高一数学基础知识讲义(2021)——集合

数学基础知识

第一讲 集合

知识要点一：

集合的有关概念

⑴某些指定的对象集在一起就成为一个集合，这些研究对象叫做元素。

⑵集合中元素的特性：??

?

??的元素顺序无关无序性：集合与组成它元素是互不相同的互异性：集合中任两个必须是确定的确定性：集合中的元素

注意：这三条性质对于研究集合有着很重要的意义， 经常会渗透到集合的各种题目中，同学们应当重视。

⑶元素与集合的关系：①如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作：

A a ∈

②如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作：A a ?

（注意：属于或不属于（?∈,）一定是用在表示元素与集合间的关系上）

⑷集合的分类：集合的种类通常分为：有限集（集合含有有限个元素）、无限集（集合含有无限个元素）、空集（不含任何元素的集合，用记号?表示）

⑸集合的表示：

①集合的表示方法：

列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来的表示

方法。例：{

}2,1=A

描述法：在花括号内先写上表示这个集合一般元素的符号及取值范围，再

画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。例：

{}4>=x x B （如果元素的取值范围是全体实数，范围可省略不写）。

图示法（即维恩图法）：用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合。

②特定集合的表示：自然数集（非负整数集）记作N ；正整数集记作()+N N *；整数集记作Z ；有理数集记作Q ；实数集记作R 。（这些特定集合外面不用加{}）

高考要求：理解集合的概念，了解属于关系的意义，掌握相关的术语符号，会表示一些简单集合。

例题讲解：

夯实基础

一、判断下列语句是否正确

1）大于5的自然数集可以构成一个集合。 正确{}5>∈x N x

2）由1，2，3，2，1构成一个集合，这个集合共有5个元素。错误

3）所有的偶数构成的集合是无限集。 正确

4）集合{}{}b a c B c b a A ,,,,,==则集合A 和集合B 是两个不同的集合。 错误

二、用符号∈或?填空。

1）N __0 2）Z _____14.3 3）Q ______π

4）若{}

x x x A 22==，则A _____2-

5）若{}

0322=--=x x x B ，则B _____3

三、用适当的方法表示下列集合

1）一次函数12+=x y 与421

+-=x y 的交点组成的集合。????????? ??517,56

????????? ??517,56?

??

???517,56区别是什么？

2）绝对值等于3的全体实数构成的集合。{}3,3-

3）大于0的偶数。{}*,2N n n x x ∈={},...8,6,4,2

能力提升

1）集合(){}

N y x y x y x A ∈=+=,,72,，用列举法表示集合A 。

,00

53

22

x y N x y N N ∈∴≥≥?∈∴解： 当x=1 y=3 当x=3 y=2

x=2 y= x=4 y= x=5 y=1

{（1,3）,(3,2),(5,1)}

2）集合{

}

0122

=++=x ax x A 中只有一个元素，求a 的值。

21

2

21044a 1=0

a=1

x ≠++=?=-??∴解：当a=0 方程：2x+1=0 x=-合题意

当a 0 ax 当

3）用描述法可将集合{}

,11,9,7,5,3,1---表示成

________________________。

n+1

{x x n *}N =∈解：（-1）（2-1）,n

知识要点二：

集合与集合之间的关系

⑴子集

①一般地，如果集合A 中的任何元素都是集合B 中的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集

记作B A ?（A 包含于B ）或A B ?(B 包含A )即：对任意B x A x ∈?∈，则B A ?。

显然A A ?，对于任一集合A ，规定A ?φ。

⑵真子集：如果集合B A ?，但存在元素A x B x ?∈,,我们称集合A 是集合

B 的真子集，记作A B 。?

集合是任意非空集合的真子集。

⑵集合的相等

集合,A B 如果B A ?，同时B A ?，则称A B =。

⑶严格区分，正确使用“,,,,∈???”等符号。

前两个是用在元素与集合的关系上，后三个是用在集合与集合的关系上，一定注意区分。

集合关系与其特征性质之间的关系

一般地，设(){}(){}

,A x p x B x q x ==，如果B A ?，则B x A x ∈?∈，

{}

2x x x x

例： A={3} B=

于是x 具有性质()p x x ?具有性质()q x ，即()()p x q x ?。

B ∈??若A B 当x 3x 2当x 3x 2

我们说A 一定是的子集。

反之，如果()()p x q x ?，则A 一定是B 的子集。

集合的运算

⑴交集

一般地，对于两个给定的集合,A B ，由属于A 又属于B 的所有元素构成的集合，叫做,A B 的交集，记作A B ?，读作“A 交B ”

由定义容易知道：

⑵并集

一般地，对于两个给定的集合,A B ，由A ，B 两个集合的所有元素构成的集合，叫做,A B 的并集，记作A B ?，读作“A 并B ”

由定义容易知道

⑶补集

全集：如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用U 来表示。

补集：如果给定集合A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合，叫做A 在U 中的补集，记作U

A ，读作“A 在U 中的补集”。

高考要求：理解子集、补集、交集、并集的概念。了解全集的意义，了解包含、相等关系得意义，掌握相关的术语、符号，并会用它们正确表示一些简单的集合。

命题趋向：这一讲应该说考查的重点是集合与集合间的关系，近几年高考加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，一般在高考中以客观题形式出现，难度为容易。

例题讲解：

夯实基础

一、用适当的符号填空∈??

1）{}2__1,2,3 2）{}__,a a b 3）{}{}_____,,a a b c 4）{}__0?

5）{}{}1,4,7____7,1,4 6）{}0,1____N 7）{}

2____1x R x ?∈=-

二、已知集合{}2,0,1A =-，那么A 的非空真子集有_________个。

{}{}{}{}{}{}

20120211,0Φ---解：A 的非空真子集指的是，除A 集合本身与后所有子集 含有1个元素的 含有2个元素的，，

n 2n =给出计算子集的公式，全部子集个数，表示元素个数。

三、求下列四个集合间的关系，并用维恩图表示。U A C

{}{}

{}{}A x x B x x C x x D x x ====是平行四边形，是菱形，是矩形，是正方形

????解：B A,C A,D A,D=B C

四、已知{}{}{}1,2,3,4,

,10,21234U A B ===，4，6，8，10，，，，，求

()(),U U A B C A C B ??。

{}{}{}()(){}

24135795678910579U U U U A B A B A B ?===∴?=解：， C ，，，， C ，，，，，C C ，，

能力提升

一、 若集合X 满足{}{}0121012X ??--，，

，，，，则X 的个数有几个？ {}{}{}{}{}{}{}{}{}{}

0101320110120101232101220112010132102X --------解：中至少要含有，两个元素。

比，多一个元素的有个，，，，，，比，多个人元素的有个，，，，，，，，，比，多个元素的，，，1，

二、 如右图U 是全集，,,M P S 是U 的三个子集， 则阴影部分所表示的集合是（ ）

()().U A M P C S ?? ()().U B M P C S ?? ().C M P S ??

().D M P S ??

u M P C S ?解：先看如图所示 而为图以外部分

以上两部分公共区域显然为图中阴影

三、 已知集合{}{}{}24,21,,5,1,9,9A a a B a a A B =--=--?=，试求实数a 。

{9}9B A ∴∴∴??=∴∈解：对于集合A 来讲（1）令2a-1=9

a=5A={-4,9,25} B={0,-4,9}A B={-4，9}与已知不符。a=5舍去A

2(2)933

3{4,5,9}a a a a A ===-==-令或时， B={-2，-2，9} 不符合集合的互异性，a=3舍去

A B={9}3{4,4,8,7,9}a A

B ?∴=-∴?=---（3）当a=-3

A={-4,-7,9} B={-8,4,9} 与相符

四、 已知集合(){}

2210,,A x x p x p x R =+++=∈，且A R +?=?，求实数p 的取值范围。

22

2(2)x 1041104p 0 -4p 0

A R p φφ

φ+?=+++=∴?-??+

∴解：若 等价于A= 或方程x 有两个非正根 若A=

则=（p+2）

p

21212(2)x 100p 0p 4x x p 20p x x 10p -4p 0

p 2p 0p p +++=?≥?≥≤??

+=--???=?

≤≥??

-?∴≥

∞ （2）方程x 有两个非正根或 -2

或 解得 综上的取值范围（-4，+）

注意：A R +?=?的条件之一就是A =?，这是十分容易遗漏的，另外对

(){}

2210,,A x x p x p x R =+++=∈的正确理解应是二次方程()2210

x p x +++=的根组成的集合。那么应该有三种情况：两个不等实根、两个相等实根、无实根。而无实根就是使得A 为空集的情况。

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