06离散型随机变量的均值(教案)
2． 3离散型随机变量的均值与方差 2．3．1离散型随机变量的均值
教学目标： 知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望．
过程与方法：理解公式“E （a ξ+b ）=aE ξ+b ”，以及“若ξB （n,p ），则E ξ=np ”.能熟
练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文
价值。
教学重点：离散型随机变量的均值或期望的概念教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望 授课类型：新授课 课时安排：4课时
教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：
一、复习引入：
1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示
2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量
3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出
若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量 并且不改变其属性（离
散型、连续型）
5. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，…，x 3，…，
ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列
6. 分布列的两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)
7.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是
k
n k k n n q p C k P -==)(ξ，
（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）． 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ 0 1 …
k … n
P
n n q p C 00 1
11-n n q p C … k
n k k n q p C - 0
q p C n n n
称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记
k
n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．
8. 离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ，P(k A )=p ，P(k A )=q(q=1-p)，那么
112311231()()()()()
()()k k k k k P k P A A A A A P A P A P A P A P A q p ξ---====（k ＝
0,1,2,…， p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ
1
2
3
…
k … P
p pq
2q p … 1k q p -
…
称这样的随机变量ξ
记作g (k ，p )= 1k q p -，其中k ＝0,1,2,…， p q -=1．
二、讲解新课：
根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下
ξ 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
在n 次射击之前，可以根据这个分布列估计n 次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望 根据射手射击所得环数ξ的分布列，
我们可以估计，在n 次射击中，预计大约有
n n P 02.0)4(=?=ξ 次得4环；
n n P 04.0)5(=?=ξ 次得5环；
…………
n n P 22.0)10(=?=ξ 次得10环．
故在n 次射击的总环数大约为
+??n 02.04++?? n 04.05n ??22.010
+?=02.04(++? 04.05n ??)22.010，
从而，预计n 次射击的平均环数约为
+?02.04++? 04.0532.822.010=?．
这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．
对于任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，即已知各个)(i P =ξ（i =0，1，2，…，10），我们可以同样预计他任意n 次射击的平均环数:
+=?)0(0ξP +=?)1(1ξP …)10(10=?+ξP ．
1. 均值或
则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望．
2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平
3. 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …
n p =，则有=1p =2p …n p n 1=
=，=ξE +1(x +2x …n
x n 1
)?+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值
4. 均值或期望的一个性质:若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为
于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …+++n n p b ax )(…
＝+11(p x a +22p x …++n n p x …)++1(p b +2p …++n p …) ＝b aE +ξ，
由此，我们得到了期望的一个性质:b aE b a E +=+ξξ)( 5.若ξB （n,p ），则E ξ=np
证明如下：
∵ k n k k n k
n k
k
n q p C p p C k P --=-==)
1()(ξ，
∴ =ξE 0×n n q p C 00＋1×111-n n q p C ＋2×222-n n q p C ＋…＋k ×k
n k k n q p C -＋…＋n ×0q p C n n n ．
又∵ 1
1)]!
1()1[()!1()!1()!(!!--=-----?=-?
=k n k
n nC k n k n n k n k n k kC ，
∴ =ξE (np 0011n n C p q --＋2111--n n q p C ＋…＋)
1()1(111------k n k k n q p C ＋…＋)0111q p
C n n n ---np q p np n =+=-1)(． 故 若ξ～B (n ，p )，则=ξE np ．
三、讲解范例：
例1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分ξ的期望解：因为3.0)0(,7.0)1(====ξξP P ， 所以.03.007.01=?+?=ξE
例2. 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分 学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望
解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是ηξ,，则ξ~ B （20,0.9）,)25.0,20(~B η,
525.020,189.020=?==?=∴ηξE E
由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η 他们在测验中的成绩的期望分别是：
2555)(5)5(,90185)(5)5(=?===?==ηηξξE E E E 例3. 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0. 01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3 种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3 800 元．
方案2：建保护围墙，建设费为2 000 元．但围墙只能防小洪水． 方案3：不采取措施，希望不发生洪水． 试比较哪一种方案好．
解：用X 1 、X 2和X 3分别表示三种方案的损失．
采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3 800 元，即 X 1 = 3 800 .
采用第2 种方案，遇到大洪水时，损失2 000 + 60 000=62 000 元；没有大洪水时，损失2 000 元，即
??
?262000，有大洪水；
X =2000,无大洪水.
同样，采用第 3 种方案，有
??
???
360000，有大洪水；X =10000,有小洪水；0,无洪水.
于是，
EX 1＝3 800 ,
EX 2＝62 000×P (X 2 = 62 000 ) + 2 00000×P (X 2 = 2 000 ) = 62000×0. 01 + 2000×(1-0.01) = 2 600 ,
EX 3 = 60000×P (X 3 = 60000) + 10 000×P(X 3 =10 000 ) + 0×P (X 3 =0) = 60 000×0.01 + 10000×0.25=3100 .
采取方案2的平均损失最小，所以可以选择方案2 .
值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的．一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案 2 将会使损失减到最小．由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案 2 也不一定是最好的．
例4.随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数ξ的期望
解：∵6,,2,1,6/1)(???===i i P ξ，
6/166/126/11?+???+?+?=∴ξE =3.5例5.有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过10次
求抽查次数ξ的期望（结果保留三个有效数字）
解：抽查次数ξ取1ξ≤≤10的整数，从这批数量很大的产品中抽出1件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前1-k 次取出正品而第k 次（k =1，2，…，10）取出次品的概率：
15.085.0)(1?==-k k P ξ（k =1，2， (10)
需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：85.0)10(==ξP 由此可得ξ的概率
分布如下： ξ
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10
P 0.15 0.1275 0.1084 0.092 0.0783 0.0666 0.0566 0.0481 0.0409 0.2316
根据以上的概率分布，可得ξ的期望
35.52316.0101275.0215.01=?+???+?+?=ξE
例6.随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望． 解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为
ξ 1 2 3 4 5 6
P
61
61 61 61 61 6
1 所以
=ξE 1×
61＋2×61＋3×61＋4×61＋5×61＋6×6
1 ＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×6
1
＝3.5．
抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．
例7.某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km 时租车费为10元，若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足lkm 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为
(Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式； (Ⅱ)若随机变量ξ的分布列为
求所收租车费η的数学期望．
(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?
解：(Ⅰ)依题意得 η=2(ξ-4)十10，即 η=2ξ+2；
(Ⅱ)=ξE 4.161.0183.0175.0161.015=?+?+?+? ∵ η=2ξ+2
∴ =ηE 2E ξ+2=34.8 （元）
故所收租车费η的数学期望为34.8元．
(Ⅲ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5?(18-15)=15
所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟 四、课堂练习：
1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以ξ表示取出球的最大号码，则E ξ=（ ）
A ．4；
B ．5；
C ．4.5；
D ．4.75 答案：C
2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求
⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望；
⑵他罚球2次的得分η的数学期望； ⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望．
解：⑴因为7.0)1(==ξP ，3.0)0(==ξP ，所以
=ξE 1×)1(=ξP ＋0×7.0)0(==ξP
⑵η的概率分布为
η
1
2
P
23.0 3.07.01
2??C 27.0
所以 =ξE 0×09.0＋1×42.0＋2×98.0＝1.4． ⑶ξ的概率分布为
所以 =ξE 0×027.0＋1×189.0＋2×98.0＝2.1.
3．设有m 升水，其中含有大肠杆菌n 个．今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌
的个数为ξ，求ξ的数学期望．
分析：任取1升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是
m
1
，事件“ξ=k ”发生，即n 个大肠杆菌中恰有k 个在此升水中，由n 次独立重复实验中事件A （在此升水中含一个大肠杆菌）恰好发生k 次的概率计算方法可求出P (ξ=k ),进而可求E ξ. 解：记事件A ：“在所取的1升水中含一个大肠杆菌”，则P(A)=m
1
． ∴ P (ξ=k )=P n (k )=C k n
m 1)k (1－m
1)n －k
（k =0,1,2,….,n ）． ∴ ξ～B (n ,m 1)，故 E ξ =n ×m 1=m
n
五、小结 ：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；
(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E ξ 公式E （a ξ+b ）= aE ξ+b ，以及服从二项分布的随机变量的期望E ξ=np 六、课后作业：P64-65练习1,2,3,4 P69 A 组1,2,3
1.一袋子里装有大小相同的3个红球和两个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是 （用数字作答）
解：令取取黄球个数ξ (=0、1、2)则ξ的要布列为
于是 E （ξ）=0×
103+1×53+2×10
1=0.8 故知红球个数的数学期望为1.2
2.袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用ξ表示得分数 ①求ξ的概率分布列 ②求ξ的数学期望
解：①依题意ξ的取值为0、1、2、3、4
ξ=0时，取2黑 p(ξ=0)=61
2924=C C
ξ=1时，取1黑1白 p(ξ=1)=31
2
9
1314=?C C C ξ=2时，取2白或1红1黑p(ξ=2)= 2923C C +3611
291
412=?C C C ξ=3时，取1白1红，概率p(ξ=3)= 61
2
91
213=?C C C ξ=4时，取2红，概率p(ξ=4)= 361
29
2
2=C C
∴ξ分布列为
（2）期望E ξ=0×
61+1×31+2×3611+3×61+4×361=9
14 3.学校新进了三台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工作，事先进行独立试验，已知
各设备产生故障的概率分别为p 1、p 2、p 3，求试验中三台投影仪产生故障的数学期望解：设ξ表示产生故障的仪器数，A i 表示第i 台仪器出现故障（i=1、2、3）
i A 表示第i 台仪器不出现故障，则：
p(ξ=1)=p(A 1·2A ·3A )+ p(1A ·A 2·3A )+ p(1A ·2A ·A 3) =p 1(1－p 2) (1－p 3)+ p 2(1－p 1) (1－p 3)+ p 3(1－p 1) (1－p 2) = p 1+ p 2+p 3－2p 1p 2－2p 2p 3－2p 3p 1+3p 1p 2p 3
p(ξ=2)=p(A 1· A 2·A )+ p(A 1·2A ·3A )+ p(1A ·A 2·A 3) = p 1p 2 (1－p 3)+ p 1p 3(1－p 2)+ p 2p 3(1－p 1) = p 1p 2+ p 1p 3+ p 2p 3－3p 1p 2p 3 p(ξ=3)=p(A 1· A 2·A 3)= p 1p 2p 3
∴ξE =1×p(ξ=1)+2×p(ξ=2)+3×p(ξ=3)= p 1+p 2+p 3
注：要充分运用分类讨论的思想，分别求出三台仪器中有一、二、三台发生故障的概率后再求期望
4.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，含红球个数的数学期望是 1.2
2.1
3.026.011.00=?+?+?=∴ξE
5. A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是321,,A A A ，B 队队员是321,,B B B ，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：
现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A 队，B 队最后所得分分别为ξ，
η
（1）求ξ，η的概率分布； （2）求ξE ，ηE 解：（Ⅰ）ξ，η的可能取值分别为3，2，1，0
()()()()253535331
0,52525331535231535332
1,7528525332525231535232
2,2785252323=
??=
==??+??+??=
==??+??+??=
==
??==ξξξξP P P P 根据题意知3=+ηξ，所以 ()()()()()()
()()25
303,5212,752821,75830================ξηξηξηξηP P P P P P P P （Ⅱ）15
22
2530521752827583=?+?+?+?
=ξE ； 因为3=+ηξ,所以15
23
3=-=ξηE E
七、板书设计（略）
八、教学反思：
(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；
(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤： ①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； ②求ξ取各个值的概率，写出分布列；
③根据分布列，由期望的定义求出E ξ 公式E （a ξ+b ）= aE ξ+b ，以及服从二项
分布的随机变量的期望E ξ=np 。
(完整版)2.1.1离散型随机变量(教案)
2． 1．1离散型随机变量 教学目标： 知识目标：1.理解随机变量的意义； 2.学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量 的例子； 3.理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量. 能力目标：发展抽象、概括能力，提高实际解决问题的能力. 情感目标：学会合作探讨，体验成功，提高学习数学的兴趣. 教学重点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义 教学难点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义 授课类型：新授课 教具：多媒体、实物投影仪 第一课时 思考1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1 , 2 ，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？ 掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但我们可以用数1和0分别表示正面向上和反面向上（图2.1一1 ) . 在掷骰子和掷硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．定义1：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量（random variable )．随机变量常 用字母X , Y，ξ，η，…表示． 思考2：随机变量和函数有类似的地方吗？ 随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域． 例如，在含有10件次品的100 件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X 将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量，其值域是｛0, 1, 2 , 3, 4 } . 利用随机变量可以表达一些事件．例如{X=0｝表示“抽出0件次品”, {X =4｝表示“抽出4件次品”等．你能说出｛X< 3 ｝在这里表示什么事件吗？“抽出 3 件以上次品”又如何用X 表示呢？ 定义2：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量( discrete random variable ) . 离散型随机变量的例子很多．例如某人射击一次可能命中的环数X 是一个离散型随机
高中数学第二章概率5第2课时离散型随机变量的方差学案北师大版选修
第2离散型随机变量的方差 学习目标1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题． 知识点离散型随机变量的方差 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X和Y的分布列为 X 01 2 P 6 10 1 10 3 10 Y 01 2 P 5 10 3 10 2 10 思考1试求EX，EY. 思考2能否由EX与EY的值比较两名工人技术水平的高低？ 思考3试想用什么指标衡量甲、乙两工人技术水平的高低？ 梳理(1)离散型随机变量的方差的含义 设X是一个离散型随机变量，用E(X－EX)2来衡量X与EX的________________，E(X－EX)2是(X－EX)2的________，称E(X－EX)2为随机变量X的方差，记为________． (2)方差的大小与离散型随机变量的集中与分散程度间的关系 方差越____，随机变量的取值越分散；方差越____，随机变量的取值就越集中在其均值周
围． (3)参数为n，p的二项分布的方差 当随机变量服从参数为n，p的二项分布时，其方差DX＝np(1－p)． 类型一求离散型随机变量的方差 命题角度1已知分布列求方差 例1已知X的分布列如下： X －10 1 P 1 2 1 4 a (1)求X2 (2)计算X的方差； (3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差． 反思与感悟方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式DX＝EX2－(EX)2不失为一种比较实用的方法．另外注意方差性质的应用，如D(aX＋b)＝a2DX. 跟踪训练1已知η的分布列为 η010205060 P 1 3 2 5 1 15 2 15 1 15 (1)求方差； (2)设Y＝2η－Eη，求DY.
离散型随机变量及其分布列教案
离散型随机变量及其分布列第一课时 2.1.1离散型随机变量 教学目标：1、引导学生通过实例初步了解随机变量的作用，理解随机变量、离散型随机变量的概念．初步学会在实际问题中如何恰当地定义随机变量． 2、让学生体会用函数的观点研究随机现象的问题，体会用离散型随机变量思想 描述和分析某些随机现象的方法，树立用随机观念观察、分析问题的意识． 3、发展数学应用意识，提高数学学习的兴趣，树立学好数学的信心，逐步认识 数学的科学价值和应用价值． 教学重点：随机变量、离散型随机变量的概念，以及在实际问题中如何恰当的定义随机变量．教学难点：对引入随机变量目的的认识，了解什么样的随机变量便于研究． 教学方法：启发讲授式与问题探究式． 教学手段：多媒体 教学过程： 一、创设情境，引出随机变量 提出思考问题1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1，2，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示？ 启发学生：掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但可以将结果于数字建立对应关系． 在让学生体会到掷骰子的结果与出现的点数有对应关系后，也能创造性地提出用数字表示掷一枚硬币的结果．比如可以用1表示正面向上的结果，用0表示反面向上的结果．也可以分别用1、2表示正面向上与反面向上的结果． 再提出思考问题2：一位篮球运动员3次罚球的得分结果可以用数字表示吗？ 让学生思考得出结论：投进零个球——— 0分 投进一个球——— 1分 投进两个球——— 2分 投进三个球——— 3分 得分结果可以用数字0、1、2、3表示． 二、探究发现 1、随机变量 问题1.1：任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗？ 引导学生从前面的例子归纳出：如果将实验结果与实数建立了对应关系，那么随机试验的结果就可以用数字表示．由于这个数字随着随机试验的不同结果而取不同的值，因此是个变量． 问题1.2：如果我们将上述变量称之为随机变量，你能否归纳出随机变量的概念？ 引导学生归纳随机变量的定义：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量． 随机变量常用字母X、Y、ξ、η来表示． 问题1．3：随机变量与函数有类似的地方吗？ 引导学生回顾函数的理解： 函数 实数实数 在引导学生类比函数的概念，提出对随机变量的理解：
知识讲解离散型随机变量的均值与方差(理)(基础)
离散型随机变量的均值与方差 【学习目标】 1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望，并能解决一些实际问题； 2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问题； 【要点梳理】 要点一、离散型随机变量的期望 1.定义： 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称=ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望． 要点诠释： （1）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平． （2）一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p … n p n 1= =，=ξE +1(x +2x …n x n 1 )?+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值。 （3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位． 2．性质： ①()E E E ξηξη+=+； ②若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，有b aE b a E +=+ξξ)(； b aE b a E +=+ξξ)(的推导过程如下：： η的分布列为 于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …()i i ax b p +++… ＝+11(p x a +22p x …i i x p ++…)++1(p b +2p …i p ++…)＝b aE +ξ
∴b aE b a E +=+ξξ)(。 要点二：离散型随机变量的方差与标准差 1.一组数据的方差的概念： 已知一组数据1x ，2x ，…，n x ，它们的平均值为x ，那么各数据与x 的差的平方的平均数 [1 2n S = 21)(x x -＋22)(x x -＋…＋])(2x x n -叫做这组数据的方差。 2.离散型随机变量的方差： 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称ξD ＝121)(p E x ?-ξ＋22 2)(p E x ?-ξ＋…＋2()n i x E p ξ-?＋…称为随机变量ξ的方差，式中 的ξE 是随机变量ξ的期望． ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ． 要点诠释： ⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； ⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近平均值）． ⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。 3.期望和方差的关系： 22()()D E E ξξξ=- 4.方差的性质： 若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，2 ()D D a b a D ηξξ=+=； 要点三：常见分布的期望与方差 1、二点分布： 若离散型随机变量ξ服从参数为p 的二点分布，则 期望E p ξ= 方差(1).D p p ξ=-
2019-2020学年高中数学 2.3.1离散型随机变量的期望学案 新人教A版选修2-3.doc
2019-2020学年高中数学 2.3.1离散型随机变量的期望学案 新人教 A 版选修2-3 【教学目标】 1了解离散型随机变量的期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望． ⒉理解公式“E （a ξ+b ）=aE ξ+b ”，以及“若ξ～Β(n ，p)，则E ξ=np ”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望 【教学重难点】 教学重点：离散型随机变量的期望的概念 教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出期望 【教学过程】 一、复习引入： 1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量并且不改变其属性（离 散型、连续型） 5. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…， ξ取每一个值xi （i=1，2，…）的概率为 ()i i P x p ξ==，则称表 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 6. 分布列的两个性质： ⑴Pi ≥0，i ＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1． 7.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是 k n k k n n q p C k P -==)(ξ， （k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）． 于是得到随机变量ξ的概率分布如下： ξ 0 1 … k … n P n n q p C 00 1 11-n n q p C … k n k k n q p C - … q p C n n n 称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n ，p)，其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝
《离散型随机变量的概念》教学设计
离散型随机变量的概念》教学设计 一、教材分析 《离散型随机变量的概念》是人教 A 版《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3》第二章随机变量及其分布的第一节离散型随机变量及其分布列的第一课时。本章是在必修三中学习了基本的概率统计知识的基础上，进一步学习随机变量及其分布的知识。本节内容一方面承接了必修三的知识；另一方面，掌握好这一节课将有助于后续的学习，因此它在知识体系上起着承上启下的作用。随机变量是连接随机现象和实数空间的一座桥梁，从而使得更多的数学工具有了用武之地。离散型随机变量是最简单的随机变量。本节课主要通过离散型随机变量展示用实数空间刻画随机现象的方法。 二、学情分析 学生在必修 3 概率一章中学习过的随机试验、随机事件、简单的概率模型和必修1 中学习过的变量、函数、映射等知识是学习、领悟和“接纳”随机变量概念的重要知识基础，教学时应充分注意这一教学条件；另外，为更好地形成随机变量和离散型随机变量两个概念，教学中可借助媒体列举和展现丰富的实例和问题，以留给学生更多的时间思考和概括。 三、教学策略分析 学生是教学的主体，本节课要给学生提供各种参与机会。本课以情境为载体，以学生为主体，以问题为手段，激发学生观察思考、猜想探究的兴趣。注重引导帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程，培养学生分析问题、 解决问题的能力
四、目标分析 1知识与技能目标：理解随机变量和离散型随机变量的概念，能够运用随机变量表示随机事件，学会恰当的定义随机变量； 2、过程与方法目标：在教学过程中，以不同的实际问题为导向，弓I导学生分析问题的特点，归纳问题的共性，提高理解分析能力和抽象概括能力； 3、情感与态度目标：通过列举生活中的实例，提高学生学习数学的积极性, 使学生进一步感受到数学与生活的零距离，增强数学应用意识。 五、教学重点与难点 教学重点：随机变量、离散型随机变量概念的理解及随机变量的实际应用；教学难点：对随机变量概念的透彻理解及对引入随机变量目的的认识。 六、教学过程设计：
52.3.2离散型随机变量的方差导学案(选修2-3)
§2.3.2离散型随机变量的方差导学案 高二数学组 一、教学目标 1、通过实例，理解离散型随机变量的方差； 2、能计算简单离散型随机变量的方差。 重点：离散型随机变量的方差的概念 难点：根据离散型随机变量的分布列求出方差 二、自学引入： 问题1：某射手在10次射击中所得环数为：10，9，8，10，8，10，10，10，8，9. 求这名射手所得环数的方差。 问题2：某射手在一次射击中所得环数 能否根据分布列求出这名射手所得环数的方差？ 引入概念： （1）方差的概念：设一个离散型随机变量X所有可能取得值是x1，x2，…，x n；这些值对应的概率为p1，p2，…，p n，则 D（X）= ， 叫做这个离散型随机变量X的方差。 离散型随机变量的方差反映了离散型随机变量的取值。 （2）D（X）的叫做随机变量X的标准差。 三、问题探究： （1）若随机变量X服从参数为p的二点分布，则D（X）= （）。 （2）若随机变量X服从参数为n，p的二项分布，则D（X）= （）。 四、典例解析： 例1 甲、乙两射手在同样条件下进行射击，成绩的分布列如下： 射手甲： 射手乙： 谁的射击水平比较稳定。 变式训练设X是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求D（X）
例2 已知某离散型随机变量X 服从下面的二项分布： k k k C k X P -==449.01.0)( (k=0,1,2,3,4). 求E （X ）和D （X ）。 变式训练 一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为 0.02。设发病的牛的头数为X ，求E （X ）和D （X ）。 五、小结： 六、作业：课后练习A 、B 。 §2.3. 2离散型随机变量的方差当堂检测 高二数学组 1、已知()~,,8, 1.6B n p E D ξξξ==，则,n p 的值分别是（ ） A ．1000.08和； B ．200.4和； C ．100.2和； D ．100.8和 2、设投掷1颗骰子的点数为ξ，则（ ） A.E ξ=3.5，D ξ=3.52 B.E ξ=3.5，D ξ=12 35 C.E ξ=3.5，D ξ=3.5 D.E ξ=3.5，D ξ= 16 35 3、有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为X ，求E （X ），D （X ） 4、A 、B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示： A 机床 B 机床 问哪一台机床加工质量较好
常用离散型和连续型随机变量
常用离散型随机变量的分布函数 (1) 离散型随机变量 [1] 概念：设X 是一个随机变量，如果X 的取值是有限个或者 无穷可列个，则称X 为离散型随机变量。其相应的概 率()i i P X x p ==(12)i =、……称为X 的概率分 布或分布律，表格表示形式如下： [2] 性质： ? 0i p ≥ ?11n i i p ==∑ ?分布函数()i i x x F x p == ∑ ?1{}()()i i i P X x F x F x -==- (2) 连续型随机变量 [1] 概念：如果对于随机变量的分布函数()F x ，存在非 负的函数 ()f x ，使得对于任意实数x ，均有： ()()x F x f x dx -∞= ? 则称X 为连续型随机变量，()f x 称为概率密度函 数或者密度函数。
[2] 连续型随机变量的密度函数的性质 ?()0f x ≥ ? ()1f x dx +∞ -∞=? ?{}()()()P a X b F b F a f x dx +∞ -∞<≤=-= ? ?若()f x 在x 点连续，则()()F x f x '= (3) 连续型随机变量和离散型随机变量的区别： [1] 由连续型随机变量的定义，连续型随机变量的定义域是 (),-∞+∞，对于任何x ，000 {}()()0P X x F x F x ==--=；而对于离散型随机变量的分布函数有有限个或可列个间 断点，其图形呈阶梯形。 [2] 概率密度()f x 一定非负，但是可以大于1，而离散型随 机变量的概率分布i p 不仅非负，而且一定不大于1. [3] 连续型随机变量的分布函数是连续函数，因此X 取任何 给定值的概率都为0. [4] 对任意两个实数a b <，连续型随机变量X 在a 与b 之间 取值的概率与区间端点无关，即：
选修2-3教案2.3.1离散型随机变量的均值
§2.3.1 离散型随机变量的均值 教学目标 （1）通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义； （2）能计算简单离散型随机变量均值（数学期望），并能解决一些实际问题． 教学重点，难点：取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义． 教学过程 一．问题情境 1．情景： 前面所讨论的随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量．这样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？ 甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不 合格品数分别用12,X X 表示，12,X X 的概率分布如下． 2．问题： 如何比较甲、乙两个工人的技术？ 二．学生活动 1． 直接比较两个人生产100件产品时所出的废品数．从分布列来看，甲出0件废品的概率 比乙大，似乎甲的技术比乙好；但甲出3件废品的概率也比乙大，似乎甲的技术又不如乙好．这样比较，很难得出合理的结论． 2． 学生联想到“平均数”，，如何计算甲和乙出的废品的“平均数”？ 3． 引导学生回顾《数学3（必修）》中样本的平均值的计算方法． 三．建构数学 1．定义 在《数学3（必修）》“统计”一章中，我们曾用公式1122...n n x p x p x p +++计算样本的平均值，其中i p 为取值为i x 的频率值．
其中，120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=，则称1122...n n x p x p x p +++为随机变量X 的均值或X 的数学期望，记为()E X 或μ． 2．性质 （1）()E c c =；（2）()()E aX b aE X b +=+．（,,a b c 为常数） 四．数学运用 1．例题： 例1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X ，求X 的数学期望． 分析：从口袋中摸出5个球相当于抽取5n =个产品，随机变量X 为5个球中的红球的 个数，则X 服从超几何分布(5,10,30)H ． 从而 2584807585503800700425 ()012345 1.66672375123751237512375123751237513 E X =? +?+?+?+?+?=≈ 答：X 的数学期望约为1.6667． 说明：一般地，根据超几何分布的定义，可以得到0 ()r n r n M N M n r N r C C M E X n C N --===∑ ． 例2．从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品 率为0.05，随机变量X 表示这10件产品中不合格品数，求随机变量X 的数学期望 ()E X ． 解：由于批量较大，可以认为随机变量~(10,0.05)X B ， 1010()(1),0,1,2, (10) k k k P X k p C p p k -===-=
离散型随机变量的方差教案
§2．3．2离散型随机变量的方差 教学目标： 知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散 型随机变量的分布列求出方差或标准差。 过程与方法：了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2 D ξ”，以及“若ξ～Β(n ， p )，则D ξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。 情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数 学的文化功能与人文价值。 教学重点：离散型随机变量的方差、标准差 教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问 题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教学过程： 一、复习引入： 1. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)( 2.若ξB （n,p ），则E ξ=np 二、讲解新课： 1. 方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…， n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么, ξD ＝121)(p E x ?-ξ＋222)(p E x ?-ξ＋…＋n n p E x ?-2)(ξ＋… 称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ
的期望． 2. 标准差: ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ． 3.方差的性质： （1）ξξD a b a D 2)(=+； （2）22)(ξξξE E D -=； （3）若ξ～B (n ，p )，则=ξD np (1-p ) 三、讲解范例： 例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差. 解：抛掷散子所得点数X 的分布列为 从而 111111 123456 3.5666666 EX =?+?+?+?+?+?=; 2222221111 (1 3.5)(2 3.5)(3 3.5)(4 3.5)6666 11 (5 3.5)(6 3.5) 2.92 66 DX =-?+-?+-?+-? +-?+-?≈ 1.71X σ=.
高中数学选修2-3离散型随机变量导学案
2.1.1离散型随机变量 【学习要求】 1．理解随机变量及离散型随机变量的含义． 2．了解随机变量与函数的区别与联系． 【学法指导】 引进随机变量的概念，就可以用数字描述随机现象，建立连接数和随机现象的桥梁，通过随机变量和函数类比，可以更好地理解随机变量的定义，随机变量是函数概念的推广. 【知识要点】 1．随机试验：一般地，一个试验如果满足下列条件： （1）试验可以在相同的情形下重复进行； （2）试验所有可能的结果是明确的，并且不只一个； （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验的结果会出现哪一个．这种试验就是一个随机试验． 2．随机变量：在随机试验中，随着变化而变化的变量称为随机变量． 3．离散型随机变量：所有取值可以的随机变量，称为离散型随机变量. 【问题探究】 探究点一随机变量的概念 问题1掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1,2,3,4,5,6来表示，那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？ 问题2随机变量和函数有类似的地方吗？ 例1下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由． （1）上海国际机场候机室中2013年10月1日的旅客数量； （2）2013年某天济南至北京的D36次列车到北京站的时间； （3）2013年某天收看齐鲁电视台《拉呱》节目的人数； （4）体积为1 000 cm3的球的半径长． 小结随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值． 跟踪训练1指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． （1）某人射击一次命中的环数； （2）任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数； （3）投一颗质地均匀的骰子两次出现的点数(最上面的数字)中的最小值； （4）某个人的属相． 探究点二离散型随机变量的判定 问题1什么是离散型随机变量？ 问题2非离散型随机变量和离散型随机变量有什么区别？ 例2①某座大桥一天经过的中华牌轿车的辆数为ξ；②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ； ③一天内的温度为ξ；④射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击中的得分．上述问题中的ξ是离散型随机变量的是() A．①②③④B．①②④C．①③④D．②③④ 小结该题主要考查离散型随机变量的定义，判断时要紧扣定义，看是否能一一列出． 跟踪训练2指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由． （1）白炽灯的寿命ξ； （2）某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ； （3）江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ； （4）一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数． 探究点三离散型随机变量的应用 例3（1）一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ.写出随机变量ξ可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． （2）抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ>4”表示的试验结果是什么？ 小结解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果． 跟踪训练3下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表示的随机试验的结果． （1）盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数ξ，所含红粉笔的支数η. （2）从4张已编有1～4的卡片中任意取出2张，被取出的卡片号数之和ξ. （3）离开天安门的距离η. （4）袋中有大小完全相同的红球5个，白球4个，从袋中任意取出一球，若取出的球是白球，则过程结束；若取出的球是红球，则将此红球放回袋中，然后重新从袋中任意取出一球，直至取出的球是白球，此规定下的取球次数ξ. 【当堂检测】 1．下列变量中，不是随机变量的是() A．一射击手射击一次命中的环数B．标准状态下，水沸腾时的温度 C．抛掷两枚骰子，所得点数之和D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数 2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是() A．取到产品的件数B．取到正品的概率 C．取到次品的件数D．取到次品的概率 3．抛掷2枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么“ξ＝4”表示的随机试验的结果是() A．2枚都是4点B．1枚是1点，另1枚是3点 C．2枚都是2点D．1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点 4．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6.现从中随机取出2个球，以ξ表示取出的球的最大号码，则“ξ＝6”表示的试验结果是___________________． 【课堂小结】 1．所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件．
离散型随机变量的方差教案
离散型随机变量的方差 教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
2 离散型随机变量的方差 一、三维目标： 1、知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。 2、过程与方法：了解方差公式“D (aξ+b )=a 2Dξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则 Dξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。 3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。 二、教学重点：离散型随机变量的方差、标准差 三、教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题 四、教学过程： （一）、复习引入： 1..数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望． 2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 3. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)( 4、如果随机变量X 服从两点分布为 E ξ=np 5、如果随机变量X 服从二项分布，即X ～ B （n,p ），则EX=np （二）、讲解新课： 1、(探究1) 某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2， 3，3，4；则所得的平均环 数是多少？ (探究2) 某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则这组数据的方差是多少？ 2、离散型随机变量取值的方差的定义: 设离散型随机变量X 的分布为： 104332221111+++++++++= X 2 10 1 4102310321041=?+?+?+?=] )()()[(1 22212x x x x x x n s n i -++-++-= 1 ])24()23()23()22()22()22()21()21()21()21[(10 1 222222 22222=-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=s 22222)24(10 1 )23(102)22(103)21(104-?+-?+-?+-?= s
2020届二轮复习 离散型随机变量 学案(全国通用)
离散型随机变量 学习目标 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.了解随机变量与函数的区别与联系. 知识点一随机变量 思考1抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？ 答案可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上. 思考2在一块地里种10棵树苗，棵数为x，则x可取哪些数字？ 答案x＝0,1,2,3， (10) (1)定义 在随机试验中，可以确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示，数字随试验结果的变化而变化，像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量. (2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η…表示. 知识点二随机变量与函数的关系 思考随机变量和函数有类似的地方吗？ 答案随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数.试验结果相当于函数的自变量，随机变量相当于函数的函数值，随机变量可以看作函数概念的推广. 知识点三离散型随机变量 1.定义：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量. 2.特征： (1)可用数值表示. (2)试验之前可以判断其出现的所有值. (3)在试验之前不能确定取何值.
(4)试验结果能一一列出. 类型一随机变量的概念 例1下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由. (1)某机场一年中每天运送乘客的数量. (2)某单位办公室一天中接到电话的次数. (3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数. (4)明年某天济南一青岛的某次列车到达青岛站的时间. 解(1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量. (2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量. (3)明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量. (4)济南一青岛的某次列车到达青岛站的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，亦可能晚点，故是随机变量. 反思与感悟随机变量的辨析方法 1.随机试验的结果是否具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同. 2.随机试验的结果的确定性.即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量. 跟踪训练1下列变量中，不是随机变量的是() A.一射击手射击一次命中的环数 B.标准状态下，水沸腾时的温度 C.抛掷两枚骰子，所得点数之和 D.某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数 答案 B 解析B中求沸腾时的温度是一个确定的值. 类型二离散型随机变量的判定
离散型随机变量的均值与方差(含答案)
离散型随机变量的均值与方差测试题（含答案） 一、选择题 1．设随机变量()~,B n p ξ，若()=2.4E ξ，()=1.44D ξ，则参数n ，p 的值为（ ） A ．4n =，0.6p = B ．6n =，0.4p = C ．8n =，0.3p = D ．24n =， 0.1p = 【答案】B 【解析】由随机变量()~,B n p ξ，可知()==2.4E np ξ，()=(1)=1.44D np p ξ-，解得 6n =，0.4p =． 考点：二项分布的数学期望与方差． 【难度】较易 2．已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()()30,20E X D X ==，则p =（ ） A ．13 B ．23 C ．15 D ．25 【答案】A 考点：二项分布的数字特征. 【题型】选择题 【难度】较易 3．若随机变量),(~p n B ξ，9 10 3 5==ξξD E ，，则=p ( ) A. 31 B. 32 C. 52 D. 5 3 【答案】A 【解析】由题意可知，()5,3 101,9E np D np p ξξ? ==????=-=?? 解得5,1,3n p =???=??故选A. 考点：n 次独立重复试验.
【题型】选择题 【难度】较易 4．若随机变量ξ的分布列如下表，其中()0,1m ∈，则下列结果中正确的是（ ） ξ 0 1 P m n A ．()()3 ,E m D n ξξ== B ．()()2 ,E m D n ξξ== C ．()()2 1,E m D m m ξξ=-=- D ．()()2 1,E m D m ξξ=-= 【答案】C 考点：离散型随机变量的概率、数学期望和方差． 【题型】选择题 【难度】较易 5．已知ξ～(,)B n p ，且()7,()6E D ξξ==，则p 等于( ) A. 7 1 B. 6 1 C. 5 1 D. 4 1 【答案】A 【解析】∵ξ～(,)B n p ，∴()7,()(1)6E np D np p ξξ===-=，∴1 49,7 n p ==，故选A. 考点：二项分布的期望与方差. 【题型】选择题 【难度】较易 6．设随机变量ξ～(5,0.5)B ，若5ηξ=，则E η和D η的值分别是（ ）
数学：人教版选修2-3第二章离散型随机变量教案(2.1.2离散型随机变量的分布列)
2． 1．2离散型随机变量的分布列 教学目标： 知识与技能：会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。 过程与方法：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。 情感、态度与价值观：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。 教学重点：离散型随机变量的分布列的概念 教学难点：求简单的离散型随机变量的分布列 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数， 则η也是随机变量 并且不改变其属性（离散型、连续型） 请同学们阅读课本P 5-6的内容，说明什么是随机变量的分布列？ 二、讲解新课： 1. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…， ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表 ξ x 1 x 2 … x i … P P 1 P 2 … P i … 为随机变量的概率分布，简称的分布列 2. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1) 对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 ???+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ 3.两点分布列: 例1.在掷一枚图钉的随机试验中，令
人教A版选修2-3 第二章2.1.1离散型随机变量 学案
2．1.1 离散型随机变量 知识点随机变量 (1)定义：在随机试验中，确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个□01确定的数字表示．在这个对应关系下，□02数字随着□03试验结果的变化而变化．像这种随着□04试验结果变化而变化的变量称为随机变量． (2)表示：随机变量常用字母□05X，Y，ξ，η表示． 知识点随机变量与函数的关系 相同点随机变量和函数都是一种映射 随机变量是随机试验的结果到□01实数的映射，函数是□02实数到□03实区别 数的映射 随机试验结果的范围相当于函数的□04定义域，随机变量的取值范围相联系 当于函数的□05值域 知识点离散型随机变量 所有取值可以□01一一列出的随机变量，称为离散型随机变量． 随机试验的特点 (1)试验的所有结果可以用一个数来表示； (2)每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前，却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．判断一个变量是否为离散型随机变量，首先看它是不是随机变量，其次看可能取值是否能一一列出，也就是说变量的取值若是有限的，或者是可以列举出来的，就可以视为离散型随机变量，否则就不是离散型随机变量．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)离散型随机变量的取值是任意的实数．( ) (2)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( ) (3)离散型随机变量是指某一区间内的任意值．( ) 答案(1)×(2)√(3)× 2．做一做 (1)甲进行3次射击，甲击中目标的概率为1 2 ，记甲击中目标的次数为ξ，则 ξ的可能取值为________． (2)同时抛掷5枚硬币，得到硬币反面向上的个数为ξ，则ξ的所有可能取值的集合为________． (3)在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件取到次品就停止，抽取次数为X，则X＝3表示的试验是________． 答案(1)0,1,2,3 (2){0,1,2,3,4,5} (3)共抽取3次，前两次均是正品，第3次是次品 解析(1)甲可能3次全击中，也可能一次未中，中1次，2次，所以ξ的取值为0,1,2,3. (2)当硬币全部为正面向上时，ξ＝0，硬币反面向上的个数还可能有1个，2个，3个，4个，也可能都反面向上，即5个． (3)由随机试验可知X＝3表示抽取3次，前两次均是正品，第3次是次品． 探究1 随机变量的概念 例1 下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由． (1)某机场一年中每天运送乘客的数量． (2)某单位办公室一天中接到电话的次数． (3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数． (4)明年某天济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间． [解] (1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量． (2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量． (3)明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．
离散型随机变量及其分布范文
离散型随机变量及其分布 知识点一：离散型随机变量的相关概念； 随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。若ξ是随机变量，a b ηξ=+，其中a 、b 是常数，则η也是随机变量 连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量ξ可能取的值为12i x x x ??????、ξ取每一个值()1,2,i x i =???的概率为()i i P x p ξ==，则称表 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 知识点二：离散型随机变量分布列的两个性质； 任何随机事件发生的概率都满足:0()1P A ≤≤，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： (1) 01,2,i p i ≥=???，；12(2) 1P P ++ = 特别提醒：对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 概率的和即1()()()k k k P x P x P x ξξξ+≥==+=+ 知识点二：两点分布： 若随机变量X 的分布列: 则称 X 的分布列为两点分布列. 特别提醒：(1)若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1) 为成功率. (2)两点分布又称为0-1分布或伯努利分布 (3)两点分布列的应用十分广泛,如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是 否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等；都可以用两点分布列来研究. 知识点三：超几何分布： 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则