2018年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准 （考试时间：5月11日上午8：30－11：00）

一、选择题（每小题6分，共36分） 1．已知集合{}1A x x a =-<，{}22x B y y x ==≤，，若A B A ?=，则实数a 的取

值范围为（ ）

A ．(]1-∞，

B ．(1)-∞，

C ．(]01，

D ．(]3-∞， 【答案】 A

【解答】0a ≤时，A φ=，符合要求。

0a >时，(11)A a a =-+，，(]04B =，。

由A B A ?=知，A B ?。10

14a a -≥??+≤?，解得01a <≤。 ∴ a 的取值范围为(]1-∞，。

2．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥内切球的体积为（ ）

A ．

B C ．43π D ．163π

【答案】 A

【解答】设圆锥底面半径为R ，母线长为l ，则1

222

l R ππ?=，2l R =。

又21

22

S l ππ==圆锥测。因此，2l =，1R =。圆锥的轴截面是边长为2的正三角形。

所以，其内切球半径12323r =??=

34()3327V π=?=。

3．函数y x = ）

A ．?-?

B ．2?-?

C ．1?-?

D ．??

【答案】 B

【解答】由y x -=22224y xy x x -+=-，222240x yx y -+-=。

∴ 2248(4)0y y =--≥△，y -≤≤

又2y x ≥≥-，因此，2y -≤≤2?-?。

4．给出下列命题：

（1）设l ，m 是不同的直线，α是一个平面，若l α⊥，l m ∥，则m α⊥。

（2）a ，b 是异面直线，P 为空间一点，过P 总能作一个平面与a ，b 之一垂直，与另一条平行。

（3）在正四面体ABCD 中，AC 与平面BCD

（4）在空间四边形ABCD 中，各边长均为1，若1BD =，则AC 的取值范围是(0。 其中正确的命题的个数为（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 【答案】 C 【解答】（1）显然正确。

（2）若存在平面α，使得a α⊥，b α∥，则a b ⊥。但a ，b 是未必垂直。故不正确。 （3）作A O B C D ⊥平面于O ，则O 为正三角形BCD 的中心，ACO ∠是AC 与平面BCD 所

成角。

设AB BC a ==，则23CO ==，cos ACO ∠=

。故，（3）正确。

（4）取BD 中点O ，则OA OC ==。由O 、A 、C 构成三角形知，(0AC ∈。 故，（4）正确。

5．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x R ∈，均有(3)()f x f x +=，当3

(0)

2

x ∈，时，2()ln(1)f x x x =-+，则函数()f x 在区间[]06，上的零点个数为（ ）

A ．6个

B ．7个

C ．8个

D ．9个 【答案】 D

【解答】由2()ln(1)0f x x x =-+=知，211x x -+=，0x =或1x =。

∴ ()f x 在区间3(0)2，内有唯一零点1。结合()f x 为奇函数知，()f x 在区间3

(0)2

-，

内有唯一零点1-。

又由(3)()f x f x +=知，()f x 在区间3(3)2，内有唯一零点2；在区间9

(3)2，内有唯一零点4；在区间9

(6)2

，内有唯一零点5。 又由33()()22f f -=-，333()(3)()222f f f -=-+=知，3()02f =，9

()02

f =。

又(6)(3)(0)0f f f ===。

∴ ()f x 在区间[]06，上的零点个数为9。

6．已知函数()f x =

。给出下列四个判断：

（1）()f x 的值域是[]02，； （2）()f x 的图像是轴对称图形；

（3）()f x 的图像是中心对称图形； （4）方程[]()f f x = 其中正确的判断有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 【答案】 B

【解答】设(32)A ，，(52)B ，

，(0)P x ，，

则()f x PA PB ==

-。

（1）∵ ()2f x PA PB

AB =-≤=，AB 与x 轴不相交（即P 、A 、B 三点不共线）。

∴ 等号不成立，()f x 的值域是[)02，。（1）不正确。

（2）∵(4)f x -=

=，

(4)f x +=

=

∴ (4)(4)f x f x -=+，()f x 的图像关于直线4x =对称。（或从几何图形上看，当Q 与P

关于点(40)，

对称时，PA PB

QA QB

-=

-）。（2）正确。

（3）显然不正确。（若（3）正确，则结合（2）可得()f x 为周期函数，矛盾。）

（4）∵ (0)f =

=[)0()02f x ∈的值域，，

∴ 方程[]()f f x =4x =是方程的解）。（4）正确。

二、填空题（每小题6分，共36分） 7

．

已

知

集

合

{}

22()(2014)(2014)1A x y x y =-+-≤，，

{}()201422014B x y x y a =-+-<，，若A B ?，则实数a 的取值范围为 。

【答案】

)+∞

【解答】问题等价于圆在菱形内部（不含边界）。

∴ 0a >，且圆心到直线(2014)2(2014)x y a -+-=

的距离1d =>。

∴

a >

8．如图，在等腰直角三角形ABC 中，4CA CB ==，D 、E 分别为

AC 、AB 的中点。将ADE △沿DE 折起，使得折起后二面角A DE B

--为60?。则折起后四棱锥A DEBC -的体积为 。

【答案】

【解答】由条件知，在四棱锥A DEBC -中，ED DA ⊥，DE DC ⊥。

∴ A D C ∠是

二面角A D E B --的

平面角，且D E A D

⊥平面。 ∴ 60ADC ∠=?，且ADC DEBC ⊥面面。 作AF CD ⊥于F ，则AF DEBC ⊥面。

由2DA DC ==知，ADC △

为正三角形，AF 。

∴ 四棱锥A DEBC -

的体积124

232

V +=?= 9．已知函数221

()log (

)x f x x

-=的图像关于点A 对称，则点A 的坐标为 。 【答案】 1

(1)4

， 【解答】由函数定义域为1(0)()2-∞?+∞，

，；值域为(1)(1)-∞?+∞，，。 猜测点A 坐标为1

(1)4

A ，。下面给出证明： ∵ 2222112121

11828222()()log ()log ()log ()log ()1144141444

x x x x f x f x x x x x +------++-=+=++-+-

2

22

1162log 2116x x

-=+=-。 ∴ ()f x 的图像关于点1

(1)4

A ，对称。 10．ABC △中，已知4A

B =，

若C A B =，则ABC △面积的最大值为 。

【答案】

【解答】以AB 中点O 为坐标原点，直线AB 为x 轴建立直角坐标系，则(20)A -，，(20)B ，。

设()C x y ，

。则由CA CB =

= 整理，得22(4)12x y -+=。

∴ 点C 在以(40)D ，

为圆心，半径为x 轴的交点）上运动。 ∴ 点C 到直线AB 即x

轴距离的最大值为

∴ ABC △

面积的最大值为1

42

??=

11．已知二次函数2()f x ax bx c =++，若对任意[]02x ∈，均有()2f x ≤成立，则b 的最大值为 。

【答案】 8

【解答】(0)f c =，(1)f a b c =++，(2)42f a b c =++，(0)2f ≤，(1)2f ≤，(2)2f ≤。

∴ 13

13

2(1)(2)(0)22(2)(2)

8

22

22

b f f f =--≤?-?--?-=， 当且仅当(1)2(2)422(0)2f a b

c f a b c f c =++=??=++=-??==-?，即4

82a b c =-??

=??=-?

时，等号成立。

∴ b 的最大值为8。

12．不等式2286log x x -≥+的解集为 。 【答案】 (][)014?+∞，，

【解答】不等式化为203

826log x

x x <

≥??-≥+? ……… ②。 由2826log x x -≥+，得22log 2x x +≤，由于函数

2()2log x f x x =+为增函数，且(1)2f =。

所以，不等式①的解为01x <≤。

由2286log x x -≥+，得22log 14x x ≥+。 设()2x g x =，2()log 14h x x =+。

如图，在同一坐标系内作函数()y g x =与()y h x =的图像，它们有两个交点11()A x y ，，

22()B x y ，(120x x <<)，其中101x <<，24x =。

所以，②的解为4x ≥。

由①、②可知，不等式的解集为(][)014?+∞，，。

三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分） 13．（本题满分16分）

求二次函数2()21f x ax x =-+在区间[]12，上的最小值()g a 的表达式。

【解答】211()()1f x a x a a

=-+-。

当0a <时，1

0a <，()f x 在区间[]12，上的最小值为(2)43f a =-。 …………… 4分 当0a >时，1

0a

>。 若1

01a

<<，即1a >时，()f x 在区间[]12，上的最小值为(1)1f a =-。…………… 8分 若112a ≤

≤，即112a ≤≤时，()f x 在区间[]12，上的最小值为1()1f a a

=-。 ……………………… 12分

若

12a >，即1

02

a <<时，()f x 在区间[]12，上的最小值为(2)43f a =-。 ∴ 1430211()1121

1a a a g a a a a a ?

-<≠??

?

=-≤≤??

->???

，且。 ……………………… 16分

已知两个同心圆1C ：224x y +=和2C ：2216x y +=，P 圆2C 上一点。过点P 作圆1C 的两条切线，切点分别为A 、B 。

（1）若P

点坐标为-，求四边形OAPB 的面积。

（2）当点P 在圆2C 上运动时，是否存在定圆恒与直线AB 相切？若存在，求出定圆的方程；若不存在，请说明理由。

【解答】（1）依题意，OA AP ⊥，OB BP ⊥，且2O A O B ==

，PA PB =

∴

1

22

OAP OBP S S ==??△△。

∴ 四边形OAPB

的面积为 ………………… 4分 （2）设()P m n ，，则2216m n +=。

当点P 在圆2C 上运动时，恒

有

PA PB ===

∴ 点A 、B 在以P

为圆心， 该圆方程为22()()12x m y n -+-=。

…………………… 8分

又点A 、B 在圆1C ：224x y +=上。

联立两圆方程，消二次项，得

2222124mx ny m n --++=-。即40mx ny +-=。

∴ 直线AB 方程为40mx ny +-=。 ………………… 12分 ∵ 原点O 到直线AB

的距离4

14

d =

=

=为定值。 ∴ 圆221x y +=恒与直线AB 相切。

∴ 存在定圆恒与直线AB 相切，定圆方程为221x y +=。 ……………… 16分 注：本题也可以用平面几何方法求解：

设OP 与AB 的交点为D ，则OD AB ⊥。 ………………… 8分 在OAP △中，由OA AP ⊥，2OA =，4OP =，知1OD =。 ………………… 12分 ∴ 以O 为圆心，1为半径的圆恒于直线AB 相切。

∴ 存在定圆恒与直线AB 相切，定圆方程为221x y +=。 ………………… 16分

如图，在ABC △中，AD 为A ∠的平分线且与BC 交于点D ，E 为AD 中点，F 、G 为BE 、CE 上的点，且

90AFC AGB ∠=∠=?。

求证：FBG GCF ∠=∠。

【解答】如图，过点C 作AD 的平行线交直线BA 于点P ，BE 于点Q 。 则由E 为AD 中点知，Q 为CP 中点。 ………………… 4分 ∵ AD 平分BAC ∠，

∴ BAD P DAC ACP ∠=∠=∠=∠。

∴ AC AP =，AQ CP ⊥。 结合90AFC ∠=?知，A 、F 、C 、Q 四点共圆。 …………… 8分

∴ AFQ ACQ P BAE ∠=∠=∠=∠。 ∴ ABE FAE △∽△。 ∴

AB BE AE

FA AE FE

==，2AE EF EB =?。 同理，2DE EG EC =?。

……………………… 12分

∴ EF EB EG EC ?=?，F 、B 、C 、G 四点共圆。

∴ FBG GCF ∠=∠。 …………………… 16分

给出5个互不相同的实数，若这5个数中任意两个数的和或积中至少有一个是有理数，求证：这5个数的平方都是有理数。

【解答】设x 为其中的一个数，依题意，其余的4个数为

r

x

或r x -的形式，其中r 为有理数。 ………………………… 4分

（1）若这4个数中至少有2个为r

x （r Q ∈）的形式，设它们为1r x ，2r x

（12r r ≠且1r ，2r Q ∈）

。 则由条件知，

12r r Q x x +∈与12r r

Q x x

?∈中至少有1个成立。 当

12r r Q x x +∈时，12r r

Q x

+∈，x Q ∈，2x Q ∈成立。 当12r r Q x x ?∈时，122r r

Q x ∈，2x Q ∈成立。 ……………………… 8分 （2）若这4个数中最多只有1个为r

x

（r Q ∈）的形式，则至少有3个数为r x -（r Q ∈）

的形式。设这三个数为1r x -，2r x -，3r x -（1r ，2r ，3r 互不相同，且1r ，2r ，3r Q ∈）。

下面考虑这三个数的和与积。

① 若12()()r x r x -+-，23()()r x r x -+-，31()()r x r x -+-中至少有两个为有理数。 不妨设12()()r x r x -+-，23()()r x r x -+-为有理数， 则1223113()()()()24r x r x r x r x r r r x Q -+-+-+-=++-∈。

∴ x Q ∈，2x Q ∈成立。 ……………………… 12分 ② 若12()()r x r x -+-，23()()r x r x -+-，31()()r x r x -+-中最多只有1个为有理数，则

12()()r x r x --，23()()r x r x --，31()()r x r x --中至少有两个为有理数。

不妨设12()()r x r x --，23()()r x r x --为有理数。

则2121212()()()r x r x rr r r x x Q --=-++∈，2

232323()()()r x r x r r r r x x Q --=-++∈。

两式相减，得122313()rr r r r r x Q ---∈，13()r r x Q -∈。 ∴ x Q ∈，2x Q ∈成立。 由①、②知，此时2x Q ∈成立。

综上可得，2x Q ∈。因此，这5个数的平方都是有理数。 …………… 16分

（1）设集合{}12313A =，，，，，集合B 是A 的子集，且集合B 中任意两数之差都不等于6或7。问集合B 中最多有多少个元素？

（2）设集合{}1232014M =，，，，，集合N 是M 的子集，且集合N 中任意两数之差都不等于6或7。问集合N 中最多有多少个元素？

【解答】（1）构造A 的下列13个子集：{}17，，{}28，，{}39，，{}410，，{}511，，

{}612，

，{}713，，{}18，，{}29，，{}310，，{}411，，{}512，，{}613，（A 中每一个数恰好属于2个子集）。

由于从A 中任取7个元素，它们分别属于上述13个子集中的14个子集，由抽屉原理知其中必有2个元素属于同一个子集，它们的差为6或7。

因此，A 中任意7个元素都不能同时属于集合B 。即B 中最多只有6个元素。

………………………… 4分

又{}123456B =，，，，，中任意两数之差都不等于6或7。集合{}123456B =，，，，，符合要求。

∴ 集合B 中最多有6个元素。 ………………………… 7分 （2）由（1）知，任意连续13个正整数中最多只有6个数满足任意两数之差都不等于6或7。

由于2014131551=?-，因此，集合M 中最多只有1556930?=个数满足任意两数之差都不等于6或7。 …………………………… 11分

又显然集合{}131234*********M k b b k =+==，

，，，，，，，，，，是集合N 的子集，且集合M 中任意两数之差都不是6或7。集合N 中有930个元素。

∴ 集合N 中最多有930个元素。 ………………………… 14分