离散数学(屈婉玲版)第四章部分答案

4.1 （1）设S={1，2}，R 是S 上的二元关系，且xRy 。如果R=Is ，则（A ）；如

果R 是数的小于等于关系，则（B ），如果R=Es ，则（C ）。

（2）设有序对与有序对<5,2x+y>相等，则 x=(D),y=(E).

供选择的答案

A 、

B 、

C ：① x,y 可任意选择1或2；② x=1,y=1；③ x=1,y=1 或 2；x=y=2；

④ x=2,y=2；⑤ x=y=1或 x=y=2；⑥ x=1,y=2；⑦x=2,y=1。

D 、

E ：⑧ 3；⑨ 2；⑩-2。

答案：

A: ⑤

B: ③

C: ①

D: ⑧

E: ⑩

4.2设S=<1,2,3,4>,R 为S 上的关系，其关系矩阵是

?????

???????0001100000011001 则（1）R 的关系表达式是（A ）。

（2）domR=(B),ranR=(C).

（3）R ?R 中有（D ）个有序对。

（4）R ˉ1的关系图中有（E ）个环。

供选择的答案

A :①{<1,1>,<1,2>,<1,4>,<4,1>,<4,3>}；

②{<1,1>,<1,4>,<2,1>,<4,1>,<3,4>}；

B 、

C ：③{1，2，3，4}；④{1，2，4}；⑤{1，4}⑥{1，3，4}。

D 、

E ⑦1；⑧3；⑨6；⑩7。

答案：

A:②

B:③

C:⑤

D:⑩

E:⑦

4.3设R 是由方程x+3y=12定义的正整数集Z+上的关系，即

{＜x,y ＞︳x,y ∈Z+∧x+3y=12},

则 （1）R 中有A 个有序对。

（2）dom=B 。

(3)R ↑{2,3,4,6}=D 。

(4){3}在R 下的像是D 。

（5）R 。R 的集合表达式是E 。

供选择的答案

A:①2;②3;③4.

B 、

C 、

D 、E:④{＜3，3＞}；⑤{＜3，3＞，＜6，2＞}；⑥{0，3，6，9，12}；

⑦{3，6，9}；⑧{3}；⑨Ф；⑩3。

答案：A ：②。分别是：＜3，3＞＜6，2＞＜9，1＞

B ：⑦。

C ：⑤。

D ：⑧。

E: ④。

4.4 设S={1,2,3},图4-13给出了S 上的5个关系，则它们]只具有以下性质：

R1是A, R2是B, R3是C, R4是D, R5是E 。

供选择的答案

A,B,C,D,E:①自反的，对称的，传递的；②反自反的，反对称的；

③反自反的，反对称的，传递的；④自反的；⑤反对称的，传递的；

⑥什么性质也没有；⑦对称的；⑧反对称的；⑨反自反的，对称的；

⑩自反的，对称的，反对称的，传递的

A:④ B:⑧

C ：⑨

D:⑤

E: ⑩

4．5 设Z +={x|x ∈Z ∧x>0},∏1, ∏2, ∏3是Z ﹢的3个划分。

∏1={{x}|x ∈Z ﹢},

∏2={S 1,S 2},S 为素数集，S 2=Z-S 1,

∏3={Z +},

则 （1）3个划分中分块最多的是A,最少的是B.

(2)划分∏1对应的是Z +上的C, ∏2对应的是Z +上的D, ∏3对应的是

Z +上的E

供选择的答案

A,B:①∏1;②∏2;③∏3.

C,D,E:④整除关系；⑤全域关系；⑥包含关系；⑦小于等于关系；⑧恒等关系；⑨含有两个等价类的等价关系；⑩以上关系都不是。

答案

A ①

B ③

C ⑧

D ⑨

E ⑤

4.6 设S={1，2，…,10},≤是S 上的整除关系,则的哈斯图是(A),其中最

大元是(B),最小元是(C),最小上界是(D),最大下界是(E).

供选择的答案

A: ① 一棵树; ② 一条链; ③ 以上都不对.

B 、

C 、

D 、E: ④ ?；⑤ 1；⑥ 10；⑦ 6，7，8，9，10；⑧ 6；⑨ 0；⑩ 不存

在。

答案：

A: ③(树中无环,所以答案不是①)

B: ⑩

C: ⑤

D: ⑩

E: ⑤

4.7设f :N →N,N 为自然数集，且 ()1,2

x f x x x ??=???若为奇数，，若为偶数， 则f （0）=A ，{}(){}()(){}()0,1,2,1,2,0,2,4,6,f

B f

C f

D f

E ===?=. 供选择的答案

A 、

B 、

C 、

D 、

E ：①无意义；②1；③{1}；④0；⑤{0}；⑥

12；∴⑦N ； ⑧{1，3，5，…}；⑨{

12，1}；⑩ {2，4，6，…}. 解：f （0）=02

=0，∴A=④； {}()0f ={0}，∴B=⑤；

{}()1,2f ={1}，∴C=③；

()1,2f ①无意义；

{}()0,2,4,6,f ?=N ，∴E=⑦.

4.8 设R 、Z 、N 分别表示实数、整数和自然数集，下面定义函数f1、f2、f3、

f4。试确定它们的性质。

f1: R →R ，f(x)=2x,

f2: Z →N ，f(x)=|x|.

f3: N →N ，f(x)=(x)mod3,x 除以3的余数，

f4: N →N ×N ，f(n)=。

则f1是A ，f2是B ，f3是C ，f4是D ，f4（{5}）=E 。

供选择的答案

A 、

B 、

C 、

D ：①、满射不单射；②、单射不满射；③、双射；④、不单射也不

满射；⑤、以上性质都不对。

E ：⑥、6；⑦、5；⑧、<5,6>;⑨、{<5,6>};⑩、以上答案都不对。

解：

f1是②、单射不满射；f2是①、满射不单射；f3是④、不单射也不满射；f4

是②、单射不满射；f4（{5}）=⑨、{<5,6>}。

4.9 设f :R →R ，f(x)= x 2 ， x ≥3,

-2 , x<3; g:R →R ，g(x)=x+2,

则 f 〇g(x)=A,g 〇f(x)=B, g 〇f: R →R 是 C,f-1是 D,g-1是E.

供选答案::

A\B:① (x+2)2 , x ≥3, ② x 2+2 ， x ≥3, -2 , x<3; -2 , x<3;

(x+2)2 , x ≥1, x 2+2 ， x ≥3,

③ ④

-2 , x<1; 0 , x<3;

C: ⑤ 单射不满射；⑥ 满射不单射；⑦ 不单射也不满射；⑧ 双射。

D 、

E ：⑨ 不是反函数; ⑩ 是反函数。

解：A=③ B=④ C=⑦ D=⑨ E=⑩

4.10 （1）设S={a,b,c},则集合T={a,b}的特征函数是（A ），属于 §（S 上S ）

的函数是（B ）。

（2）在S 上定义等价关系R=Is ∪{< a,b >,< b, a>},那么该等价关系对

应的划分中有(C)个划分.作自然映射g :S →S/R,那么g 的表达式是(D).

g (b)=(E).

供选择的答案

A 、

B 、D ：① {,,};② {} ; ③{,,};

④ {,,};⑤ {,,}.

C:⑥ 1;⑦ 2;⑧ 3.

E:⑨ {a,b};⑩ {b}.

答案：

A:③

B: ①

C: ⑦

D: ⑤

E: ⑨

4.11 设S={1，2，……，6}，下面各式定义的R都是在S上的关系，分别列出R的元素。

R = { |x, y ∈s ∧ x | y}.

解：由题意可知R是整除关系，

所以答案如下：

R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<3,3>,<3,6> ,<4,4>,<5,5>,<6,6>}.

( 2 ) R = {< x , y > | x , y ∈ S ∧ x是y的倍数}.

解: 由题意可知：

R={<1,1>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,3>,<4,1>,<4,2>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<6,1> ,<6,2>,<6,3>,<6,6>} .

( 3 ) R = {< x, y> | x , y ∈S ∧ ( x - y )2= ∈ S }.

解: 由题意可知：

R={<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,3>,<2,4>,<3,1>,<3,2>,<3,4>,<3,5>,<4,2>,<4,3> ,<4,5>,<4,6>,<5,3>,<5,4>,<5,6>,<6,4>,<6,5>}.

( 4 ) R = {< x , y > | x , y ∈S ∧ x / y是素数 }

解：由题意可知：

R={<1,1>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,3>,<4,2>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,

<6,1>,<6,2>,<6,3>,<6,6>}.

4.13 S={a，b，c，d}，R

1、R

2

为S上的关系，

R

1

={，，}

R

2

={，，，}

求R

1。R

2

、R

2

。R

1

、R

1

2和R

2

3.

解:设R

1的关系矩阵为M

1

，R

2

的关系矩阵为M

2，

则

122

1211

200110001010000000000000011000001000100110000010000000000R M M R M M ??????????===?????????????

????????????=

==????????????110011001101000000000000001100110100010000000000??????????????????????????????????????=此题答案正确，只是写法不对，应改为：

其余类似

},{...

2112><=?∴=?d c R R M M

4．14R 的关系图如图4-14所示，试给出r （R ）、s （R ）、t （R ）的关系图。

A B C D E 图4-14

解：r （R ）：

s （R ）：

t（R）： a b c d e

4.16画出下列集合关于整除关系的哈斯图。

（1）{1，2，3，4，6，8，12，24}。

（2）{1，2， (9)

并指出它的极小元、最小元、极大元、最大元。

解：

（1）

8

12

4

6

2

3

极小元、最小元：1

极大元、最大元：24

（2）

8

4

6

2

5 9

7 3

1

极小元、最小元：1

极大元：5，6，7，8，9

最大元：无

4.19设 f , g , h ∈N , 且有

0 n 为偶数

f (n)=n+1 ， g(n)=2n ，h(n)=

1 n 为奇数

求 fof , gof ,fog , hog , goh , 和 fogoh 。

解

由题意可知所求的复合函数都是从N 到N 的函数，且满足

fo f(n)=f(f(n))= f(n+1)= (n+1)+1=n+2

gof (n )=g(f(n))= g(n+1)= 2(n+1)=2n+2

fog(n)=f(g(n))= f(2n)=2n+1

hog(n)=h(g(n))= h(2n)=0

goh(n)=g(h(n))= 0 n 为偶数

2 n 为奇数

1 n 为偶数

fogoh=f(g(h(n)))=

3 n 为奇数

4.20 设f ： R ×R →R ×R , f ()=< x+y , x-y >,

求f 的反函数。

解：设:>=<><-v u y x f ,),(1

则>=<>

而>-+=<>

所以 ???-=+=v u y v

u x

解得??

???-=+=22y x v y x u 所以>=<><-v u y x f ,),(12

,2y x y x -+= 4.21设f,g ∈N N

,,N 为自然数集，且

x+1, x=0,1,2,3 x/2, x 为偶数，

f(x)= 0, x=4, g(x)=

x, x ≥5, 3， x 为奇数.

求g ?f 并讨论它的性质（是否为单射或满射）。

设A={0，1，2}，求g ?f （A ）。

解：（1）

（x+1）/2,x=1,3,

g ?f (x)= 0, x=4,

x/2, x 为偶数且x ≥6,

3, x=0,2及大于等于5的奇数。

g ?f 不是单射，因为g ?f （6）= g ?f （5）=3.

g ?f 是满射，因为g ?f 能取到自然数集的任何数。

（2）g ?f （0）=g （1）=3.

g ?f （1）=g （2）=1.

g ?f (2)=g(3)=3.

所以g ?f （A ）={3,1}

4.22设A={0，1，2}，B={0，1}，

求P （A ）和B A

构造一个从P （A ）到B A 的双射函数。

解：(1)P （A ）={Φ，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}} B A ={f1,f2, (8)

其中 f 1={<0,0>,<1,0>,<2,0>}

f 2={<0,0>,<1,0>,<2,1>}

f 3={<0,0>,<1,1><2,0>}

f 4={<0,0>,<1,1>,<2,1>}

f 5={<0.1>,<1,0>,<2,0>}

f 6={<0,1>,<1,0>,<2,1>}

f 7={<0,1>,<1,1>,<2,0>}

f 8={<0,1>,<1,1>,<2,1>}

(2)设该双射函数为F

F={<Φ, f 1>,<{0}, f 2>,<{1}, f 3>,<{2}, f 4>,<{0，1}, f 5>,<{0，2}, f 6>,<{1，2}，f 7>,<{0，1，2}, f 8>}

做的不错，只是题目抄错了。正确答案是

4.22设A={a ，b}，B={0，1}，

求P （A ）和B A

构造一个从P （A ）到B A 的双射函数。

解：(1)P （A ）={Φ，{a}，{b}，{a ，b}}

B A ={f1,f2, (4)

其中 f 1={,}

f 2={,}

f 3={,}

f 4={,}

(2)设该双射函数为F

F={<Φ, f 1>,<{a}, f 2>,<{b}, f 3>,<{a,b}, f 4>}

118

4.24 123i 111123p f (n),f (n),f (n) R R ={x,y |x,y N f (x)=f (y)}

x=y

:R ={x,y |x=y N}

R ={x,y |x,y }

R ={x,y |x,y 3∈∧∈解：可知

又因为为导出的等价关系

所以所以即同理：

同奇同偶除余i

}

N/R 数相同所以商集

N/R1={{x}|x ∈N} , N/R2={{所有的奇数},{所有的偶数}}, N/R3={[0],[1],[2]}

([0]={x|x=3k ∧k ∈N},[1]={x|x=3k+1∧k ∈N},[2]={x|x=3k+2∧k ∈N},)

4.25对下列函数f 、g 及集合A 、B ，计算f ? g 、f ? g （A ）和f ? g(B)，并说明f ? g 是否为单射或满射 (1) f : R →R ，f(x)=4x -2x

g: N →

A={2,4,6,8,10},B={0,1}.

(2) f : Z →R ，f(x)= x e

g:Z →Z, g(x)= 2x

A=N,B={2K|k ∈N}.

解：

（1）

f ? g(x)＝f(g(x))= f(x )

= 42-=2x -x dom(f ? g)=N

由于f(g(0))=0, f(g(1))=0 ,所以f ? g 不是单射.

显然对实数2.5,不存在自然数x,使得f(g(x))=2.5,所以f ? g 也不是满射。 f ? g （A ）={2,12,30,56,90}

f ?

g （B ）={0}

(2)

f ?

g (x)= f(g(x))=)(2x f =2x e dom(f ? g)=Z 由于f(g(-1))=0, f(g(1))=e ,所以f ? g 不是单射. 显然对实数3e ,不存在自然数x,使得f(g(x))= 3e ,所以f ? g 也不是满射。 f ? g （A ）={2x e |N x ∈}

f ?

g （B ）={24x e |N x ∈}