52)x x x -+- 7.324x xy - 8.343 322x y x - 9.4416ma mb - 10.238(1)2a a a -++ 11.416ax a -+ 12.2216()9()mx a b mx a b --+ 题型(四)：利用因式分解解答下列各题 1.证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。 2.计算 ⑴22758258- ⑵22429171- ⑶223.59 2.54?-? ⑷222221 1111(1)(1)(1)(1)(1) 234910---???-- 专题训练二：利用完全平方公式分解因式题型(一)：把下列各式分解因式 1.221x x ++ 2.2441a a ++ 3. 2169y y -+ 4.2 14m m ++ 5. 221x x -+ 6.2816a a -+

完全平方公式(一)

1.6完全平方公式(一) ●教学目标 (一)教学知识点 1.完全平方公式的推导及其应用. 2.完全平方公式的几何背景. (二)能力训练要求 1.经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力. 2.重视学生对算理的理解，有意识地培养他们有条理的思考和表达能力. (三)情感与价值观要求 1.了解数学的历史，激发学习数学兴趣. 2.鼓励学生自己探索算法的多样化，有意识地培养学生的创新能力. ●教学重点 1.完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释. 2.完全平方公式的应用. ●教学难点 1.完全平方公式的推导及其几何解释. 2.完全平方公式结构特点及其应用. ●教学方法自主探索法学生在教师的引导下自主探索完全平方公式的几何解释、代数运算角度的推理，揭示其结构特点，然后达到合理、熟练地应用. ●教具准备投影片四张第一张：试验田的改造，记作(§1.6.1 A) 第二张：想一想，记作(§1.6.1 B) 第三张：例题，记作(§1.6.1 C) 第四张：补充练习，记作(§1.6.1 D) ●教学过程 Ⅰ.创设问题情景，引入新课［师］去年，一位老农在一次“科技下乡”活动中得到启示，将一块边长为a米的正方形农田改成试验田，种上了优质的杂交水稻，一年来，收益很大.今年，又一次“科技下乡”活动，使老农铁了心，要走科技兴农的路子，于是他想把原来的试验田，边长增加b米，形成四块试验田，种植不同的新品种. 同学们，谁来帮老农实现这个愿望呢？ (同学们开始动手在练习本上画图，寻求解决的途径) ［生］我能帮这位爷爷. ［师］你能把你的结果展示给大家吗？［生］可以.如图1－25所示，这就是我改造后的试验田，可以种植四种不同的新品种.

完全平方公式与平方差公式(第1课时-完全平方公式)教案

教学设计 8.3 完全平方公式与平方差公式（第1课时）完全平方公式一、教学背景（一）教材分析乘法公式是在学习了单项式乘法、多项式乘法之后学习的，是特殊形式多项式乘法结果的一中归纳和总结，并且将这种结果应用于形式相同的多项式乘法，达到简化计算的目的.乘法公式是初中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，也是学习因式分解和分式运算的重要基础. （二）学情分析学生在8.2节学习了多项式的乘法，为推导和掌握完全平方公式奠定了基础. 学生在经历多项式的乘法基础上，初步为学习完全平方公式提供了思维方式.七年级下学生的认知发展已具备了转化、数形结合的能力，富有积极思考、主动探索、合作交流情感基础，为推导完全平方公式提供了保证. 二、教学目标： 1 经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符合感和推理能力. 2 会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算. 3 进一步体会转化、数形结合等思想。三、重点、难点：重点：体会的发现和推导过程，并能用之计算. 难点：掌握公式字母表达式的意义及对完全平方公式的运用. 四、教学方法分析及学习方法指导教学方法：在教学中要引导学生发现公式，并探究公式的推导过程，应着重让学生掌握公式的结构特征和字母表示数的广泛意义，引导学生借助面积图形对完全平方公式做直观说明，加深学生对公式理解。所以教学中要运用联系、对比、特点方式加以引导学生学习．学法指导：学习中，让学生主动发现公式，并探究公式的推导过程，应着重让学生认识、掌握公式的结构特征和字母表示数的广泛意义，在公式的运用上，把公式中的字母同具体题目中的数或式子，逐项比较、对照，步骤写得完整，便于学生理解如何正确地使用完全平方公式进行计算．正确地使用公式的关键是确定是否符合使用公式的条件．重要的是确定两数，然后再看是否两数的和（或差），最后按照公式写出两数和（或差）的平方的结果． ()2 222a b a ab b ±=±+

12.5.3因式分解完全平方公式法

12.5.3因式分解（完全平方公式法）教学目标： 1、能熟练运用公式将多项式进行因式分解. 2、能找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底. 3、提高对因式分解的认识和将多项式因式分解的能力. 重点：掌握公式法进行因式分解. 难点：找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底. 学习过程: 一、课前导入： 1、分解因式学了哪些方法? ⑴提取公因式法：ma +mb +mc =m (a +b +c ) ⑵运用公式法： ①a 2－b 2=(a +b )(a －b ) 练习把下列各式分解因式 ① ② x 4－16 2．除了平方差公式外，还学过了哪些公式？完全平方式: 用公式法正确分解因式关键是什么？仔细观察，试着发现以上式子所具有的特征：从每一项看：都有两项可化为两个数(或整式)的平方,另一项为这两个数 (或整式)的乘积的2倍. 从符号看：平方项符号相同（即：两平方项的符号同号，首尾2倍中间项）二、讨论探究：填一填四、巩固提高练习填空：（1）a 2+ +b 2=(a +b )2 （2）a 2－2ab + =(a －b ) 2 （3）m 2+2m + =( ) 2 （4）n 2－2n + =( ) 2 （5）x 2－x +0.25=( ) 2 （6）4x 2+4xy +( ) 2=( ) 2 例题（先观察再因式分解） ① x 2＋14x ＋49 ② ③ 3ax 2＋6axy ＋3ay 2 ④ －x 2－4y 2＋4xy ⑤ ⑥ 16x 4－8x 2＋1 判断因式分解正误，并写出正确过程 (1）－x 2－2xy －y 2= －(x －y )2 （2）a 2+2ab －b 2 2 4ax ax -9)(6)(2 ++-+n m n m 229124b ab a ++2)(b a -=

完全平方公式(1)

里辛一中初一数学导学案初一数学课题:完全平方公式（1）备课时间:2020-08-20 课堂寄语:在做题过程中掌握知识点的衔接，巩固需要强化的知识，提高基础知识的熟练程度，就可以提高做题的效率；同时要注意题目的归类，解题过程中把握好某种题型的解题思路和技巧学习目标1、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力。 2、会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算 3、了解完全平方公式的几何背景，发展几何直观。重难点重点：1、弄清完全平方公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点； 2、会用完全平方公式进行运算。难点：会用完全平方公式进行运算学习过程师生共享 (二次备课) 一个例子比十个定理有效一、【回顾与思考】 1、平方差公式：________________________ 2、公式的结构特点：左边是____________ _______________ 右边是_________ ______________ 3、利用平方差公式计算（1）22×18 （2）（2x+1）（2x-1）二、【自主学习探究新知】探究一：找规律（m+3）2= （2+3x）2= 通过观察看看左边多项式中的项与右边结果中的项有什么关系？能否用字母来表示？字母表示：文字叙述：探究二：完全平方公式的几何解释一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种。（如图）用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较你发现了什么？

例题2：已知x+y=8,xy=12,求x 2+y 2的值解题探究：①因为x+y=8，所以（x+y ）2的值是 ②由完全平方公式可知（x+y ）2= ，由上述探究可得 = ，即x 2+y 2= ③由已知xy=12可得x 2+y 2= = 规律总结：完全平方公式的“四种恒等变形” 1、a 2+b 2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab 2、(a+b)2+(a-b)2=2a 2+2b 2 ,(a+b)2-(a-b)2=4ab 3、ab=2 1[(a+b)2-( a 2+b 2)]= 4 1[(a+b)2-(a-b)2] 4、 222 11 a (a ) 2.a a + =+- 跟踪练习：若的值。求xy y x y x ,16)(,12)(22=+=- 四、【课堂达标】１、下列各式中，能够成立的等式是（）． A 、2 2 2 (2)42x y x xy y -=-+ B 、22 211()24 a b a ab b -= ++ C 、222 ()x y x y +=+ D 、2 2 ()()a b b a -=- 2、若是一个完全平方式，则m 的值是_________ A 、12 B 、﹣12 C 、±12 D 、±6 3、运用完全平方公式计算： (1)(21m －3 1 n)2 (2) 4.下列运算正确的是( ) A.(-2mn)2=4m 2n 2 B.y 2+y 2=2y 4 C.(a-b)2=a 2-b 2 D.m 2+m=m 3

公式法第二课时教案

14.3.2公式法教案（第2课时）教学目标：1．理解并掌握完全平方公式法分解因式的意义，灵活用完全平方公式进行因式分解。 2．了解运用完全平方公式因式分解的一般步骤。 3．在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力,通过综合运用提公因式法、完全平方公式法分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力。教学重点：运用完全平方公式法分解因式。教学难点：完全平方式的特点、识别及运用完全平方公式法分解因式。教学方法：采用“情境——探究”教学方法，让学生掌握完全平方公式法因式分解。教学过程：一、创设情境导入新课上节课我们利用整式的乘法与因式分解互逆的关系得到了因式分解的平方差公式，即 x2–y 2 =(x+y)(x-y)。利用平方差公式分解因式要注意多项式是否符合平方差公式的特点（即：多项式一定是两项，并且是两个数的平方的差的形式）。 1、【做一做】把下列各式分解因式：（1）x2－9 （2）x3－x （3）9a－ab2（4）(a+b)3－4(a+b) 请同学们独立完成上面两题，完成后互相校对你们的结果。在上面的因式分解中，你都用了哪些因式分解的方法？并且你认为还要注意什么？从上面的第（4）题我们知道公式中的a,b可以是单项式也可以是多项式。 2、请大家思考：你会分解多项式a2+2a+1吗？这就是我们这节课所要研究的内容二、探索新知：你能否类似上面的平方差公式写出因式分解中的完全平方公式呢？ a2+2ab+b2=（a+b）2； a2－2ab+b2=（a－b）2. 一般地形如a2+2ab+b2和a2－2ab+b2的式子称为完全平方公式因式分解，完全平方式具备什么特点呢？学生小组内合作交流：（代表发言）（1）这个多项式都有三项；（2）三项中都有两数的平方和，加或减这两个数的乘积的2倍。多项式x2–4xy+4y2是完全平方式吗？ x2 - 2 x (2y) + (2y)2 a2 - 2 a b + b2 是一个完全平方式。 1、【做一做】1.下列哪些式子是完全平方式？（1）x 2 +4xy–4y 2（2）4m2–6mn+9n 2（3）m2 +6mn+9n 2 2、在下面的空线上填上一项，使之构成一个完全平方式。 (1)4x 2–_____+9y 2 (2) x 2 +_____+4 3、（1）例5、利用完全平方公式分解因式：（1）16x2 +24x+9 （2）- x2 +4xy -4y2 分析：在（1）中，16x2=（4x）2 9=32 24x=2·4x·3所以16x2 +24x+9是一个完全平方公式，即：

完全平方公式解

完全平方公式讲解第一部分概念导入 1．问题：根据乘方的定义，我们知道：a2=a·a，那么（a+b）2应该写成什么样的形式呢？（a+b）2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______；（m+2）2=_______；（2）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；（m-2）2=_______； 2．学生计算 3．得到结果：（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+2p+1 （m+2）2=（m+2）（m+2）= m2+4m+4 （2）（p-1）2=（p-1）（p-1）= p2-2p+1 （m-2）2=（m-2）（m-2=m2-4m+4 4．分析推广：结果中有两个数的平方和，而2p=2·p·1，4m=2·m·2，恰好是两个数乘积的二倍。（1）（2）之间只差一个符号。推广：计算（a+b）2=_____ ___ （a-b）2=_____ ___ 【2】得到公式，分析公式（1）．结论：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．（2）公式特征左边：二项式的平方右边：二项式中每一项的平方与这两项乘积2倍的和．注意：公式右边2ab的符号取决于左边二项式中两项的符号．若这两项同号，则2ab取“＋”，若这两项异号，则2ab的符号为“－”．（3）公式中字母可代表的含义公式中的a和b可代表一个字母，一个数字及单项式．（4）几何解释图1－5 图1－5中最大正方形的面积可用两种形式表示：①（a＋b）2②a2＋2ab＋b2，由于这两个代数式表示同一块面积，所以应相等，即（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 因此，用几何图形证明了完全平方公式的正确性．【学习方法指导】［例1］计算（1）（3a＋2b）2（2）（mn－n2）2 点拨：运用完全平方式的时候，要搞清楚公式中a，b在题目中分别代表什么，在展开的过程中要把它们当作整体来做，适当的地方应打括号，如：进行平方的时候．同时应注意公式中2ab的符号．解：（1）（3a＋2b）2＝（3a）2＋2·（3a）·（2b）＋（2b）2＝9a2＋12ab＋4b2

完全平方公式(1)

韶关市第十三中学课程教学教学设计（课时）（2014 ～ 2015 学年第一学期）课程名称：数学主备教师：李颖任课教师：罗红莲课题：§14．2．2．2 完全平方公式（二）课型：新授课课时：第课时（总第课时）授课班级：八年级（6）、（8）班授课时间： 2014 年月日（第周）教学目标：一、知识与技能1．添括号法则． 2．利用添括号法则灵活应用完全平方公式．二、过程与方法1．利用去括号法则得到添括号法则，培养学生的逆向思维能力． 2．进一步熟悉乘法公式，体会公式中字母的含义．三、情感、态度与价值观鼓励学生算法多样化，培养学生多方位思考问题习惯，提高学生的合作交流意识和创新精神．教学重点：理解添括号法则，进一步熟悉乘法公式的合理利用．教学难点：在多项式与多项式的乘法中适当添括号达到应用公式的目的．教学方法：讲练结合教学资源：课件教学过程： Ⅰ．提出问题，创设情境 [师]请同学们完成下列运算并回忆去括号法则．（1）4+（5+2）（2）4-（5+2）（3）a+（b+c）（4）a-（b-c）解：（1）4+（5+2）=4+5+2=11 （2）4-（5+2）=4-5-2=-3 或：4-（5+2）=4-7=-3 （3）a+（b+c）=a+b+c （4）a-（b-c）=a-b+c 去括号法则：去括号时，如果括号前是正号，去掉括号后，括号里的每一项都不改变符合；如果括号前是负号，去掉括号后，括号里的各项都改变符合．也就是说，遇“加”不变，遇“减”都变． ∵4+5+2与4+（5+2）的值相等；4-5-2与4-（5+2）的值相等．所以可以写出下列两个等式：（1）4+5+2=4+（5+2）（2）4-5-2=4-（5+2）左边没括号，右边有括号，也就是添了括号，?同学们可不可以总结出添括号法则来呢？添括号其实就是把去括号反过来，所以添括号法则是：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；?如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．也是：遇“加”不变，遇“减”都变．请同学们利用添括号法则完成下列练习： 1．在等号右边的括号内填上适当的项：（1）a+b-c=a+（）（2）a-b+c=a-（）（3）a-b-c=a-（）

平方差公式和完全平方公式(含参)(人教版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：已知，求的值．你是怎么思考的？问题2：已知，求的值．你是怎么思考的？平方差公式和完全平方公式（含参）（人教版）一、单选题(共12道，每道8分) 1.若，则的值为( ) A.-2 B.2 C.±4 D.4 答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：平方差公式 2.若，则的值为( ) A.-4 B.±4 C.±4y D.4 答案：C 解题思路：试题难度：三颗星知识点：平方差公式 3.若，则的值为( )

A.3 B.-3 C.±3 D.±9 答案：C 解题思路：试题难度：三颗星知识点：平方差公式 4.若，则的值为( ) A.7 B.±7 C.-7 D.以上都不对答案：B 解题思路：试题难度：三颗星知识点：平方差公式 5.若是完全平方式，则的值为( ) A.2 B.-2 C.±2 D.±1 答案：C 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：完全平方公式 6.若是完全平方式，则的值为( ) A.36 B.9 C.-9 D.±9 答案：B 解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式 7.若是完全平方式，则的值为( ) A.-6 B.-12 C.±6 D.±12 答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式 8.若，则的值为( ) A.2 B.-2 C.±2 D.4 答案：B 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：完全平方公式 9.若，则的值为( ) A.-1 B.1 C.±1 D.-4 答案：A 解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式 10.若，则的值分别为( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式

完全平方公式

年级八年级课题完全平方公式课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能 1．经历探索完全平方公式的过程，使学生感受从一般到特殊的研究方法，进一步发展符号感和推理能力． 2．会推导完全平方公式，能说出公式的结构特征，并能运用公式进行简单计算．过程方法进一步培养学生用数形结合的方法解决问题的能力．情感态度了解数学的历史，激发学习数学的兴趣．鼓励学生自己探索算法的多样化，有意识地培养学生的创新能力．教学重点(a±b)2＝a2±2ab＋b2的推导及应用．教学难点完全平方公式的推导和公式结构特点及其应用．教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习旧知探究，计算下列各式，你能发现什么规律？（1）（p＋1）2 =（p＋1）（p＋1）＝_________；（2）（m＋2）2=（m＋2）（m＋2）＝_________；（3）（p－1）2 =（p－1）（p－1）＝_________；（4）（m－2）2=（m－2）（m－2）＝_________．答案：（1）p2+2p+1；（2）m2+4m+4；（3）p2－2p+1；（4）m2－4m+4．二、探究新知 1.计算:（a+b）2 和（a－b）2 ；并说明发现的规律。（a+b）2=（a+b）（a+b）= a（a+b）+b（a+b）=a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2．（a－b）2=（a－b）（a－b）=a（a－b）－b（a－b）=a2－ab －ab+b2=a2－2ab+b2． 2.归纳完全平方公式两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍，即学生利用多项式与多项式相乘的法则进行计算，观察计算结果，寻找一般性的结论，并进行归纳教师让学生利用多项式的乘法法则进行推理. 教师让学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括．这里是对前边进行的运算的复习，目的是让学生通过观察、归纳，鼓励他们发现这个公式的一些特点，如公式左右边的特征，便于进一步应用公式计算公式的推导既是对上述特例的概括，更是从特殊到一般的归纳证明，在此应注意向学生渗透数学

公式法(完全平方公式分解因式).doc

15.4. 3公式法 --- 运用完全平方公式分解因式教学目标（1）在掌握了解因式分解意义的基础上，会运用完全平方公式对多项式进行因式分解. （2）在运用公式法进行因式分解的同时培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力. （3）进一步体验“整体”的思想，培养“换元”的意识. 教学重点与难点重点：运用完全平方公式法进行因式分解. 难点：观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解. 教学设计复习回顾：完全平方公式：（0+。）2=6?+2沥+屏，（ci—bf-a —2沥+。 2. 两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍。探究思考：你能将多项式W+2汕+疽与a^-2ab+b2分解因式吗? 这中个多项式有什么特点? （白+》）2=白2+2 a2+2ab+b2=(a+b)2a —2ab+b2=(a —b)2

中间一沥+。2, （。—A ）」。?—2ab+b 1 . 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方. 建议：由于受到前面用平方差公式分解因式的影响，学生对于这两个多项式因式分解比较容易想到用完全平方公式，学生容易接受，教师要把重点放在研究公式的特征上来. 形如 a 1 + 2ab*b ，, a 2 -2ab + b 2的式了称为完全平方式. 议一议完全平方式的特点： 1、必须是二次三项式 2、其中首末两项分别是两个数（或两个整式）的平方, 项是两个数（或两个整式）的积的2倍（或-2倍）曰诀：首平方，尾平方，积的2倍夹中央注：可采用让学生自主讨论的方式进行教学，引导学生从多项式的项数、每项的特点、整个多项式的特点等几个方面进行研究.然后交流各自的体会. 例1、分解因式（1）1 6X 2+24X +9 （2）-x 2+4xy-4y 2 ⑶ ^2+3xy + 9/ 注：训练学生运用完全平方公式分解因式，要尽可能地让学生说和做，引导学生把多项式与公式进行比较找出不同点，把多项式向公式的方向转化. 例2、分解因式

1.8 完全平方公式(1)

初二数学利用公式法(完全平方公式)因式分解课堂

完全平方公式练习题一

初中数学人教版八年级上册完全平方公式的综合应用(习题及答案)

数学教案的运用完全平方公式法

人教版【教案】 完全平方公式

运用公式法

新人教版完全平方公式教案

《完全平方公式》

完全平方公式(完整知识点)

因式分解(公式法之完全平方公式与平方差公式)

完全平方公式(一)

完全平方公式与平方差公式(第1课时-完全平方公式)教案

12.5.3因式分解完全平方公式法

完全平方公式(1)

公式法第二课时教案

完全平方公式解

完全平方公式(1)

平方差公式和完全平方公式(含参)(人教版)(含答案)

完全平方公式

公式法(完全平方公式分解因式).doc

人教版【教案】完全平方公式