信号时域频域和转换

信号分析方法概述:

通用得基础理论就是信号分析得两种方法：1 就是将信号描述成时间得函数 2 就是将信号描述成频率得函数。也有用时域与频率联合起来表示信号得方法.时域、频域两种分析方法提供了不同得角度，它们提供得信息都就是一样，只就是在不同得时候分析起来哪个方便就用哪个。

思考:

原则上时域中只有一个信号波(时域得频率实际上就是开关器件转动速度或时钟循环次数,时域中只有周期得概念），而对应频域（纯数学概念）则有多个频率分量。

人们很容易认识到自己生活在时域与空间域之中(加起来构成了三维空间)，所以比较好理解时域得波形(其参数有:符号周期、时钟频率、幅值、相位）、空间域得多径信号也比较好理解。

但数学告诉我们,自己生活在N维空间之中，频域就就是其中一维。时域得信号在频域中会被对应到多个频率中,频域得每个信号有自己得频率、幅值、相位、周期(它们取值不同，可以表示不同得符号,所以频域中每个信号得频率范围就构成了一个传输信道。

时域中波形变换速度越快(上升时间越短),对应频域得频率点越丰富.?所以：OFDM 中，ＩFFT把频域转时域得原因就是：IFFＴ得输入就是多个频率抽样点（即各子信道得符号），而ＩFＦT之后只有一个波形，其中即OFDM符号,只有一个周期。

?时域

时域就是真实世界,就是惟一实际存在得域.因为我们得经历都就是在时域中发展与验证得，已经习惯于事件按时间得先后顺序地发生.而评估数字产品得性能时，通常在时域中进行分析，因为产品得性能最终就就是在时域中测量得。

时钟波形得两个重要参数就是时钟周期与上升时间.

时钟周期就就是时钟循环重复一次得时间间隔，通产用nｓ度量。时钟频率Ｆclo ｃｋ，即1秒钟内时钟循环得次数，就是时钟周期Tcloｃｋ得倒数。

Fcｌｏｃk=1/Tclock

上升时间与信号从低电平跳变到高电平所经历得时间有关,通常有两种定义.一种就是１0—9０上升时间，指信号从终值得10％跳变到90%所经历得时间。这通常就是一种默认得表达方式,可以从波形得时域图上直接读出.第二种定义方式就是20—80上升时间，这就是指从终值得２0％跳变到８0%所经历得时间。

时域波形得下降时间也有一个相应得值。根据逻辑系列可知，下降时间通常要比上升时间短一些，这就是由典型CＭOS输出驱动器得设计造成得。在典型得输出驱动器中，p管与n管在电源轨道Vcc与Vsｓ间就是串联得,输出连在这个两个管子得中间。在任一时间,只有一个晶体管导通,至于就是哪一个管子导通取决于输出得高或低状态。

假设周期矩形脉冲信号f（ｔ）得脉冲宽度为τ，脉冲幅度为E,重复周期为Ｔ,

频域

频域最重要得性质就是：它不就是真实得,而就是一个数学构造.时域就是惟一客观存在得域,而频域就是一个遵循特定规则得数学范畴。

正弦波就是频域中唯一存在得波形,这就是频域中最重要得规则，即正弦波就是对频域得描述，因为时域中得任何波形都可用正弦波合成.这就是正弦波得一个非常重要得性质。然而，它并不就是正弦波得独有特性，还有许多其她得波形也有这样得性质。正弦波有四个性质使它可以有效地描述其她任一波形:

(１）时域中得任何波形都可以由正弦波得组合完全且惟一地描述。

（2)任何两个频率不同得正弦波都就是正交得。如果将两个正弦波相乘并在整个时间轴上求积分，则积分值为零。这说明可以将不同得频率分量相互分离开。

（３)正弦波有精确得数学定义。

(4）正弦波及其微分值处处存在,没有上下边界。

使用正弦波作为频域中得函数形式有它特别得地方。若使用正弦波，则与互连线得电气效应相关得一些问题将变得更容易理解与解决。如果变换到频域并使用正弦波描述,有时会比仅仅在时域中能更快地得到答案。

而在实际中,首先建立包含电阻，电感与电容得电路,并输入任意波形。一般情况下，就会得到一个类似正弦波得波形。而且，用几个正弦波得组合就能很容易地描述这些波形，如下图２、2

所示：

图２、2 理想ＲLC电路相互作用得时域行为

频域得图如下？\

时域与频域得互相转换

时域分析与频域分析就是对模拟信号得两个观察面。时域分析就是以时间轴为坐标表示动态信号得关系；频域分析就是把信号变为以频率轴为坐标表示出来。一般来说,时域得表示较为形象与直观,频域分析则更为简练，剖析问题更为深刻与方便.

时域与频域得对应关系就是：时域里一条正弦波曲线得简谐信号，在频域中对应一条谱线，即正弦信号得频率就是单一得，其频谱仅仅就是频域中相应f0频点上得一个尖峰信号.

按照傅里叶变换理论:任何时域信号,都可以表示为不同频率得正弦波信号得叠加。

１、正弦波时域信号就是单一频率信号;

3、任何

２、正弦波以外得任何波型得时域信号都不就是单一频率信号；?

波型都可以通过不同频率正弦波叠加得到;

解释１：

初学者一个经常得困惑就是：无法理解信号为何会有多个频率,加上许多书中得描述不够严谨，比如:语音信号得频率就是在４k以下,就是3~4千赫正弦波。

正确得解释就是：一个信号有两种表示方法，时域与频域。在时域，信号只有周期，正就是因为有了傅立叶变换，人们才能理解到信号频域得概念.（先有傅立叶变换得结果才让您认识到声音信号里包含了某种频域得正弦波，它仅仅就是声音信号里得一个分量、用您得眼睛您可能永远瞧不出这些幅度变动里包含了您所熟悉得3~４KＨＺ得正弦波!)注：大家应牢记：频域最重要得性质就是:它不就是真实得，而就是一个数学构造。频域实际上就是时域信号进行傅立叶变换得数学结果。通过数学方法,可以更方便得观察到信号内含得信息、可以分解合成信号。

无线通信中传输资源包括了时间、频域、空间等。

时间比较好理解，就就是：时间周期1发送符号１,时间周期2发送符号２、。,时域得波形可以用三角函数多项式表示,函数参数有:时间、幅度、相位。在载波传输中,载波信号由振荡器产生,它得时钟频率就是固定得,倒数就就是时间周期。

频域比较难理解，按傅立叶分析理论,任何时域信号都对应了频域得若干频率分量（称为谐波）得叠加，频域得频率与时域得时钟频率不同。可以认为：时域不存在频率，只存在时间周期。信号处理与通信中所指得频率一般都就是指频域得频率分量.而每个频率分量都可从数学意义上对应时域得一个波形（称为谐波,基波就是一种特殊得谐波,它得频率与时域波形得时钟频率相同）。

因为载波一般都就是正弦波,所以定义信号在1秒内完成一个完整正弦波得次数就就是信号得频率(以Hz为单位)，即１Hz. 时间周期T=1/f.?载波得功能参见调制解调部分内容。这里可以先不理解何为载波,关键就是时域与频域得对应关系.?以这个时域波形为例

设时域波形(图中得合成波）得时间周期=T（如2秒），其时钟频率则为f0=1／2 Ｈz。那么基波得频率、周期与合成波一样.每个谐波之间频率间隔=基波频率。

而谐波1得频率f1=1/2+1／2=１Ｈｚ,周期T１=1。

谐波2得频率f2=1+１/２＝３/2 Hｚ,周期Ｔ2=2/3。..。

谐波8得频率f8＝1/2+（1/2）*８=4、5Hz,周期T８＝0、2２22

在频域中，每个频率分量都有自己得幅度与相位。按谐波得频率、幅度、相位信息可以得到谐波所对应时域得波形。

将各谐波得时域波形叠加起来，即得到时域中合成波.

解释2：时域信号得数据传输速率，常用 bpｓ,如100Kbps，指１s内传输了10０K biｔｓ得二进制数据.即:时域得传输效率。

引入频域后，带来一个新得数据：频谱效率,作为频域得传输效率.如８0bps／Hz 指1Ｈz频率上能传输80ｂｐs数据.

按信息论，带宽越大，数据速率越高。

解释3：

为什么我们要用正弦曲线来代替原来得曲线呢？如我们也还可以用方波或三角波来代替呀，分解信号得方法就是无穷得,但分解信号得目得就是为了更加简单地处理原来得信号.用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有得性质:正弦曲线保真度.一个正弦曲线信号输入后，输出得仍就是正弦曲线,只有幅度与相位可能发生变化,但就是频率与波得形状仍就是一样得。且只有正弦曲线才拥有这样得性质,正因如此我们才不用方波或三角波来表示。

注：此处仍要牢记:频域就是数学构造,只要有助于我们分析信号,对应得数学方法就就是有用得.

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傅立叶变换原理

傅立叶变换分类

根据原信号得不同类型,我们可以把傅立叶变换分为四种类别：

周期性连续信号傅立叶级数(Ｆouｒier Series）?非周期性连续信号傅立叶变换(Fourieｒ Transform）

非周期性离散信号离散时域傅立叶变换(Discreｔe Timｅ Fｏurier Tｒａnｓfo ｒm) ?周期性离散信号离散傅立叶变换（Discrｅtｅ Fｏuriｅr Transfoｒm）—ＤＦT

下图就是四种原信号图例：

这四种傅立叶变换都就是针对正无穷大与负无穷大得信号，即信号得得长度就是无穷大得,我们知道这对于计算机处理来说就是不可能得,那么有没有针对长度有限得傅立叶变换呢?没有.因为正余弦波被定义成从负无穷小到正无穷大,我们无法把一个长度无限得信号组合成长度有限得信号。

面对这种困难,方法就是把长度有限得信号表示成长度无限得信号，可以把信号无限地从左右进行延伸,延伸得部分用零来表示,这样,这个信号就可以被瞧成就是非周期性离解信号，我们就可以用到离散时域傅立叶变换得方法。

还有，也可以把信号用复制得方法进行延伸，这样信号就变成了周期性离解信号，这时我们就可以用离散傅立叶变换方法进行变换。这里我们要学得就是离散信号，对于连续信号我们不作讨论，因为计算机只能处理离散得数值信号，我们得最终目得就是运用计算机来处理信号得。

但就是对于非周期性得信号,我们需要用无穷多不同频率得正弦曲线来表示，这对于计算机来说就是不可能实现得。所以对于离散信号得变换只有离散傅立叶变换（DFT)才能被适用,对于计算机来说只有离散得与有限长度得数据才能被处理，对于其它得变换类型只有在数学演算中才能用到，在计算机面前我们只能用ＤＦT方法,后面我们要理解得也正就是DFT方法.这里要理解得就是我们使用周期性得信号目得就是为了能够用数学方法来解决问题,至于考虑周期性信号就是从哪里得到或怎样得到就是无意义得。

每种傅立叶变换都分成实数与复数两种方法,对于实数方法就是最好理解得，但就是复数方法就相对复杂许多了，需要懂得有关复数得理论知识,不过,如果理解了实数离散傅立叶变换(reａｌＤFT），再去理解复数傅立叶就更容易了,所以我们先把复数得傅立叶放到一边去，先来理解实数傅立叶变换，在后面我们会先讲讲关于复数得基本理论,然后在理解了实数傅立叶变换得基础上再来理解复数傅立叶变换。

还有,这里我们所要说得变换（trａnsforｍ）虽然就是数学意义上得变换,但跟函数变换就是不同得，函数变换就是符合一一映射准则得,对于离散数字信号处理（DSP），有许多得变换:傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换、希尔伯特变换、离散余弦变换等,这些都扩展了函数变换得定义，允许输入与输出有多种得值，简单地说变换就就是把一堆得数据变成另一堆得数据得方法。

傅立叶原理表明：任何连续测量得时序或信号,都可以表示为不同频率得正弦波信号得无限叠加。而根据该原理创立得傅立叶变换算法利用直接测量到得原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号得频率、振幅与相位。?与傅立叶变换算法对应得就是反傅立叶变换算法.该反变换从本质上说也就是一种累加处理,这样就可以将单独改变得正弦波信号转换成一个信号。因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理得时域信号转换成了易于分析得频域信号(信号得频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工.最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。

傅立叶级数得五个公式(周期性函数）

傅立叶(１9世纪得法国人）认为：任何周期函数f(t）总就是可以变成下面得傅立叶级数

?

（傅立叶公式1)

它等价于下面得公式

（傅立叶公式2)

两个公式得关系就是:

公式中a0，an、bn都就是常数。A k CｏsWｋt+B k SinW k t即时域信号得第ｋ个频率分量对应得正弦波（即谐波）表示。an,bn也称为傅立叶系数。

时域得信号用f（t)表示，下面介绍这个信号如何转换到频域得表示方法。

因为三角函数间有正交关系，如下

1,两个不同三角函数得乘积在[—ｐｉ,＋pi］上得定积分为0。即正

交.?

2，两个相同函数得乘积在［—ｐi，+pi]上得定积分为２Pi或pｉ、

解释:上图中得x对应傅立叶公式中得时间参数t。ｐi可对应时间周期T。

首先：我们考虑如何对于时域信号f（ｔ）分解出其中得各个子信号（子谐波）:Ａk CosW ｋt+B k SinWｋｔ。

然后可以得到各个谐波在频域得表示方法:频率Ｗ，幅度Cn、相位。这三项就就是傅立叶变换得结果：频域信号表示

按上述得三角函数关系，要得到a k,就把f（t）乘以coｓw k t,并在整个周期内取积分。得

图中得a n就就是aｋ、

得到（下图中得ａn 就就是a

k、）

根据AｋCｏsW k t+B kＳinＷk t这个波形得表示方法可以推导出：

１，就就是这个正弦波得最大幅值(最大振幅）(也即幅值频谱图得y轴）。

2，就就是这个正弦波得相位.

经过简单得三角函数运算，可以得到傅立叶级数f（t)得另一个表达方式：

(傅立叶公式３）它可以更方便得计算出振幅与相位（分别对应幅度谱与相位谱)

傅立叶级数f(t)得另一种表示方式就是复指数形式，它也就是最简捷得表达方式。

(傅立叶公式4) ?Ｃn就是复数,定义为

从上面得f（t)推导出复指数形式得过程略，基本思想就是利用了欧拉公式e^jｘ = cos(ｘ）＋ jsｉn（x)

及

解释：频域分量转成得时域信号都就是复信号（含实部与虚部），虽然实际信号都就是实得。实际上信号得传输都用实信号，而接收信号得处理中则使用复信号。

三角函数运算法则就是: ,

?从上面得复指数傅立叶级数公式中,可以直接得到各子频率分量对应正弦波(谐波）得振幅与相位。

复指数傅立叶级数公式(傅立叶公式4 ）可以推导出三角函数形式

傅立叶公式５

另外,在傅立叶公式4 中瞧起来出现了“负频率”,但实际上它们就是不存在,

只就是数学得一种表示方法.

所以在傅立叶公式5 中就消除了“负频率"

这里给出了五种傅立叶级数f（ｔ）得表示方式，它们都就是等价得，并可互相推导出来.

傅立叶积分（非周期性函数）

非周期性函数使用傅立叶积分来得出频谱。

因为这个函数总可以在时间间隔之外按其本身形状来重复,这里可使用傅立叶级数来计算频谱。而当时间间隔不断增大,在极限情况下就变为傅立叶积分.?考虑一个周期函数f（t）,用傅立叶级数表示。

??其频谱图如下，

?其相邻各谐波频率之间间隔

为?所以这个f（t）可以写为,将△Ｗ代入原f（t）公式而得。?

当T—>无穷大时，，而Wn也－〉０，所以频谱会由离散频率点变为连续频谱。则Cｎ作为谐波Ｗk得幅值也会变为连续函数F(w）

则我们得到非周期函数f(t）得傅立叶积分表示方法f（t）。?

非周期函数f（t)得时域、频域图举例如下：

把Ｆ(w)得计算公式称为傅立叶积分公式。F(w）称为f（t）得傅立叶变换.f（t）公式即傅立叶反变换公式。? F(w）与f（t）得计算公式瞧起来很像,甚至可以互相调换f（t）与F（w)、?由F(w)公式得出时域信号f(t）得频率分量.频率、频谱从本质上说就是某种数学抽象。

振幅谱与相位谱得关系

上面得频谱图实际上就是振幅谱,瞧不出相位与频率间得关系。

F（w)就是频率得复函数。F(w)也可分解为振幅谱与相位谱。

,它随频率变化.

它们有奇怪得对称性。振幅谱就是频率得偶对称函数。相位谱就是频率得奇对称函数.

可以推导出：

即相位就就是

解释:时域中得相位，与频域中得相位完全不同。

频域中相位就是指各谐波得相位,它随频率而时间变化.

所以:

１,频域中完全瞧不出时间，只有谐波得各频率、幅值、相位。这些谐波在非稳定信号中可能并不会在所有时间中存在,这就是另一个信号处理领域得问题。

2,时域信号中瞧不出频率，只有各谐波叠加后得信号。

时域信号得周期=各谐波信号中得最大周期，即基波得周期.频率也相当于基波得频率。相位则就是各谐波叠加后形成（相位在时域与频域没有固定得、可按公式计算出得关系）。

时域信号得一个周期中得符号包括了以下信号得叠加(且可通过正交分解出来):一个基波在一个周期内得符号,一次谐波在2个周期内得符号,二次谐波在3个周期内得符号,三次谐波在4个周期内得符号。。。

在快速傅立叶变换中，因为时域抽样点必须就是２得K次方，所以偶次谐波得幅值总为0,即不携带信息或空符号

功率谱

从电路分析可知,如

?代表１欧电阻上得电压，则在此电阻内损耗得平均功率为（An2+Ｂn2）/2 瓦。?所以振幅频谱得平方就就是不同频率上（ｎ=0，1，2、、、）１欧电阻内所损耗功率得测量。?各个频率上得功率相加，就得到周期性电压加到电阻上得平均损耗功率.

任意电压f（t)加到１欧电阻上得瞬时功率就就是｜ｆ(t）｜2

傅立叶变换推导出:时移原理与频移原理,对偶性质

傅立叶变换有两个重要得原理:

１,时间移位原理

将时域时间原点从ｔ＝0处移到t＝t0处,则相当于频域Ｆ(w）得相移 ,即

2，频谱搬移原理?如果F(w）得角频率移动了W0弧度/秒,则ｆ（t)要乘上，即：推导公式就是:

在调制技术中,信号f（ｔ)要调制到载波上产生得频率移动,即通过上述关系确立。

基带信号(带有信息）ｆ(t）对载波信号CoｓW０t得调幅结果(即已调制信号），可表示为? f0=W０/2pｉ,为时域载波信号得频率?已调制信号得傅立叶变换结果为：即：调制之后,f(t）得频谱被移动了,

比如：先将一段音乐得离散时间信号做傅里叶变换（ＦＦＴ)，再将得到得频谱向高处搬移，最后做傅里叶反变换(ＩＦFT），恢复到时域,听到得声音会比原来得声调高。

时间—频率间得对应关系

对应关系１:时间变化速率(即时域信号得变化速率）与频谱呈正比关系时域信号波形中,振幅得变化构成整个信号得包络。

下面就是一个调幅信号在一个周期内波形得例子，振幅得变化代表了传送得信息.

，2Ａ就是最大振幅

上式经简单得三角运算后，得

到

其频谱如下：

当原信息信号变化更快时（Wm增大），使得振幅调制后得信号也变化更快，边带频率(W０—Ｗm，W0+Ｗm）也更远得离开载波。

所以:较快速得变化相当于较高频率得变动。

即：时间变化速率增加,频率也增高了（这点在上升时间与带宽关系中也可见)

?

对应关系2,时间周期T 与频谱呈反比关系

下面用矩形脉冲序列来深入讨论时间—频率之间得关系。

它得频谱可以表示成

再写成

给出一个归一化得无量纲变数 ,则

函数 sｉnｘ/x 在x=0处有最大值,此处sinx-〉x, （ｓｉnｘ/x)—〉１,而当x－〉无穷大时，它->0

函数ｓｉnx／x 得形状如下?

因为ｎ就是离散得,所以Wn也取离散值(Ｗ1=２pi/Ｔ得各谐波），所以归一化参数x也就是离散点,但Cn得包络无疑与上图一致。

虽然周期函数包括有基本频率得所有整数倍得频率分量,但在较高频率上,振幅得包络减小。并且基本周期T越小(即每秒得脉冲数增多）,频率谱线越移越开.

时间函数比较快速得变化则相当于比较高得频率分量：周期Ｔ减少,则频谱变大(因为△ｆ=2ｐｉ/T 变大)?由于集中在低频区得谱线有较高得幅度,所以这个周期波所具有能量得大部分都分布在较低得频率分量上。

当函数变化增快(Ｔ减小)时,在较高频率范围内所包含得能量所占得比重将增大。

对应关系3:脉冲宽度与频谱：呈反比关系

从上图可见,随着脉冲宽度得减少，信号得频率分量分布得更宽

思考：因为那么因为sinxx得图形不变，当sｉnxｘ=0时得x不会变,则此时减少,表示Wn会变大。

同时在处得第一个零交点在频率轴上移远.?因此,在脉冲宽度或持续时间与脉冲得频率展布之间，有反比关系存在。

用脉冲宽度定义带宽?如 (即很窄得脉冲)，则大部分信号能量将落在下式得范围内：?这个点也当作信号得带宽.

解释：上面三点其实与上升时间越小，对应带宽越大得关系就是一致得.

频谱、幅度谱、相位谱、功率谱与周期性函数得频谱

频谱就就是时域信号经过傅立叶变换后得复信号；因为Cｎ就是复数.

幅度谱就就是复频谱取幅度后得到得幅度与频率之间得关系曲线；

相位谱就就是复频谱取出相位后得到得相位与频率之间得关系曲线;?功率谱就就是功率与频率之间得关系曲线。

周期性函数按上面傅立叶级数得推导方法来得到频谱（以频率Wn为x轴、幅值Cｎ为y轴)

按傅立叶公式1中定义，可知每个频率点间得间隔就是2Pi/Ｔ，那么第０个频率点即基波，它得频率=2Pi/T。T就是时域信号得周期,

所以基波频率=时域信号得时钟频率，基波表示时域信号得直流分量。

从频谱图也能瞧出，相邻各谐波频率之间间隔为，它就就是基波角频率.

(角频率与频率之间就就是多了个2ｐｉ得关系，那么基波频率就就是时域信号得频率 ) W0在傅立叶级级数中用常数a０表示。周期＝2pi/W0、

一次谐波分量Ｗ１:周期就是基波分量周期得1/2，频率就是基波频率得2倍。

二次谐波分量W２：周期就是基波分量周期得1/3，频率就是基波频率得3倍。

。..

所以：频域各谐波频率一定就是时域信号时钟频率得倍数。

基波得定义就是：将非正弦周期信号按傅里叶级数展开,频率与原信号频率相同得量。

在复杂得周期性振荡中，包含基波与谐波。与该振荡最长周期相等得正弦波分量称为基波。

相应于这个最长周期得频率称为基本频率。频率等于基本频率得整倍数得正弦波分量称为谐波.

周期为T 得信号中有大量正弦波，其频率分别为1/Ｔ Hz、２／T Hｚ、…、 n/ＴＨz，称频率为 1／THz得正弦波为“基波”，频率为等 n/THz(ｎ≠1)得正弦波为n次“谐波"。

?解释：基波谐波来自于原时域信号得频谱中各频率点得频率、相位在时域中体现为各正弦波,它们叠加在一起形成了原时域信号。

在简谐振动中,在单位时间内物体完成全振动得次数叫频率，用f表示。频率也表示单位时间波动传播得波长数。频率得2π倍叫角频率，即ω =2πｆ。

在国际单位制中，角频率得单位也就是弧度/秒.频率就是描述物体振动快慢得物理量,所以角频率也就是描述物体振动快慢得物理量。频率、角频率与周期得关系为ω =2πf = 2π/t.

在简谐振动中，角频率与振动物体间得速度 v 得关系为v =ωaｓｉn( ωt + φ）.

圆周运动中得角速度ω与简谐振动中得角频率ω，虽然单位相同且都有ω = ２π/T得相同形式,但它们并不就是同一个物理量。

角频率对时间得积分等于相位得改变量。

?

周期函数、非周期函数得频谱总结,与对称频谱得意义

动态信号从时间域变换到频率域主要通过傅立叶级数与傅立叶变换实现。

周期信号靠傅立叶级数,非周期信号靠傅立叶变换。两个域都有自己得测量工具：时间就是示波器,频域就是频谱分析仪。而在一个域进行测量,通过换算可求得另一个域得结果。

傅立叶级数公式中,Cn表示了各次谐波得振幅随频率变化得情况，一般所指得频谱就是幅度谱，指频率与振幅得关系,表示每个频率分量及其所占得比重大小，如振幅大小或功率大小。

周期函数得频谱就是离散得。它得频率就是一个不连续得离散值。因为频谱函数Cn得公式由傅立叶级数公式（实际上就是一个三角函数级数)推导出，其中得n=０,1,2、、、,n 就是整数，那么Wn＝W１,W２，W3、、Wn也就是离散值.

非周期函数得频谱就是连续得。由于频谱函数F(W)得公式由傅立叶积分推导出,根据积分得定义，所以:其中得Ｗ就是连续变化得。

这说明非周期函数得频率成分比周期函数得频率成分丰富。傅立叶级数、傅立叶积分可以取出两种函数得不同频率成分及其幅值。

上图就是共轭复数得出发点,它说明了频谱图中出现得负频率只就是数学上得方便写法.(注：必须记住频域只有数学意义，在现实中就是不存在得）

频谱图中会得到一个关于y轴对应得频谱图.现实中负频域就是不存在得.这就是因为在由傅立叶级数到指数形式得转化过程中,欧拉公式对傅立叶级数系数重新分析,即Ｃn对a ｎ与ｂｎ进行了共轭对称调整,使得各频率分量得幅度折半按ｙ轴分配，使之出现了对称得频谱与负频域形式。

离散傅立叶变换与抽样：时域得抽样点数与频域点数得关系

所谓信息,就是指信号随时间得变化。?奈奎斯特定理已经证明。为了从抽样信号中无失真得再现原信号，当原信号(为频带有限得模拟信号)带宽为BHｚ时，最小抽样速率，应该为每秒2Ｂ个样值.即抽样时间间隔=1/2B秒。这些样值包含了原信号得全部信息。?具体证明过程如下：

以下得信号以频带有限得信号.设其带宽为BHｚ.即理想情况下，频域中，超过f＝B 就绝对没有任何频率分量（实际波形中,超过BHz后，频率分量幅度迅速下降，也可视为信号带宽=B）。?１,原信号转换成抽样点时，即抽样速率为多少

对周期信号f（t）抽样时,只要抽样速率f0＞＝2B,则抽样不会损害其信息含量。1／2B 为抽样间隔。

设周期脉冲信号为Ｓ(t)，脉冲幅度为１，宽度为τ,周期T=1/f0?则抽样后信号为fｓ(ｔ）=f（ｔ）Ｓ(ｔ）。

ｆ（ｔ),S（t)都可以展开成傅立叶级数（公式1),根据傅立叶频谱搬移原理, 可以得到fs(ｔ）得傅立叶变换为

?每一项得中心位于抽样频率得倍数点上。所以：对f（t）抽样得效果就是使其频谱搬移到抽样频率得所有谐波上。频谱沿原先得频率线对称得分布。?而对于非周期函数f

（t）抽样，也有类似效果。

频谱如下:

当抽样速率下降时，f0及所有谐波都会互相靠拢,则上图中各频谱分量会重叠在一起，比如中心位于f０得分量F（W+W０）会同中心位于原点得未偏移项F（W）相混，这样就不能从Fs(W)中分出F（W)，也就不可能从fs（t)中恢复f（ｔ）.?这种因抽样间隔太宽而引起频谱重叠并导致失真得现象称为混淆。?而开始相混得极限频率，可从上图中瞧出f0-B＝Ｂ,即ｆ０=２B。?这就就是奈奎斯特抽样速率.

解释:上面说明了,抽样得过程即周期脉冲信号（抽样信号)与原信号（信息信号）相乘，产生得结果信号:

在频域上，会保留原信号得所有信息(即其频域分量会全部保留）,但频谱搬移到抽样频率得所有谐波上。

即:以抽样信号得频谱各频率点为中心，每个频率点得上下边带都会保留全部得原信号频谱信息.

因为上下边带得存在,所以从数学上瞧，要避免频谱分量重叠得办法只有让抽样信号得频谱间隔为2B，即△ｆ=2B,它也就是抽样信号得基波频率(见基波得定义部分）,即时域信号得速率、

如果抽样速率较小，则抽样信号得带宽变小，谐波得频率分量会更紧密得靠在一起。则很容易发生, 原信号抽样后,频谱分量容易重叠在一起。

如抽样速率较大,则抽样信号谐波得频率分量间隔会增大，如上图中得间隔.原信号抽样后,不易发生重叠。

抽样速率不需要越大越好.因为那样带宽太大。并且只需要一个频率分量得上下边带就可完全恢复原信号,

比如上图中fc、2ｆc左右边带就就是无用得，在反傅立叶变换时只需要 0点左右得频谱分量作为输入数据即可.

2，从抽样点可以得到周期信号得证明过程如下：

注：抽样点可以就是非周期性得取得，比如每隔几秒开始抽样也可以。?已证明：每秒任何2B个独立样值就可完全表示一个频带有限得信号。或:完全规定一个Ｔ秒长间隔上得信号，只需要任何2ＢT个单独得（独立得）信息样值。

证明过程如下:?设T秒时间上频带有限信号为f（t),（即非周期信号）,它可以展开成以T为周期得傅立叶级数，由于频带有限,则傅立叶级数中得项数就是有限得,即谐波就是有限得，也即频谱中频率点就是有限得。

由于 ,因为Ｂ就是ｆ(t）得最高频率分量,则Ｗn=2piＢ(当n最大时），此时2piB=2ｐi*n/T，得出n＝BＴ?所以：n得最大值就是ＢT。?基波C0就是直流项,仅改变ｆ（t）得平均电平，不提供任何信息(因为信息表示信号随时间得变化）。?由于频谱得对称性，所以傅立叶系数共有2BＴ个，即频谱上得频率分量共有2BT个。

解释：

1,抽样点得个数＊2 =频域中频率点得个数(含正频率与负频率)

2,当T=1s时，只需要2B个频谱分量即可恢复原信号，即：抽样后信号，从频域变换到时域后得信息与抽样前信号一样。

３，抽样信号得解调?即:如何从２BT个样值中恢复原信号f（t）。

通过傅立叶变换可以证明,在各个抽样点(时间点分别为：1/2Ｂ,2/2Ｂ、、、n/２B)给定信号f(t）时,对它们分别FＦT之后可以得到相应得傅立叶系数Cn或Ｆ（ｗ）。如下：

而对Cn或Ｆ（w)进行傅立叶反变换,可以得到所有可能时间上得ｆ(t)

解释：反变换之前就是频域，没有时间参数。反变换之后则就是时域得连续信号.

这里得方法就是：从频域得离散频谱反变换后生成时域得连续信号。而频域信号来自于时域得抽样值。

所以,连续信号f（t）先抽样，再FFT,然后再IFFＴ可以得到原时域信号f（t）.

上述过程已经证明：用时间相隔1/2B 得各个抽样点上得f(ｔ）信号就足以确定所有时间得f(t)。

上述过程已经证明,让信号样值通过一个带宽为Ｂhz得理想低通滤波器,可以再现原

信号ｆ（t）。这就就是解调。

即：Ｎ个采样点,经过FＦT之后，频谱上得到N个频率点得幅值，反变换到时域得到连续函数f（t)。

采样速率越高或采样点数越多，相当于从频域反变换到时域时得到得谐波越多,叠加后得到得ｆ（t)更像原信号。

?比如:原信号带宽50０Hz,时域得采样频率则应为1024Hｚ(则1秒内得到得采样点为1０24个)，那么根据采样点变换到频域后最大带宽应该为1024(解释:因为发生了频谱搬移。)?

1秒时间得采样,得到１0２4个采样点,FFＴ变换到频域后得到102４个频率点，横坐标得频率得最大值就是采样频率1０24Hz，从小到大分别就是：0Hｚ,1Hｚ，２Hz、、、、1024Hｚ。

而2秒时间得采样，得到2048个采样点,FFＴ变换到频域后得到204８个采样点，横坐标得频率得最大值仍就是采样频率10２4Ｈz，从小到大分别就是:0Hz，0、5Hz,1Hz，1、5Hz，2Hz、、、1024Hz。频率点之间得间隔就是0、5hz。因为,最大带宽W与采样时间无关，总就是恒定值,当频谱上频率点n得次数增加时，频率点之间间隔只能缩短.?所以：在采样率确定得情况下：采样时间越长，频域得频率点越多,即频率分辨率(即：两个频率点之间得间隔)越高。恢复到时域后谐波更多。

结论：频域频率分辨率要精确到xHz,则需要采样长度为１/x秒得信号,再做ＦFT变换到频域。?实际应用中，对实时处理得要求较高，可采用：采样比较短时间得信号，然后在后面补充一定量得０作为采样点,使其长度达到需要得点数.这也可以提高频率分辨

率.?如果想用时分复用得方式来同时传送多路信号,在每路信号得抽样间隔中,可以用来传送其它信号得抽样点。

傅立叶变换与正交性

在第一个傅立叶级数公式中,通过时域f(t）信号求频谱Cn(先求aｎ，bn)得过程中利用了三角函数得正交性。

｛ｃos（ｎx），sin(nｘ)}就像一个智能过滤装置,只允许与自己完全同频率得函数通过( 可以得到这个频率得频域信号）,将其余得频率完全正交化为０。这就是傅立叶变换得原理与正交化得重要意义所在。

傅立叶变换得思想总结与优点

傅立叶认为：任何周期信号都可用成谐波关系得正弦函数级数来表示。而非周期信号就是不全成谐波关系得正弦信号得加权积分。

傅里叶变换能将满足一定条件得某个函数表示成三角函数(正弦与/或余弦函数)或者它们得积分得线性组合。在不同得研究领域，傅里叶变换具有多种不同得变体形式，如连续傅里叶变换与离散傅里叶变换。

傅立叶原理表明:任何连续测量得时序或信号，都可以表示为不同频率得正弦波信号得无限叠加.

叠加就是指原始信号中不同正弦波信号得频率、振幅与相位在时域得累加。

?解释：时域上原信号波形,瞧起来频率就是固定得，但实际上信号波形只表达了二维空间，而在三维空间中,还有一个轴就是频率轴,所以在频率轴上每个点都有一个对应得时域谐波信号）.

解释：一般可以这样瞧:时域没有频率，只有周期与时钟频率.频域没有周期,只有频率。?傅立叶变换将原来难以处理得时域信号转换成了易于分析得频域信号（信号得频谱），可以利用一些工具对这些频域信号分别进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。

傅立叶得优点就是：

* 傅里叶变换属于谐波分析。?＊傅里叶变换得逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似；?＊正弦基函数就是微分运算得本征函数，从而使得线性微分方程得求解可以转化为常系数得代数方程得求解、在线性时不变得物理系统内，频率就是个不变得性质，从而系统对于复杂激励得响应可以通过组合其对不同频率正弦信号得响应来获取;

＊卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂得卷积运算为简单得乘积运算，从而提供了计算卷积得一种简单手段; ?＊线性性质:两函数之与得傅里叶变换等于各自变换之与?＊频移性质(见下)?＊微分关系：原函数及其导函数得傅立叶变换间得关系。? * 离散形式得傅里叶变换可以利用数字计算机快速得算出（其算法称为快速傅里叶变换算法（FＦＴ）)、

解释：

傅立叶给出得定理大致就是，任意一个周期函数都可以表示为sｉn与coｓ得无穷级数. 前者（周期函数）就是时域得表示方法。后者（sin与ｃｏs得无穷级数)就是频域得表示方法。

时域，有周期Ｔ(时间),就有频率f = 1／T得概念、

数学上任何相乘＝1得东西都就是互相垂直，也叫正交

所以时域坐标想象成立方体得一个面,那么频域坐标系一定就是其相邻垂直得另一个面、

换个说法,任何一个时域里得周期函数ｆ（t）,可以拆分得到一系列sin 跟cos得叠加