第一篇线性规划建模习题答案
第一章习题
1.设用原料A 生产甲、乙、丙的数量分别为131211,,x x x ，用原料B 生产甲、乙、丙的数量分别为232221,,x x x ，原料C 生产甲、乙、丙的数量分别为333231,,x x x ，则可以建立线性规划问题的数学模型：
??
???
???
??
?????=≥≤+--≤+--≥--≤+--≥--≤++≤++≤++++++++-+=)
3,2,1,(,00
5.05.05.004.0
6.06.00
15.015.085.008.02.02.006.06.04.012002500
2000
..8.38.56.78.18.36.52.08.16.3max 33231332221232
22123121113121113332312322
21131211333231232221131211j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x x x S ij
LINGO 求解程序见程序
max =3.6*x11+5.6*x21+7.6*x31+1.8*x12+3.8*x22+5.8*x32-0.2*x13+1.8*x23+3.8*x33;
-0.4*x11+0.6*x21+0.6*x31<0; 0.2*x11+0.2*x21-0.8*x31>0;
-0.85*x12+0.15*x22+0.15*x32<0; 0.6*x12+0.6*x22-0.4*x32>0; 0.5*x13+0.5*x23-0.5*x33>0; x11+x12+x13<=2000; x21+x22+x23<=2500; x31+x32+x33<=1200; 求解结果：
1200
,22.1482,33.473,0,78.1017,66.1526322212312111======x x x x x x 0,0,0332313===x x x ，24640max =S （元）
。 2.设用设备,,,,,32121B B B A A 加工产品Ⅰ的数量分别为54321,,,,x x x x x ,设备
121,,B A A 加工产品Ⅱ的数量分别为876,,x x x ,设备22,B A 加工产品Ⅲ的数量分别为
109,x x ,则目标函数为:
6000
105300)5.08.2())(35.02())(25.025.1(max 6
1976321x x x x x x x x S +?
--++-+++-=4000
720070001147834000862501000012973125
10483972x x x x x x x x ?-+?-+?-++?
-
整理后得到:
??????
?=≥=-=-+=--++≤≤+≤+≤++≤+-+-++---+=)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1(,00;0;0;40007;7000114;400086;
100001297;6000105..2304.19256.15.03692.115.135.04474.0375.07816.075.0max 10987654321510483972611098765
4321j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x x x x S j 整数 LINGO 求解的程序
max =0.75*x1+0.7816*x2-0.375*x3-0.4474*x4-0.35*x5+1.15*x6+1.3692*x7-0.
5*x8+1.9256*x9-1.2304*x10;
5*x1+10*x6<6000;
7*x2+9*x7+12*x9<10000; 6*x3+8*x8<4000; 4*x4+11*x10<7000; 7*x5<4000;
x1+x2-x3-x4-x5=0; x6+x7-x8=0; x9-x10=0;
@gin (x1);@gin (x2);@gin (x3);@gin (x4);@gin (x5); @gin (x6);@gin (x7);@gin (x8);@gin (x9);@gin (x10);
求解结果:
324,500,0,571,859,0,230,120010987654321==========x x x x x x x x x x
446.1155max =S
3.设自己生产甲、乙、丙的数量分别为312111,,x x x ,外协加工甲、乙、丙第数量分别为2212,x x （外协加工的铸造、机加工和装配的工时均不超过5000小时）,则
???????≥≤++++≤++++≤++++++=，整数
0,,,,100002322312000468468000
7105..91371015max 221231211122123121112212312111
3121112212312111x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x S
LINGO 求解的程序
!自己生产甲、乙、丙x11,x21,x31;!外协加工甲、乙、丙x12,x22,x32; max =15*x11+10*x21+7*x31+13*x12+9*x22; 5*x11+10*x21+7*x31<8000;
6*x11+4*x21+8*x31+6*x12+4*x22<12000; 3*x11+2*x21+2*x31+3*x12+2*x22<10000; @gin (x11);@gin (x12);@gin (x13); @gin (x21);@gin (x22);
求解结果:600,16002211==x x ，其余皆为零；29400max =z 。
自己生产甲产品1600件,外包协作生产乙产品600件，不生产丙产品,可以获得最大利润29400元。
4.(1)设建立的模型为ε++=a bx y ，对于每一个点
)19,,2,1( =++=i a bx y i i i ε
则建立线性规划问题的数学模型为：
??
?=≥==-+++==∑∑==无非负限制b a i v u i y v u a bx t s v u S i i i i i i i i i i i ,),19,,2,1(0,)19,,2,1(..)
(min 19
1
191
ε
用LINGO 求解的程序
min =u1+u2+u3+u4+u5+u6+u7+u8+u9+u10+u11+u12+u13+u14+u15+u16+u17+u18+u19+v1+v2+v3+v4+v5+v6+v7+v8+v9+v10+v11+v12+v13+v14+v15+v16+v17+v18+v19;
a+u1-v1=1;
a+0.5*b+u2-v2=0.9; a+b+u3-v3=0.7; a+1.5*b+u4-v4=1.5; a+1.9*b+u5-v5=2; a+2.5*b+u6-v6=2.4; a+3*b+u7-v7=3.2; a+3.5*b+u8-v8=2; a+4*b+u9-v9=2.7; a+4.5*b+u10-v10=3.5; a+5*b+u11-v11=1; a+5.5*b+u12-v12=4; a+6*b+u13-v13=3.6; a+6.6*b+u14-v14=2.7; a+7*b+u15-v15=5.7; a+7.6*b+u16-v16=4.6; a+8.5*b+u17-v17=6; a+9*b+u18-v18=6.8; a+10*b+u19-v19=7.3; @free (a); @free (b);
求得的回归直线方程为:x y 6375.058125.0+=,误差绝对值之和等于:11.46625。
(2) 建立的线性规划数学模型为:
???
??=≥=≤-+==-+++==∑∑==无非负限制b a i v u i z v u i y v u a bx t s v u z i i i i i i i i i i i i i ,),19,,2,1(0,)
19,,2,1(0)
19,,2,1(..)
(min 19
1
191
ε 用LINGO 求解的程序 min =z; a+u1-v1=1;
a+0.5*b+u2-v2=0.9; a+b+u3-v3=0.7; a+1.5*b+u4-v4=1.5; a+1.9*b+u5-v5=2; a+2.5*b+u6-v6=2.4; a+3*b+u7-v7=3.2; a+3.5*b+u8-v8=2; a+4*b+u9-v9=2.7; a+4.5*b+u10-v10=3.5; a+5*b+u11-v11=1; a+5.5*b+u12-v12=4; a+6*b+u13-v13=3.6; a+6.6*b+u14-v14=2.7; a+7*b+u15-v15=5.7; a+7.6*b+u16-v16=4.6; a+8.5*b+u17-v17=6; a+9*b+u18-v18=6.8; a+10*b+u19-v19=7.3; u1+v1-z<0; u2+v2-z<0; u3+v3-z<0; u4+v4-z<0; u5+v5-z<0; u6+v6-z<0; u7+v7- z <0; u8+v8-z<0; u9+v9-z<0; u10+v10-z<0; u11+v11-z<0; u12+v12-z<0; u13+v13-z<0; u14+v14-z<0; u15+v15-z<0; u16+v16-z<0;
u17+v17-z<0; u18+v18-z<0; u19+v19-z<0; @free (a); @free (b);
求得的回归直线方程为:x y 625.04.0+-=,最大误差的绝对值为:1.725。 5.图解法略.这里只给出答案: (1)唯一最优解：3
44max ,34,31621===
S x x ;(2)唯一最优解：4min ,3
1
,3821===S x x ；(3)无穷多最优解：最优解之一为：
44max ,4,1021===S x x ;(4)线性规划问题无有界的最优解，+∞=S max 。
第二章习题
1.（1）10max ,16,0,6321====S x x x LINGO 程序:
max =-x1+2*x2+x3; -2*x1+x2+x3<4; x1+2*x2<6;
（2）30max ,310
,320,350321====S x x x
LINGO 程序: max=2*x1-x2+x3;
3*x1+x2+x3<60; x1-2*x2+2*x3<10; x1+x2-x3<20;
（3）294max ,36,6,0321====S x x x LINGO 程序:
max=14*x1+13*x2+6*x3; 2*x1+4*x2+x3<60; 2*x1+x2+0.5*x3<24;
（4）46max ,0,7,4321====S x x x LINGO 程序: max=x1+6*x2+4*x3; -x1+2*x2+2*x3<10; 4*x1-4*x2+x3<16; x1+2*x2+x3<18;
2.设生产甲、乙两种产品的数量分别为21,x x 单位，则可建立线性规划问题的
数学模型
????
???≥≤≤+≤++=0
,2504002300..10050max 2122
12121x x x x x x x t s x x S
答：生产甲50单位，乙250单位，可使利润达到最大。最大利润27500元。 LINGO 程序: Max=50*x1+100*x2; X1+x2<300; 2*x1+x2<400; x2<250;
3.（1）7/102max ,0,7/4,7/45321====S x x x LINGO 程序：
Max=2*x1+3*x2-5*x3; X1+x2+x3=7;
2*x1-5*x2+x3>10;
（2）4125
min ,45,415,0321-====S x x x
LINGO 程序: min=5*x1-6*x2-7*x3;
x1+5*x2-3*x3>15; 5*x1-6*x2+10*x3<20; x1+x2+x3=5;
第三章习题
1.其对偶线性规划问题为：
?????
????≥≤=+---≤-+≤++--≥-+++-=0
06332334226164max 3213213
213213213
21y y y y y y y y y y y y y y y y y y W ，无约束， min=-4*x1+3*x2-3*x3+6*x4; 2*x1-x2+3*x3-x4=-4; X1+x2+2*x3-x4<16; -2*x1+x2-x3+3*x4>6; x1<0;@free(x4);
最优解：15min ,1,0,3,04321=====S x x x x
2.（1）根据单纯形表的结构，???? ??-=-11011
B ，???
? ??=-10301
b B ，
解得40,3021==b b ； （2）算出???
? ??=-c b P B 21
，得1,5-==c b ，计算出A B C C B 1
--，得
0,5,23==-=e d a ；
最优解：0,0,30321===x x x ，150max =S 。
（2）对偶线性规划问题??????
?≥≥≥-≥-≥++=0
,03622
555
..4030min 212121212
1y y y y y y y y t s y y W
对偶问题的最优解150min ,0,5*
2*1===W y y 。
3.（1）7min ,0,2,3321====S x x x ； 求解的LINGO 程序: Min=x1+2*x2+3*x3; 2*x1-x2+x3>4; X1+x2+2*x3<8; X2-x3>2; （2）无可行解. 求解的LINGO 程序: Max=-4*x1-3*x2; X1+x2<1; x2>1;
-x1+2*x2<1;
4.设销售甲、乙两种产品分别为21,x x ，则建立线性规划问题数学模型
???
??≥≥≥+≥++=0
,03001053000
50100..3.05.0min 21
212121x x x x x x t s x x S 求解得：16min ,20,2021===S x x . LINGO 程序 Min=0.5*x1+0.3*x2;
100*x1+50*x2>3000; 5*x1+10*x2>300;
5.设生产A 、B 、C 三种产品的数量分别为321,,x x x ，则建立线性规划问题数
学模型
???
??≥≥≥≤++≤++++=0
,0,03054345
536..43max 321
321321321x x x x x x x x x t s x x x S 求解得：（1）27max ,3,0,5321====S x x x ；劳动力和材料的影子价格分别为0.2元和0.6元；（2）A 的利润8.44.21≤≤c ，B 的利润32≤c ，C 的利润
55.23≤≤c ；
（3）02.08.2328)6.0,2.0(3414>=-=????
??-=--P B C c B ，该产品值得生产；
（4）材料的影子价格4.06.0>，要购买原材料扩大生产，以购买15单位为宜。
LINDO 程序 Max=3*x1+x2+4*x3; 6*x1+3*x2+5*x3<45; 3*x1+4*x2+5*x3<30; 案例：经理会议建议的分析
(1)设计划生产321,,A A A 的数量分别为321,,x x x ，则可建立线性规划数学模型：
???????≥≥≥≤≥≤++≤+≤+≤++++=0
,0,0210;70300;420446023;4302..502030max 3213232121
313213
21x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x S 求解程序
Max =30*x1+20*x2+50*x3; x1+2*x2+x3<=430; 3*x1+2*x3<=460; x1+4*x2<=420; x1+x2+x3<=300; x2>=70; x3<=240;
最优解：12900max ,230,70,0321====x x x 。 求解程序：
Max=30*x1+20*x2+60*x3; x1+2*x2+x3<=430; 3*x1+2*x3<=460; x1+4*x2<=420;
x1+x2+x3<=300; x2>=70; x3<=210;
最优解：1290014533max ,210,3
230
,340321>===
=x x x 。可行！ 整数解：1290014530max ,210,77,13321>====x x x （2）可行，但不能增加利润。因为原材料2C 本身的影子价格才是20元。（四种资源的影子价格分别是0，15，0，20元）
（3）增加设备1B 和2B 每天40min 的使用时间，其他条件不变，最大值仍然是12900元，并未增加总利润。再支付额外费用，因此，不可行。
（4）求解程序
Max=30*x1+20*x2+50*x3; x1+2*x2+x3<=430; 3*x1+2*x3<=460; x1+4*x2<=420; x1+x2+x3<=300; x2>=100; x3<=240;
最优解：1290012000max ,200,100,0321<====x x x ，因此，不可行。 （5）求解程序：
Max=30*x1+20*x2+50*x3; x1+2*x2+x3<=430; 2*x1+2*x3<=460; x1+4*x2<=420; x1+x2+x3<=300; x2>=70; x3<=240;
最优解仍然是：12900max ,230,70,0321====x x x 。不可行。
第四章习题
1.（1）用最小元素法得到的初始调运方案就是最优的。
求解结果：4,11,3,10,23123211211=====x x x x x ，其余都等于0，38min =Z 。 求解的LINGO 程序
model : SETS :
WAREHOUSE / WH1, WH2, WH3/ : CAPACITY; CUSTOMER / C1, C2, C3/ : DEMAND;
ROUTES( WAREHOUSE, CUSTOMER) : COST, VOLUME; ENDSETS
[OBJ] MIN = @SUM ( ROUTES: COST * VOLUME);
@FOR ( CUSTOMER( J): [DEM]
@SUM ( WAREHOUSE( I): VOLUME( I, J)) >=DEMAND( J)); @FOR ( WAREHOUSE( I): [SUP]
@SUM ( CUSTOMER( J): VOLUME( I, J)) <= CAPACITY( I)); DATA :
CAPACITY =12,14,4; DEMAND =9,10,11; COST =5,1,8,2,4,0,3,6,7; ENDDATA end
（2）求解结果：2,3,1,4,2,3333231242311======x x x x x x ，其余都等于0，
69min =Z 。
求解的LINGO 程序
model : SETS :
WAREHOUSE / WH1, WH2, WH3/ : CAPACITY; CUSTOMER / C1, C2, C3,C4/ : DEMAND;
ROUTES( WAREHOUSE, CUSTOMER) : COST, VOLUME; ENDSETS
[OBJ] MIN = @SUM ( ROUTES: COST * VOLUME); @FOR ( CUSTOMER( J): [DEM]
@SUM ( WAREHOUSE( I): VOLUME( I, J)) >=DEMAND( J)); @FOR ( WAREHOUSE( I): [SUP]
@SUM ( CUSTOMER( J): VOLUME( I, J)) <= CAPACITY( I)); DATA :
CAPACITY =3,6,6; DEMAND =4,3,4,4;
COST =2,2,2,1,10,8,5,4,7,6,6,8; ENDDATA end
2.求解结果：作物1A 种植在土地2B 上100亩；作物2A 种植在土地3B 上500亩；作物3A 种植在土地21,B B 上各200亩。可使总产量达到最大，最大产量为605000。
求解的LINGO 程序 model : SETS :
CROP/ CROP1, CROP2, CROP3/ : CAPACITY; SOIL / S1, S2, S3/ : DEMAND;
ROUTES( CROP, SOIL) : COST, VOLUME;
ENDSETS
[OBJ] MAX = @SUM( ROUTES: COST * VOLUME);
@FOR( SOIL( J): [DEM]
@SUM( CROP( I): VOLUME( I, J)) >=DEMAND( J));
@FOR( CROP( I): [SUP]
@SUM( SOIL( J): VOLUME( I, J)) <= CAPACITY( I));
DATA:
CAPACITY =100,500,400;
DEMAND =200,300,500;
COST =600,700,500,800,500,850,400,150,300;
ENDDATA
end
3.将开往地区1—4的飞机的数量按照3架计算，增加一个地区6，需要飞机的数量为4，创造利润为该行第最大值，但是供应给地区6的飞机是按照利润系数归属地区1—4的某一个地区。
求解结果：7架CD12型飞机飞往地区2、地区3和地区4分别为1架、3架和3架；4架CD9型飞机飞往地区2和地区2分别为3架和1架；6架CD10型飞机飞往地区2、地区5和地区6分别为1架、1架和4架（在地区2和地区3中任意分配），可使得利润最大，最大利润为87万元。
因此，求解问题的LINGO程序
model:
SETS:
AIRPLANE / CD12,CD9,CD10/ : CAPACITY;
DISTRICT / D1..D5/ : DEMAND;
ROUTES( AIRPLANE, DISTRICT) : COST, VOLUME;
ENDSETS
[OBJ] MAX = @SUM( ROUTES: COST * VOLUME);
@FOR( DISTRICT( J): [DEM]
@SUM(AIRPLANE( I): VOLUME( I, J)) >=DEMAND( J));
@FOR( AIRPLANE( I): [SUP]
@SUM( DISTRICT( J): VOLUME( I, J)) = CAPACITY( I));
DATA:
CAPACITY =7,4,6;
DEMAND =3,3,3,3,1;
COST =3,7,7,5,4,5,6,3,3,5,2,4,4,2,3;
ENDDATA
end
4.增加一个虚的发点A4，由A4供应给B1、B2、B3的运价分别为单位损失M、3和2（M为充分大的正数，此处取100
M）
求解结果：1A 供应2B 物资10单位；2A 供应321,,B B B 物资分别为60、10和10单位；3A 供应1B 物资15单位，3B 不能满足供应40单位（损失120元），最小费用为：595元。
求解问题的LINGO 程序
model : SETS :
WAREHOUSE / WH1.. WH4/ : CAPACITY; CUSTOMER / C1, C2, C3/ : DEMAND;
ROUTES( WAREHOUSE, CUSTOMER) : COST, VOLUME; ENDSETS
[OBJ] MIN = @SUM ( ROUTES: COST * VOLUME); @FOR ( CUSTOMER( J): [DEM]
@SUM ( WAREHOUSE( I): VOLUME( I, J))=DEMAND( J)); @FOR ( WAREHOUSE( I): [SUP]
@SUM ( CUSTOMER( J): VOLUME( I, J)) = CAPACITY( I)); DATA :
CAPACITY =10,80,15,40; DEMAND =75,20,50;
COST =5,1,7,6,4,6,3,2,5,100,3,2; ENDDATA end
案例：光明市的菜篮子工程
先用确定最短路的方法求出三个收购点至八个菜市场的最短路，距离如下
求解问题的LINGO 程序:
model : sets :
warehouses/Collection1..Collection4/: capacity; vendors/ market1.. market8/: demand; links(warehouses,vendors): cost, volume; endsets
min=@sum(links: cost*volume); @for (vendors(J):
@sum (warehouses(I): volume(I,J))=demand(J)); @for (warehouses(I):
@sum(vendors(J): volume(I,J))=capacity(I));
data:
capacity=200,170,160,80;
demand=75,60,80,70,100,55,90,80;
cost=4,8,8,19,11,6,22,20,14,7,7,16,12,16,23,17,20,19,11,14,6,15,5,10,10,8,5,10,1 0,8,5,8;
enddata
end
（2）求解问题的LINGO程序
Min=4*x11+8*x12+8*x13+19*x14+11*x15+6*x16+22*x17+20*x18+14*x21+ 7*x22+7*x23+16*x24+12*x25+16*x26+23*x27+17*x28+20*x31+19*x32+11*x33 +14*x34+6*x35+15*x36+5*x37+10*x38+10*x41+8*x42+5*x43+10*x44+10*x45+ 8*x46+5*x47+8*x48;
x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18=200;
x21+x22+x23+x24+x25+x26+x27+x28=170;
x31+x32+x33+x34+x35+x36+x37+x38=160;
x41+x42+x43+x44+x45+x46+x47+x48=80;
x11+x21+x31+x41=75;
x12+x22+x32+x42=60;
x13+x23+x33+x43=80;
x14+x24+x34+x44=70;
x15+x25+x35+x45=100;
x16+x26+x36+x46=55;
x17+x27+x37+x47=90;
x18+x28+x38+x48=80;
x11+x21+x31>=60;
x12+x22+x32>=48;
x13+x23+x33>=64;
x14+x24+x34>=56;
x15+x25+x35>=80;
x16+x26+x36>=44;
x17+x27+x37>=72;
x18+x28+x38>=64;
（3）将供应约束改为不等式约束，求解问题的LINGO程序
model:
sets:
warehouses/Collection1..Collection3/: capacity;
vendors/ market1.. market8/: demand;
links(warehouses,vendors): cost, volume;
endsets
min=@sum(links: cost*volume);
@for(vendors(J):
@sum(warehouses(I): volume(I,J))=demand(J));
@for(warehouses(I):
@sum(vendors(J): volume(I,J))>=capacity(I));
data:
capacity=200,170,160;
demand=75,60,80,70,100,55,90,80;
cost=4,8,8,19,11,6,22,20,14,7,7,16,12,16,23,17,20,19,11,14,6,15,5,10;
enddata
end
增产的蔬菜不供应A收购点，也不供应B收购点，供应C收购点80个单位（100kg）。
第五章习题
1.求解指派问题的LINGO程序
model:
sets:
jobs/j1..j4/: capacity;
objects/o1..o5/: demand;
links(jobs,objects): time, volume;
endsets
min=@sum(links: time*volume);
@for(objects(J):
@sum(jobs(I): volume(I,J))<=demand(J));
@for(jobs(I):
@sum(objects(J): volume(I,J))=capacity(I));
data:
capacity=1,1,1,1;
demand=1,1,1,1,1;
time=37.7,32.9,33.8,37,35.4,43.4,33.1,42.2,34.7,41.8,33.3,28.5,38.9,30.4,33.6,29 .2,26.4,29.6,28.5,31.1;
enddata
end
求解结果：甲—自由泳，乙—蝶泳，丙—仰泳，丁—蛙泳，戊—轮空，可使得总成绩最好，最短时间为126.2秒。
2.（1）求解指派问题第LINGO程序
model:
sets:
objects/o1..o5/: capacity;
jobs/j1..j5/: demand;
links(objects,jobs): time, volume;
endsets
min=@sum(links: time*volume)+30;
@for(jobs(J):
@sum(objects(I): volume(I,J))<=demand(J));
@for(objects(I):
@sum(jobs(J): volume(I,J))=capacity(I));
data:
capacity=1,1,1,1,1;
demand=1,1,1,1,1;
time=25,29,31,42,7,39,38,26,20,3,34,27,28,40,2,24,42,36,23,15,0,0,0,0,0;
enddata
end
求解结果：甲完成B任务，乙完成D任务，并完成E任务，丁完成A任务，可使所用时间最少，105小时。
（2）求解指派问题第LINGO程序：
model:
sets:
objects/o1..o5/: capacity;
jobs/j1..j5/: demand;
links(objects,jobs): time, volume;
endsets
min=@sum(links: time*volume);
@for(jobs(J):
@sum(objects(I): volume(I,J))<=demand(J));
@for(objects(I):
@sum(jobs(J): volume(I,J))=capacity(I));
data:
capacity=1,1,1,1,1;
demand=1,1,1,1,1;
time=25,29,31,42,37,39,38,26,20,33,34,27,28,40,32,24,42,36,23,45,24,27,26,20, 32;
enddata
end
求解结果：甲完成任务B，乙完成任务C和D，丙完成任务E，丁完成任务A，可使所用时间最少，131小时。
（3）求解指派问题第LINGO程序：
model:
sets:
objects/o1..o5/: capacity;
jobs/j1..j5/: demand;
links(objects,jobs): time, volume;
endsets
min=@sum(links: time*volume);
@for(jobs(J):
@sum(objects(I): volume(I,J))<=demand(J));
@for(objects(I):
@sum(jobs(J): volume(I,J))=capacity(I));
data:
capacity=1,1,1,1,1;
demand=1,1,1,1,1;
time=25,29,100,42,37,100,38,100,20,33,34,27,28,40,100,100,42,36,23,45,34,27,2 8,23,45;
enddata
end
求解结果：甲完成任务A，乙完成任务E，丙完成任务B、C，丁完成任务D，可使所用时间最少，136小时。
3.求解指派问题的LINGO 程序：
model : sets :
objects/o1..o5/: capacity; jobs/j1..j5/: demand;
links(objects,jobs): time, volume; endsets
max =@sum (links: time*volume); @for (jobs(J):
@sum (objects(I): volume(I,J))<=demand(J)); @for (objects(I):
@sum (jobs(J): volume(I,J))=capacity(I)); data :
capacity=1,1,1,1,1; demand=1,1,1,1,1;
time=15,10,12,10,12,11,12,9,9,9,10,20,15,17,12,18,17,9,9,13,7,13,10,13,12; enddata end
求解结果：甲到E 地区推销，乙到C 地区推销，丙到B 地区推销，丁到A 地区推销，戊到D 地区推销，可使利润最大，最大利润72万元.
4.设)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1(01=?
??=j A A x j j j 设立销售门市部不在设立销售门市部
在，则建立0-1规划
问题数学模型：
???
??=≤++≥+≥+≤++≤++++++++++++++++++=10,,,,,,,,,2,1,1,2720
18016014080907080150120100..61584825302022504036max 10
987654321109876543211098765432110
987654321或x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x x x x Z 用LINGO 求解的程序：
max =36*x1+40*x2+50*x3+22*x4+20*x5+30*x6+25*x7+48*x8+58*x9+61*x10;
100*x1+120*x2+150*x3+80*x4+70*x5+90*x6+80*x7+140*x8+160*x9+180*x 10<720;
x1+x2+x3<2;x4+x5>1;x6+x7>1;x8+x9+x10<2; @bin (x1);@bin (x2);@bin (x3);@bin (x4);@bin (x5); @bin (x6);@bin (x7);@bin (x8);@bin (x9);@bin (x10);
求解结果：在1096521,,,,,A A A A A A 建立销售门市部，可使年利润最大，最大利润245万元。
5.设生产小号容器、中号容器和大号容器的数量分别为321,,x x x ，
0,0,0321===y y y 分别表示不生产小号容器、中号容器和大号容器，
1,1,1321===y y y 分别表示生产小号容器、中号容器和大号容器，则可建立整数规划问题的数学模型：
???????=≥≤-≤-≤-≤++≤++≤++---++=10,,,0,,,0,0,0,10032,300432,500842..200150100654max 321321332211321
321321321321or y y y x x x My x My x My x x x x x x x x x x t s y y y x x x Z ；
且为整数 用LINGO 求解的程序：
max =4*x1+5*x2+6*x3-100*y1-150*y2-200*y3; 2*x1+4*x2+8*x3<500; 2*x1+3*x2+4*x3<300; x1+2*x2+3*x3<100; x1-10000*y1<0; x2-10000*y2<0; x3-10000*y3<0;
@gin (x1);@gin (x2);@gin (x3); @bin (y1);@bin (y2);@bin (y3);
求解结果：生产小号容器100只，不生产中号容器和大号容器，可使得利润最大，最大利润300万元。
6.（1）设01=y 和11=y 分别表示约束15310321≥-+-x x x 起作用和不起作用，设02=y 和12=y 分别表示约束15310321-≤-+-x x x 起作用和不起作用，那么建立混合整数规划模型：
???????=≥=+≤++-≤--+-≥+-+-++=1
0,,0,,1,1021531015310..52max 21321213212321
13213
21or y y x x x y y x x x My x x x My x x x t s x x x Z 用LINGO 求解的程序： max =x1+2*x2+5*x3;
-x1+10*x2-3*x3+1000*y1>15; -x1+10*x2-3*x3-1000*y2<-15; 2*x1+x2+x3<10;y1+y2=1; @bin ( y1);@bin ( y2);
最优解：50max ,10,0321====Z x x x
（2）设设01=y 和11=y 分别表示约束101520321≤++x x x 起作用和不起作
用，设02=y 和12=y 分别表示约束204312321≤+-x x x 起作用和不起作用，那么建立混合整数规划模型：
???
??==+≤-+-≤-++-+=1
0,,,,,120431210
1520..32max 2132121
232113213
21or y y x x x y y My x x x My x x x t s x x x Z 用LINGO 求解的程序：
max =x1+2*x2-x3;
20*x1+15*x2+x3-100*y1<10; 12*x1-3*x2+4*x3-100*y2<20; y1+y2=1;
@bin (x1);@bin (x2);@bin (x3);@bin (y1);@bin (y2); 最优解：3max ,0,1321====Z x x x
7.设用设备A 、B 、C 、D 加工产品的数量分别为4321,,,x x x x ，
0,0,0,04321====y y y y 分别表示设备A 、B 、C 、D 加工产品的数量等于零，1,1,1,14321====y y y y 分别表示设备A 、B 、C 、D 加工产品的数量不等于零。那么可以建立整数规划问题的数学模型：
???????=≥≤-≤-≤-≤-=++++++++++=10,,,0,,,,01600,01200,01000,09002000
..700800980100028162420max 4321432144332211
432143214321or y y y y x x x x y x y x y x y x x x x x t s y y y y x x x x Z ；
且为整数
用LINGO 求解的程序：
min =20*x1+24*x2+16*x3+28*x4+1000*y1+980*y2+800*y3+700*y4; x1+x2+x3+x4=2000; x1-900*y1<0; x2-1000*y2<0; x3-1200*y3<0; x4-1600*y4<0;
@gin (x1);@gin (x2);@gin (x3);@gin (x4); @bin (y1);@bin (y2);@bin (y3);@bin (y4);
求解结果：设备A 加工800件，设备C 加工1200件，其他设备不加工，可使得总费用最小，最小费用为37000元。
线性规划题及答案
线性规划题型及解法 一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题 2x -y _2 例1、设变量x、y满足约束条件x 一y _ _1，则z =2x ? 3y的最大值为__________ 。 x y _1 二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题 \ >1, 例2、已知」x-y+1兰0,则x2+y2的最小值是_」“(x-1)2+(y+2『”值域？ 2x - y - 2 <0 三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。 Zf x _0 例3、在约束条件y_0 下，当3乞s乞5时，目标函数Z=3x?2y的最大值的变化范围是() |y x _s y 2x^4 A. [6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8] 四、已知平面区域，逆向考查约束条件。 例4、已知双曲线x2-y2 =4的两条渐近线与直线x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是() fx-yZ0 「x-yX0 『x-y^0 "x-y 兰0 (A) x y _ 0 (B) x y 乞0 (C) x y 乞0 (D) x y _ 0 0 _x _3 0 _x _3 0 _x _3 0 _x _3 五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。 (1 ：：: x ：「v ‘：：4 例5已知变量x，y满足约束条件若目标函数ax y (其中a 0)仅在 [―2 兰x—y 兰2 点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为 __________ 。 六、设计线性规划，探求平面区域的面积问题 丄x y _ 2 _ 0 _ 例6在平面直角坐标系中，不等式组x_y，2_0表示的平面区域的面积是()(A)4、、2 (B)4 [八0 (C) 2.2 (D)2 七、研究线性规划中的整点最优解问题 ”5x-11y —22, 例7、某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件<2x+3yX9, 则 、2x 兰11. z =10x 10y 的最大值是(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95 八、比值问题 当目标函数形如z =-—a时，可把z看作是动点P x, y与定点Q b, a连线的斜率，这样目 x —b 标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。 x—y+ 2W 0，V
线性规划典型例题
例1：生产计划问题 某工厂明年根据合同，每个季度末向销售公司提供产品，有关信息如下表。若当季生产的产品过多，季末有积余，则一个季度每积压一吨产品需支付存贮费O.2万元。现该厂考虑明年的最佳生产方案，使该厂在完成合同的情况下，全年的生产费用最低。试建立模型。 解： 法1 设每个季度分别生产x1,x2,x3,x4 则要满足每个季度的需求x4≥26 x1+ x2≥40 x1+ x2+ x3≥70 x1+ x2+ x3+ x4=80 考虑到每个季度的生产能力 0≤x1≤30 0≤x2≤40 0≤x3≤20 0≤x4≤10 每个季度的费用为：此季度生产费用+上季度储存费用 第一季度15.0x1 第二季度14 x2 0.2(x1-20) 第三季度15.3x3+0.2(x1+ x2-40) 第四季度14.8x4+0.2(x1+ x2+ x3-70)
工厂一年的费用即为这四个季度费用之和, 得目标函数；minf=15.6 x1+14.4 x2+15.5 x3+14.8 x4-26 s.t．x1+ x2≥40 x1+ x2+ x3≥70 x1+ x2+ x3+ x4=80 20≤x1≤30 0≤x2≤40 0≤x3≤20 0≤x4≤10。 法2：设第i季度生产而用于第j季度末交货的产品数量为xij吨 根据合同要求有： xll=20 x12+x22=20 x13+x23+x33=30 x14+x24+x34+x44=10 又根据每季度的生产能力有： xll+x12+x13+x14≤30 x22+x23+x24≤40 x33+x34≤20 x44≤10 第i季度生产的用于第j季度交货的每吨产品的费用cij=dj+0.2(j-i)，于是，有线性规划模型。 minf=15.Oxll+15.2x12+15.4xl3+15.6xl4+14x22+14.2x23+14.4x24+15.3 x33+15.5x34+14.8x44 s．t． xll=20， x12+x22=20， x13+x23+x13=30， x14+x24+x34+x44=10， x1l+x12+x13+x14≤30， x22+x23+x24≤40， x33+x34≤20，
数学建模 线性规划模型
数学建模线性规划模型 数学建模教案,线性规划模型 一、问题的提出 在生产管理和经营活动中经常提出一类问题，即如何合理地利用有限的人力、物力、财力等资源，以便得到最好的经济效果。 例1 若需在长为4000mm的圆钢上，截出长为698mm和518mm两种毛坯，问怎样截取才能使残料最少, 初步分析可以先考虑两种“极端”的情况: (1)全部截出长为698mm的甲件，一共可截出 EQ F(4000,698) ?5件，残料长为510mm。 (2)全部截出长为518mm的乙件，一共可截出 EQ F(4000,518) ?7件，残料长为374mm。由此可以想到，若将 x个甲件和y 个乙件搭配起来下料，是否可能使残料减少,把截取条件数学化地表示出来就是: 698 x + 518y ? 4000 x ，y都是非负整数 目标是使:z = EQ F(698x + 518y,4000) (材料利用率)尽可能地接近或等于1。(尽可能地大) 该问题可用数学模型表示为: 目标函数 : max z = EQ F(698x + 518y,4000) 满足约束条件: 698 x + 518y ? 4000 ， (1) x ，y都是非负整数 . (2) 例2 某工厂在计划期内要安排生产I 、II两种产品，已知生产单位产品所需的设备台数及A、B两种原料的消耗，如下表所示。
I II 设备 1 2 8台数 原材料A 4 0 16kg 原材料B 0 4 12kg 该工厂每生产一件产品I可获利 2 元，每生产一件产品II可获利 3 元，问应如何安排生产计划使工厂获利最多, 这问题可以用以下的数学模型来描述:设 x, x分别表示在计划期内产品I、II 的产量。 1 2 因为设备的有效台数为8 ，这是一个限制产量的条件，所以在确定I 、II的产量时，要考虑不超过设备的有效台数，即可用不等式表示为: x + 2x ? 8 . 1 2同理，因原材料A 、B的限量，可以得到以下不等式: 4 x ? 16 1 4 x ? 12. 2 该工厂的目标是在不超过所有资源限量的条件下，如何确定产量x、x以得到最大 1 2的利润。若用 z 表示利润，这时z = 2x + 3 x。综上所述，该计划问题可用数学模型表 1 2 示为: 目标函数 : max z = 2x + 3 x 1 2 满足约束条件: x + 2x ? 8 1 2 4 x ? 16 1 4 x ? 12. 2
线性规划习题附答案模板
习题 2-1 判断下列说法是否正确: （1）任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题; （2）对偶问题的对偶问题一定是原问题; （3）根据对偶问题的性质, 当原问题为无界解时, 其对偶问题无可行解, 反之, 当对偶问题无可行解时, 其原问题具有无界解; （4）若线性规划的原问题有无穷多最优解, 则其对偶问题也一定具有无穷多最优解; （5）若线性规划问题中的b i, c j值同时发生变化, 反映到最终单纯形表中, 不会出现原问题与对偶问题均为非可行解的情况; （6）应用对偶单纯形法计算时, 若单纯形表中某一基变量x i<0, 又x i所在行的元素全部大于或等于零, 则能够判断其对偶问题具有无界解。 （7）若某种资源的影子价格等于k, 在其它条件不变的情况下, 当该种资源增加5个单位时, 相应的目标函数值将增大5k;
（8） 已知y i 为线性规划的对偶问题的最优解, 若y i >0, 说明在最优生产计划中第i 种资源已经完全耗尽; 若y i =0, 说明在最优生产计划中的第i 种资源一定有剩余。 2-2将下述线性规划问题化成标准形式。 ????? ? ?≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束 43 214321432143214321,0,,232142224.5243max )1(x x x x x x x x x x x x x x x x st x x x x z ()??? ??≥≤≤-+-=++-+-=无约束 321 3213213 21,0,06 24 .322min 2x x x x x x x x x st x x x z 解: (1)令'''444x x x =-, 增加松弛变量5x , 剩余变量6x , 则该问题的标准形式如下所示: ''' 12344''' 12344''' 123445''' 123446'''1234456max 342554222214..232 ,,,,,,0 z x x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x =-+-+-?-+-+-=?+-+-+=??-++-+-=??≥? (2)令'z z =-, '11x x =-, '''333x x x =-, 增加松弛变量4x , 则该问题的标准形式如下所示: ''''' 1233'''' 1233'''' 12334''''12334 max 22334 ..26,,,,0z x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =+-+?++-=?+-++=??≥? 2-3分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题, 并对照
128499-管理运筹学-第二章线性规划-习题
11（2），12,14,18 习题 2-1 判断下列说法是否正确： （1） 任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题； T （2） 对偶问题的对偶问题一定是原问题；T （3） 根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之， 当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；F （4） 若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优 解； （5） 若线性规划问题中的b i ，c j 值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出 现原问题与对偶问题均为非可行解的情况； （6） 应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量x i <0，又x i 所在行的元素全 部大于或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解。 （7） 若某种资源的影子价格等于k ，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加 5个单位时，相应的目标函数值将增大5k ； （8） 已知y i 为线性规划的对偶问题的最优解，若y i >0，说明在最优生产计划中第 i 种资源已经完全耗尽；若y i =0，说明在最优生产计划中的第i 种资源一定有剩余。 2-2将下述线性规划问题化成标准形式。 ????? ? ?≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束 43 214321432143214321,0,,232142224.5243max )1(x x x x x x x x x x x x x x x x st x x x x z 2-3分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基 可行解对应图解法中可行()?????≥≤≤-+-=++-+-=无约束 321 3213213 21,0,06 24 .322min 2x x x x x x x x x st x x x z 域的哪一顶点。 ()??? ??≥≤+≤++=0,8259 43.510max 12 1212121x x x x x x st x x z ()??? ??≥≤+≤++=0,242615 53.2max 22 121212 1x x x x x x st x x z 2-4已知线性规划问题，写出其对偶问题： 5 43212520202410max x x x x x z ++++=
数学建模(教案)第一章--线性规划
数学建模 第一章 线性规划 §1 线性规划 在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。 1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？ 上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则21,x x 应满足 （目标函数） 2134m ax x x z += (1) s.t. （ 约 束 条 件 ） ?????? ?≥≤≤+≤+0 ,781022122 121x x x x x x x （2） 这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。
上述即为一规划问题数学模型的三个要素。由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。 总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。 在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。而选取适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。 1.2 线性规划的Matlab 标准形式 线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab 中规定线性规划的标准形式为 b Ax x c x T ≤ that such min 其中c 和x 为n 维列向量，b 为m 维列向量，A 为n m ?矩阵。 例如线性规划 b Ax x c x T ≥ that such max 的Matlab 标准型为 b Ax x c x T -≤-- that such min 1.3 线性规划问题的解的概念 一般线性规划问题的标准型为 ∑==n j j j x c z 1min (3) ∑==≤n j i j ij m i b x a 1,,2,1 s.t.Λ (4) 可行解 满足约束条件（4）的解),,,(21n x x x x Λ=，称为线性规划问题的可行解，而使目标函数（3）达到最小值的可行解叫最优解。
高考全国卷及各省数学线性规划真题附答案.docx
2017 高考全国卷及自主招生数学高考真题 线性规划专题真题整理（附答案解析） x 3y 3, 1. （ 17 全国卷 I ，文数 ）设 x ，y 满足约束条件 x y 1, 则 z=x+y 的最大值为（ ） 7 y 0, A ． 0 B ． 1 C ．2 D ．3 答案： D 解析：如图，由图易知当目标函数 z x y 经过 直线 x 3 y 3 和 y 0 （即 x 轴）的交点 A(3,0) 时， z 能取到最大值，把 A(3,0) 代入 z=x+y 可得 z max 3 0 3 ，故选 D. x 2 y 1 2.（17 全国卷 I, 理数 14 题）设 x ，y 满足约束条件 2x y 1，则 z 3x 2 y 的最小值 x y 0 为 答案： 5 x 2 y 1 解析：不等式组 2x y 1 表示的平面区域如图所示。 x y 0 由 z 3x 2 y 变形得 y 3 x z 。要求 z 的最小值， 2 2 即求直线 y 3 x z 的纵截距的最大值。由右图，易知 2 2 当直线 y 3 x z 过图中点 A 时，纵截距最大。 2 2 联立方程组 2 x y 1 ，此时 z 3(1) 2 1 5 。 x 2 y 1 ，解得 A 点坐标为 ( 1,1) 故 z 3x 2 y 的最小值是 -5.
2x+3y 30 3. （17 全国卷Ⅱ，文数 7、理数 5）设 x、y 满足约束条件2x 3 y 3 0 .则z2x y的 y 30 最小值是（） A.-15 C.1D9 答案： A 2x+3y 30 解析：不等式组2x 3y 30 表示的可行域如图所示， y30 易知当直线z 2x y 过到y 2 x 1与 y 3 交点 3 6 ，3 时，目标函数 z2x y 取到最小值，此时有 z min 26315 ，故所求z 最小值为15． ）设，满足约束条件 3x 2 y60 的取值范围是 4. （17 全国卷Ⅲ，文数 5 x0，则 z=x-y x y y0 () A.[-3,0] B.[-3,2] C.[0,2] D.[0,3] 答案： B 解析：绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数 的几何意义可得目标函数z x y 在直线3x 2y 60 与= - 直线 x0 （即x 轴）的交点A0,3处取得最小值， 此时 z min0 3 3。在点B2,0处取得最大值，此时 z max 2 0 2 . 故本题选择 B 选项 . 5.（17 全国卷Ⅲ，理数13）若 x，y 满足约束条件x y 0 x y 2 0 则z3x 4 y 的最小值为y 0 ________．
(完整版)简单的线性规划问题(附答案)
简单的线性规划问题 [ 学习目标 ] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念 .2. 了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题． 知识点一线性规划中的基本概念 知识点二线性规划问题 1．目标函数的最值 线性目标函数 z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是 y＝－a x＋z，在 y 轴上的 截距是z， b b b 当 z 变化时，方程表示一组互相平行的直线． 当 b>0，截距最大时， z 取得最大值，截距最小时， z 取得最小值； 当 b<0，截距最大时， z 取得最小值，截距最小时， z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即， (1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点 (或边界 )便是最优解． (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案．
知识点三简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大； (2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有： ①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C 三种 材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤 (1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法． (2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解． (3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案． 题型一求线性目标函数的最值 y≤2， 例 1 已知变量 x，y 满足约束条件 x＋y≥1，则 z＝3x＋y 的最大值为 ( ) x－y≤1， A ． 12 B ．11 C ．3 D ．－ 1 答案 B 解析首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点 的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x＋z 经 y＝2，x＝ 3，
数学建模线性规划
线性规划 1.简介： 线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源. 线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.规划问题。一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。 (x)都是线性函数，则该模型称为在优化模型中，如果目标函数f(x)和约束条件中的g i 线性规划。 2.线性规划的3个基本要素 （1）决策变量 （2）目标函数f(x) (x)≤0称为约束条件） （3）约束条件（g i 3.建立线性规划的模型 （1）找出待定的未知变量（决策变量），并用袋鼠符号表示他们。 （2）找出问题中所有的限制或者约束，写出未知变量的线性方程或线性不等式。
（3）找到模型的目标或判据，写成决策变量的线性函数，以便求出其最大值或最小值。以下题为例，来了解一下如何将线性规划用与实际的解题与生活中。 生产计划问题 某工厂生产甲乙两种产品，每单位产品消耗和获得的利润如表 试拟订生产计划，使该厂获得利润最大 解答：根据解题的三个基本步骤 （1）找出未知变量，用符号表示： 设甲乙两种产品的生产量分别为x 1与x 2 吨，利润为z万元。 （2）确定约束条件： 在这道题目当中约束条件都分别为：钢材，电力，工作日以及生产量不能为负的限制 钢材：9x 1+5 x 2 ≤360， 电力：4x 1+5 x 2 ≤200， 工作日：3x 1+10 x 2 ≤300， x 1≥0 ，x 2 ≥0， （3）确定目标函数： Z=7x 1+12 x 2
简单的线性规划 习题含答案
线性规划教案 1.若x、y满足约束条件 2 2 2 x y x y ≤ ? ? ≤ ? ?+≥ ? ，则z=x+2y的取值范围是（） A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A 2.不等式组 260 30 2 x y x y y +-≥ ? ? +-≤ ? ?≤ ? 表示的平面区域的面积为 （） A、4 B、1 C、5 D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面 积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B 3.满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个 解：|x|＋|y|≤2等价于 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥ ? ?-≤≥ ? ? -+≤≥ ? ?--≤ ? 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D 四、求线性目标函数中参数的取值范围 4.已知x、y满足以下约束条件 5 50 3 x y x y x +≥ ? ? -+≤ ? ?≤ ? ，使 z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值 为（） A、－3 B、3 C、－1 D、1 解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函 数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将 l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D 5.某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m3，第二种有56m3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产
八种 经典线性规划例题(超实用)
线性规划常见题型及解法 由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、若x、y满足约束条件 2 2 2 x y x y ≤ ? ? ≤ ? ?+≥ ? ，则z=x+2y的取值范围是（） A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A 二、求可行域的面积 例2、不等式组 260 30 2 x y x y y +-≥ ? ? +-≤ ? ?≤ ? 表示的平面区域的面积为（） A、4 B、1 C、5 D、无穷大 解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个 解：|x|＋|y|≤2等价于 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥ ? ?-≤≥ ? ? -+≤≥? ?--≤ ? 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D
四、求线性目标函数中参数的取值范围 例4、已知x、y满足以下约束条件 5 50 3 x y x y x +≥ ? ? -+≤ ? ?≤ ? ，使z=x+ay(a>0) 取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（） A、－3 B、3 C、－1 D、1 解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D 五、求非线性目标函数的最值 例5、已知x、y满足以下约束条件 220 240 330 x y x y x y +-≥ ? ? -+≥ ? ?--≤ ? ，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（） A、13，1 B、13，2 C、13，4 5 D 、 解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方， 即为4 5 ，选 C 六、求约束条件中参数的取值范围 例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（） A、（-3,6） B、（0,6） C、（0,3） D、（-3,3） 解：|2x－y＋m|＜3等价于 230 230 x y m x y m -++>? ? -+- ? ? -< ? ,故0＜m＜3，选 C
线性规划经典例题
线性规划常见题型及解法 由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、 若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤?? ≤??+≥? ，则z=x+2y 的取值范围是 （ ） A 、[2,6] B 、[2,5] C 、[3,6] D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将 l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值 2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A 二、求可行域的面积 例2、不等式组260302x y x y y +-≥?? +-≤??≤? 表示的平面区域的面积为 （ ） A 、4 B 、1 C 、5 D 、无穷大 解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个 x y O 2 2 x=2 y =2 x + y =2 B A 2x + y – 6= 0 = 5 x ＋y – 3 = 0 O y x A B C M y =2
解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0) 2 (0,0)x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥??-≤≥? ? -+≤≥??--≤? 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整 点个数为13个，选D 四、求线性目标函数中参数的取值范围 例4、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥?? -+≤??≤? ，使z=x+ay(a>0) 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为 （ ） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解 有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选D 五、求非线性目标函数的最值 例5、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥?? -+≥??--≤? ，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（ ） A 、13，1 B 、13，2 C 、13，4 5 D 、 5 解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为 4 5 ，选C 六、求约束条件中参数的取值范围 例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点 （0,0）和（－ 1,1），则m 的取值范围是 （ ） A 、（-3,6） B 、（0,6） C 、（0,3） D 、（-3,3）
数学建模-线性规划
-1- 第一章线性规划 §1 线性规划 在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济 效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947 年G. B. Dantzig 提出 求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性 规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。 1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000 元与3000 元。 生产甲机床需用A、B机器加工，加工时间分别为每台2 小时和1 小时；生产乙机床 需用A、B、C三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时 数分别为A 机器10 小时、B 机器8 小时和C 机器7 小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？ 上述问题的数学模型：设该厂生产1 x 台甲机床和2 x 乙机床时总利润最大，则1 2 x , x 应满足 （目标函数）1 2 max z = 4x + 3x (1) s.t.（约束条件） ?? ? ?? ? ? ≥ ≤ + ≤ + ≤ , 0 7 8 2 10 1 2 2 1 2 1 2 x x x x x x x （2） 这里变量1 2 x , x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。由于上面的目标函数及约束条件均为线性
《运筹学》习题线性规划部分练习题及答案
《运筹学》线性规划部分练习题 一、思考题 1．什么是线性规划模型，在模型中各系数的经济意义是什么？ 2．线性规划问题的一般形式有何特征？ 3．建立一个实际问题的数学模型一般要几步？ 4．两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？ 5．求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？ 6．什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。 7．试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。 8．试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。 9．在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？ 10．大M 法中，M 的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问题呢？ 11．什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续第二阶段？ 二、判断下列说法是否正确。 1．线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。 2．线性规划的可行解集是凸集。 3．如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。 4．线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。 5．线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。 6．如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。 7．用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与 > j σ 对应的变量都 可以被选作换入变量。 8．单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。 9．单纯形法计算中，选取最大正检验数k σ对应的变量k x作为换入变量，可使目标函数值得到最快的减少。 10．一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。 三、建立下面问题的数学模型 1．某公司计划在三年的计划期内，有四个建设项目可以投资：项目Ⅰ从第一年到 第三年年初都可以投资。预计每年年初投资，年末可收回本利120% ，每年又可以重新将所获本利纳入投资计划；项目Ⅱ需要在第一年初投资，经过两年可收回本利150% ，又可以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资额不得超过20万元；项目Ⅲ需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利160% ，但用于该项目的最大投资额不得超过15万元；项目Ⅳ需要在第三年年初投资，年末可收回本利140% ，但用于该项目的最大投资额不得超过10万元。在这个计划期内，该公司第一年可供投资的资金有30万元。问怎样的投资方案，才能使该公司在这个计划期获得最大利润？ 2．某饲养场饲养动物，设每头动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、100克维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量及单 价如下表2—1所示：
线性规划练习题含答案
线性规划练习题含答案 一、选择题 A ．4 5 - B ．1 C ． 2 D ．无法确定【答案】B 【解析】解：如图所示 要是目标函数取得最小值的最优解有无穷多个，则令ax+y=0,并平移过点C 24 (,)33 ，（可行域最 左侧的点）的边界重合即可。注意到a>0，只能与AC 重合，所以a=18．已知点集{}2 2 (,)48160A x y x y x y =+--+≤， {} (,)4,B x y y x m m 是常数=≥-+，点集A 所表示的平面区域与点集B 所表示的平面区域的边界的交点为,M N . 若点(,4)D m 在点集A 所表示的平面区域内（不在边界上），则△DMN 的面积的最大值是 A. 1 B. 2 C. 22 D. 4【答案】B 【解析】解：因为点集A 表示的为圆心为（2,4），半径为2的圆，而点集B 表示为绝对值函数表示的区域则利用数形结合思想，我们可以求解得到。【题型】选择题 9．在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥??-≤??-+≥? （α为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为（ ）A ． -5 B ．1 C ． 2 D ． 3 【答案】D 【解析】解：当a<0时，不等式表示的平满区域如图中的M ，一个无限的角形区域，面积不可能为2，故只能a 0≥，此时不等式表示的区域为如图中的N ，区域为三 角形区域，若这个三角形的面积为2，则AB=4，即点B （1,4），代入y=ax+1，得a=310．已知方程：2 20x ax b ++= (,)a R b R ∈∈，其一根在区间(0,1)内,另一根在区间(1,2)内，则22 (3)z a b =++的取值范围为 A. B. 1(,4)2 C. (1,2) D. (1,4)【答案】B 【解析】解： 2( ,2)2222f (x)x ax 2b,f (0)0 f (1)0,f (3)0b 0,a 2b 10,2a 2b 40a b z (a 3)b -1z 2解：设由图像可知，三者同时成立，求解得到由线性规划知识画出可行域，以为横轴，为纵轴，再以为目标，几何意义为区域内的点到（3,0）的距离的平方，当a=-1，b=0时，z 最大为4，当点到直线 a+2b+1=02的距离为，最小为，由题目，不能去边界2=++><>>++<++>=++11．的取值范围是则满足约束条件变量122,012430 ,++=≤-+≥≥?????x y s y x x y x y x （ ）A ．[1,4] B ．[2,8] C ．[2,10] D ．[3,9]【答案】B 【解析】约束条件034120x y x x y ≥≥+-≤?????表示的区域如图，221112y y s x x ++=++=?，11y x ++表示点（x ，y ）与点（-1，-1）的斜率，PB 的斜率为最小值，PA 的斜率为最大值，斜率的取值范围是[1,4]，112y x ++?的取值范围是[2,8]。 12．若变量x,y 满足约束条件1 325x y x x y ≥-?? ≥??+≤? 则z=2x+y 的最大值为 （A ）1 (B)2 (C)3 (D)4【答案】C 【解析】：∵ 作出可行域，作出目标函数线，可得直线与 y x = 与325x y +=的交点为最优解点，∴即为（1，1），当1,1x y ==时max 3z =13．在集合 }4,1,1|),{(≤+≥≥=y x y x y x A 中，y x 2+的最大值是
数学建模习题——线性规划
某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示．按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税．此 表四 问：（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？ （2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？ （3）在1000万元资金情况下，若证券A 的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C 的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？ 解：设利润函数为M(x),投资A 、B 、C 、D 、E 五种类型的证券资金分别为12345,,,,x x x x x 万元，则由题设条件可知
12345123452341234512345123451234512345()0.0430.0270.0250.0220.0451000400 225 1.4()9154325(),,,,0 M x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++≤++≥++++≤++++++++≤++++≥ 利用MATLAB 求解最优解，代码如下： c=[-0.043 -0.027 -0.025 -0.022 -0.045]; A=[1 1 1 1 1;0 -1 -1 -1 0;0.6 0.6 -0.4 -0.4 3.6;4 10 -1 -2 -3]; b=[1000;-400;0;0]; Aeq=[]; beq=[]; vlb=[0;0;0;0;0]; vub=[]; [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 运行结果如下：
高考全国卷线性规划真题含答案完整版
高考全国卷线性规划真 题含答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
2013—2017高考全国卷线性规划真题 1.【2017全国1，文7】设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤?? -≥??≥? 则z =x +y 的最大值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2.【2017全国2，文7】设,x y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤?? -+≥??+≥? ,则2z x y =+的最小值 是 A.15- B.9- C.1 D 9 3.【2017全国3，文5】设x ，y 满足约束条件32600 0x y x y +-≤?? ≥??≥? ，则z x y =-的取值范围是 A ．[–3,0] B ．[–3,2] C ．[0,2] D ．[0,3] 4．(2016全国1，文16)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料 kg ，乙材料 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元． 5．(2016全国2，文14)若x ，y 满足约束条件???? ?x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝ x －2y 的最小值为________．
数学建模 运筹学模型(一)
运筹学模型（一） 本章重点： 线性规划基础模型、目标规划模型、运输模型及其应用、图论模型、最小树问题、最短路问题 复习要求： 1.进一步理解基本建模过程，掌握类比法、图示法以及问题分析、合理假设的内涵. 2.进一步理解数学模型的作用与特点. 本章复习重点是线性规划基础模型、运输问题模型和目标规划模型.具体说来，要求大家会建立简单的线性规划模型，把实际问题转化为线性规划模型的方法要掌握，当然比较简单.运输问题模型主要要求善于将非线性规划模型转化为运输规化模型，这种转化后求解相当简单.你至少把一个很实际的问题转化为用表格形式写出的模型，至于求解是另外一回事，一般不要求.目标模型一般是比较简单的线性规模模型在提出新的要求之后转化为目标规划模型.另外，关于图论模型的问题涉及到最短路问题，具体说来用双标号法来求解一个最短路模型.这之前恐怕要善于将一个实际问题转化为图论模型.还有一个最小数的问题，该如何把一个网络中的最小数找到.另外在个别场合可能会涉及一笔划问题. 1.营养配餐问题的数学模型 n n x C x C x C Z ++=211m i n ????? ?? ??=≥≥+++≥+++≥+++??) ,,2,1(0, ,, 22112222212111212111n j x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a t s j m n mn m m n n n n 或更简洁地表为 ∑== n j j j x C Z 1 m i n ??? ??? ?==≥≥??∑=),,2,1,,2,1(01 n j m i x b x a t s j n j i j ij 其中的常数C j 表示第j 种食品的市场价格，a ij 表示第j 种食品含第i 种营养的数量，b i 表示人或动物对第i 种营养的最低需求量. 2.合理配料问题的数学模型 有m 种资源B 1，B 2，…，B m ，可用于生产n 种代号为A 1，A 2，…，A n 的产品.单位产品A j 需用资源B i 的数量为a ij ，获利为C j 单位，第i 种资源可供给总量为b i 个单位.问如何安排生产，使总利润达到最大？ 设生产第j 种产品x j 个单位（j =1，2，…，n ），则有 n n x C x C x C Z +++= 2211m a x