学习知识讲解离散型随机变量的均值与方差(理)(基础知识)
离散型随机变量的均值与方差
【学习目标】
1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望，并能解决一些实际问题；
2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问题； 【要点梳理】
要点一、离散型随机变量的期望 1.定义：
一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
则称=ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望． 要点诠释：
（1）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平． （2）一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …
n p n 1=
=，=ξE +1(x +2x …n
x n 1
)?+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值。 （3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位． 2．性质：
①()E E E ξηξη+=+；
②若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，有b aE b a E +=+ξξ)(；
b aE b a E +=+ξξ)(的推导过程如下：：
η的分布列为
于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …()i i ax b p +++…
＝+11(p x a +22p x …i i x p ++…)++1(p b +2p …i p ++…)＝b aE +ξ
∴b aE b a E +=+ξξ)(。
要点二：离散型随机变量的方差与标准差 1.一组数据的方差的概念：
已知一组数据1x ，2x ，…，n x ，它们的平均值为x ，那么各数据与x 的差的平方的平均数
[1
2n
S =
21)(x x -＋22)(x x -＋…＋])(2x x n -叫做这组数据的方差。 2.离散型随机变量的方差：
一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
则称ξD ＝121)(p E x ?-ξ＋22
2)(p E x ?-ξ＋…＋2()n i x E p ξ-?＋…称为随机变量ξ的方差，式中
的ξE 是随机变量ξ的期望．
ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．
要点诠释：
⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近平均值）．
⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。 3.期望和方差的关系：
22()()D E E ξξξ=-
4.方差的性质：
若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，2
()D D a b a D ηξξ=+=； 要点三：常见分布的期望与方差 1、二点分布：
若离散型随机变量ξ服从参数为p 的二点分布，则 期望E p ξ= 方差(1).D p p ξ=-
证明：∵(0)P q ξ==,(1)P p ξ==,01p <<,1p q += ∴01E q p p ξ=?+?=
22(0)(1)(1).D p q p p p p ξ=-?+-?=-
2、二项分布：
若离散型随机变量ξ服从参数为,n p 的二项分布，即~(),B n P ξ，则 期望E nP ξ= 方差(1-)D np p ξ= 期望公式证明：
∵k
n k k n k n k k n q p C p p C k P --=-==)
1()(ξ， ∴001112220
012......n n n k k n k n n n n n n n E C p q C p q C p q k C p q n C p q ξ---=?+?+?++?++?，
又∵1
1)]!
1()1[()!1()!1()!(!!--=-----?=-?
=k n k
n nC k n k n n k n k n k kC ，
∴=ξE (np 0011n n C p q --＋2111--n n q p C ＋…＋)1()1(111------k n k k n q p C ＋…＋)0
111q p C n n n ---
np q p np n =+=-1)(．
3、几何分布：
独立重复试验中，若事件A 在每一次试验中发生的概率都为p ，事件A 第一次发生时所做的试验次数
ξ是随机变量，且1()(1)k P k p p -ξ==-，0,1,2,3,,,k n =L L ，称离散型随机变量ξ服从几何分布，记
作：~()()P k k P ξξ==g ，。
若离散型随机变量ξ服从几何分布，且~()()P k k P ξξ==g ，，则 期望1
.E p
ξ=
方差21-p
D p
ξ=
要点诠释：随机变量是否服从二项分布或者几何分布，要从取值和相应概率两个角度去验证。 4、超几何分布：
若离散型随机变量ξ服从参数为,,N M n 的超几何分布，则
期望()nM
E N
ξ=
要点四：离散型随机变量的期望与方差的求法及应用 1、求离散型随机变量ξ的期望、方差、标准差的基本步骤： ①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； ②求ξ取各个值的概率，写出分布列；
③根据分布列，由期望、方差的定义求出E ξ、D ξ、σξ：
1122n n E x p x p x p ξ=++++L L
()()()222
1122n n D x E p x E p x E p ξ=-ξ+-ξ++-ξ+L L
σξ=注意：常见分布列的期望和方差，不必写出分布列，直接用公式计算即可． 2.离散型随机变量的期望与方差的实际意义及应用
① 离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；
② 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。方差越大数据波动越大。
③对于两个随机变量1ξ和2ξ，当需要了解他们的平均水平时，可比较1ξE 和2ξE 的大小。
④1ξE 和2ξE 相等或很接近，当需要进一步了解他们的稳定性或者集中程度时，比较1ξD 和2ξD ，方差值大时，则表明ξ比较离散，反之，则表明ξ比较集中．品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、武器的性能等很多指标都与这两个特征数（数学期望、方差）有关． 【典型例题】
类型一、离散型随机变量的期望
例1．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
已知ξ的期望Eξ＝8.9，则y 的值为________．
【思路点拨】分布列中含有字母x 、y,应先根据分布列的性质，求出x 、y 的值，再利用期望的定义求解； 【解析】x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，即x ＋y ＝0.6.①
又7x ＋0.8＋2.7＋10y ＝8.9，化简得7x ＋10y ＝5.4.② 由①②联立解得x ＝0.2，y ＝0.4.
【总结升华】求期望的关键是求出分布列，只要随机变量的分布列求出，就可以套用期望的公式求解， 举一反三：
【变式1】某一离散型随机变量ξ的概率分布如下，且E （ξ）=1.5，则a －b 为（ ）．
A ．－0.1
B ．0
C ．0.1
D ．0.2 【答案】B
由分布列的性质知：0.1+a+b+0.1=1，
∴a+b=0.8．又E （ξ）=0×0.1+1×a+2×b+3×0.1=1.5，即a+2b=1.2． 解得a=0.4，b=0.4，∴a －b=0． 【变式2】随机变量ξ的分布列为
，则E(5ξ＋4)等于( ) A ．13 B ．11 C ．2.2 D ．2.3 【答案】A 由已知得：
E(ξ)＝0×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝1.8， ∴E(5ξ＋4)＝5E(ξ)＋4＝5×1.8＋4＝13.
【变式3】节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元；节后卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布，若进这种鲜花500束，则期望利润是
A.706元 C ．754元 D ．720元
【答案】A
节日期间预售的量：
Eξ＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.3＋500×0.15＝40＋105＋120＋75＝340(束)， 则期望的利润：
η＝5ξ＋1.6(500－ξ)－500×2.5＝3.4ξ－450， ∴Eη＝3.4Eξ－450＝3.4×340－450＝706. ∴期望利润为706元．
【变式4】设离散型随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4，且()P k ak b ξ==+（1,2,3,4k =），3E ξ=，则a b += ；
【答案】0.1；
由分布列的概率和为1，有()(2)(3)(4)1a b a b a b a b +++++++=，
又3E ξ=，即1()2(2)3(3)4(4)3a b a b a b a b ?++?++?++?+=， 解得0.1a =，0b =，故0.1a b +=。
例2. 某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分．假设这名同学回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响． （1）求这名同学回答这三个问题的总得分X 的概率分布和数学期望； （2）求这名同学总得分不为负分（即X≥0）的概率．
【思路点拨】本题显然为独立重复试验的问题，因此求各个情况的概率直接用公式即可。
（1）求X 的可能取值，即求得分，答对0道题得－300分，答对1道题得100－200=－100分，答对2道题得2×100－100=100分，答对3道题得300分；（2）总分不为负分包括100分和300分两种情况． 【解析】
（1）X 的可能取值为－300，－100，100，300． P （X=－300）=0.23
=0.008。
P （X=－100）=1
3C ×0.22
×0.8=0.096，
P （X=100）=2
3C ×0.2×0.82
=0.384，
P （X=300）=0.83
=0.512． 所以X 的概率分布为
∴E（X ）=(－300)×0.008+(－100)×0.096+100×0.384+300×0.512=180． （2）这名同学总得分不为负分的概率为
P （X≥0）=P （X=100）+P （X=300）=0.384+0.512=0.896． 【总结升华】求离散型随机变量均值的关键在于列出概率分布表． 举一反三：
【变式1】 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分ξ的期望
【答案】因为3.0)0(,7.0)1(====ξξP P ， 所以.03.007.01=?+?=ξE
【变式2】一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．
【答案】
设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3
当0ξ=时，即第一次取得正品，试验停止，则
93(0)124
p ξ==
= 当1ξ=时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则
(1)p ξ==
44
9
119123=
? 当2ξ=时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则
(2)p ξ==
220
9
109112123=
?? 当3ξ=时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则
(3)p ξ==
220
1
99101112123=
??? ∴ξ分布列为
∴3012344422022010
E ξ=?+?+?+?=
【变式3】
某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km 时租车费为10元，若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足lkm 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为(Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式； (Ⅱ)若随机变量ξ的分布列为
求所收租车费η的数学期望．
(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?
【答案】
(Ⅰ)依题意得 η=2(ξ-4)十10，即 η=2ξ+2； (Ⅱ)=ξE 4.161.0183.0175.0161.015=?+?+?+?
∵ η=2ξ+2
∴ =ηE 2E ξ+2=34.8 （元） 故所收租车费η的数学期望为34.8元．
(Ⅲ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5?(18-15)=15 所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟
例3．若某批产品共100件，其中有20件二等品，从中有放回地抽取3件，求取出二等品的件数的期望、方差。
【思路点拨】3次有放回的抽取就是3次独立重复试验，取出二等品的件数这一随机变量服从二项分布。
【解析】由题知一次取出二等品的概率为0.2，有放回地抽取3件，可以看作3次独立重复试验， 即取出二等品的件数~(3,0.2)B ξ， 所以30.20.6E np ξ==?=，
(1)30.2(10.2)0.48D np p ξ=-=??-=.
【总结升华】 在确定随机变量服从特殊分布以后，可直接运用公式求其均值． 举一反三：
【变式1】 英语考试有100道选择题，每个题有4个选项，选对得1分，否则得0分，学生甲会其中的20道，学生乙会其中的80道，不会的均随机选择，求甲、乙在这次测验中得分的数学期望． 【答案】
设甲、乙不会的题的得分分别为随机变量X 和Y ，由题意知X ～B （80，0.25），Y ～B （20，0.25）， ∴E （X ）=80×0.25=20，E （Y ）=20×0.25=5．
故甲、乙的数学期望成绩分别为40分和85分．
【变式2】 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为2
3
，记甲击中目标的次数为X ，乙击中目标的次数为Y ， （1）求X 的概率分布； （2）求X 和Y 的数学期望．
【答案】 甲、乙击中目标的次数均服从二项分布．
（1）3
0311(0)28P X C ??=== ?
??， 3
13
13
(1)28
P X C ??=== ???，
3
2313
(2)28
P X C ??=== ???，
3
33
11
(3)28
P X C ??=== ???。
所以X 的概率分布如下表：
（2）由（1）知()0123 1.58888
E X =?+?+?+?=，
或由题意13,2X B ?? ???:，23,3Y B ?? ???
:。 ∴1()3 1.52E X =?
=，2
()323
E Y =?=。 【变式3】 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分 学生甲选对任一题的概率为
0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望
【答案】设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是ηξ,，则(20,0.9)B ξ:,
)25.0,20(~B η,
525.020,189.020=?==?=∴ηξE E
由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η 的成绩的期望分别是：
2555)(5)5(,90185)(5)5(=?===?==ηηξξE E E E
类型二、离散型随机变量的方差
例
4. 设X 是一个离散型随机变量，其概率分布如下表，试求E （X ）和D （X ）．
【思路点拨】 由概率分布的性质求出q 的值后，再计算E （X ），D （X ）． 【解析】 由概率分布的性质，得：
2
21(12)12012101
q q q q ?+-+=??≤-≤?
?≤≤??
，得12q =-。
∴13()101)1122E X ?=-?
+?+?-=- ?
22213()(2(11)122D X ?=-+?+-?+?= ?。
【总结升华】求随机变量的方差，应先明确随机变量的概率分布。然后利用均值与方差的定义列式计算． 举一反三：
【变式1】 设随机变量X 的概率分布为
求D(X ）。
【答案】 本题考查方差的求法．可由分布列先求出X 的期望E （X ），再利用方差的定义求之．也可直接利用公式D （X ）=E （X 2
）－[E （X ）]2
来解．
解法一：
1111
()12(12)E X n n n n n n
=?+?++?=+++?L L
(1)11
22
n n n n ++=?=
， ∴D 2
2
2
111111()12222n n n V X n n n n +++??????=-?+-?++-? ? ? ??????
?L
2222
1(1)(12)(1)(12)4n n n n n n ??+=+++-+?++++?????L L 2112n -。
解法二：由解法一可求得1
()2
n E X +=
。 又2222
111()12E X n n n n
=?+?++?L
2221(12)n n =++L (1)(21)
6
n n ++=
， ∴D 222
2
(1)(21)(1)1()()[()]6412
n n n n V X E X E X +++-=-=-=。
【变式2】
1．已知随机变量ξ的分布列如下表：
（1）求E （ξ），D （ξ），η； （2）设η=2ξ+3，求E （η），D （η）．
【答案】（1）1122331111
()(1)012363
E x p x p x p ξ=++=-?
+?+?=-；
2221122335
()[()][()][()]9
D x
E p x E p x E p ξξξξ=-?+-?+-?=
，σ==。
（2）7()2()33E E ηξ=+=
，20
()4()9
D D ηξ==。 例5. 设某运动员投篮投中的概率为p=0.6．
（1）求一次投篮时，投中次数X 的数学期望和方差； （2）求重复5次投篮时，投中次数Y 的数学期望和方差．
【思路点拨】（1）投篮一次可能中，也可能不中，投中次数X 服从两点分布；（2）重复投篮5次的投中次
数Y 服从二项分布．
【解析】（1）X 服从两点分布，其分布列如下：
所以E （X ）=p=0.6，D （X ）=p （1－p ）=0.24． （2）由题设，Y ～B （5，0.6）． 所以E （Y ）=np=5×0.6=3，
D （Y ）=np （1－p ）=5×0.6×0.4=1.2．
【总结升华】对于两点分布、二项分布，可直接运用公式计算． 举一反三：
【变式1】篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球三次得分ξ的期望和方差。
【答案】罚球三次可以看作3次独立重复试验，即罚球三次得分~(3,0.7)B ξ， 所以30.7 2.1E np ξ==?=
(1)30.7(10.7)0.63D np p ξ=-=??-=.
【变式2】有10件产品,其中3件是次品.从中任取2件,若抽到的次品数为X ,求X 的分布列,期望和方差.
【答案】
类型三、离散型随机变量的期望和方差的应用
例6. 甲、乙两名射手在一次射击中的得分是两个随机变量，分别记为X1和X2，它们的概率分布分别为X10 1 2 X20 1 2
P 0.1 a 0.4 p 0.2 0.2 b （1）求a，b的值；
（2）计算X1和X2的数学期望和方差，并以此分析甲、乙两射手的技术状况．
【思路点拨】
本题考查分布列的性质、期望与方差的求法及对期望与方差的理解．（1）可直接由分布列的性质列式求解．（2）利用定义求期望与方差．
【解析】（1）由分布列的性质知，
0.1+a+0.4=1，0.2+0.2+b=1，
即a=0.5，b=0.6。
（2）E（X1）=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3，
E（X2）=0×0.2+1×0.2+2×0.6=1.4，
D（X1）=(0－1.3)2×0.1+(1－1.3)2×0.5+(2－1.3)2×0.4=0.41，
D（X2）=(0－1.4)2×0.2+(1－1.4)2×0.2+(2－1.4)2×0.6=0.64。
由上述计算的结果可知，乙的平均水平较甲好一点，但乙的稳定性不如甲．
【总结升华】离散型随机变量的期望与方差分别反映了随机变量的取值的平均水平和波动大小（或离散程度）．
举一反三：
【变式1】A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：问哪一台机床加工质量较好.
A机床B机床
次品数ξ1 0 1 2 3 次品数ξ1 0 1 2 3 概率P
0.7 0.2 0.06 0.04 概率P
0.8 0.06
0.04
0.10
【答案】 E ξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,
E ξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44. 它们的期望相同，再比较它们的方差.
D ξ1=（0-0.44）2
×0.7+（1-0.44）2
×0.2+（2-0.44）2
×0.06+（3-0.44）2
×0.04=0.6064,
D ξ2=（0-0.44）2
×0.8+（1-0.44）2
×0.06+（2-0.44）2
×0.04+（3-0.44）2
×0.10=0.9264.
∴D ξ1< D ξ2 故A 机床加工较稳定、质量较好.
【变式2】有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
甲单位不同职位月工资X 1/元 1 200 1 400 1 600 1 800 获得相应职位的概率P 1
0.4
0.3
0.2
0.1
乙单位不同职位月工资X 2/元 1 000 1 400 1 800 2 200 获得相应职位的概率P 2
0.4
0.3
0.2
0.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 【答案】根据月工资的分布列，利用计算器可算得
E(X 1)＝1 200×0.4＋1 400×0.3＋1 600×0.2＋1 800×0.1＝1 400，
D(X 1)＝(1 200－1 400)2
×0.4＋(1 400－1 400)2
×0.3＋(1 600－1 400)2
×0.2＋(1 800－1 400)2
×0.1＝40 000；
E(X 2)＝1 000×0.4＋1 400×0.3＋1 800×0.2＋2 200×0.1＝1 400，
D(X 2)＝(1 000－1 400)2
×0.4＋(1 400－1 400)2
×0.3＋(1 800－1 400)2
×0.2＋(2 200－1 400)2
×0.1＝160 000.
因为E(X 1)＝E(X 2)，D(X 1) 【变式3】 某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次），设这三辆车在一 年内发生此种事故的概率分别为19，1 10，111 ，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险 中： （1）获赔的概率；（2）获赔金额X 的分布列与期望． 【答案】设k A 表示第k 辆车在一年内发生此种事故，3,2,1 k . 由题意知321,,A A A 独立，且11 1)(,101)(,91)(321=== A P A P A P . （Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为 11 3 1110109981)()()(1)(1321321=??-=-=-A P A P A P A A A P . （Ⅱ）ξ的所有可能值为27000,18000,9000,0. 11 8111010998)()()()()0(321321=??= ===A P A P A P A A A P P ξ, )()()()9000(321321321A A A P A A A P A A A P P ++==ξ )()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++= 11110998111010198111010991??+??+??= 45 11 990242= =， )()()()18000(321321321A A A P A A A P A A A P P ++==ξ )()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++= 1111019811110991111010191??+??+??= 110 3 99027= =， )()()()()27000(321321A P A P A P A A A P P ===ξ990 1 11110191=??=. 综上知，ξ的分布列为 求ξ的期望有两种解法： 解法一：由ξ的分布列得 990127000110318000451190001180?+?+?+? =E ξ18.271811 29900≈=（元） 解法二：设k ξ表示第k 辆车一年内的获赔金额，3,2,1=k ， 则1ξ有分布列 故10009 90001=? =E ξ. 同理得18.81811 1 9000,900101900032≈?=E =?=E ξξ. 综上有 18.271818.8189001000321=++≈E +E +E =E ξξξξ（元）. 名词解释 将图形描述转换成用像素矩阵表示的过程称为扫描转换。 1．图形 2．像素图 3．参数图 4．扫描线 5．构造实体几何表示法 6．投影 7．参数向量方程 8．自由曲线 9．曲线拟合 10．曲线插值 11．区域填充 12．扫描转换 三、填空 1．图形软件的建立方法包括提供图形程序包、和采用专用高级语言。 2．直线的属性包括线型、和颜色。 3．颜色通常用红、绿和蓝三原色的含量来表示。对于不具有彩色功能的显示系统，颜色显示为。 4．平面图形在内存中有两种表示方法，即和矢量表示法。 5．字符作为图形有和矢量字符之分。 6．区域的表示有和边界表示两种形式。 7．区域的内点表示法枚举区域内的所有像素，通过来实现内点表示。 8．区域的边界表示法枚举区域边界上的所有像素，通过给赋予同一属性值来实现边界表示。 9．区域填充有和扫描转换填充。 10．区域填充属性包括填充式样、和填充图案。 11．对于图形，通常是以点变换为基础，把图形的一系列顶点作几何变换后， 连接新的顶点序列即可产生新的变换后的图形。 12．裁剪的基本目的是判断图形元素是否部分或全部落在之内。 13．字符裁剪方法包括、单个字符裁剪和字符串裁剪。 14．图形变换是指将图形的几何信息经过产生新的图形。 15．从平面上点的齐次坐标，经齐次坐标变换，最后转换为平面上点的坐标，这一变换过程称为。 16．实体的表面具有、有界性、非自交性和闭合性。 17．集合的内点是集合中的点，在该点的内的所有点都是集合中的元素。 18．空间一点的任意邻域内既有集合中的点，又有集合外的点，则称该点为集合的。 19．内点组成的集合称为集合的。 20．边界点组成的集合称为集合的。 21．任意一个实体可以表示为的并集。 22．集合与它的边界的并集称集合的。 23．取集合的内部，再取内部的闭包，所得的集合称为原集合的。 24．如果曲面上任意一点都存在一个充分小的邻域，该邻域与平面上的（开）圆盘同构，即邻域与圆盘之间存在连续的1-1映射，则称该曲面为。 25．对于一个占据有限空间的正则（点）集，如果其表面是，则该正则集为一个实体（有效物体）。 26．通过实体的边界来表示一个实体的方法称为。 27．表面由平面多边形构成的空间三维体称为。 28．扫描表示法的两个关键要素是和扫描轨迹。 29．标量：一个标量表示。 30．向量：一个向量是由若干个标量组成的，其中每个标量称为向量的一个分量。 四、简答题 1. 什么是图像的分辨率？ 离散数学图论与系中有图题目 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 图论中有图题目 一、 没有一个简单的办法能确定图的色数以及用尽可能少的颜色给图的节点着色。Welch-Powell 给出了一个使颜色数尽可能少（不一定最少）的结点着色方法，在实际使用中比较有效： 第1步、 将图的结点按度数的非增顺序排列；第2步、用第1种颜色给第1个结点着色，并按照结点排列顺序，用同一种颜色给每个与前面已着色的结点不邻接的结点着色；第3步、换一种颜色对尚未着色的结点按上述方法着色，如此下去，直到所有结点全部着色为止。 例1 分别求右面两图的色数 （1）由于（1）中图G 中无奇数长的基本回路，由定理可知()2G χ=。 （2）由于（2）中图G 含子图轮图4W ，由于()44W χ=，故()4G χ≥。又因 为此图的最大度()4G ?=，G 不是完全图，也不是奇数长的基本回路，由定理可知()()4G G χ≤?=，因而()4G χ=。 （对n 阶轮图n W ，n 为奇数时有()3n W χ=，n 为偶数时有()4n W χ=；对n 阶零图n N ，有()1n N χ=；完全图n K ，有()n K n χ=；对于二部图12,,,G V V E E =<>=Φ时即()1n N χ=，E ≠Φ时即()2G χ=；在彼得森图G 中，存在奇数长的基本回路，因而()3G χ≥，又彼得森图既不是完全图也不是长度为奇数的基本回路，且()3G ?=，由定理()3G χ≤，故()3G χ=） 例 2 给右边三个图的顶点正常着 色，每个图至少需要几种颜色。 答案：（1） ()2G χ=；（2） ()3G χ=； （3）()4G χ= 例3 有8种化学品A,B,C,D,P,R,S,T 要放进贮藏室保管。出于安全原因， 下列各组药品不能贮在同一个室内：A-R, A-C, A-T, R-P, P-S, S-T, T-B, B-D, D-C, R-S, R-B, 4个结点、6个结点和8个结点的三次正则图 (2) (1) (3) (2)(1) 字理教学心得体会 字理教学心得体会5月19日中午，我和韦主任及语文辅导员一行三人踏上了开往南宁的班车，参加在南宁举办的第三届字理 教学研究课题学习培训活动。这次培训活动历时一天半，5月21 日下午我们顺利返回。在这次学习培训中，我不仅能亲自聆听到 黄亢美老师和周瑞宣老师的精彩讲座，而且从中学到了许多有关 字理方面的知识与方法，真是不虚此行啊在这次的学习培训中， 首先是黄亢美老师给我们解读字理教学实施概说，他告诉我们要 进行字理教学，一定要把握住语文识字教学的根其次是周瑞宣老 师给我们生动有趣地讲解汉字中所蕴涵的文化内容。最后就是一 位书法界的成员给我介绍一些书法的审美标准和几个课题组的学 校汇报他们实施字理教学这个课题的一些做法与收获。下面就谈 谈我此次学习的一些收获 一.黄亢美老师讲座的题目是语文识字教学根的守望字理教学实施概说，他告诉我们，字理教学就是依据汉字的构字规律进行 识字和析词的一种语文教学方法;字理教学的内容就包括字理识字.字理析词.字理教学和字理教育。同时，黄老师还给我们介绍了字理教学的一些基本原则一科学性原则，即讲解的字理要运用字的 源义进行析解，不能随意捏造。如“察”字，宝盖头表示房屋， 示字是供桌的象形，中间的部分表示一只手拿着肉放到供桌上， 合起来表示在家祭祀是一件大事，应详细研究。所以“察”的本 义是详审.细究，引申为仔细看;二灵活性原则，即讲解的字理要运用实用义灵活析解。如教“撒.裕”字，可以引导学生用手抓物向上抛，物散即是“撒”，人有衣穿有谷物吃即是富“裕”;三适度性原则，此原则要依据学生的年龄特点讲析字理，要注意深度和广度。如低年级的字理析解要浅显易懂，到中高年级可深入析解。四目的性原则，此原则要把握好引繁识简，识繁写简。如引导学生区别认识“见见”。在黄老师的讲座中，我深有体会的是他给我们介绍的字理识字的基本策略，这对我们进行字理识字教学有很大的帮助，这策略就是分解组合.析形索义和因义记形;而关于字理析词的教学，黄老师的指点是“随文切入，引出词语;分解词素，而后会意;字理析词，探寻本义;返回语境，上下联系;细细口味，文中词义;换词本义，感悟深意;学以致用，适当迁移;如此学词，根基厚实。”这几句话其实告诉我们运用字理析词要做到“分解析词组合会意据文取义比较品味运用迁移”。 二.周瑞宣老师讲座的题目是汉字中所蕴涵的文化内容，周老师详略得当地给我们介绍汉字中所蕴涵的五种文化内容，其中包括汉字中的姓名.汉字中的教育学与汉字中的伦理学等，他老人家不仅生动形象地给我们讲解一些汉字的演变过程，而且还让我们从中懂得了该怎样运用字理教学生识字，让学生也从中感受祖国语言文字的内涵。比如在教学“孝”字时，通过图解让学生明白，“孝”字中的老字头表示一个老人老了走路不方便，于是一个小孩子过来搀扶他，这就是有“孝”心;而教“教”字时，引导 一、填空题 1．将多边形外部一点A与某一点B用线段连接，若此线段与多边形边界相交的次数为??????????，则点B在多边形外部。若此线段与多边形边界相交的次数为??????????，则点B在多边形内部。 2．生成直线的四点要求是_______________________，____________________________，____________________________________，速度要快。 3．由5个控制顶点Pi(i=0,1,…4)所决定的3次B样条曲线，由??????????段3次B样条曲线段光滑连接而成。 4．用于减少或克服在“光栅图形显示器上绘制直线、多边形等连续图形时，由离散量表示连续量引起的失真”的技术叫??????????。 5．图形的数学表示法一般有??????????，??????????，??????????。 1.一个交互性的计算机图形系统应具有、、、、 输入等五方面的功能。 2.阴极射线管从结构上可以分为、和。 3.常用的图形绘制设备有和，其中支持矢量格式。 4.PHIGS和GKS将各种图形输入设备从逻辑上分为六种：定位设备、笔划设 备、、、和。 5.通常可以采用和处理线宽。 6.齐次坐标表示就是用维向量表示n维向量。 7.平行投影根据可以分为投影和投影。 8.一个交互式计算机图形处理系统包括图形软件和_____________，图形软件又分为 _____________、_____________和三部分。 9.构成图形的要素包括和，在计算机中通常用采用两种方法来表示 图形，他们是和。 10.荫罩式彩色显像管的结构包括、、和。 11.目前常用的PC图形显示子系统主要由3个部件组成：、和一 个ROM BIOS芯片。 12.在交互输入过程中，图形系统中有_____________、、和其组 合形式等几种输入（控制）模式。 13.填充一个特定区域，其属性选择包括、和。 14.计算机中表示带有颜色及形状信息的图和形常用和参数法，其中用参数法描 述的图形称为，用描述的图形称为。 15.在显示技术中，我们常常采用提高总的光强等级。 16.常用的交互式绘图技术有、、和。 离散数学图论单元测验题 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 1、在图G ＝ “字不同迹而理同，教不同术而认同” 公元7世纪初，伊斯兰教诞生于阿拉伯半岛，先知穆罕默德凭依安拉的启示开始了艰苦卓绝的传教。伊斯兰教以绝高品级的一神信仰征服了阿拉伯众子民，也结束了那里早期的“蒙昧时代”。经历了穆圣与圣门弟子砥砺恭勤的宗教传播与俗世建设，不仅造就了一座横跨亚、非、欧三大洲的雄伟帝国的巍峨屹立，也使伊斯兰文明展示出旷古未见的繁荣与辉煌。在短暂的二三百年间，伊斯兰世界从一个游牧集团腾身跃入人类文明的最前沿。思索这场震惊世人的崛起奇迹，自然可以推溯出政治环境、经济实力与社会思想等诸多方面的因由，在这其中，笔者认为，伊斯兰教教义体系中关于“知识”的立场与教谕及其勃发的巨大力量不容忽视。这些知识论集中在伊斯兰教最高经典《古兰经》与作为其补充阐发的记录至圣穆罕默德言行的“圣训”中。在中国，自先秦始便启动了文献典籍的贮藏与传承工程，春秋时的孔子可谓是此工程中的第一伟哲，他以“万世师表”的担当完成了整理、播衍文化遗产的崇高使命。翻阅《论语》，孔子对“知识”及其相邻话题的言述俯仰皆见，这些观点或上承三代或下开千载，构成正统儒家知识论的理论主体。 对比上述伊斯兰教经典与《论语》中的两种知识论，能够清晰地发现源于二者所归属的文化母体不同（一为极具超越色彩的宗教，一为现实感极强的政治伦理学说）而在知识论这一子论题上呈现出的本质性差异。先知穆罕默德说过：“知识是伊斯兰教的生命、信仰的支柱。”又说：“进入清真寺教学或接受教育的人，犹如为真主而战的勇士。”这些训示教导穆斯林知识是和坚固、敬虔的信仰凝铸一体的，知识本身已具有了先天而 来的神性，授知与求知皆为捍卫主道的圣洁功德。在《论语》里，知识、求知是和官爵、富贵等世俗情结紧密粘合在一起的，“学而优则仕”（子张）、“学也，禄在其中矣”（卫灵公）即为明证。然而，采持一个较为宏阔的视阈，又能发现无论是《古兰经》、“圣训”还是《论语》，都包含着有关普遍意义上的知识、知识者和求知活动等主题的论述，而这一层面上的知识论是不受民族、国界与文化背景所拘囿的。在这些论述里考索，笔者察觉到两者存在若干相通的观念，它们高呼着阿拉伯与中华这两个古老而优秀的民族在对待人类文化资源上的共同声音。本文奢图以此为立意，以《古兰经》、“圣训”与《论语》为立论平台，进行一次跨文化比较的尝试。明清之际著名回族学者马注在《清真指南》中诠解伊儒“教理同源”的观点时说到：“圣不同时而道同，地不同音而义同，字不同迹而理同，教不同术而认同，服不同制而心同。”兹徵摘二句以为文题。 一、对知识与知识者的肯定立场 知识，包括固态的文献资源与诸种门类的工具技艺，对任何一个民族来说，都是至为关键的发展所必需。没有丰厚的知识储备与持久的知识者培育，就无法积极健康的生息与壮大。尤其在今天这个知识风潮漫涌的信息时代，其意义前所未有地被彰显。在看待知识与知识者的立场上，伊斯兰经典与《论语》表达出一致的肯定，甚至是充满激情的颂赞。这些立场在它们各自的时空里发挥着不可遏制的社会功效，把各自的信徒引领上一条求索的光明坦途，应该说，这是值得人类共贺的奇勋。 伊斯兰教认为，安拉是独一无二的，是宇宙万物的创造者、主宰者、恩养者和受拜者，也是清算日的掌权者和裁判者，是超越时空的绝对而永 Phong Lighting 该模型计算效率高、与物理事实足够接近。Phong模型利用4个向量计算表面任一点的颜色值，考虑了光线和材质之间的三种相互作用：环境光反射、漫反射和镜面反射。Phong模型使用公式：I s=K s L s cosαΦα：高光系数。计算方面的优势：把r和v归一化为单位向量，利用点积计算镜面反射分量：I s=K s L s max((r，v)α，0)，还可增加距离衰减因子。 在Gouraud着色这种明暗绘制方法中，对公用一个顶点的多边形的法向量取平均值，把归一化的平均值定义为该顶点的法向量，Gouraud着色对顶点的明暗值进行插值。Phong着色是在多边形内对法向量进行插值。Phong着色要求把光照模型应用到每个片元上，也被称为片元的着色。 颜色模型RGB XYZ HSV RGB:RGB颜色模式已经成为现代图形系统的标准，使用RGB加色模型的RGB三原色系统中，红绿蓝图像在概念上有各自的缓存，每个像素都分别有三个分量。任意色光F都可表示为F＝r [ R ] + g [ G ] + b [ B ]。RGB颜色立方体中沿着一个坐标轴方向的距离代表了颜色中相应原色的分量，原点(黑)到体对角线顶点(白)为不同亮度的灰色 XYZ:在RGB 系统基础上，改用三个假想的原色X、Y、Z建立了一个新的色度系统, 将它匹配等能光谱的三刺激值,该系统称为视场XYZ色度系统，在XYZ空间中不能直观地评价颜色。 HSV是一种将RGB中的点在圆柱坐标系中的表示法，H色相S饱和度V明度，中心轴为灰色底黑顶白，绕轴角度为H，到该轴距离为S，沿轴高度为S。 RGB优点:笛卡尔坐标系，线性，基于硬件(易转换)，基于三刺激值，缺点:难以指定命名颜色，不能覆盖所有颜色范围，不一致。 HSV优点:易于转换成RGB，直观指定颜色，’缺点:非线性，不能覆盖所有颜色范围，不一致 XYZ:覆盖所有颜色范围，基于人眼的三刺激值，线性，包含所有空间，缺点:不一致 交互式计算机程序员模型 (应用模型<->应用程序<->图形库)->(图形系统<->显示屏).应用程序和图形系统之间的接口可以通过图形库的一组函数来指定，这和接口的规范称为应用程序编程人员接口(API)，软件驱动程序负责解释API的输出并把这些数据转换为能被特定硬件识别的形式。API提供的功能应该同程序员用来确定图像的概念模型相匹配。建立复杂的交互式模型，首先要从基本对象开始。良好的交互式程序需包含下述特性：平滑的显示效果。使用交互设备控制屏幕上图像的显示。能使用各种方法输入信息和显示信息。界面友好易于使用和学习。对用户的操作具有反馈功能。对用户的误操作具有容忍性。Opengl并不直接支持交互，窗口和输入函数并没有包含在API中。 简单光线跟踪、迭代光线跟踪 光线跟踪是一种真实感地显示物体的方法，该方法由Appel在1968年提出。光线跟踪方法沿着到达视点的光线的相反方向跟踪，经过屏幕上每一象素，找出与视线所交的物体表面点P0，并继续跟踪，找出影响P0点光强的所有的光源，从而算出P0点上精确的光照强度。光线跟踪器最适合于绘制具有高反射属性表面的场景。优缺点：原理简单，便于实现，能生成各种逼真的视觉效果，但计算量开销大，终止条件：光线与光源相交光线超出视线范围，达到最大递归层次。一般有三种：1)相交表面为理想漫射面，跟踪结束。2)相交表面为理想镜面，光线沿镜面反射方向继续跟踪。3)相交表面为规则透射面，光线沿规则透射方向继续跟踪。 描述光线跟踪简单方法是递归，即通过一个递归函数跟踪一条光线，其反射光想和折射光线再调用此函数本身，递归函数用来跟踪一条光线，该光线由一个点和一个方向确定，函数返回与光线相交的第一个对象表面的明暗值。递归函数会调用函数计算指定的光线与最近对象表面的交点位置。 图形学算法加速技术BVH, GRID, BSP, OCTree 加速技术：判定光线与场景中景物表面的相对位置关系，避免光线与实际不相交的景物表面的求交运算。加速器技术分为以下两种：Bounding Volume Hierarchy 简写BVH，即包围盒层次技术，是一种基于“物体”的场景管理技术，广泛应用于碰撞检测、射线相交测试之类的场合。BVH的数据结构其实就是一棵二叉树（Binary Tree）。它有两种节点（Node）类型：Interior Node 和Leaf Node。前者也是非叶子节点，即如果一个Node不是Leaf Node，它必定是Interior Node。Leaf Node 是最终存放物体/们的地方，而Interior Node存放着代表该划分（Partition）的包围盒信息，下面还有两个子树有待遍历。使用BVH需要考虑两个阶段的工作：构建（Build）和遍历（Traversal）。另一种是景物空间分割技术，包括BSP tree，KD tree Octree Grid BSP:二叉空间区分树 OCTree:划分二维平面空间无限四等分 Z-buffer算法 算法描述：1、帧缓冲器中的颜色设置为背景颜色2、z缓冲器中的z值设置成最小值（离视点最远）3、以任意顺序扫描各多边形a) 对于多边形中的每一个采样点，计算其深度值z(x,y) b) 比较z(x, y)与z缓冲器中已有的值zbuffer(x,y)如果z(x, y) >zbuffer(x, y)，那么计算该像素(x, y)的光亮值属性并写入帧缓冲器更新z缓冲器zbuffer(x, y)＝z(x, y) Z-buffer算法是使用广泛的隐藏面消除算法思想为保留每条投影线从COP到已绘制最近点距离，在投影后绘制多边形时更新这个信息。存储必要的深度信息放在Z缓存中，深度大于Z缓存中已有的深度值，对应投影线上已绘制的多边形距离观察者更近，故忽略该当前多边形颜色，深度小于Z缓存中的已有深度值，用这个多边形的颜色替换缓存中的颜色，并更新Z缓存的深度值。 void zBuffer() {int x, y; for (y = 0; y < YMAX; y++) for (x = 0; x < XMAX; x++) { WritePixel (x, y, BACKGROUND_VALUE); WriteZ (x, y, 1);} for each polygon { for each pixel in polygon’s projection { //plane equation doubl pz = Z-value at pixel (x, y); if (pz < ReadZ (x, y)) { // New point is closer to front of view WritePixel (x, y, color at pixel (x, y)) WriteZ (x, y, pz);}}}} 优点：算法复杂度只会随着场景的复杂度线性增加、无须排序、适合于并行实现 缺点：z缓冲器需要占用大量存储单元、深度采样与量化带来走样现象、难以处理透明物体 着色器编程方法vert. frag 着色器初始化：1、将着色器读入内存2、创建一个程序对象3、创建着色器对象4、把着色器对象绑定到程序对象5、编译着色器6、将所有的程序连接起来7、选择当前的程序对象8、把应用程序和着色器之间的uniform变量及attribute变量关联起来。 Vertex Shader：实现了一种通用的可编程方法操作顶点，输入主要有：1、属性、2、使用的常量数据3、被Uniforms使用的特殊类型4、顶点着色器编程源码。输入叫做varying变量。被使用在传统的基于顶点的操作，例如位移矩阵、计算光照方程、产生贴图坐标等。Fragment shader：计算每个像素的颜色和其他属性，实现了一种作用于片段的通用可编程方法，对光栅化阶段产生的每个片段进行操作。输入：Varying 变量、Uniforms-用于片元着色器的常量，Samples-用于呈现纹理、编程代码。输出：内建变量。 观察变换 建模变换是把对象从对象标架变换到世界标架 观察变换把世界坐标变换成照相机坐标。VC是与物理设备无关的，用于设置观察窗口观察和描述用户感兴趣的区域内部分对象，观察坐标系采用左手直角坐标系，可在用户坐标系中的任何位置、任何方向定义。其中有一坐标轴与观察方向重合同向并与观察平面垂直。观察变换是指将对象描述从世界坐标系变换到观察坐标系的过程。（1）：平移观察坐标系的坐标原点，与世界坐标系的原点重合，（2）：将x e，y e轴分别旋转（-θ）角与x w、y w轴重合。 规范化设备坐标系 规范化设备坐标系是与具体的物理设备无关的一种坐标系，用于定义视区，描述来自世界坐标系窗口内对象的图形。 光线与隐式表面求交 将一个对象表面定义为f(x,y,z)=f(p)=0,来自P0，方向为d的光线用参数的形式表示为P(t)=P0+td. 交点位置处参数t的值满足：f(P0+td)=0,若f是一个代数曲面，则f是形式为X i Y j Z k的多项式之和，求交就转化为寻求多项式所有根的问题，满足的情况一：二次曲面，情况二：品面求交，将光线方程带入平面方程：p*n+c=0可得到一个只需做一次除法的标量方程p=p0+td。可通过计算得到交点的参数t的值：t=(p0*n+c)/(n*d). 几何变换T R S矩阵表示 三维平移T 三维缩放S旋转绕z轴Rz( ) 100dx 010dy 001dz 0001 Sx000 0Sy00 00Sz0 0001 cos-sin00 sin cos00 0010 0001 θθ θθ 旋转绕x轴Rx(θ) 旋转绕y轴Ry(θ) 1000 0cos-sin0 0sin cos0 0001 θθ θθ cos0sin0 0100 -sin0cos0 0001 θθ θθ 曲线曲面 Bezier曲线性质：Bezier曲线的起点和终点分别是特征多边形的第一个顶点和最后一个顶点。曲线在起点和终点处的切线分别是特征多边形的第一条边和最后一条边，且切矢的模长分别为相应边长的n倍；（2）凸包性；（3）几何不变性（4）变差缩减性。端点插值。 均匀B样条曲线的性质包括：凸包性、局部性、B样条混合函数的权性、连续性、B样条多项式的次数不取决于控制函数。 G连续C连续 C0连续满足：C1连续满足： (1)(0) p(1)=(1)(0)(0) (1)(0) px qx py q qy pz qz == ???? ???? ???? ???? (1)(0) p'(1)=(1)'(0)(0) (1)(0) p x q x p y q q y p z q z == ???? ???? ???? ???? C0(G0)连续:曲线的三个分量在连接点必须对应相等 C1连续:参数方程和一阶导数都对应相等 G1连续:两曲线的切线向量成比例 三维空间中，曲线上某点的导数即是该点的切线，只要求两个曲线段连接点的导数成比例，不需要导 数相等，即p’(1)=aq’(0) 称为G1几何连续性。将该思想推广到高阶导数，就可得到C n和G n连续性。 教师应掌握的字理基础知识 一、汉字造字的基本方法 (一)象形、指事、会意-----纯表意字 汉字是世界上最古老的文字之一，至少有三千年的历史。表意性是汉字最基本的特性。东汉许慎的《说文解字》是我国语言学史上第一部分析字形，说解字义，辩识声读的字书，共收字9353个。汉字造字法有“六书”之说，即象形、指事、会意、形声、假借和转注，这是前人对汉字研究的科学总结。文字学家又研究认为，象形、指事、会意、形声属于造字方法，假借和转注实为用字方法。在四种造字方法中，形声字的出现表明了汉字由表意性向表音的方向发展，而于它之前的象形、指事、会意字，则是纯粹的表意文字。下面简要地谈谈这三种字的基本特征。 1．象形 象形就是依照事物的形体，描绘出它的轮廓和特征。这种依照事物的形体描绘而成的文字就称象形字。如： 日月目山 象形字的特点很明确，就是许慎所说的“画成其物，随体诘诎”。许慎的界说是就汉字“造文之初”的情形说的。现行汉字，象形字很多已不象形，这说明汉字经历了漫长的演变过程，已褪去古文字的图画色彩，渐趋规则化、符号化。但是，考之甲骨文、金文却是很接近图画的。它们有的取事物侧视、仰视、俯视的平面形象描画出其形态，如：川、鸟、龟。有的为了准确地表示事物而将其特点突出，如：“牛”字，甲骨文突出其弯形的长角，“母”字，则突出其双乳；有的描画出具有特征性的局部，如“羊”字，甲骨文只画出其头部，又如“木、禾、人、口、手、耳、水、鸟、隹、虎、豕”等，在古文字阶段，它们都很像一幅单线勾勒的简笔画，都是根据物体的表状，“随体诘诎”描摹出来的，一望即知其为何物，所以象形字具有很强的直观性。如何象形，当然是以能使人们一见就知义为目的。因此可以画得简单而达到此目的，也就不需复杂化，这就是所谓的“独体象形”。有的事物画得太简单，不能使人一见就知义，如“果”字，如只画一个圆的果形（上面部分），人们就不知其为何物，易与其它圆形之物相混，于是就将果树一并画出来，表示这圆形之物是树上的，这样，就使人容易明白这是果实；再如“血”字，若只画“′ ”，人们也不知道这是水是沙或是血，而把像血滴的“′ ”与盛牲血之器“皿”一起画出来，就能使人联想到杀鸡宰鸭时割喉滴血进器皿的情形。象这类由两种同类或相关事物的实形组合而成的字叫合体象形字。合体象形字所合的二体若分开 《古代汉语》基础知识-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 《古代汉语》基础知识 第一课汉字的结构与演变 一、汉字的性质 根据记录语言的主要角度或主要方式、手段的不同，可以将世界上的文字分为两大类：拼音文字和构意文字，也就是通常所说的表音文字和表意文字。 汉字属于构意文字，一般也称为表意文字。 表意文字发展的初期，通过描摹事物形体的外部特点或轮廓来构形的字为数很多。例如“門”，就是早期的象形字。 在发展过程中，由主要描摹事物的外形轮廓来反映词义，发展为用图形或符号的组合来反映词义。这就是汉字中的指事字、会意字。例甲骨文： 指事字：上下刃亦朱 会意字：莫吹啓祝折 构意手段的最高阶段是用义符和声符拼合的方式构造字形。这就是汉字中的形声字。 例：皇煌簧惶蝗江河湖 汉语中的词绝大多数都是多义的，其中有一个义项与记录这个词的字形最为贴切，可以直接解释字形构造的理念，我们这把个义项称为本义。是现有的书面语言材料中可以追溯的最早词义。 二、汉字的结构 需要掌握传统文字学的“六书”，要先掌握一个概念“造意”（见书P9） （一）象形 象形是一种通过勾勒事物的轮廓来构拟字型的造字方法 例： 人大女又目耳口齒 日月草木水戈户門 牛羊犬豕馬鹿弓矢 大凡用象形字记录的词，多是表示具体实物的名词，但有少数例外，它所表示的是这种实物所具有某种性质或状态。还有一种称为“合体象形”（P10） （二）指事 指事是用形体简单的符号记录词义，或是在象形的基础上加抽象指事符或区别符号以构成新字。所谓指事，含有表明事物、指明事物的意思。许慎说：“指事者，视而可识，察而见意，上下是也。” 从结构上看，大多数指事字都是在一个象形字上增加指事性或区别性的笔画构成的，早汉字结构中，指事字是为数最少的。 （三）会意 会意是根据事物间的某种关系而组合两个或两个以上的独体字来构成新字的造字方法。许慎说：“会意者，比类合谊，以见指撝，武信是也。” 两种类型： 1、形合会意字：通过部件的象物性的组合来表示新意构成新字。字中构件摆放的位置往往也成为区别构意的手段，不能随意摆放。例：从，牧，莫，舂 图论练习题 一.选择题 1、设G是一个哈密尔顿图，则G一定是( )。 (1) 欧拉图(2) 树(3) 平面图(4)连通图 2、下面给出的集合中，哪一个是前缀码？() (1) {0，10，110，101111}(2) {01，001，000，1} (3) {b，c，aa，ab，aba}(4) {1，11，101，001，0011} 3、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中()的路。 4、设G是一棵树，则G 的生成树有( )棵。 (1) 0(2) 1(3) 2(4) 不能确定 5、n阶无向完全图Kn 的边数是( )，每个结点的度数是( )。 6、一棵无向树的顶点数n与边数m关系是()。 7、一个图的欧拉回路是一条通过图中( )的回路。 8、有n个结点的树，其结点度数之和是()。 9、下面给出的集合中，哪一个不是前缀码( )。 (1) {a，ab，110，a1b11} (2) {01，001，000，1} (3) {1，2，00，01，0210} (4) {12，11，101，002，0011} 10、n个结点的有向完全图边数是( )，每个结点的度数是( )。 11、一个无向图有生成树的充分必要条件是( )。 12、设G是一棵树，n,m分别表示顶点数和边数，则 (1) n=m (2) m=n+1 (3) n=m+1 (4) 不能确定。 13、设T=〈V,E〉是一棵树，若|V|>1，则T中至少存在( )片树叶。 14、任何连通无向图G至少有( )棵生成树，当且仅当G 是( )，G的生成树只有一棵。 15、设G是有n个结点m条边的连通平面图，且有k个面，则k等于: (1) m-n+2 (2) n-m-2 (3) n+m-2 (4) m+n+2。 16、设T是一棵树，则T是一个连通且( )图。 17、设无向图G有16条边且每个顶点的度数都是2，则图G有( )个顶点。 (1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 16 18、设无向图G有18条边且每个顶点的度数都是3，则图G有( )个顶点。 (1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 12 中国高等教育学会语文教育专业委员会字理教学研究中心第五届汉字文化知识竞赛（检测）卷单位：（注明省市）姓名： 电话：邮编：邮箱： 满分108分，本卷得分（） 一、综合填空（39分） 1. 西周时期，汉字教学已被列入学制。《周礼》记载“养国子以道，乃教之六艺”中的“六艺”即是“礼、乐、射、御、书、数”，并具体析解为：“一曰五礼，二曰六乐，三曰五射，四曰五御，五曰（），六曰九数”。 2. 东汉许慎《说文解字﹒叙》说：“周礼，八岁入小学，保氏教国子先以（）”。 3. “玉”作偏旁也可以省掉“丶”写成“王”。“珠、璞、瑕、璀、璨、理、琢、闰、玩、珏、班、汪、弄”这些字都含有“王”这个部件，其中与玉无关而是表示其他意思的字是（）。 4.“彗”是个手（彐）持扫帚的会意字，本义即是扫帚。彗星是绕着太阳旋转的一种天体，通常在背着太阳的一面拖着一条扫帚状的尾巴，所以，彗星又称（）星。 5.“翰”是形声字，本义指锦鸡，故用羽表义，倝作声旁，“倝”的读音为（）。古人曾用羽毛作笔，故指笔，词语如翰墨、挥翰；由笔泛指文章、书信等，词语如文翰、翰林等。 6.“斡”的本义是指舀取酒水的瓢把，所以用斗表义。手持瓢把舀取酒水时常伴随着翻转的动作，故引申指运转、旋转，如《史记·屈原贾生列传》有“万物变化兮固无休息，斡流而迁兮或推而还”句。现代语词中调解双方争端使其关系正常运转起来可称之为（）。 7 . 煮饭时放水太多，烧开后水会潽（pū）出来，此时就要bì( )去一些米汤，再盖好锅盖焖一会就熟了。 8. 在“比、多、公、支、豆、从、吉”中属于象形字的是（）。 9. 在“杜、材、相、桃、枯、柿、桂”中属于会意字的是（）。 10. 在“花、芹、苗、苇、莓、菜、芳”中属于会意字的是（）。 11.“彡”在“彭、衫、彰、影、彩、彪、须”中充任声旁的字是（）。 12.“示”在“社、祈、祷、视、神、祥、禄”中充任声旁的字是（）。 13.“刂”在“刚、刺、到、刽、剜、割、剔”中充任声旁的字是（）。 14. 在括号里写出下面繁体字的简体： 畫（画）、書（书）、晝（）盡（） 15. “泉（水）、州（川）、训（川）、邕（巛）、災（巛）、巢（巛）巟（）、侃（）、泰（氺）、隶（氺）、派（）”——根据括号里的部件判断，与水流无关的字是（）和（）。 16.“涕”本义是哭泣，哭泣则流泪，故又指眼泪。异体为“淚”，后用“泪”，“涕”则 专指鼻涕。书面语中“涕”多为眼泪意。在“感激涕零、涕泗滂沱、涕泪俱下、破涕为笑、涕零如雨”中，“涕”是鼻涕意思的词语是（）。 17.“兄弟阋于墙，外御其侮。”——这是《诗经·小雅·常棣》中的诗句，意思是兄弟虽然 中国高等教育学会语文教育专业委员会字理教学研究中心 字理知识竞赛卷 单位：（注明省市）姓名： 电话：邮编：邮箱（或QQ）： 满分108分，本卷得分（） 一、综合判断简答题 1.世界文字可分为（）两大类，汉字属于（）文字。 2. 东汉许慎编写的《》是我国第一部辨识声读，分析字形，说解字义的字书。该书共收字（）个。 3、汉字的“六书”中（）属于造字法; （） 则属于用字法。 4、汉字在演变过程中，出现过甲骨文、金文、（）隶书、楷书、草书、行书等字体，其中，（）这种字体是古今汉字的分水岭。 5、在“好、妨、姑、婪、嫌、婆、姻、佞”中，含有对妇女歧视甚至侮辱的字是。 6.“省声”就是形声字的声旁为构形的美观而省掉某些部件。如“豪”《说文》表述为“豕形，高省声”。意为形声字“豪”是用“豕”作形旁，“高”作声旁，但“高”与“豕”上下叠合在一起字形太长显得不美观，竖行排列时甚至容易读成“高豕”两个字，为使其形成方块形状，于是声旁字“高”省掉下面的“口”嵌入“豕”就组成了“豪”。在“家、觉、意、间”中，属于省声字的是（），《说文》表述为（）。 7.“亦声”就是会意兼形声字。如“婚”字，《说文》表述为“从女从昏，昏亦声”，意为女子出嫁、男子娶女子，所以有个“女”旁；古时嫁娶拜堂多在黄昏之时，所以又有个“昏”旁，会意而成“婚”，这是会意造字法。但是“昏”又表示读音兼任声旁，因而“婚”字就具有会意兼形声的特点。在“妈”、“坪”、“娇”、“嫌”中，属于“亦声字”的是（），《说文》的表述为：（） 8．对增累式的形声字进行切分是有层次的。如“蹦”，第一层次应将“蹦”切分为“足形，崩声”，第二层次再将“崩”切分为“山形，朋声”。有些字还可以进行三个层次的切分，如“照”，第一层次的切分是“灬形，昭声”，第二层次再将“昭”切分为（），第三层次再将“召”切分为（）。 什么是计算机图形学? 计算机图形学是研究通过计算机将数据转换为图形，并在专门显示设备上显示的原理、方法和技术的学科 计算几何：研究几何模型和数据处理的学 科，探讨几何形体的计算机表示、分析和 综合 计算机图形学研究内容:建模,绘制,动画 图形系统的基本功能 1.计算功能 元素生成、坐标变换、求交、剪裁计算。 2.存储功能 存储数据:形体的集合数据、形体间相互关系、数据的实时检索、保存图形的编辑等信息。 3.输入功能 输入信息: 数据、图形信息、图象信息等输入。 命令关键字、操作信息。 4.输出功能 输出信息: 图形信息、文件信息；静态图形、动态图形。 5.交互功能 人─机交互:拾取对象、输入参数；接受命令、数据等。 显示器种类 阴极射线管、随机扫描、存储管式、光栅扫描、等离子和液晶显 示器 从以下几个方面介绍图形显示设备： 图形硬件显示原理 CRT;CRT是利用电子枪发射电子束来产生图像，容易受电磁波干扰液晶显示器;液晶显示器的工作原理是利用液晶的物理特性，在通电时导通，使液晶排列变得有秩序，使光线容易通过；不通电时，排列则变得混乱，阻止光线通过 未来显示器 光栅显示系统的组成 图形显示方式:随机扫描存储管式扫描光栅扫描 图形显示质量与一帧的画线数量有关:当一帧线条太多，无法维持30～60帧/秒刷新频率，就会出现满屏闪烁 光栅扫描显示器的常用概念:行频、帧频（图像刷新率） 水平扫描频率为行频。垂直扫描频率为帧频。 隔行扫描、逐行扫描 隔行扫描方式是先扫偶数行扫描线，再扫奇数行扫描线。像素 屏幕被扫描线分成n 行，每行有m 个点，每个点为一个象素。整个屏幕有m ×n 个象素。具有灰度和颜色信息 分辨率 指CRT单位长度上能分辨出的最大光点(象素)数。分为水平分辨率和垂直分辨率。 1.列举计算机图形学的主要研究内容。 计算机中图形的表示方法、图形的计算、图形的处理和图形的显示。 图形硬件、图形标准、图形交互技术、光栅图形生成算法、曲线曲面造型、实体造型、真实感图形计算与显示算法,以及科学计算可视化、计算机动画、自然景物仿真、虚拟现实等。 2.常用的图形输出设备是什么? 显示器（CRＴ、LCD、等离子）、打印机、绘图仪等。 2.常用的图形输入设备是什么? 键盘、鼠标、跟踪球、空间球、数据手套、光笔、触摸屏、扫描仪等。 3.列出３种图形软件工具。 ＡutoＣＡＤ、SolidWorｋs、UG、ProEnｇiｎeｅr、CorｅlＤｒaw、Photｏshop、PａintShop、Viｓio、3ＤMAX、MＡYA、Alｉas、Softimａｇe等。 错误:CAD 4.写出｜k|>1的直线Ｂreseｎhａｍ画线算法。 d d d d 设直线方程为:y＝kｘ+ｂ，即ｘ=(y－b)/k，有x i+１=x i+(y i+1-y i)／ｋ＝x i＋1／k，其中ｋ=dy／dx。因为直线的起始点在象素中心,所以误差项d的初值ｄ0=0。y下标每增加1,d的值相应递增1／k，即d＝d＋1/k。一旦ｄ≥1，就把它减去1，这样保证d在0、１之间。 ●当ｄ≥0．5时,最接近于当前象素的右上方象素(xｉ+1,y i+1),x方向加１，d减 去1; ●而当d<０.5时,更接近于上方象素(x i,yｉ+1)。 为方便计算,令ｅ＝d-0.５，e的初值为－０.5,增量为1/k。 ●当e≥0时，取当前象素(x i,y i)的右上方象素(ｘｉ+1,y i＋1)，ｅ减小１; ●而当e<0时，更接近于上方象素(xｉ,yｉ+1)。 voiｄBrｅseｎhaｍｌine (int x0,int y0，inｔx１, inｔy１,ｉｎt colｏr) { int x,y，dx,ｄｙ; float k，ｅ; dx= ｘ1-x0, dy = ｙ1-y０，k=dｙ/dx; e=-0．５, x=x0, ｙ=y０； for (i=0; i≤dｙ; ｉ++） {ｄrawpiｘel(x, y，color); ｙ=y＋１，e=e＋１/k; if （ｅ≥0) { ｘ++, e=e-1;} } ｝ 4.写出|ｋ|>1的直线中点画线算法。 构造判别式:d=F(Ｍ)=Ｆ（ｘp+0.5,y p+１）＝a（x p+0．5）＋b(ｙp+１)+c ●当d<０,M在Ｑ点左侧，取右上方Ｐ２为下一个象素； ●当d＞0，M在Ｑ点右侧,取上方P1为下一个象素; ●当d=0,选P１或P2均可,约定取P１为下一个象素； 第一章 计算机图形学是：研究怎么利用计算机来显示、生成和处理图形的原理、方法和技术的一门学科。 计算机图形学的研究对象是图形。构成图形的要素有两类：一类是几何要素（刻画图形状的点、线、面、体），另一类是非几何要素（反映物体表面属性或材质的明暗、灰度、色彩）.。 计算机中表示图和形常有两种方法：点阵法和参数法。 软件的标准：SGI等公司开发的OpenGL，微软开发的Direct X，Adobe的Postscript 等。 计算机辅助设计与制造（CAD/CAM） 计算机图形系统可以定义为计算机硬件、图形输入输出设备、计算机系统软件和图形软件的集合。 交互式计算机图形系统应具有计算、存储、对话、输入和输出等五方面的功能。 真实感图形的生成一般须经历场景造型、取景变换、视域裁剪、消除隐藏面及可见面光亮度计算等步骤。 虚拟现实系统又称虚拟现实环境，是指由计算机生成的一个实时三维空间。用户可以在其中“自由地”运动，随意观察周围的景物，并可通过一些特殊的设备与虚拟物体进行交互操作。 科学计算可视化是指运用计算机图形学和图像处理技术，将科学计算过程中及计算结果的数据转换为图形及图像在屏幕上显示出来并进行交互处理的理论、方法和技术。 第二章 鼠标器是用来产生相对位置。鼠标器按键数分为两种：MS型鼠标（双按键鼠标）和PC型鼠标（三按键鼠标）。 触摸屏也叫触摸板，分为：光学的红外线式触摸屏、电子的电阻式触摸屏和电容式触摸屏、声音的声波式触摸屏。 数据手套是由一系列检测手和手指运动的传感器的构成。来自手套的输入可以用来 给虚拟场景中的对象定位或操纵该场景。 显示设备的另一个重要组成部分的是显示控制器。它是控制显示器件和图形处理、转换、信号传输的硬件部分，主要完成CRT的同步控制、刷新存储器的寻址、光标控制以及图形处理等功能。 阴极射线管CRT由电子枪、偏转系统及荧光屏3个基本部分组成。电子枪的主要功能是产生一个沿管轴（Z轴）方向前进的高速的细电子束（轰击荧光屏）。 光栅的枕形失真是由于同样的偏转角增量所造成的偏转距离增量的最大。 荧光粉的余辉特性是指这样一种性质：电子束轰击荧光粉时，荧光粉的分子受激而发光，当电子束的轰击停止后，荧光粉的光亮并非立即消失，而是按指数规律衰减，这种特性叫余辉特性。余辉时间定义为，从电子束停止轰击到发光亮度下降到初始值的1%所经历的时间。 CRT图形显示器分为：随机扫描的图形显示器，直视存储管图形显示器，光栅扫描的图形显示器。 目前常用的PC图形显示子系统主要由3个部件组成：帧缓冲存储器、显示控制器和一个ROM BIOS芯片。 分辨率分为屏幕分辨率、显示分辨率和图形存储分辨率。3种分辨率的概念既有区别又有联系，对图形的显示都会产生一定的影响。在三者之间，屏幕分辨率决定了所能显示的最高分辨率；但显示分辨率和存储分辨率对所能显示的图形分辨率也有控制作用。如果存储分辨率小于屏幕分辨率，尽管显示分辨率可以提供最高的屏幕分辨率，屏幕上也不能显示出应有的显示模式。存储分辨率还必须大于显示分辨率，否则不能够显示出应有的显示模式。 第三章 图形输入设备的逻辑分类：定位设备、笔划设备、数值设备、选择设备、拾取设备、字符串设备。 引力域、橡皮筋技术、草拟技术 第四章 按所构造的图形对象可分为规则对象和不规则对象。 规则对象是指能用欧式几何进行描述的形体。其造型又称为几何造型。 一个完整的几何模型应包括物体的各部分几何形状及其在空间的位置（即几何信息）和各部分之间的连接关系（即拓扑信息）。 不规则对象的造型系统中，大多采用过程式模拟，即用一个简单的模型以及少量的易于调节的参数来表示一大类对象，不断改变参数，递归调用这一模型就能一步一步地产生数据量很大的对象，这一技术也被称为数据放大技术。 不规则对象造型方法主要有：基于分数维理论的随机模型、基于文法的模型、粒子系统模型和非刚性物体模型等等。 一般在二维图形系统中将基本图形元素称为图素或图元，而在三维图形系统中称为体素。 图素是指可以用一定的几何参数和属性参数描述的最基本的图形输出元素，包括点、线、圆、圆弧、椭圆、二次曲线等。体素是三维空间中可以用有限个尺寸参数定位和定形的最基本的单元体。段是指具有逻辑意义的有限个图素（或体素）及其附加属性的集合。 几何信息一般指形体在欧式空间中的位置和大小；而拓扑信息则是形体各分量（点、计算机图形学试题附答案完整版
离散数学图论与系中有图题目
字理教学心得体会
计算机图形学基础期末考试试题
离散数学测验题--图论部分(优选.)
“字不同迹而理同,教不同术而认同”共4页
计算机图形学必考知识点
字理基础知识
《古代汉语》基础知识
离散数学图论练习题
(3)第五届汉字知识竞赛卷(A4卷)
(3)字理知识竞赛卷(A4)
什么是计算机图形学
计算机图形学基础教程习题课1(第二版)(孙家广-胡事民编著)
计算机图形学主要知识点