【冲刺卷】高一数学下期末一模试卷(及答案)

【冲刺卷】高一数学下期末一模试卷(及答案)

一、选择题

1．如图，在ABC ?中，已知5AB =，6AC =，1

2

BD DC =

，4AD AC ?=，则AB BC ?=

A ．-45

B ．13

C ．-13

D ．-37

2．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3

D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3

3．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A ．

73 B ．

8π

3

- C ．83

D ．

7π

3

- 4．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ）

A ．50,2??????

B ．[]1,4-

C ．1,22??-????

D ．[]

5,5-

5．(2015新课标全国I 理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有

A ．14斛

B ．22斛

C ．36斛

D ．66斛

6．C ?AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（ ） A ．1b =

B ．a b ⊥

C ．1a b ?=

D ．()

4C a b +⊥B

7．已知函数()y f x =为R 上的偶函数，当0x ≥时，函数()()2

10216()122x

x x f x x ?≤≤??

=????> ????

?，若关于x 的方程[]()2

()()0,f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．51,24??

-- ???

B ．11,24??-- ???

C ．1111,,2448??

??-

--- ? ?????

D ．11,28??

-

- ???

8．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A ．

45

B ．

35

C ．

25

D ．

15

9．设函数，则()sin 2cos 244f x x x ππ???

?=+++ ? ????

?，则（ ）

A ．()y f x =在0,2π?

?

??

?

单调递增，其图象关于直线4

x π

=

对称 B ．()y f x =在0,2π??

??

?

单调递增，其图象关于直线2

x π

=

对称 C ．()y f x =在0,2π??

??

?

单调递减，其图象关于直线4

x π

=对称 D ．()y f x =在0,

2π??

??

?

单调递减，其图象关于直线2

x π

=

对称

10．函数()lg ||f x x x =的图象可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

11．1

()x

f x e x

=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2

B ．1(,1)2

C ．3(1,)2

D ．3

(,2)2

12．在ABC ?中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知5a =，7b =，8c =，则

A C +=

A ．90?

B ．120?

C ．135?

D ．150?

二、填空题

13．在直角ABC ?中，三条边恰好为三个连续的自然数，以三个顶点为圆心的扇形的半径为1，若在ABC ?中随机地选取m 个点，其中有n 个点正好在扇形里面，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为__________．（答案用m ，n 表示）

14．在ABC △ 中，若223a b bc -= ，sin 23sin C B = ，则A 等于__________． 15．已知两个正数,x y 满足4x y +=,则使不等式14

m x y

+≥恒成立的实数m 的范围是__________

16．已知函数3

2

()21f x x x ax =+-+在区间上恰有一个极值点，则实数a 的取值

范围是____________

17．若,a b 是函数()()2

0,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个

数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于________． 18．底面直径和高都是4cm 的圆柱的侧面积为___cm 2.

19．已知抛物线()2

20y px p =>的准线与圆()2

2316x y -+=相切，则p 的值为

__________．

20．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(]

,0-∞上是减函数,则不等式

()()1ln f f x <的解集是________. 三、解答题

21．某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示． 组号

分组

频数

频率

160,16550.050

第1组[)

165,170①0.350

第2组[)

170,17530②

第3组[)

175,180200.200

第4组[)

180,185100.100

第5组[)

①②位置的相应数据，再完成频率分布直方图；

（1）请先求出频率分布表中,

（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．

22．某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：

记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y 表示1台机器在购买易损零件上

所需的费用（单位：元）,

n 表示购机的同时购买的易损零件数. （Ⅰ）若n =19,求y 与x 的函数解析式；

（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5,求n 的最小值； （Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？ 23．已知不等式的解集为

或

.

（1）求

；（2）解关于的不等式

24．某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x ，y.奖励规则如下：

①若3xy ≤，则奖励玩具一个； ②若8xy ≥，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶.

假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动. （Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；

（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由. 25．已知数列{a n }满足a 1＝1，11

14n n

a a +=-，其中n ∈N *． （1）设221

n n b a =-，求证：数列{b n }是等差数列，并求出{a n }的通项公式．

（2）设41

n

n a c n =

+，数列{c n c n +2}的前n 项和为T n ，是否存在正整数m ，使得11n m m T c c +<

对于n ∈N *，恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明．

26．某学校微信公众号收到非常多的精彩留言,学校从众多留言者中抽取了100人参加“学校满意度调查”,其留言者年龄集中在[]25,85之间,根据统计结果,做出频率分布直方图如下:

(1)求这100位留言者年龄的平均数和中位数;

(2)学校从参加调查的年龄在[)35,45和[)65,75的留言者中,按照分层抽样的方法,抽出了6人参加“精彩留言”经验交流会,赠与年龄在[)35,45的留言者每人一部价值1000元的手机,年龄在[)65,75的留言者每人一套价值700元的书,现要从这6人中选出3人作为代表发言,求这3位发言者所得纪念品价值超过2300元的概率.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】

先用AB 和AC 表示出2

A A

B B

C AB C AB ?=?-， 再根据，1

2

BD DC =

用用AB 和AC 表示出AD ，再根据4AD AC ?=求出A AB C ?的值，最后将A AB C ?的值代入2

A A

B B

C AB C AB ?=?-，，从而得出答案． 【详解】

()

2

A =A A

B B

C AB C AB AB C AB ?=?-?-，

∵1

2

BD DC =

， ∴111B C ?C B 222

AD A A AD AD A AD A -=-=-+（）， 整理可得：1

2

AB 3

3

AD AC +＝， 221

A A 433

AD AC AB C C ∴??+=＝

∴ A =-12AB C ?，

∴2

=A =122537AB BC AB C AB ??---=-．， 故选：D ． 【点睛】

本题考查了平面向量数量积的运算，注意运用平面向量的基本定理，以及向量的数量积的性质，考查了运算能力，属于中档题．

2．D

解析：D 【解析】

试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第

天）人数的平均数

为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感

染人数总数为

，又由于方差大于，故这

天中不可能每天都是，可以有一天大于

，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.

考点：众数、中位数、平均数、方差

3．B

解析：B 【解析】 【分析】

由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故利用棱锥的体积减去半个圆锥的体积，就可求得几何体的体积. 【详解】

由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为

21118222123233π

π-???-????=

.故选B. 【点睛】

本小题主要考查由三视图判断几何体的结构，考查不规则几何体体积的求解方法，属于基础题.

4．C

解析：C 【解析】

∵函数y =f (x )定义域是[?2,3]， ∴由?2?2x ?1?3， 解得?

1

2

?x ?2， 即函数的定义域为1,22??-???

?

，

本题选择C 选项.

5．B

解析：B 【解析】

试题分析：设圆锥底面半径为r ，则

1

2384r ??=，所以163

r =，所以米堆的体积为21116

3()5433????=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式

6．D

解析：D 【解析】 试题分析：

2,2AB a AC a b ==+,AC AB b ∴=+,b AC AB BC ∴=-=．

由题意知12,cos1201212b a b a b ??

=?=?=??-

=- ???

． ()()

2

422a b BC AB BC BC AB BC BC

∴+?=+?=?+212cos1202222402AB BC ??

=?+=???-+= ???

．()

4a b BC ∴+⊥．故D 正确．

考点：1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直．

7．B

解析：B 【解析】 【分析】

作出函数()y f x =的图像，设()f x t =，从而可化条件为方程20t at b ++=有两个根，利用数形结合可得114t =，21

04

t <<，根据韦达定理即可求出实数a 的取值范围. 【详解】

由题意，作出函数()y f x =的图像如下，

由图像可得，1

0()(2)4

f x f ≤≤=

关于x 的方程[]()2

()()0,f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不同的实数根，

设()f x t =，

20t at b ∴++=有两个根，不妨设为12,t t ；

且114t =，2104

t << 又

12a t t -=+

11,24a ??∴∈-- ???

故选：B 【点睛】

本题主要考查函数与方程、由方程根的个数求参数的取值范围，考查学生运用数形结合思想解决问题的能力，属于中档题.

8．C

解析：C 【解析】

选取两支彩笔的方法有2

5C 种，含有红色彩笔的选法为1

4C 种，

由古典概型公式，满足题意的概率值为142542

105

C p C ==

=. 本题选择C 选项. 考点：古典概型

名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.

9．D

解析：D 【解析】

()sin(2)cos(2))2442

f x x x x x πππ

=+++=+=,

由02,x π<<得02

x π

<<

，再由2,x k k Z ππ=+∈,所以,2

2

k x k Z π

π

=

+

∈. 所以y=f(x)在()y f x =在(0,

)2

π

单调递减,其图象关于直线2

x π

=

对称,故选D.

10．D

解析：D 【解析】 【分析】

分析函数()y f x =的定义域、奇偶性及其在()0,1上的函数值符号，可得出结论. 【详解】

函数()lg f x x x =的定义域为{}

0x x ≠，定义域关于原点对称，

()()lg lg f x x x x x f x -=--=-=-，函数()y f x =为奇函数，排除A 、C 选项；

当01x <<时，lg 0x <，此时()lg 0f x x x =<，排除B 选项. 故选：D. 【点睛】

本题考查由函数的解析式选择函数图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查推理能力，属于中等题.

11．B

解析：B 【解析】

函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （1

2

）2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（1

2

，1），故选B ．

点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.

12．B

解析：B 【解析】 【分析】

由已知三边，利用余弦定理可得1

cos 2

B =，结合b c <，B 为锐角，可得B ，利用三角形内角和定理即可求A

C +的值． 【详解】 在ABC ?中，

5a =，7b =，8c =，

∴由余弦定理可得：2222564491

cos 22582

a c

b B a

c +-+-===??，

b c <，故B 为锐角，可得60B =?，

18060120A C ∴+=?-?=?，故选B ． 【点睛】

本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用．

二、填空题

13．【解析】【分析】【详解】由题意得的三边分别为则由可得所以三角数三边分别为因为所以三个半径为的扇形面积之和为由几何体概型概率计算公式可知故答案为【方法点睛】本题題主要考查面积型的几何概型属于中档题解决

解析：

12n

m

【解析】 【分析】 【详解】

由题意得ABC ?的三边分别为,1,2x x x ++ 则由()()2

2

221x x x +=++ 可得3n = ，所以，三角数三边分别为3,4,5，因为A B C π∠+∠+∠= ，所以三个半径为1 的扇形面积

之和为

211=22π

π?? ，由几何体概型概率计算公式可知1122

,1342

n n m m ππ=∴=??，故答

案为

12n

m

. 【方法点睛】

本题題主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.

14．【解析】由得所以即则又所以故答案为 解析：6

π

【解析】

由sinC =

得c =，

所以222a b -==，即227a b =，

则

22222222b c a cosA bc +-=== ，又0A π∈（，）， 所以6A π=． 故答案为

6

π

. 15．【解析】【分析】由题意将代入进行恒等变形和拆项后再利用基本不等式求出它的最小值根据不等式恒成立求出m 的范围【详解】由题意知两个正数xy 满足则当时取等号；的最小值是不等式恒成立故答案为【点睛】本题考查 解析：94

m ≤

【解析】 【分析】

由题意将4x y +=代入

14

x y

+进行恒等变形和拆项后，再利用基本不等式求出它的最小值，根据不等式恒成立求出m 的范围．

【详解】

由题意知两个正数x ，y 满足4x y +=， 则

14559144444x y x y y x x y x y x y +++=+=++≥+=，当4y x x y

=时取等号； 14x y ∴+的最小值是94

， 不等式

14m x y +≥恒成立，9

4

m ∴≤． 故答案为9

4

m ≤． 【点睛】

本题考查了利用基本不等式求最值和恒成立问题，利用条件进行整体代换和合理拆项再用基本不等式求最值，注意一正二定三相等的验证．

16．【解析】【分析】【详解】由题意则解得-1＜a ＜7经检验当a=-1时的两个根分别为所以符合题目要求时在区间无实根所以 解析：17a -≤<

【解析】 【分析】 【详解】

由题意，2

()34f x x x a '=+-，则(1)(1)0f f ''-<，解得-1＜a ＜7，经检验当a=-1时，

2()3410f x x x '=++=的两个根分别为121,13

x x ，所以符合题目要求，7a =时，

2()3410f x x x '=++=,在区间

无实根，所以17a -≤<．

17．9【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=pab=q 再由ab ﹣2这三个数可适当排序后成等差数列也可适当排序后成等比数列列关于ab 的方程组求得ab 后得答案【详解】由题意可得：a+b=p

解析：9 【解析】 【分析】

由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p ，ab=q ，再由a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a ，b 的方程组，求得a ，b 后得答案． 【详解】

由题意可得：a+b=p ，ab=q ， ∵p＞0，q ＞0， 可得a ＞0，b ＞0，

又a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列， 也可适当排序后成等比数列，

可得①或②． 解①得：

；解②得：

．

∴p=a+b=5，q=1×4=4， 则p+q=9． 故答案为9．

点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题． 【思路点睛】

解本题首先要能根据韦达定理判断出a ，b 均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，因为

，所以不可取，则-2只能作为首项或者末

项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b 与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p ，q ．

18．【解析】【分析】【详解】圆柱的侧面积为 解析：

【解析】 【分析】 【详解】

圆柱的侧面积为22416ππ??=

19．2【解析】抛物线的准线为与圆相切则

解析：2 【解析】

抛物线的准线为2p

x =-

，与圆相切，则342

p +=，2p =． 20．【解析】由定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数可得函数在区间上是增函数所以由不等式得即或解得或即不等式的解集是;故答案为

解析：()10,e,e ∞??

?+ ???

【解析】

由定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(]

,0-∞上是减函数,可得函数()f x 在区间

()0+∞，

上是增函数,所以由不等式()()1ln f f x <得ln 1x >,即ln 1x >或ln 1x <-,解得x e >或10e x <<

,即不等式()()1ln f f x <的解集是()10,e,e ∞??

?+ ???

;故答案为()10,e,e ∞??

?+ ???

. 三、解答题

21．（1）①35人，②0.300，直方图见解析；（2）3人、2人、1人；（3）35

. 【解析】 【分析】

（1）由频率分布直方图能求出第2组的频数，第3组的频率，从而完成频率分布直方图． （2）根据第3,4,5组的频数计算频率，利用各层的比例，能求出第3,4,5组分别抽取进入第二轮面试的人数．

（3）设第3组的3位同学为123,,A A A ，第4组的2位同学为12,B B ，第5组的1位同学为

1C ，利用列举法能出所有基本事件及满足条件的基本事件的个数，利用古典概型求得概

率． 【详解】

（1）①由题可知，第2组的频数为0.3510035?=人，

②第3组的频率为

30

0.300100

=， 频率分布直方图如图所示，

（2）因为第3,4,5组共有60名学生，

所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为： 第3组： 30

6360

?=人， 第4组：人，

第5组：

10

6160

?=人， 所以第3,4,5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试．

（3）设第3组的3位同学为123,,A A A ，第4组的2位同学为12,B B ，第5组的1位同学为

1C ，

则从这六位同学中抽取两位同学有15种选法，分别为：12,A A （），13,A A （），11,A B （），12,A B （），11,A C （），23,A A （），21,A B （），22,A B （），21,A C （），31,A B （），32,A B （），31,A C （），12,B B （），11,B C （），21,B C （），

其中第4组的2位同学12,B B 中至少有一位同学入选的有9种，分别为：

11122122A B A B A B A B （，），（，），（，），（，），

31321211A B A B B B B C （，），（，），（，），（，），21B C （，），

∴第4组至少有一名学生被A 考官面试的概率为93

155

=． 【点睛】

本题考查频率分直方图、分层抽样的应用，考查概率的求法，考查数据处理能力、运算求解能力，是基础题．

22．(1)()3800,19,

y 5005700,19,x x N x x ≤?=∈?->?

;(2)19;(3) 购买1台机器的同时应购买19个易

损零件. 【解析】

试题分析：（Ⅰ）分x ≤19及x ＞19，分别求解析式；（Ⅱ）通过频率大小进行比较；（Ⅲ）分别求出n=19，n=20时所需费用的平均数来确定. 试题解析：（Ⅰ）当

时，3800y =；当

时，

3800500(19)5005700y x x =+-=-，所以与的函数解析式为

3800,19,

{()5005700,19,

x y x N x x ≤=∈->.

（Ⅱ）由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故的最小值为19.

（Ⅲ）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800，20台的费用为4 300，10台的费用为4 800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为

1

(380070430020480010)4000100

??+?+?=. 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000，10台的费用为4 500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为

1

(400090450010)4050100

??+?=. 比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件. 【考点】函数解析式、概率与统计

【名师点睛】本题把统计与函数结合在一起进行考查,有综合性但难度不大,求解的关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.

23．（1）a ＝1，b ＝2；（2）①当c ＞2时，解集为{x |2＜x ＜c }；②当c ＜2时，解集为{x |c ＜x ＜2}；③当c ＝2时，解集为?． 【解析】 【分析】

（1）根据不等式ax 2﹣3x +6＞4的解集，利用根与系数的关系，求得a 、b 的值； （2）把不等式ax 2﹣（ac +b ）x +bc ＜0化为x 2﹣（2+c ）x +2c ＜0，讨论c 的取值，求出对

应不等式的解集．

【详解】

（1）因为不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1，或x＞b}，

所以1和b是方程ax2﹣3x+2＝0的两个实数根，且b＞1；

由根与系数的关系，得，

解得a＝1，b＝2；

（2）所求不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0化为x2﹣（2+c）x+2c＜0，

即（x﹣2）（x﹣c）＜0；

①当c＞2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|2＜x＜c}；

②当c＜2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|c＜x＜2}；

③当c＝2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为?．

【点睛】

本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了不等式与方程的关系，考查了分类讨论思想，是中档题．

24．（Ⅰ）

5

16

.（Ⅱ）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.

【解析】

【分析】

【详解】

（Ⅰ）两次记录的所有结果为（1,1），（1,,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），

（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个．满足xy≤3的有（1,1），（1,,2），（1,3），（2,1），（3,1），共5个，所以小亮获得玩

具的概率为

5 16

．

（Ⅱ）满足xy≥8的有（2,4），（3,,3），（3,4），（4,2），（4,3），（4,4），共6个，

所以小亮获得水杯的概率为

6 16

；

小亮获得饮料的概率为

565

1

161616

--=，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．

25．（1）

1

2

n

n

a

n

+

=；（2）3

【解析】

试题分析：

(1)结合递推关系可证得b n+1-b n=2，且b1＝2，即数列{b n}是首项为2，公差为2的等差数

列，据此可得数列{}n a的通项公式为

1

2

n

n

a

n

+

=．

(2)结合通项公式裂项有21122n n c c n n ，+??=-

?+??

求和有1

11213212n T n n ??=+--< ?++??

．据此结合单调性讨论可得正整数m 的最小值为3．

试题解析： （1）证明：b n +1-b n 12

2

2121

n n a a +=

-

--

2

2

2112114n n a a =

-

-??

-- ?

?

? 42

22121

n n n a a a =

-=--． 又由a 1＝1，得b 1＝2，所以数列{b n }是首项为2，公差为2的等差数列，所以b n ＝2+(n -1)×2＝2n ，由221

n n b a =-，得1

2n n a n

+=

． （2）解：2

n c n =

，()2411222n n c c n n n n +??==- ?++??

所以

1

11213212n T n n ??=+--< ?++??

．

依题意，要使11n m m T c c +<

对于n ∈N *恒成立，只需()134

m m +≥，解得m ≥3或m ≤-4．又

m ＞0，所以m ≥3，所以正整数m 的最小值为3． 26．(1)60,5607

;(2)45.

【解析】 【分析】

（1）直接利用频率分布直方图求得平均数和中位数即可；

（2）利用分层抽样可得6人中年龄在[]35,45内有2人，设为a 、b ，在[]65,86内有4人,设为1,2,3,4，写出基本事件，利用古典概型即可. 【详解】

(1)这100位留言者年龄的样本平均数,

300.05400.1500.15600.35700.2800.1560?+?+?+?+?+?=,

年龄在[)25,55中的频率为:0.050.100.150.30++=, 年龄在[)25,65中的频率为:0.050.100.150.350.65+++=, 中位数在区间[)55,65中, 中位数为0.500.305

5510600.357

-+

?=.

(2)根据分层抽样原理,可知这6人中年龄在[]35,45内有2人,设为a ?b ,

在[]65,86内有4人,设为1?2?3?4.

设事件A 为“这3位发言者所得纪念品价值超过2300元”.

从这6人中选3人的所有基本事件有:1ab ?2ab ?3ab ?4ab ?12a ?13a ?14a ?23a ?24a ?

34a ?12b ?13b ?14b ?23b ?24b ?34b ?123?124?134?234,共20个.

其中事件A 的对立事件即3个人都是年龄[]65,75内, 包含的有123?124?134?234,共4个. (写出事件A 的基本事件个数也可以) 所以()441205

P A =-=., 【点睛】

本题考查平均数、中位数，古典概型，在解题过程中要求学生算数要准确，频率分布直方图不要混淆各组数据的值，属于基础题.