初二数学二次根式知识点大全

第1关 二次根式（讲义部分）

知识点1 二次根式

1．二次根式的定义

二次根式的定义：一般地，我们把形如（0≥a ）的式子叫做二次根式． （1）“

”称为二次根号；

（2）a （0≥a ）是一个非负数. 2．二次根式有意义的条件

（1）二次根式的概念．形如（0≥a ）的式子叫做二次根式．

（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（0≥a ）是一个非负数． 3．二次根式的双重非负性

（1）0≥a 被开方数的非负性；

（2）0≥a （算数平方根的非负性）． 4．二次根式化简

（1）把被开方数分解因式；

（2）利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； （3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．

题型1 二次根式定义

【例1】0)y …0,0)a b <<中，是二次根式的有( ) A ．3个

B ．4个

C ．5个

D ．5个

【解答】0)y …0,0)a b <<是二次根式，共4个， 故选：B ．

【点评】此题主要考查了二次根式定义，关键是注意被开方数为非负数．

【例2】( ) A ．0x … B ．0x …且0y >

C ．x 、y 同号

D ．0x …，0y >或0x …，0y <

【解答】解：依题意有

20x y …且0y ≠，即0x

y

…且0y ≠． 所以0x …，0y >或0x …，0y <． 故选：D ．

【点评】0)a …

叫二次根式． 二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．

题型2 二次根式有意义的条件

【例3】若a 、b 为实数，且4b =

+，则a b +的值为( ) A ．1± B ．4 C ．3或5 D ．5

【解答】解：由题意得，210a -…

，2

10a -…， 则21a =，

解得，1a =±，

4b ∴=，

则3a b +=或5， 故选：C ．

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．

【例4】

若2y =，求x y 的值． 【解答】

解：

22y x =，

24x ∴=，

解得：2x =±， 故2y =-，

则2(2)4x y =-=或21(2)4

x y -=-=

． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x 的值是解题关键．

题型3 二次根式化简求值

【例5】已知a

、b 、c ||||a b b c ++．

【解答】解：如图所示：0a <，0a b +<，0c a -

>，0b c

+<，

||||a b b c ++

a a

b

c a b c =-+++---

a =-．

【点评】此题主要考查了二次根式的性质和数轴，正确得出各部分符号是解题关键．

【例6】设

a ，

b ，c

为ABC ?的三边，化简：

【解答】解：根据a ，b ，c 为ABC ?的三边，得到0a b c ++>，0a b c --<，0b a c --<，

0c b a --<，则原式

||||||||

4a b c a b c b a c c b a a b c b c a a c b a b c

c

=+++--+--+--=++++-++-++-=． 【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，以及三角形的三边关系，熟练掌握运算法则是解本 题的关键．

【例7】数

a ，b

【解答】解：如图得，21a -<<-，12b <<，

0a b ∴-<，10b -

>，10a

+<，

∴

1(1)b a b a =-+----， 211b a a =--++，

2b =．

【点评】本题考查了二次根式的性质与化简以及实数与数轴，掌握二次根式的化简是解题的关键．

知识点2 二次根式运算

1．最简二次根式

（1）被开方数不含分母；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 2．分母有理化

（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．

分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．

（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理 化因式． 3．同类二次根式

（1）定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这 几个二次根式叫做同类二次根式． （2）合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 4．二次根式的混合运算

（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式 的混合运算应注意：与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括 号的先算括号里面的．

（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．

（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解 题途径，往往能事半功倍．

题型4 最简二次根式

【例8】下列说法错误的是( )

A ． B

C ．是一个非负数

D 的最小值是4

【解答】解：A |3|a =-，说法错误，故本选项正确；

B

C 是一个非负数说法正确，故本选项错误；

D 、4说法正确，故本选项错误． 故选：A ．

【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分 母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

题型5 分母有理化

【例9】阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：

①

5

5

=

=；②

1===等运算都是分母有理化．根据上述材料， （1

（2

+?+

．

【解答】解：（1）原式=

=

（2）原式11．

【点评】此题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问

题的关键． 【例10】观察下列运算

①由1)1=1

=；

②由1=

③由1=

④由1=

=；

?

（1）通过观察，将你发现的规律用含有n 的式子表示出来． （2）利用你发现的规律，

+?+

．

【解答】解：（1

n =为正整数）

；

（2）原式1)=+++?+，

1=

1=．

【点评】此题考查了分母有理化，弄清阅读材料中的方法是解本题的关键．

题型6 同类二次根式

【例11】( )

A B C

D

【解答】解：

，

∴ 故选：A ．

【点评】本题主要考查同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的概念．

【例12】 是同类二次根式的是( )

A ．①和②

B ．②和③

C ．①和④

D ．③和④

【解答】解：

=2==3

=

=，

∴

故选：C ．

【点评】本题考查了同类二次根式的定义： 化成最简二次根式后， 被开方数相同， 这样的二 次根式叫做同类二次根式 ．

【例13】是同类二次根式，则a = ．

【解答】解：最简二次根式

38172a a ∴-=-，解得：5a =．

【点评】此题主要考查最简二次根式和同类二次根式的定义．

【例14】计算：

（1）-．

（2

）-． （3

）2323

+ （4

） 【解答】

解： （1）

原式

=+

=

（2）

原式2

2

=-

1812=- 6=

；

（3）

原式23=-+5=；

（

4） 原式13932

=?

?=

【点评】本题考查了二次根式的计算： 先把各二次根式化为最简二次根式， 再进行二次根式的

乘除运算， 然后合并同类二次根式 ．

题型7 二次根式化简求值

【例15】

先化简，再求值(6(4-，其中32

x =，27y =． 【解答】解：

3

2

x =

，27

y =， ∴

原式

=-+

=-

=

=

=

2

=． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确对二次根式进行化简是关键．

【例16】

已知x =

，y =

，求代数式22242x xy y -+的值．

【解答】

解：

353x +=

=+-

5y =

=-

∴原式222(2)x xy y =-+

22()x y =-

22(55=++

2= 296=? 192=．

【点评】本题考查了二次根式的化简求值，先化简x ，y 的值是解题的关键．

第1关 二次根式（题册部分）

【课后练1】下列各式中，不属于二次根式的是( )

A 0)x …

B C D

【解答】解：当0a …

A ∴、属于二次根式，故本选项错误；

B 、属于二次根式，故本选项错误；

C 、属于二次根式，故本选项错误；

D 、210x --<不属于二次根式，故本选项正确； 故选：D ．

【课后练2】实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，( )

A ．3a b -+

B ．1a b +-

C ．1a b --+

D ．1a b -++

【解答】解：由数轴可知：102a b -<<<<，

10a ∴+>，20b ->， ∴原式|1||2|a b =+--

12a b =+-+ 3a b =-+， 故选：A ．

【课后练3】a 的值可能是( ) A ．2- B ．2

C ．

32

D ．8

【解答】解：

0a ∴…，且a

故选项中2-，3

2

，8都不合题意，

a ∴的值可能是2． 故选：B ．

【课后练4】，那么x 的取值范围是( )

A ．12x 剟

B ．12x <…

C ．2x …

D ．2x >

【解答】解：由题意可得，10x -…

且20x ->， 解得2x >． 故选：D ．

【课后练5】下列根式中，与是同类二次根式的是( )

A ．

B

C D

【解答】与A 错误；

=B 错误；

C 错误；

=是同类二次根式，D 正确； 故选：D ．

【课后练6】的结果是( )

A ．

B

C ．

D ．3-

【解答】解：原式6=

=

=． 故选：B ．

【课后练7】x 的取值范围是 ．

【解答】

1200x x -??

≠?

…． 解得1

2

x …

且0x ≠， 故答案为：1

2

x …且0x ≠．

【课后练8】实数a 化简后为 ．

【解答】解：由数轴可得，

48a <<，

∴310a a =-+- 7=，

故答案为：7．

【课后练9】先观察下列的计算，再完成：

（11

=

=；

==

=

=

请你直接写出下面的结果：

= ；

= ； （2）根据你的猜想、归纳，运用规律计算：

1)

+?．

【解答】解：（12

=

=；

=

=

（2）根据题意得：

原式111=-=-．

故答案为：（12

【课后练10】计算题：

①

②(2+-

③

④

⑤

⑥2314()22

+?--．

【解答】解：①原式=

=，

②原式43=- 1=，

③原式=

=1311=? 143=，

④原式=

=89=? 72=，

⑤原式328=-- 7=-．

【课后练11】已知1a =，1b =，分别求下列各式的值．

（1）2

2

a b +； （2）

b a a b

+．

【解答】解：当1a =

，1b =时，

（1）原式22

1)1)=-+

44=-+8=；

（2）原式22

a b ab

+=

22

=

82= 4=．

【课后练12】化简求值

（1）23)3)+；

（2）已知

x =

-

【解答】解：（1）原式59119=-+-

16=-．

（2）原式(2x =-，

212x ==-+，

∴原式1(2(1)x

x x x -=--

1

(2x x =+，

当2

x =

原式(2(2=+

9=-