最优控制

作者：潘高超

学号：15120017

班级：研15电气

完成日期：2016年6月20日

摘要

最优控制问题就是寻求一容许控制

uΩ，使系统的状态从给定的初值x0

(t

)

在终止时刻：t1(>t0)转移到目标集A，并使性能指标J(u)取最大值(或最小值)。最优控制理论间世50多年来"吸收现代技术进步和现代数学的成就，得到了很大的发展，在生产、生活、国防、和经济管理等领域得到广泛的应用，由于实际问题的需要，最优控制仍是十分活跃的领域，最优控制问题的数值求解也是人们十分关注的问题之一许多学者研究最优控制问题数值求解，针对最优控制问题数值求解的难点所在，将小波分析方法引入这一领域，利用小波多尺度逼近特性将含有微积分运算的原问题转化为一般的代数间题进行求解。数值仿真表明，小波展开法更加精确而且方便，本文就是一篇基于小波算法来寻找最优控制问题数值求解的综述。

关键词：最优控制，小波分析，小波基，多尺度分析

绪论

最优控制理论是现代控制理论中最早发展起来的分支之一。所谓控制就是人们用某种方法和手段去影响事件及其运动的进程和轨道，使之朝着有利于控制主体的方向发展。对于一个给定的受控系统，常常要求找到这样的控制函数，使得在它的作用下，系统从一个状态转移到为设计者希望的另一个状态，且使得系统的某种性能尽可能好。通常称这种控制问题为最优控制问题。最优控制理论主要讨论求解最优控制问题的方法和理论，包括最优控制的存在性和唯一性和最优控制应满足的必要条件以及最优控制的数值求解等。最优控制理论始于20世纪50年代末，其主要标志是前苏联数学家庞特里亚金(L.C.Pontryagin)等人提出的“最大值原理”。最优控制问题源于工矿企业、交通运输、电力工业、国防工业和国民经济管理等部门的诸多实际问题。如航空领域中的宇宙飞船和卫星的控制，国防中导弹的控制，工业领域中现代工业设备与生产过程控制，国民经济管理中的生产计划和国民经济增长等问题。

20世纪50年代初期，人们就有从工程角度研究最短时间控制问题、最优性的证明借助于几何图形，它为现代控制理论的发展提供了第一批实际模型。随后，由于最优控制问题引人注目的严格的数学表述形式以及空间技术的迫切需要，吸引了一大批数学家的密切注意。

通过研究，人们发现经典变分理论只能解决无约束或开集约束一类简单的最优控制间题，而实际上，工程应用中往往是容许控制。属于闭集的一类最优控制问题，经典变分理论无能为力，这就需要人们去探索求解最优控制间题的新途径。受力学中哈密尔顿原理的启发，庞特里亚金等人把“最大值原理”作为一种推测首先提出来，随后不久又提供了一种严格的证明，并于1958年在爱丁堡召开的国际数学会议上首次宣读。“最大值原理”发展了经典变分原理，成为处理闭集性约束变分问题的强有力工具。“动态法则”是贝尔曼在1953至1957年逐步创立的。他依据最优性原理，发展了变分分学中的哈密尔顿一雅可比理论构成了“动态规划”，它是一种适用于计算机计算，处理问题范围更广泛的方法。在现代控制理论的形成与发展中，最大值原理，动态规划和卡尔曼的最优估计理论等对最优控制的发展起了重要的推动作用。

近50年来，在现代控制理论和现代控制工程应用中，吸收了现代数学的很多成果，又得到了很大发展，并渗透到生产、生活、国防、城市规划、智能交通、管理等许多领域，发挥了越来越大的作用。最优控制的发展成果主要包括分布式参数系统的最优控制、随机最优控制、自适应控制、大系统最优控制、微分对策等，其中有大量的工程和理论尚待解决。

因此，近几年来，许多学者研究探索求解最优控制问题的新途径。又提出了许多新的理论，导致诸如最优控制问题的直接和间接计算方法的大批研究成果的出现。解决最优控制问题常采用经典变分法、极大(极小)值原理、动态规划和线性二次型最优控制法等。对于动态系统。当控制无约束时，采用经典变分法。当控制有约束时，采用极大值原理或动态规划。如果系统是线性的，性能指标是二次型形式的，则采用线性二次型最优控制间题求解。同时将小波分析方法引入这一领域，利用小波算法来寻找最优控制问题的数值解。因此可见。最优控制理论与方法是一个十分活跃的研究领域。

关于最优控制的数值解法已经做了许多工作。人们提出了许多方法，如梯度法，共扼方法，牛顿法等诸多直接方法，正则方程两点边值问题和Riccati方程等诸多间接方法，本文综述利用小波求解最优控制问题。本文分三部分：第一部分叙述了最优控制问题的基本理论，第二部分介绍了小波方法，第三步分基于小波方法给出了最优控制问题的数值解法。

第一章 最优控制问题的基本理论

1.1控制系统的状态方程

控制系统的状态变量是指对事件及其运动起决定作用的量。控制系统的控制变量是指对事件及其运动起控制作用的量。控制系统的状态方程是指描述系统及其运动的方程，其中包含控制变量和状态变量。

令n T n R x x x ∈=),...,(1表示控制系统的状态变量，m T m R u u u ∈=),...,(1表示控制系统的控制变量。l t ∈通常表示时间，f=(f 1,...,f n )T 是X ×U×L 上有定义的n 维向量函数，则控制系统的状态方程通常用一阶常微分方程组))(),(,(t u t x t f x =?

来描述。

当f 不显含t 时，称上式为定常系统(或称为时不变系统)。当f 关于x 和u 为线性时，称上式为线性系统。这时方程可以写成u t B x t A x )()(+=?

其中A(t)为n 阶方阵，B(t)为n 行m 列矩阵。当A 和B 与时间无关时，称上式为线性定常系统或称为线性自治系统。

1.2终止状态的目标集

一般来说控制系统的初始时刻t 0和初始状态x(t 0)是给定的。但对控制系统的终止时刻t 1和终端状态x(t 1)来说，却因问题不同而有不同的要求，通常要求达到一个确定的目标集

A={x(t 1):x(t 1)∈R n .h 1(x(t 1).t 1=0.h 2(x(t 1).t 1≤0}

1.3容许控制函数集

在实际问题中，控制变量通常是某种物理量，需要满足有界性等条件，满足这些条件的控制函数，称为容许控制函数、他们全体构成一个集合，称为容许控制函数集、记为

｝

｛m R u t u ∈=Ω:)( 通常要求控制函数是分段连续的。

1.4性能指标

性能指标是指人们对某个控制过程及其结果作出评价的衡量尺度或标准在数学上用泛函表示，主要有下面三种形式

1)终端型性能指标也称麦耶(Mayer)型性能指标

)),(()(11t t x U J Φ=

2)积分型性能指标还称拉格郎日(Lagrange)型性能指标

?=1

0))(),(,()(0t t dt t u t x t f u J 3)混合型性能指标也叫包尔查(Bolza)型性能指标

?+Φ=1

0))(),(,()),(()(011t t dt t u t x t f t t x u J 1.5优控制问班的做学描述

所谓最优控制问题就是寻求一容许控制Ω∈)( t u ，使系统的状态从给定的初值x 0在终止时刻t 1(>t 0)转移到目标集A ，并使性能指标J(u)取最大值(或最小值)。 若上述最优控制问题有解u*(t)，则u*(t)称为最优控制函数，相应的轨线x*(t)叫做最优轨线，而这时的性能指标叫做最优性能指标。

第二章 小波方法

小波分析是近20年来发展起来的数学分支，它是Fourier 分析划时代发展的结果。它对数学和工程应用的发展都产生了深远的影响。小波分析广泛应用于信号处理、图像处理与分析、机器故障诊断、自动控制等领域。与Fourier 分析相比，它在时域和频域同时有着良好的局部化性质。

很多研究人员致力于将小波分析的方法应用于求解最优控制问题。利用多尺度小波基的优良特性将含有微分运算的原问题转化为一般的代数问题进行求解，在控制算法中引入离散正交小波函数，小波基函数具有良好的局部化特征和多分辨特征。小波近似解有明显的层次性。用尺度函数求出一个近似解，再根据问题的需要逐步登加高分辨高分量进而得到高分辨解，而且求解高分辨解只需少量迭代运算。数值仿真表明，小波展开法能有效地对最优控制间题进行求解，具有更高地精度。为此，我们在本章中介绍一下小波分析的基本理论和方法。

2.1小波的定义

所谓小波分析，从数学角度看，它属于调和分析范畴，从事计算数学的工作者把它看作是一种近似计算的方法，用于把某一函数在特定空间内按照小波基展开和逼近;从工程角度看。小波分析是一种信号与信息处理的工具，是继Fourier 分析之后的又一有效的时频分析方法。小波变换作为一种新的多分辨分析方法，可同时进行时域和频域分析，具有时域局部化和多分辨特性，因此特别适合与处理非平稳信号。小波分析是当前数学领域中一个迅猛发展的新方向，是由Fourier 分析发展起来的一种新数学方法，同时具有理论深刻和应用广泛的双重意义。在小波分析中，利用小波基取代传统的三角函数基，对函数进行分析和研究。由于小波基是由一个小波函数）（x 经过平移和伸缩得到的，因此具有简单、灵活、随意的特性，又具有多分辨分析的功能。它为诸多应用领域提供了一种新的更为优越。更为方便的分析工具。

从数学上看，小波分析与其它分析(如傅氏分析)一样，都是用特殊的基函数来展开和研究一个任意函数。在此以前、以三角函数的应用最为广泛。长期以来，傅氏分析理论不论在数学中还是工程科学中一直占据着及其重要的地位。但是，傅氏分析理论也存在着缺点，如下：

1.对任意函数，三角基不是最好的;

2.分辨率不高;

3.不能同时作时域及频域分析;

4.三角基在时域上没有局部化;

5.傅氏系数只是形式展开，而不能刻画函数的性态。

因此，人们一直在寻找另外的基来展开和描绘任意函数，以拟补傅氏分析的不足。经过多年的探索和总结，逐渐发展成为目前的小波分析理论。在傅氏分析中用的三角基，而在小波分析中，小波基是经特殊方法构造出来的。

定义：设)(2R L x ∈）（ψ,)2(2)(2

1,k x x j k j -=ψψ。如果z k j k j ∈,,｝｛ψ成为L 2(R)的标准正交基，则称这样的函数Ψ为正交小波，z k j k j ∈,,｝｛ψ为正交小波基，称z k k j x sp a n W ∈=)}({,ψ为小波子空间。

由于z k j k j ∈,,｝｛ψ构成了L 2(R)的规范正交基，小波子空间序列直交和的极限就

是L 2(R)，此时，就将L 2(R)作了直交分解。于是。L 2(R)中的函数可用小波级数来表示，通过小波变换可以求得小波系数，也可由小波过滤器直接推算得到。由于小波基的特殊构造和灵活性，在很多应用中体现了比傅氏分析更为优越的特点。但是，小波基的构造和小波分析理论很多都来源于傅氏分析，所以它们之间有密切的联系，两者相辅相成。

2.2多尺度分析理论

对应于傅氏分析中的傅氏级数，傅氏变换，在小波分析中也有相应的小波级数，小波变换。但由于小波基的特殊构造，在小波分析中，有一个很重要也很具特色的内容，就是构造小波基的一般框架一一多分辨分析理论(或者叫多尺度分析)。一般找基有两种途径：一是直接构造基函数，验证它们满足基的条件;二是空间分解的方法。将空间按一定的规律分解为具有特定性质的子空间序列"然后按特性找出子空间的基来合成全空间的基。历史上。曾经有过很多利用空间分解(如原子分解)来构造基函数的例子。在构造小波基中，按第一种单个找基函数的方法也取得了不少成果，但是，按第二种空间分解的方法，经过多年的努力，逐渐形成了构造小波基的一般框架一一多分辨分析(或者叫多尺度分析)。下面我们讨论一下小波基的形式和特点。Z k j span W k j j ∈=,},{,ψ

其中，小波基k j ,ψ的基本形式为：

Z k j j j k j k x ∈-=,2,)}2(2{ψψ

它们构成L 2(R)的规范正交基。其中，）

（x ψ称为正交小波，它满足以下三个条件： 1.）（x ψ与它的各阶导数(如m 阶，m ≥1)都属于)(R L ∞;

2.）（x ψ与它的m 阶导数在∞处速降;

3.对0≤k ≤m ，有?∞

∞=-0)(dx x y x k 。 由式(2.1)给出的小波基有如下特点：

1.可以同时作时频域分析，小波函数中包括两个整数变量j,k,分别代表频域分辨率和时间平移量;

2.小波基具有良好的局部化性质，便于作局部分析，并有利于减少计算量;

3.多分辨功能一一数学显微镜。小波基函数可按分辨率伸缩，波形可宽可窄，可以按分辨率聚焦到研究对象的任意细节，具有很强的分辨功能;

4.小波中2j 的伸缩率与计算机视觉及人眼视觉特征相吻合，有利于图像数据的压缩;

5.小波基是大多数Banach 空间的无条件基，因此它的适用范围比傅氏分析更广;

6.小波子空间是一串互相正交的闭子空间序列Z j j W ∈}{每个W j 中由小波基函数整数平移构成该子空间的规范正交基z k k j ∈｝｛,ψ

由于小波基的平移、展缩功能，使小波具有灵活可变的时间一频率窗。在高频时，时间窗变窄;在低频时，时间窗变宽，这有利于分析非平稳信号。数学分析中一个很重要很成功的理论是级数理论，通过空间中基函数的线性组合把空间中任意函数展开成级数形式，如幕级数、傅氏级数，切比雪夫级数等，在此基础上形成了一系列近似计算和最佳逼近理论。

在小波分析中，因为小波基z k j k j ∈,,｝｛ψ构成L 2(R)的规范正交基。则任一

)(2R L f ∈都可以用小波基来展开成小波级数：

∑∈=

Z k j k j k j d f ,,,ψ

其中的小波系数d j,k 可通过f 与Ψj,k 的内积来计算：

dx f f d R k j k j k j ?-

>=<,,,,ψψ

式(2.3)这个内积的积分形式被称为f 的离散小波积分变换(其中的积分核就是小波基函数，也就相当于窗函数)。所以f 的小波级数中的小波系数就是相应离散小波积分变换的值。在傅氏级数中，傅氏变换与傅氏级数的系数没有这种关系。当小波积分变换中的积分核取为连续的小波函数族时，就得到了连续型小波积分变换：

dx f f R b a b a ?-

><,,,ψψ

所以f 的小波级数中的小波系数就是相应的离散积分小波变换。

第三章 基于小波的最优控制问题数值解法

由于小波分析的应用领域非常宽广，而且正在迅速发展之中，在每一个具体问题中又要结合问题的特性确定合适的小波变换类型和小波基，因此下面基于小波多尺度逼近特性将含有微积分运算的原问题转化为一般的代数问题进行求解，从而简化了最优控制问题的数值求解。

3.1线性时变最优控制问题描述

时变线性系统的状态方程如下：

0)0(),()()()()(x x t u t B t x t A t x =+=?

性能指标为：dt t u t R u t x t Q t x t x J f t T T ?+=021)]()()()()([),( 其中],0[)(1f n t C t x ∈，],0[)(2

f r t L t u ∈，n n R

t A ?∈)(，r n R t B ?∈)(且它们的元素是时间t 的连续函数，n n R t Q ?∈)(是半正定矩阵，r r R t R ?∈)(是正定矩阵,可见要求出最优控制问题的最优解u*(t,x)，就要求出带有附加积分方程约束的Riccati 方程的解，因此在数值求解上有一定的困难。下面将利用小波特性研究此问题的解。

3.2最优控制问题的小波逼近解

设）（t ψ为尺度函数，）（t ψ相应的Daubechies 小波函数)2(2)(2/k t t j j jk -=ψψ，Ψ（m ）(t)为小波基函数，m=2J ,即

设G (m×m)为小波基的m 阶正向积分矩阵，C=(c 1…c m )T 为任意已知的m 维列向量，M (m×m)为Ψ（m ）(x)的关于C 的乘积运算矩阵，即：

)()]()([),()()()()()()(0)()(x M x x t G dx x m m m m T m m t

m m m ψψψψψ??==? 由Ψ（m ）(t)的正交性，对任意的],0[)(2f t L t f ∈，其在J 级尺度空间的小波级数分解为：

)()]([)()()()(1020,1t t Wf t t b t f m J j k k j j ψψ??∑∑-==?

-=+=

其中Wf(t)=Fw=(F1 F2 ... Fm)表示f(t)在小波基Ψ

(t)下的展开系数行向量。

（m）

将出现的各函数展开为基函数Ψ

(t)的级数，即：

（m）

其中X=（X1 X2 ... Xm）。同理，可对其它函数向量和函数进行同样的展开，即：

记

对B （t ）,R(t),也做同样的小波级数展开，并用相同的记法。

)()()()(t D t m m ψφ?

X=X 0+FDG(m ×m)

式中

同理可将性能指标泛函转换为：

式中

这样原来在状态方程约束下的最优控制问题就转变为如下约束代数规划问题:

构造拉格朗日函数

令其对

U的偏导数等于零，可得最优解：

其中λ满足：

并且关于最优解u*(t)是最优控制问题的解，x*(t)是相应的最优状态轨线，-

U 是无约束代数规划问题的解。令

则

因此求解最优控制问题的解u*(t)及其最优状态轨线x*(t)，可通过求解约束二次规划问题的逼近解。因此基于约束二次规划问题，我们提出如下数值求解控制问题小波逼近解的步骤：

第一步：求解如下无约束规划问题：

-

----++=-U K U K U K U J T T U 210)(min arg 由无约束二次规划极值点的必要条件得：

1120

K K U ---= 计算：

11211

000)(K K K K U J J T --

---== 第二步：计算相关的向量和矩阵；

第三步：求解约束二次规划问题得到-U 和-

---++=U H U H U

H X T T 2*1*0* 第四步：按照公式形成逼近解)(t u -和)(t x -

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