高一数学集合函 数1-10讲讲义
第一讲 1.1.1集合的含义与表示
一．知识点精讲
1 集合：我们把研究的对象统称为元素（element ），把一些元素的总体称为集合(set)。 集合用大写字母表示，如集合 C B A ,, 元素与小写字母表示，如元素 c b a ,, 2.集合中的元素的特性：确定性、互异性与无序性；
确定性：集合中的元素必须是确定的。这是判断能否组成集合的一个标准。 例：个子高的同学，成绩好的同学，家乡的小河流都不能组成集合
互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，因此，同一集合中不应重复出现同一元素；
例：},2{2x x A =中的取值范围是_____
无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； 如}1,3,2{}1,2,3{}3,2,1{== 但数列3,2,1与数列1,2,3是两个不同的数列 3 元素与集合的关系：属于（∈）belong to 或不属于（?）not belong to
若a 是集合A 的元素，记作A a ∈；若b 不是集合A 的元素，记作A b ?； 4集合的表示方法： 列举法、描述法或图示法；
列举法： 把集合中的元素一一列举出来，写在花括号内；｛1，2｝
描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号{}内。｛023|2=+-x x x ｝ 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 例：区分下列集合的含义：
}12|{2++==x x y x A ； }12|{2
++==x x y y B ；
}12|),{(2
++==x x
y y x C ； }012{2
=++=x x
D }012|{2
=++=x x x E
5 集合的分类：
有限集：含有有限个元素的集合 无限集：含有无限个元素的集合
空集：不含任何元素的集合，记作Φ。如}01|{2=+∈x R x ，或}01|{2
=++x x x 5 常用数集的表示
非负整数集（或自然数集），记作N ； N ∈0 正整数集，记作N *或N +； 整数集，记作Z ； 有理数集，记作Q ； 实数集，记作R 。 二典例解析：
例1 判断下列语句能否构成集合
（1）不小于0小于10的奇数； （2）某校2012年在校的所有高个子学生；
（3）方程2
20x x +=的整数解； （4）满足323->-x x 的全体实数；
例2 用“∈ ”或“?”填空：
（1）2 N (2) (3)2
1-
Q (4)π R
例3 用列举法或描述法表示下列集合
（1）小于10的所有自然数组成的集合； （2）方程2x x =的所有实数根组成的集合；
（3）由适合x 2
-x-2>0的所有解组成集合； （4）方程组??
?=+=+27
32223y x y x 的所有解组成的集合；
（5）方程组???=-=+9
1
2
2y x y x 的解集 例4 用列举法表示集合???
?
??
∈∈-Z x Z x x
,26
; 例5、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含元素的个数为 例6含有三个实数的集合可表示为,
,1b
a a ?
?
????
，
也可表示为{}2,,0a a b +，则20102010
a b
+的值
是 .
例7 已知集合
}R x ,R a ,01x 2ax
|x {A 2
∈∈=++=，若A 中只有一个元素，求a 的值，并求出这个集
合.
三 课堂练习：
1下列集合中，是空集的是( )
A 2{|33}x x += B.2{(,)|,,}x y y x x y R =-∈ C 2{|0}x x -≥ D }01|{2
=+-x x x
2 若集合{},,M a b c =中的元素是A B C ?的三边长，则△ABC 一定不是 （ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形
3 、已知()
{
}2
2
41,,1a a ∈-,求实数a 的值.
4、用列举法表示集合：????
??
≤∈<∈=
3,2,,*
b N b a Z a b a
x x 且 5、已知集合{}{}2
,,,2,,aq aq a B d a d a a A =++=（a 为常数），若B A =,求q 的值
第二讲 1.1.2 集合间的基本关系
一 知识点精讲 1．集合的包含关系：
（1）子集subset ：集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ）， 记作A ?B （或A B ?）；
注：B A ?有两种可能 （1）A 是B 的一部分；（2）A 与B
空集(φ) empty set 是任何集合的子集.
2集合相等：构成两个集合的元素完全一样。
若A ?B 且B ?A ，则称A 等于B ，记作A =B ；
3真子集proper subset ：若A ?B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作A B 空集是任何非空集合的真子集. 4简单性质：
①A ?A ； ②Φ?A ； ③ 若A ?B ，B ?C ，则A ?C ； 二 典例解析：
例1：判断下列各式是否正确：
（1）{}10,1,2?（2）{}{}11,2,3∈（3）}2,1,0{?φ（4）{}{}0,1,20,1,2? （5）{}0?∈ （6）(){}{}0,00=
例2 写出集合{},a b 的所有子集，并指出哪些是它的真子集.
例3、分别写出集合{}{}{}321211,,,,,a a a a a a 的子集，由此猜测集合{}n a a a ,,,21 的子集的个数。
结论：若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有2n 个子集（其中2n －1个真子集）； 例4 },,{c b a A = B={x|x A ?},请用列举法写出B 探究φ与}{φ的关系
例5、求满足}5,4,3,2,1{}2,1{??A 的集合A 的个数.
例6、设集合A={}1,3,a ，B={}211a a -+，，若A B ?，求a 的值.
例7、已知M={}21,x x a a R =+∈，P={}
245,x x b b b R =-+∈，则M 与P 的关系是 .
例8、已知A={}
2560x x x -+=，B={}1x mx =，若A B ?,求实数m 所构成的集合M ，并写出M 的所有子集.
例9、已知集合{}{}
02,0122=+-==-=b ax x x B x x A ,若≠B ?,,且A B ?，求实
数b a ,的值
三 课堂练习：
1．已知P={0，1}，M={x ∣x ?P}，则P 与M 的关系为（ ）
M P D M
P C M
P B M
P A ???∈
2．设集合},4
121|{Z k k x x A ∈+
==，若2
9=x ，则下列关系正确的是（ ）
A ．A x ?
B ．A x ?
C ．A x ∈}{
D ．A x ?}{
3. 已知集合???
???
∈-∈=N x N x A 68
|
，试求集合A 的所有子集的个数
第三讲 1.1.3 集合的基本运算
一．知识点精讲
1交集：}{B x A x x B A ∈∈=且
一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集。
A B
A B
A B
B B A A B =???
2 并集：}{B x A x x B A ∈∈=?或
一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集。
A
B
A
B
A B
A B A A B =???
3全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，通常用U 表示。
4补集：}{A x U x x A C U ?∈=且
无理数集可写作：Q C R
φ=?)(A C A U , U A C A U =?)(
注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合V enn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。 5．集合的简单性质：
（1）;,,A B B A A A A A ?=?Φ=Φ?=?（2）;,A B B A A A ?=?=Φ? （3）);()(B A B A ??? （4）B B A A B A B A =??=???； （5）摩根定律：)()()(B C A C B A C S S S ?=?，)()()(B C A C B A C S S S ?=? 6. A ?B 时，A 有两种情况：A ＝φ与A ≠φ。
二．典例解析
例1：设全集{}U 9x x =是小于的正整数，
{}{}A 4,5,6,8B 3,5,7,8==，，求A B,A B, U A C B ,()()U U C A C B
例2、已知全集U=R,{}A=12x x -<<，{}B 13x x =<<，求A B,A B ,
()U C A B ,()()U U C A C B ,()U C A B
例3、已知全集{}2I 2,323a a =+-，，若集合{}{}A=21,2,5I a C A -=，求实数a 的值.
例4.全集{}321,3,32S x x x =++，{}1,21A x =-，如果{},0=A C S 则这样的实数x 是否存在？若存在，求出x ；若不存在，请说明理由.
例 5.已知集合{},31≤≤=x x A 集合()(){},01=--=a x x x B 试判断集合B 是不是集合A 的子集？是否存在实数a 使B A =成立？
例6．设集合}40|{≤≤=x x A ,{}2|,12B y y x x ==--≤≤，求()R C A B 例7 求表达式
x x x +
-)1(有意义的的取值范围形成的集合
例8定义集合运算：)}y A ,x y),xy(x z |{z B A B ∈∈+==*， {}{}1,2,3,4A B ==，则
集合=*B A
三 课堂练习
1 已知}4,3,2,1{=A ,}5,3,2,1{-=B 求B A ?，B A ?
2 设全集,U R ={}1M x x =>，}11|{>-<=x x x P 或，则P M ?,P M ?,M C U
3、已知集合{}2
A 421,a a =--，，{}
B 5,1,9a a =--，若有{}A B=9 ,求a 的值.
4（2012新课标）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为
5若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z ︱z=x+y,x ∈A,y ∈B}中的元素的个数为
6求表达式1)1)(1(++
-+x x x 有意义的的取值范围形成的集合
7设{}{}34|,|,<>=≤≤==x x x A C b x a x A R U U 或，则a = ，b = . 8 若全集{}{}0,1,2,3,42,3U U C A ==且，则集合A 的真子集共有 （ ）
A ．3个
B ．5个
C ．7个
D ．8个
第四讲 求参数的取值范围
一 知识点精讲：
1 被2除的整数可写成 )(1
2,2Z k k k ∈+ 余数分两类
被3除的整数可写成)(2
3,13,3Z k k k k ∈++ 余数分三类
被4除的整数可写成)(3
4,24,14,4Z k k k k k ∈+++ 余数分四类
被5除的整数可写成)(4
5,35,25,15,5Z k k k k k k ∈++++ 余数分五类
2 A ?B 时，A 有两种情况：A ＝φ与A ≠φ。 常见空集的三种形式：
φ=+≤≤-=}121|{m x m x A ，求m 的取值范围 φ==++=}01|{2
mx x x B ，求m 的取值范围
φ==+=}01|{mx x C ，求m 的取值范围
3 一般地，对任意两个有限集合A,B 有
)()()()(B A card B card A card B A card ?-+=?)
()()()()
()()()(C B A card C B card C A card B A card C card B card A card C B A card ??+?-?-?-++=??
二 典例解析：
例1 .},12|{Z k k x x A ∈-==,},12|{Z k k x x B ∈+==,则A,B 的关系
},13|{Z k k x x A ∈-==，},23|{Z k k x x B ∈+==,则A,B 的关系 },14|{Z k k x x A ∈-==，},34|{Z k k x x B ∈+==,则A,B 的关系
},25|{Z k k x x A ∈-==，},35|{Z k k x x B ∈+==,则A,B 的关系},2|{Z k k x x A ∈==,},4|{Z k k x x B ∈==,则A,B 的关系
例2．设集合},2
14
{},,4
12
{Z k k x x N Z k k x x M ∈+
=
=∈+
=
=，则（ ）
N M A = B M N C M N φ=?N M D
例3 .集合A={x Z k k x ∈=,2} B={Z k k x x ∈+=,12} C={Z k k x x ∈+=,14},
又,,B b A a ∈∈则有（ ）
A （a+b ）∈ A
B (a+b) ∈B
C (a+b) ∈ C
D (a+b) ∈ A 、B 、C 任一个 例4．已知全集*=N I ，集合},2|{*∈==N n n x x A ,},4|{*∈==N n n x x B 则 A .B A I ?= B ．B A C I I ?=)( C ．)(B C A I I ?= D ．)()(B C A C I I I ?= 例5．},22|{R x x x A ∈<<-=，}|{a x x B ≥=，且A B ，求实数a 的取值范围____ 变式},22|{R x x x A ∈≤≤-=，}|{a x x B >=，且A B ，求实数a 的取值范围是____
例6、已知{}A 3,x a x a =≤≤+{}B 15x x x =<->或， （1）若A B=? ,求a 的取值范围； （2）若A B=A ,求a 的取值范围
例7．若{}{}A B m x m x B x x A ?+≤≤-=≤≤-=,112|,43|，求是实数m 的取值范围.
例8．设B C A x x z z C A x x y y B a x x A ?∈==∈+==≤≤-=且},,{},,32{},2{2
。求
实数a 的取值范围。
例9．某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人。
三课堂练习：
1．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =?，则m 的值为（ ）
A ．1
B ．1-
C ．1或1-
D ．1或1-或0
2． 已知集合}52|{≤≤-=x x A
(1) 若{},121B A B x m x m ?=+≤≤-，求实数m 的取值范围。 (2) 若{},621A B B x m x m ?=-≤≤-，求实数m 的取值范围。
3．设集合{32}A x x =-≤≤,{2121}B x k x k =-≤≤+,且A B ?， 则实数k 的取值范围是
第五讲 绝对值 乘法公式 二次根式 分式
一 绝对值的代数意义：
正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,
,0.a a a a a a >??
==??-
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 例1 =||x 变式： 画 ||x y =的图象
例2 =-|2|x 变式： 画 |2|-=x y 的图象
例3解不等式：2||>x
例4解不等式：2|1|>-x
二．乘法公式
（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a a b b ±=±+．
（3）立方和公式 2233
()()a b a a b b a b +-+=+； （4）立方差公式 22
3
3
()()a b a a b b a b -++
=
-；
（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c a b b c a
c ++=+++++； （6）两数和立方公式 332
2
3()33a b a a b a b b +=+++； （7）两数差立方公式 3
3
2
2
3
()33a b a a b a b b -=-+-． 例1 计算：2
2(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．
例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222
a b c ++的值． 例3 已知0=++c b a ，求
111111(
)(
)(
)a b c b
c
c
a
a
b
+
++
++
的值．
例4 求证：))((32
2
2
3
3
3
ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++．
三．二次根式
1．分母有理化
b
a b
a b
a --=
+
1 ，分子有理化：
b
a b a b a -
-=
+
1
)
(
2
a ==,
0,
,0.
a a a a ≥??
-
|,|2
x x
=
x x
=3
3
，
)2(22
4
2
≠+=--x x x x ，
例1 试比较下列各组数的大小：
（1- （2
和
例2 化简：2011
2010
)
23()
23(-?+．
例3 若
2
x =+
=______ __．
四．分式 1．分式的意义 2．繁分式
例1根据3
12
16
1-
=
， 推测
=+)
1(1n n _____ (*
∈N n ) （其中n 是正整数）
；
=+)
2(1n n _____ (*
∈N n )
=+-)
12)(12(1
n n _____ (1,≥∈N N n )
例2若54(2)
2
x A B x x x
x +=
+
++，求常数,A B 的值．
例3计算： 11112
23
910
+
++
??? ；
（3）计算 )
1(14
313
21++
+?+
?n n ．
例3
=．
例4 计算：111113
24
35
911
+
+
++
???? ．
第六讲 分解因式
一 知识点精讲:
1 分解因式的基本方法：
首先提取公因式，然后考虑用公式，十字相乘试一试，分组、换元、配凑来压轴 2．关于十字相乘法分解因式:
(1) 形如2()x p q x pq +++型的因式分解
这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：
①二次项系数是1 ②常数项是两个数之积 ③一次项系数是常数项的两个因数之和
pq x q p x q x p x +++=++)())((2
反过来，就得到：2()()()x p q x pq x p x q +++=++ (2) 一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解
2
112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++． 反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++ 二典例解析：
例1把下列各式因式分解：
（1）276x x -+ （2）21336x x ++ （3） 226x xy y +-
（4）222()8()12x x x x +-++ （5）22()x a b xy aby -++
例2 分解因式：
（1）2
1252x x -- （2）2
2
568x xy y +-（3）543
1016ax ax ax -+
（4）2126n n n a a b a b +++- （5） 42
718x x -- （6）27()5()2a b a b +-+-
(7) 22
(67)25x x -- （8）3223428x xy x y y --+
例3．已知2,23
a b ab +=
=，求代数式2
2
2
2
2a b a b ab ++的值．
例4．已知0a b c ++=，求证：3223
0a a c b c abc b ++-+=．
例5．已知211=+y x ，代数式y
xy x y
xy x 535323+++-的值为 ．
2
211c a c a
第七讲 一元二次方程
一知识点精讲：
1 一元二次方程的根的判断式
一元二次方程2
0 (0)ax bx c a ++=≠，配方将其变形为：2
2
2
4()24b b ac x a
a
-+
=
，记
2
4b
a c ?=-
（1）当240b ac ->时，右端是正数，因此，方程有两个不相等的实数根
：2b x a
-±
=
（2）当240b ac -=时，右端是零，因此，方程有两个相等的实数根：1,22b x a
=-
（3）当240b ac -<时，右端是负数，因此，方程没有实数根． 2．一元二次方程的根与系数的关系
定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，则
22b b x x a a
-+--=
=
，那么，1212,b c x x x x a
a
+=-=
说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形
2
2
2
121212()2x x x x x x +=+-，
121
2
12
11x x x x x x ++
=
，22
12121212()x x x x x x x x +=+
2
2
121212()()4x x x x x x -=+-
，12||x x -=
3
3
3
12121212()3()x x x x x x x x +=+-+
二典例解析：
例1 已知关于x 的一元二次方程2
320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围． （1）方程有两个不相等的实数根 （2）方程有两个相等的实数根 （3）方程有实数根 （4）方程无实数根．
例2 已知实数x 、y 满足22
210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．
例3 若12,x x 是方程0201022
=-+x x 的两个根，试求下列各式的值 （1）22
12x x + （2）
1
2
11x x +
（3）
2
2
2
1
11x x +
第八讲 一元二次不等式
一 知识点精讲:
一元二次不等式)0()0(02≠≤≥++a c bx ax 的解法
口诀：当0>a 时“大于取两边，小于取中间”