1分类加法计数原理和分步乘法计数原理
1.1分类加法计数原理和分步
乘法计数原理(教案)(总10
页)
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1． 1分类加法计数原理和分步乘法计数原理
教学目标：
知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；
②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；
过程与方法：培养学生的归纳概括能力；
情感、态度与价值观：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式
教学重点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)
教学难点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解
授课类型：新授课
课时安排：2课时
教具：多媒体、实物投影仪
第一课时
引入课题
先看下面的问题：
①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？
②把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？
要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法.
在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理.
1 分类加法计数原理
（1）提出问题
问题：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？
问题：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
探究：你能说说以上两个问题的特征吗？
（2）发现新知
分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法. 那么完成这件事共有
=
N+
m
n
种不同的方法.
（3）知识应用
例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：
A 大学
B 大学
生物学 数学
化学 会计学
医学 信息技术学
物理学 法学
工程学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢
分析：由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择 A , B 两所大学中的一所．在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有
5+4=9（种）.
变式：若还有C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？
探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，在第3类方案中有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？
如果完成一件事情有n 类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？
一般归纳：
完成一件事情，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有
n m m m N +???++=21
种不同的方法.
理解分类加法计数原理：
分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.
例2.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？
解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点A 爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以,
第一类, m1 = 1×2 = 2 条
第二类, m2 = 1×2 = 2 条
第三类, m3 = 1×2 = 2 条
所以, 根据加法原理, 从顶点A 到顶点C1最近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条
练习
1．填空：
( 1 ）一件工作可以用 2 种方法完成，有 5 人只会用第 1 种方法完成，另有 4 人只会用第 2 种方法完成，从中选出 l 人来完成这件工作，不同选法的种数是＿ ;
( 2 ）从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条，从 A 村经 B 的路线有＿条．
第二课时
2 分步乘法计数原理
（1）提出问题
问题：用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以1A ,2A ,…，1B ,2B ,…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？
用列举法可以列出所有可能的号码：
我们还可以这样来思考：由于前 6 个英文字母中的任意一个都能与 9 个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有 6×9 = 54 个不同的号码．
探究：你能说说这个问题的特征吗？
（2）发现新知
分步乘法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有 n m N ?=
种不同的方法.
（3）知识应用
例1.设某班有男生30名，女生24名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？
分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤．第 l 步选男生．第2步选女生．
解：第 1 步，从 30 名男生中选出1人，有30种不同选择；
第 2 步，从24 名女生中选出1人，有 24 种不同选择．
根据分步乘法计数原理，共有
30×24 =720
种不同的选法．
探究：如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，做第3步有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？
如果完成一件事情需要n 个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？
一般归纳：
完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有
n m m m N ??????=21
种不同的方法.
理解分步乘法计数原理：
分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.
3．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点
①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题
②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其
中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.
例2 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,
第一步, m1 = 3 种,
第二步, m2 = 2 种,
第三步, m3 = 1 种,
第四步, m4 = 1 种,
所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有N = 3 × 2 ×1×1 = 6
变式
1，如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
2若颜色是2种，4种，5种又会什么样的结果呢？
练习
2．现有高一年级的学生 3 名，高二年级的学生 5 名，高三年级的学生 4 名． ( 1 ）从中任选1 人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法村去 C 村，不同 ( 2 ）从 3 个年级的学生中各选 1 人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法
第三课时
3 综合应用
例1. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.
①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？
③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？
【分析】
①要完成的事是“取一本书”，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，因此是分类问题，应用分类计数原理.
②要完成的事是“从书架的第1、2、3层中各取一本书”，由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，只有第1、2、3层都取后，才能完成这件事，因此是分步问题，应用分步计数原理.
③要完成的事是“取2本不同学科的书”，先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算机和文艺书各1本，再要考虑取1本计算机书或取1本文艺书都只完成了这
件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理.
解： (1) 从书架上任取1本书，有3类方法：第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4 种方法；第2 类方法是从第2 层取1本文艺书，有3 种方法；第3类方法是从第 3 层取 1 本体育书，有 2 种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数是
123N m m m =++=4+3+2=9;
( 2 ）从书架的第 1 , 2 , 3 层各取 1 本书，可以分成3个步骤完成：第 1 步从第 1 层取 1 本计算机书，有 4 种方法；第 2 步从第 2 层取1本文艺书，有 3 种方法；第 3 步从第3层取1 本体育书，有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是
123N m m m =??=4×3×2=24 .
（3）26232434=?+?+?=N 。
例2. 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？
解：从 3 幅画中选出 2 幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第 1 步，从 3 幅画中选 1 幅挂在左边墙上，有 3 种选法；第 2 步，从剩下的 2 幅画中选 1 幅挂在右边墙上，有 2 种选法．根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是
N=3×2=6 .
6 种挂法可以表示如下：
分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同
方法的种数问题．区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事，分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．
例3.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和 3 个不重复的阿拉伯数字，并且 3 个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现．那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？
分析：按照新规定，牌照可以分为 2类，即字母组合在左和字母组合在右．确定一个牌照的字母和数字可以分6个步骤．
解：将汽车牌照分为 2 类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右．字母组合在左时，分6个步骤确定一个牌照的字母和数字：
第1步，从26个字母中选1个，放在首位，有26种选法；
第2步，从剩下的25个字母中选 1个，放在第2位，有25种选法； 第3步，从剩下的24个字母中选 1个，放在第3位，有24种选法； 第4步，从10个数字中选1个，放在第 4 位，有10种选法；
第5步，从剩下的 9个数字中选1个，放在第5位，有9种选法；
第6步，从剩下的 8个字母中选1个，放在第6位，有8种选法．
根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照共有
26 ×25×24×10×9×8=11 232 000（个） .
同理，字母组合在右的牌照也有11232 000 个．
所以，共能给
11232 000 + 11232 000 = 22464 000（个） .
辆汽车上牌照．
用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析 ― 需要分类还是需要分步．分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．分步要做到“步骤完整” ― 完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独
立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
练习
1．乘积
12312312345)()()a a a b b b c c c c c ++++++++（展开后共有多少项？
2．某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成，其中前四位的数字是不变的，后四位数字都是。到 9 之间的一个数字，那么这个电话局不同的电话号码最多有多少个？
3．从 5 名同学中选出正、副组长各 1 名，有多少种不同的选法？
4．某商场有 6 个门，如果某人从其中的任意一个门进人商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？
第四课时
例1.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母 A～G 或U～Z , 后两个要求用数字1～9．问最多可以给多少个程序命名？
分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第 1 步，选首字符；第2步，选中间字符；第3步，选最后一个字符．而首字符又可以分为两类．解：先计算首字符的选法．由分类加法计数原理，首字符共有
7 + 6 = 13
种选法．
再计算可能的不同程序名称．由分步乘法计数原理，最多可以有
13×9×9 = = 1053
个不同的名称，即最多可以给1053个程序命名．
例2.核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分一个 RNA 分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据．
总共有 4 种不同的碱基，分别用A,C,G,U表示．在一个 RNA 分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无
关．假设有一类 RNA 分子由 100 个碱基组成，那么能有多少种不同的 RNA 分子？
分析：用图1. 1一2 来表示由100个碱基组成的长链，这时我们共有100个位置，每个位置都可以从A , C , G , U 中任选一个来占据．
解：100个碱基组成的长链共有 100个位置，如图1 . 1一2所示．从左到右依次在每一个位置中，从 A , C , G , U 中任选一个填人，每个位置有 4 种填充方法．根据分步乘法计数原理，长度为 100 的所有可能的不同 RNA 分子数目有
1001004444??
?=（个）
例3.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态．因此计算机内部就采用了每一位只有 O 或 1 两种数字的记数法，即二进制．为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由 8 个二进制位构成．问：
(1）一个字节（ 8 位）最多可以表示多少个不同的字符
(2）计算机汉字国标码（GB 码）包含了6 763 个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？
分析：由于每个字节有 8 个二进制位，每一位上的值都有 0,1两种选择，而且不同的顺序代表不同的字符，因此可以用分步乘法计数原理求解本题．
解：(1）用图一3 来表示一个字节．
图 1 . 1 一 3
一个字节共有 8 位，每位上有 2 种选择．根据分步乘法计数原理，一个字节最多可以表示 2×2×2×2×2×2×2×2= 28 =256 个不同的字符；
( 2）由（ 1 ）知，用一个字节所能表示的不同字符不够 6 763 个，我们就考虑用2 个字节能够表示多少个字符．前一个字节有 256 种不同的表示
方法，后一个字节也有 256 种表示方法．根据分步乘法计数原理，2个字节可以表示 256×256 = 65536
个不同的字符，这已经大于汉字国标码包含的汉字个数 6 763．所以要表示这些汉字，每个汉字至少要用 2 个字节表示．
例4.计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试．程序员需要知道到底有多少条执行路径（即程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据．一般地，一个程序模块由许多子模块组成．如图一4，它
是一个具有许多执行路径的程序模块．问：这个程序模块有多少条执行路径？
另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗？
图一4
分析：整个模块的任意一条执行路径都分两步完成：第 1 步是从开始执行到 A 点；第 2 步是从 A 点执行到结束．而第 1 步可由子模块 1 或子模块 2 或子模块 3 来完成；第 2 步可由子模块 4 或子模块 5 来完成．因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理．
解：由分类加法计数原理，子模块 1 或子模块 2 或子模块 3 中的子路径共有
18 + 45 + 28 = 91 （条） ;
子模块 4 或子模块 5 中的子路径共有
38 + 43 = 81 （条） .
又由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径共有
91×81 = 7 371（条）.
在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块．这样，他可以先分别单独测试 5 个模块，以考察每个子模块的工作是否正常．总共需要的测试次数为
18 + 45 + 28 + 38 + 43 =172.
再测试各个模块之间的信息交流是否正常，只需要测试程序第1 步中的各个子模块和第 2 步中的各个子模块之间的信息交流是否正常，需要的测试次数为
3×2=6 .
如果每个子模块都工作正常，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就工作正常．这样，测试整个模块的次数就变为
172 + 6=178（次）.
显然，178 与7371 的差距是非常大的．
你看出了程序员是如何实现减少测试次数的吗？
巩固练习：
1.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
2.书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．
（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？
（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？
（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？
3.如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为() A. 180 B. 160 C. 96 D. 60
若变为图二,图三呢?
5.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种
6．（2007年重庆卷）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ C ）
图一 图二 图三
A．5部分部分部分部分
课外作业：第10页习题 1. 1 6 , 7 , 8
教学反思：
课堂小结
1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理是排列组合问题的最基本的原理，是推导排列数、组合数公式的理论依据，也是求解排列、组合问题的基本思想. 2．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，并加区别
分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相对独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成后才算做完这件事. 3．运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的注意点：
分类加法计数原理：首先确定分类标准，其次满足：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同的两类的方法都是不同的方法，即"不重不漏".
分步乘法计数原理：首先确定分步标准，其次满足：必须并且只需连续完成这n个步骤，这件事才算完成.
分配问题
把一些元素分给另一些元素来接受．这是排列组合应用问题中难度较大的一类问题．因为这涉及到两类元素：被分配元素和接受单位．而我们所学的排列组合是对一类元素做排列或进行组合的，于是遇到这类问题便手足无措了．事实上，任何排列问题都可以看作面对两类元素．例如，把10个全排列，可以理解为在10个人旁边，有序号为1，2，……，10的10把椅子，每把椅子坐一个人，那么有多少种坐法？这样就出现了两类元素，一类是人，一类是椅子。于是对眼花缭乱的常见分配问题，可归结为以下小的“方法结构”：
A，这里
①.每个“接受单位”至多接受一个被分配元素的问题方法是m
n
≥.其中m是“接受单位”的个数。至于谁是“接受单位”，不要管它在生n m
活中原来的意义，只要n m
≥.个数为m的一个元素就是“接受单位”，于是，方法还可以简化为A少多.这里的“多”只要≥“少”.
②.被分配元素和接受单位的每个成员都有“归宿”,并且不限制一对一的分
A.
配问题，方法是分组问题的计算公式乘以k
k
数学：11《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》测试(新人教a版选修2—3)1.doc
1?1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题 一、选择题 1. 一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人一会用第2种方法完成, 从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是（ ）? A. 8 B. 15 C. 16 D. 30 答案：A 2.从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有 （ ） A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 答案：B 1, 2, 3, 4可组成无重复数字的两位数的个数是（ B. 20 C. 16 D. 12 答案：C 5.李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙.“五一”节 需选择一套服装参加歌舞演出， A. .24 B. 14 则李芳冇（ ）种不同的选择方式（ D. 9 ) C. .10 答案：B 6.设儿〃是两个非空集合，定义A ： ,b) a E A, bE ,若 P 二 = {0,1,2}, e = {1,2,3,4}, 则体0中元索的个数是（ ） A. 4 B. 7 C. 12 D. 16 答案：C 二、填空题 7.商店里冇15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共冇 _______ 种不同的选法; 要买上衣，裤子各一件，共有 ______ 种不同的选法. 答案：33, 270 8.十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有 ________ 种行车路线. ）条不同的线路可通电 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 4.由数字0, A. 25 3.如图所示为一电路图，从弭到〃共冇（ 答案：D
9.已知{0,3,4},呢{127,8},则方程（x-a）2+（y-fe）2 =25表示不同的圆的个数是 答案：12 10.__________________________________________________________________ 多项式（q +色+dj?（b] +乞）+ （。4 +他）?（仇+仿）展开后共有___________________________ 项. 答案：10 11.___________________________ 如图，从A-C,有种不同走法,. 12.将三封信投入4个邮箱，不同的投法有__________种. 答案：6 答案：43三、解答题 13.一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同. （1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？ ? （2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？ 解：(1) N = 5 + 4 = 9 种; (2) N = 5x4 = 20种. 14.某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级＞1人组成. （1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？ （2）若每年级选1人为校学牛会常委，有多少种不同的选法？ （3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法? 解：(1) N = 5 + 6 + 4 = 15 种；. (2)N = 5x6x4 = 120种； (3) 2 = 5x6 + 6x4 + 4x5 = 74种15.己知集合M ={-3,-2,-1,0,1,2}, P（a, b）是平面上的点，a, be M .（1）P（a, b）可表示平面上多少个不同的点？ （2）P（a, b）可表示多少个坐标轴上一的点？ 解：（1）完成这件事分为两个步骤：自的取法有6种，方的取法也有6种, ???戶点个数为^6X 6=36（个）； （2）根据分类加法计数原理，分为三类： ①x轴上（不含原点）有5个点； ②y轴上（不含原点）有5个点； ③既在/轴，又在y轴上的点，即原点也适合，
第11章计数原理随机变量及其分布11.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
考点11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 概念方法微思考 1．在解题过程中如何判定是用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理？ 提示 如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事，应该用分类加法计数原理；如果每类办法中的每一种方法只能完成事件的一部分，就用分步乘法计数原理． 2．两种原理解题策略有哪些？ 提示 ①明白要完成的事情是什么； ②分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系； ③有无特殊条件的限制； ④检验是否有重复或遗漏． 1．（2018?上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设1AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以1AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）
A ．4 B ．8 C ．12 D ．16 【答案】D 【解析】根据正六边形的性质，则111D A ABB -，111D A AFF -满足题意， 而1C ，1E ，C ，D ，E ，和1D 一样，有248?=， 当11A ACC 为底面矩形，有4个满足题意， 当11A AEE 为底面矩形，有4个满足题意， 故有84416++= 故选D ． 2．（2020?上海）已知{3A =-，2-，1-，0，1，2，3}，a 、b A ∈，则||||a b <的情况有__________种． 【答案】18 【解析】当3a =-，0种， 当2a =-，2种， 当1a =-，4种； 当0a =，6种， 当1a =，4种； 当2a =，2种， 当3a =，0种， 故共有：2464218++++=． 故答案为：18． 3．（2018?新课标Ⅰ）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案
分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第一课时） 知识与技能： ①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理； ②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题； 过程与方法： ①通过对两个原理概念的学习培养学生的理解能力、归纳概括能力和类比分 析能力； ②通过对两个原理的应用，提高学生对数学知识的应用能力； 情感态度与价值观： ①了解学习本章的意义，激发学生的学习兴趣 ②引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式. 教学重点理解两个原理,并能运用它们来解决一些简单的问题. 教学难点弄清楚“一件事”指的是什么，分清是“分类”还是“分步”. 教学方法启发式 教具准备多媒体 教学过程 一、引入课题 引例：从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路，问：从甲地到丁地有多少种走法？ 决问题. 设计意图：从贴近学生实际生活的实例出发，让学生明白本节课的教学内容，激发学生学习兴趣。 师生互动：老师提问学生回答。 二、讲授新课： 1、分类加法计数原理 问题1：（多媒体展示）十一你打算从甲地到乙地旅游，假设可以乘汽车和火车.一天中，汽车有3班，火车有2班.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种坐交通工具的方法?有３＋２＝５种方法 探究１：（多媒体展示）你能说说以上问题的特征吗？（分析要完成的“一件事”是什么.） 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有3种不同的方法，在第2类方案中有2种不同的方法. 那么完成这件事共有3+2=5种方法。一件事就是从甲
地到乙地的一种乘坐交通工具的方式。 发现新知：完成一件事情，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N +???++=21种不同的方法.（也称加法原理） 设计意图：由特例到定义的设计思路让学生理解加法原理的概念，体现了一般存在于特殊之中的辩证法思想，便于让学生理解概念。 师生互动：由老师提问学生回答的方式进行。在本知识点中学生可能对“一件事”的概念的理解不是很好，在学生回答完后，老师应该进行点拨。 知识应用 例1：两个袋子里分别装有40个红球，60个白球，从中任取一个球，有多少种求法？ 设计意图：通过本例及变式练习让学生进一步理解“分类”的含义。并向学生指出分类的关键是弄清“一件事”是什么。 师生互动：由老师引导学生回答例题，由学生独立解答变式，并回答“一件事”是什么。 分类加法计数原理特点： 分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事的办法要分为若干类，各类的办法法相互独立，各类办法中的各种方法也相对独立，用任何一类办法中的任何一种方法都可以单独完成这件事. 设计意图：让学生总结加法原理的特点，加深对概念的理解。 师生互动：由学生总结，老师给以补充。 2 、分步乘法计数原理 问题2：（多媒体展示）从A 村道B 村的道路有3条，从B 村去C 村的路有2条，从C 村去D 的道路有3条，小明要从A 村经过B 村，再经过C 村，最后到D 村，一共有多少条路线可以选择？ 从A 村经 B 村去C 村有 2 步, 第一步, 由A 村去B 村有 3 种方法, 第二步, 由B 村去C 村有 2 种方法, 第三步，从C 村到Ｄ村有３种方法 所以从A 村经 B 村又经过C 村到Ｄ村共有 3 ×2 ×３= １８ 种不同的方法 探究2：（多媒体展示）你能说说这个问题的特征吗？（分析要完成的“一件事” 是什么.） 完成一件事需要有三个不同步骤，在第1步中有３种不同的方法，在第2步中有２种不同的方法，第三步有３种不同的方法. 那么完成这件事共有3 ×2 ×３= １８种不同的方法.一件事就是：从Ａ村到Ｄ村的一种走法 发现新知 分步乘法计数原理：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么
人教版高数选修2-3第一章11分类加法计数原理与分步乘法计数原理复习教案(教师版)
分类加法计数原理与分步乘法计数原理__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.掌握分类计数原理，分布计数原理的概念. 2.掌握分类计数原理与分布计数原理的区别. 3.能解决分类计数原理与分步计数原理的综合题. 1.分类计数原理与分步计数原理 (1)分类计数原理：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第n类方式中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2 +…+m n种不同的方法 注意：○1分类计数原理又称为加法原理； ○2弄清楚完成“一件事”的含义，即知道做“一件事”或完成一个“事件”在题目中具体所指的内容； ○3解决“分类”问题，用分类计数原理，即完成事件通过途径A，就不必再通过途径B，可以单独完成； ○4每个题中，标准不同，分类也不同，分类的基本要求是：每一种方法必属于某一类(不漏)，任意不同类的两种方法是不同的方法(不重). (2)分步计数原理: 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×m n种不同的方法. 注意：○1分步计数原理又称为乘法原理； ○2弄清楚完成“一件事”的含义，即知道完成一个“事件”在每个题中需要经过哪几个步骤； ○3解决“分步”问题，用分步计数原理，需要分成若干个步骤，每个步骤都完成了，才算完成一个事件，注意各步骤间的连续性； ○4每个题中，标准不同，分步也不同，分步的基本要求：一是完成一件事，必须且只需连续做完几步，既不漏步也不重步；二是每个步骤之间的方法是无关的，不能相互替代. 2.分类计数原理和分步计数原理的区别 辨别运用分类计数原理还是分步计数原理的关键是“分类”还是“分步”，也就是说“分类”时，各类办法中的每一种方法都是独立的，都能直接完成这件事，而“分步”时，各步中的方法是相关的，缺一不可，当且仅当做完个步骤时，才能完成这件事。 类型一分类计数原理 例1：王刚同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有30张英语单词卡片，右边口袋装有20张英语单词卡片，这些英语单词卡片都互不相同，问从口袋里任取一张英语单词卡片，有多少种不同的取法？ [解析]从口袋中任取一张英语单词卡片的方法分两类，第一英：从左边口袋取一张英语单词卡片，有30种不同的取法；第二类：从右边口袋取一张英语单词卡片，有20种不同的取法，上述任何一种取法都能独立完成取一张英语单词卡片的事件，应用分类计数原理，所以从口袋里任取一张英语单词卡片有30+20=50种不同取法.
(完整word版)分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习题
分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习题 一.选择题 1．一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是（ ） Ａ．8 Ｂ．15 Ｃ．16 Ｄ．30 2．从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有（ ） Ａ．5种 Ｂ．6种 Ｃ．7种 Ｄ．8种 3．如图所示为一电路图，从A 到B 共有（ ）条不同的线路可通电（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 4．由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是（ ） Ａ．25 Ｂ．20 Ｃ．16 Ｄ．12 5．李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有（ ）种不同的选择方式 Ａ． 24 Ｂ．14 Ｃ． 10 Ｄ．9 6．设A ，B 是两个非空集合，定义{}()A B a b a A b B *=∈∈，，|，若{}{}0121234P Q ==， ，，，，，，则P *Q 中元素的个数是（ ） Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ．12 Ｄ．16 二、填空题 7．商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有 种不同的选法；要买上衣，裤子各一件，共有 种不同的选法． 8．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有 种行车路线． 9．已知{}{}0341278a b ∈∈， ，，，，，，则方程22()()25x a y b -+-=表示不同的圆的个数是 ． 10．多项式123124534()()()()a a a b b a a b b ++++++··展开后共有 项． 11．如图，从A →C ，有 种不同走法． 12．将三封信投入4个邮箱，不同的投法有 种． 三、解答题 13．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同． （1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？ （2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案
分类加法计数原理与分步乘法计数原理 教学目的 1了解学习本章的意义,激发学生的兴趣. 2.理解分类计数原理与分步计数原理,培养学生的归纳概括能力. 3.会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题. 教学重点 分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理) 教学难点： 分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解 教 具 多媒体、实物投影仪 教学过程 一、引入课题 今天我们来学习两个计数原理：分类加法计数原理和分类乘法计数原理。这两个原理不仅是我们解决计数问题的依据，也是我们学习排列组合和概率论的基础。 二、引出两个原理 问题1: 重庆的王先生欲回老家广州过年，从重庆到广州可以乘坐火车或者汽 车，一天中，火车有３班，汽车有２班，问从重庆到广州共有多少种不同的走法？ 分析：因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从 重庆到广州，所以，共有3+2=5种不同的走法。 由问题1引出分类加法计数原理： 完成一件事情，有两类办法，在第1类办法中有m 种不同的方法，在第2类办法中有n 种不同的方法，那么完成这件事共N=m+n 种不同的方法.（也称加法原理）（板书） 追问：如果完成一件事情有 n 类不同方案，在第1类办法中有1m 种不同的方法， 在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的 方法.那么完成这件事共多少种不同的方法？.（口述） 回答：有n m m m N +???++=21种方法。 问题2：王先生在广州过完年后要去北京拜访朋友．第一天他必须乘火车去天津 办一件事，然后次日再乘汽车到北京。一天中，广州到天津的火车有３
分类计数原理和分步计数原理教案
分类计数原理和分步计数原理教案 教学内容: 分类计数原理和分步计数原理 教学目标: 理解两计数原理的内涵;能运用两计数原理解简单计数问题及综合问 题 教学重点: 分类计数原理和分步计数原理的定义 教学难点: 应用两计数原理解题 教学方法: 讲解法 教学过程: 例:从甲地到乙地每天有三趟火车和两趟汽车,一天里从甲地到乙地 共有多少种走发? (图) 从甲地到乙地要途经丙地,一天里从甲地到丙地有三趟火车,从丙 地到乙地有 两趟汽车.问甲地到乙地有多少种走法? (图) 1. 复习两原理. 2. 分类计数原理中每一种方法都完成了这件事.分步计数原理中完 成这件事的任何一种方法都要分成n 个步骤. 分类和分步都要有标准. 3. 例题讲解: 例:书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有3本不同 的文艺书，第三层放有2本不同的体育书. (1).从书架上任取1本书,有多少不同的取发? 4+3+2=9 (2).从书架的第1,2,3层各取1本书,有多少种不同的取法? 24234=?? (3).从中取出两本书,且计算机书,文艺书,体育书每种只能选1本, 有多少种不同的取法? 26232434=?+?+? 4.课堂练习: ● 有高一学生3名,高二学生5名,高三学生4名,选1名去参加接待外宾活 动,有多少种不同的选法? ● ()()()543214321321c c c c c b b b b a a a +++++++++展开后有多少 项? ● 在平面直角坐标系内,横坐标与纵坐标均在A={}5,4,3,2,1,0内取值的不 同点共有多少个? 5.布置作业: ● 复习资料第347页,课下知能提升1----6题.
分类加法计数原理和分步乘法计数原理(教案)
分类加法计数原理和分步乘法计数原理讲义 教学目标： 知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理； ②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题； 过程与方法：培养学生的归纳概括能力； 情感、态度与价值观：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式 教学重点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理) 教学难点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教具：多媒体、实物投影仪 第一课时 引入课题 先看下面的问题： ①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？ ②把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？ 要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法. 在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理. 1 分类加法计数原理 （1）提出问题 问题1.1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？ 问题1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 探究：你能说说以上两个问题的特征吗？
（2）发现新知 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有 m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有 n m N += 种不同的方法. （3）知识应用 例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： A 大学 B 大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？ 分析：由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择 A , B 两所大学中的一所．在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有 5+4=9（种）. 变式：若还有C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？ 探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，在第3类方案中有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 如果完成一件事情有n 类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？
(完整版)分类计数原理和分步计数原理练习题
1、一个学生从3本不同的科技书、4本不同的文艺书、5本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有_________________种。 2、一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有_________________种不同的选法。 3、一商场有3个大门，商场内有2个楼梯，顾客从商场外到二楼的走法有 __________种。 4、从分别写有1，2，3，…，9九张数字的卡片中，抽出两张数字和为奇数的卡片，共有_________________种不同的抽法。 5、某国际科研合作项目成员由11个美国人，4个法国人和5个中国人组成，（1）从中选出1人担任组长，有多少种不同选法？ （2）从中选出两位不同国家的人作为成果发布人，有多少种不同选法？ 6、（1）3名同学报名参加4个不同学科的比赛，每名学生只能参赛一项，问有多少种不同的报名方案？ （2）若有4项冠军在3个人中产生，每项冠军只能有一人获得，问有多少种不同的夺冠方案？ 7、用五种不同颜色给图中四个区域涂色，每个区域涂一种颜色， （1）共有多少种不同的涂色方法？ （2）若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？ 8、从甲地到乙地有两种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地共有_________________种不同的走法。 9、某电话局的电话号码为，若后面的五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码一共有_________________个。 10、从0，1，2，…，9这十个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法有_________________种。
(完整版)分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合测试题(有答案)
分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合测试题（有答案） 选修2-3 1.1第一课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理 一、选择题 1．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为( ) A．182 B．14 C．48 D．91 [答案] C [解析] 由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6×8＝48，故选C. 2．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为( ) A．13种 B．16种 C．24种 D．48种 [答案] A [解析] 应用分类加法计数原理，不同走法数为8＋3＋2＝13(种)．故选A. 3．集合A＝{a，b，c}，B＝{d，e，f，g}，从集合A到集合B的不同的映射个数是( ) A．24 B．81 C．6 D．64 [答案] D [解析] 由分步乘法计数原理得43＝64，故选D. 4．5 本不同的书，全部送给6位学生，有多少种不同的送书方法( ) A．720种 B．7776种 C．360种 D．3888种 [答案] B [解析] 每本书有6种不同去向，5本书全部送完，这件事情才算完成．由乘法原理知不同送书方法有65＝7776种． 5．有四位老师在同一年级的4个班级中，各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是( ) A．8种 B．9种 C．10种 D．11种 [答案] B [解析] 设四个班级分别是A，B，C，D，它们的老师分别是a，b，c，d，并设a监考的是B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C，D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法．这样，用分类加法计数原理求解，共有3＋3＋3＝9(种)不同的安排方法．另外，本题还可让a先选，可从B，C，D中选一个，即有3种选法．若选的是B，则b从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，这样用分步乘法计数原理求解，共有3×3×1×1＝9(种)不同的安排方法． 6．某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从 “×××××××0000”到“×××××××9999”共10 000个号码，公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为( ) A．2 000 B．4
分类计数原理与分步计数原理教学设计
分类计数原理与分步计数原理
课题： 分类计数原理与分步计数原理 教材分析： 《分类计数原理与分步计数原理》，是高中数学第十章排列、组合的第一节课，是排列、组合的基础，学生对这两个原理的理解、掌握和运用，是学好本章的一个关键。 教学目标： 知识与技能目标： 准确理解两个原理，弄清它们的区别，培养学生分析问题、理解问题、归纳问题的能力 过程与方法目标： 通过例题让学生理解两个计数原理，并能够将两个技术原理应用到实际问题中去。 情感、态度与价值观目标： 培养学生勇于探索、勇于创新的精神，面对现实生活中复杂的事物和现象，能够作出正确的分析，准确的判断，进而拿出完善的处理方案，提高实际的应变能力。 教学重点： 分类计数原理和分步计数原理内容及两者的区别 教学难点： 对较为复杂事件的分类和分步 教学方法： 启发引导式教学 教具准备： 作图工具 课型： 新授课 教学过程： 问题引入一 问题1从芜湖到合肥，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。假若一天中，火车有4班, 汽车有20班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 分析:从甲地到乙地有3类方法,
第一类方法, 乘火车，有4种方法; 第二类方法, 乘汽车，有20种方法; 第三类方法, 乘轮船, 有3种方法; 所以从甲地到乙地共有4+20+3=27种方法。 问题 2 在全班同学中选出一名同学做班长，有多少种选择？ 新知探究一 分类计数原理：如果计数的对象可以分成若干类，使得每两类没有公共元素，那么分别对每一类里的元素计数，然后把各类的元素数目相加，便得出所要计数的对象的总数。 说明： （1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要计算方法种数,只需将各类方法数相加，因此分类计数原理又称加法原理。 （2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数。 例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A 大学有5个自己感兴趣的强项专业，B 大学有4个自己感兴趣的强项专业，如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？ 解：根据分类计数原理：这名同学可能的专业选择共有5+4＝9种。 问题引入二 问题3 如图,假设由芜湖去巢湖的道路有3条，由巢湖去合肥的道路有2条。从芜湖经巢湖去合肥，共有多少种不同的走法? 分析: 芜湖经巢湖去合肥有2步, 第一步, 由芜湖去巢湖有3种方法, 第二步, 由巢湖去合肥有2种方法, 所以芜湖经巢湖去合肥共有3×2=6种不同的方法。 问题 4 在全班每个组中都选出一名同学做组长，有多少种选择？ 新知探究二 分步计数原理：如果计数的对象可以分成若干步骤来完成， 并且对于前面几芜湖北 南 北
2015高考数学(理)一轮题组训练：11-1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第十一篇计数原理 第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有________． 解析按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二位号码有3种选法，其余三位号码各有4种选法．因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4＝960(种)． 答案960种 2．(2012·新课标全国卷改编)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有________． 解析分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C12＝2种选派方法； 第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C24＝6种选派方法．由分步乘法计数原理，不同选派方案共有2×6＝12(种)． 答案12种 3．6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有________． 解析第一步先排甲，共有A14种不同的排法；第二步再排其他人，共有A55种不同的排法．因此不同的演讲次序共有A14·A55＝480(种)． 答案480种
4．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为________． 解析以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9； 以2为首项的等比数列为2,4,8； 以4为首项的等比数列为4,6,9； 把这四个数列顺序颠倒，又得到4个数列， ∴所求的数列共有2(2＋1＋1)＝8(个)． 答案8 5．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P?Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是________． 解析当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7(个)． 当x≠2时，由P?Q，∴x＝y. ∴x可从3,4,5,6,7,8,9中取，有7种方法． 因此满足条件的点共有7＋7＝14(个)． 答案14 6．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种(用数字作答)． 解析第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的3人中选1人当文娱委员，有3种选法． 第二步，从剩下的4人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：先选学习委员有4种选法，再选体育委员有3种选法． 由分步乘法计数原理可得，不同的选法共有3×4×3＝36(种)． 答案36 7．如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个．
分类计数原理和分步计数原理
分类计数原理与分步计数原理 年级__________ 班级_________ 学号_________ __________ 分数____ 总分一二三 一、选择题(共33题，题分合计165分) 1.从甲地到乙地每天有直达班车4班，从甲地到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地，每天有3个班车，则从甲地到乙地，不同的乘车法有 A.12种 B.19种 C.32种 D.60种 2.若x∈｛1，2，3｝，y∈｛５，7，9｝，则x·y的不同值有 A.2个 B.6个 C.9个 D.3个 3.七名男同学和九名女同学，组成班组乒乓球混合双打代表队，共可以组成 A.7队 B.8队 C.15队 D.63队 4.集合A={1，2，3，4}，B={a,b,c}，从集合A到集合B的不同映射f个数有 A.24个 B.4个 C.34个 D.43 5.计算1！+2！+3！+…+100！得到的数，其个位数字是 A.2 B.3 C.4 D.5 6.已知集合 {}{}7,6,5,4 ,3,2 ,1- - = - =N M，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐 得分阅卷人
标系中可表示第一、二象限不同的点的个数是 A.18 B.10 C.16 D.14 7.用1，2，3，4四个数字中任取数（不重复取）作和，则取出这些数的不同的和共有 A.8个 B.9个 C.10个 D.5个 8.若 100 100 5 5 4 4 3 3 2 2 1 2 A A A A A A S+ + + + + + = ，则S的个位数字是 A.8 B.5 C.3 D.0 9.7名同学排成一排，其中甲、乙必须排在一起的不同排法有 A.720种 B.360种 C.1440种 D.120种 10.有三位同学去阅览室借5本不同的书，不同的借法种数有 A.3 B.5 C.35 D.53 11.某同学逛书店，发现三本喜欢的书，决定至少买其中一本，则购买方案有 A.3种 B.6种 C.7种 D.9种 12.某公共汽车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有 A.510种 B.10５种 C.50种 D.以上都不对 13.三位同学分别从"计算机"及"英语打字"两项活动中选修一项，不同的选法种数有 A.3 B.6 C.8 D.9 14.从1~8这八个数字中任取两个数相加（不重复取），其和是偶数的种数比其和是奇数的种数 A.多1种 B.多4种 C.少2种 D.少4种 15.正方体的每一条对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数最多是 A.3对 B.6对 C.12对 D.24对 16.从6本不同的书中任意取出4本分给四位同学，每人一本，不同的分法共有 A.24种 B.120种 C.360种 D.1440种 17.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有 A.5种 B.6种 C.7种 D.8种 18.有4部车床，需加工3个不同的零件，其不同的安排方法有 A.34 B.43 C.A 3 4 D.44 19.5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每个同学可自由选择，则不同的选择种数是
11分类加法计数原理与分步乘法计数原理.doc
人教A版选修2—3 精讲细练 1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 、知识精讲 .计数原理 .计数原理选取 对于两个计数原理的综合应用问题，一般是先分类再分步，分类时要设计好标准, 设计好分类方案，防止重复和遗漏;分步时要注意步与步之间的连续性，同时应合理设计步骤顺序，使各步互不干扰. 二、典例细练 【题型一】：分类加法计数原理的简单应用 例题1:书架上层放有13本不同的数学书，中层放有14本不同的语文书，下层
放有15本不同的化学书，某人从中取出一本书，有多少种不同的取法？ 【解析】要完成“取一本书”这件事有三类不同的取法： 第1类，从上层取一本数学书有13种不同的方法； 第2类，从中层取一本语文书有14种不同的方法； 第3类，从下层取一本化学书有15种不同的方法. 其中任何一种取法都能独立完成取一本书这件事， 故从中取一本书的方法种数为13+14+15=42. 【点评】分类的原则：标准一致，不重复，不遗漏. 变式训练：某校高三共有三个班，其各班人数如下表： (1)从三个班中选一名学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)从1班、2班男生中或从3班女生中选一名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？ 【解析】：(1)从三个班中任选一名学生，可分三类： 第1类，从1班任选一名学生，有50种不同选法； 第2类，从2班任选一名学生，有60种不同选法； 第3类，从3班任选一名学生，有55种不同选法. 由分类加法计数原理知，不同的选法共有N = 50+60+55=165(种) (2)由题设知共有三类： 第1类，从1班男生中任选一名学生，有30种不同选法； 第2类，从2班男生中任选一名学生，有30种不同选法； 第3类，从3班女生中任选一名学生，有20种不同选法； 由分类加法计数原理知，不同的选法共有
分类加法计数原理和分步乘法计数原理练习题汇编
课时训练1两个计数原理(1) 一、选择题 1.王刚同学衣服上左、右各有一个口袋,左边口袋装有30张英语单词卡片,右边口袋装有20张英语单词卡片,这些英语单词卡片都互不相同,问从两个口袋里任取一张英语单词卡片,则不同的取法有(). A.50种 B.30种 C.20种 D.600种 2.高二(1)班有学生56人,其中男生38人,从中选取1名男生和1名女生作代表,参加学校组织的社会调查团,则选取代表的方法有(). A.38种 B.18种 C.684种 D.864种 3.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤,如果1条长裤与1件上衣配成一套,则不同的配法种数为(). A.7 B.12 C.64 D.81 4.有不同的红球8个,不同的白球7个,不同的黄球6个,现从中任取两个不同颜色的球,不同的取法有(). A.336种 B.21种 C.104种 D.146种 5.某通讯公司推出一组手机号码,卡号的前七位数字固定.从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10 000个号码,公司规定:凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”,则这组号码中“优惠卡”的个数为() A.2000 B.4096 C.5904 D.8320 6.将1,2,3,…,9这9个数字填在如图的9个空格中,要求每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大.当3,4固定在图中的位置时,填写空格的方法为(). A.6种 B.12种 C.18种 D.24种 7.将红、黄、绿、黑四种不同的颜 色涂入图中的五个区域内,要求相 邻的两个区域的颜色都不相同,则 不同的涂色方法有(). A.48种 B.72种 C.24种 D.27种 9.(2014·新课标Ⅰ理，5)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为() A． 1 8B． 3 8 C． 5 8D． 7 8 10.有四位老师在同一年级的4个班级中，各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是() A．8种B．9种 C．10种D．11种 二、填空题 更多精品文档
13分类加法计数原理
13分类加法计数原理 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．从甲、乙、丙三人中选出两人并站成一排的所有站法为（ ） A ．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 B ．甲乙丙，乙丙甲 C ．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙 D ．甲乙，甲丙，乙丙 2．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有 A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种 3．异面直线,a b 上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是（ ） A ．20 B ．9 C ．39C D ．2121 4554C C C C 4．完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（ ） A ．5种 B ．4种 C ．9种 D ．20种 5．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数有（ ）种． A ．8 B ．15 C ．18 D ．30 6．已知两条异面直线a ，b 上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为 A ．40 B ．16 C ．13 D ．10 二、填空题 7．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，则不同的取法有______种．（以数字作答） 8．异面直线a,b 上分别有4个点和5个点,由这9个点可以确定的平面个数是_____. 9．甲，乙，丙，丁四名同学做传递手帕游戏（每位同学传递到另一位同学记传递1次），手帕从甲手中开始传递，经过5次传递后手帕回到甲手中，则共有__________种不同的传递方法．（用数字作答） 10．用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答） 三、解答题 11．有一项活动，需要在3名老师、8名男同学和5名女同学中选人参加.
分类计数原理与分步计数原理练习测验题
分步计数原理与分类计数原理 基本知识点复习 1.分步计数原理: 2.分类计数原理: 复习练习题选 一、选择题 1．甲组有5名男同学、3名女同学，乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出地4人中恰好有1名女同学地选法有（ ）A.150种 B.180种 C.300种 D.345种2.某班新年联欢会原定地5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个节目插入原节目单中，那么不同地插法地种类为（ ）A.42 B.30 C.20 D.12 3.甲、乙两人从4门功课中各选修2门，则甲、乙所选地课程中至少有一门不相同地选法共有（ ） A.6种 B.12种 C.30种 D.36种 4.三边长均为整数，且最大边长为11地三角形地个数是（ ） A.25 B.26 C.36 D.37 5.设集合I={1,2,3,4,5}，选择I 地两个非空子集A 、B 要使B 中最小地数大于A 中最大地数，则不同地选择方法共有（ ）A.50种 B.49种 C.48种 D.47种 6.设P 、Q 是两个非空集合，定义P*Q=},|),{(Q b P a b a ∈∈，若P={0,1,2}，Q={1,2,3,4}，则P*Q 中地元素地个数是（ ）A.4 B.7 C.12 D.16 7.从长度分别为1,2,3,4,5地五条线段中任取三条地不同取法有n 种，以取出地 三条线段为边可组成地钝角三角形地个数为m ，则n m 等于（ ）A.101 B.51 C.103 D.5 2 8.若)(x f y =是定义域为A={}*,71|N x x x ∈≤≤，值域为{0,1}地函数，则这样地函数共有（ ） A.128个 B.126个 C.14个 D.16个 9.已知直线01=++by ax 中地a,b 是取自集合}2,1,0,1,2,3{---中地两个不同地元素，并且直线地倾斜角大于060，那么符合这些条件地直线共有（ ）A.8条 B.11条 C.13条 D.16条 10.从集合{1,2,3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程122 22=+n y m x 中地m 和n ，
分类加法计数原理
计数原理 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 专题1分类加法计数原理 ■(2015河北邯郸二模,分类加法计数原理,填空题,理13)我们把中间位数上的数字最大,而面两边依次减小的多位数称为“凸数”.如132、341等,那么由1、2、3、4、5可以组成无重复数字的三位凸数的个数是.(用数字作答) 解析:根据“凸数”的特点,中间的数字只能是3,4,5,故分三类, 第一类,当中间数字为“3”时,此时有2种(132,231); 第二类,当中间数字为“4”时,从1,2,3中任取两个放在4的两边,故有=6种; 第三类,当中间数字为“5”时,从1,2,3,4中任取两个放在5的两边,故有=12种; 根据分类计数原理,得到由1,2,3,4,5可以组成无重复数字的三位凸数的个数是2+6+12=20种. 答案:20 专题3排列、组合的综合应用 ■(2015辽宁锦州二模,排列、组合的综合应用,选择题,理8)分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道.要求4名水暖工都分配出去,并每名水暖工只去一个居民家,且每个居民家都要有人去检查,那么分配的方案共有() A.种 B.种 C.种 D.种 解析:根据题意,分配4名水暖工去3个不同的居民家里,要求4名水暖工都分配出去,且每个居民家都要有人去检查; 则必有2名水暖工去同一居民家检查, 即要先从4名水暖工中抽取2人,有种方法, 再将这2人当做一个元素,与其他2人,共3个元素,分别分配到3个不同的居民家里,有种情况, 由分步计数原理,可得共种不同分配方案. 答案:C ■(2015江西宜春奉新一中高考模拟,排列、组合的综合应用,填空题,理13)有4名优秀学生A,B,C,D 全部被保送到北京大学、清华大学、复旦大学,每所学校至少去一名,则不同的保送方案共有 种. 解析:第一步从4名优秀学生选出2个组成复合元素共有种,再把3个元素(包含一个复合元素)保送 到甲、乙、丙3所学校有种, 根据分步计数原理,不同保送方案共有=36种. 答案:36 1