八年级下册数学--二次根式知识点整理

二次根式

1、 算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，那么这个正数x 叫做a

的算术平方根。

2、 解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。如：

-2x ＞4，不等式两边同除以-2得x ＜-2。不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。如｛ 3、 分式有意义的条件：分母≠0

4、 绝对值：｜a ｜=a （a ≥0）；｜a ｜= - a （a ＜0）

一、 二次根式的概念

一般地，我们把形如 a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。

★ 正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：

（1） 二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“ ”，“ ”的根指数为

2，即“2 ”，我们一般省略根指数2，写作“ ”。如25 可以写作 5 。 （2） 二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。

（3） 式子 a 表示非负数a 的算术平方根，因此a ≥0， a ≥0。其中a ≥0是 a 有意

义的前提条件。

（4） 在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a ≥0这一隐含条件。

（5） 形如b a （a ≥0）的式子也是二次根式，b 与 a 是相乘的关系。要注意当b 是分

数时不能写成带分数，例如83 2 可写成8 2 3，但不能写成2 23

2 。 练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）

x 2+1 ；

（4）3

-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-

1

2

）

二、当x取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x；（2）4x2+4x+1 二、二次根式的性质：

练习：计算（1）（

35 ）2 (2) （4 3 ）2 (3)（-62) （4）- （- 18

）2 （

6）x 2-2x+1 + x 2-6x+9 （1≤x ≤3） ★（ a ）2（a ≥0）与a 2的区别与联系：

三、代数式

用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连

接起来的式子叫代数式。例：3，x，x+y，3x （x≥0），-ab，s

t

（t≠0，x3都是代数式

注（1）单独一个数或字母也是代数式；（2）代数式中不能含有关系符号（＞，＜，=等）（1）将两个代数式用关系符号（＞，＜，=等）连接起来的式子叫关系式，方程和不等式都是关系式。如2x+3＞3x-5是关系式。

练习：下列式子：①0；②π2③2+x=4；④x-2

3

＞1；⑤2a+3b；⑥2-x(x≤2)，其中是

代数式的有（）

列代数式的常用方法：

（1）直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式。

（2）公式法：根据公式列出代数式。

（3）探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。

练习：列代数式

（1）把a本书平均分给若干名学生，若每人分5本，还余3本，则学生人数为（）（2）若圆A的半径r是圆B的半径的5倍，则这两个圆的周长之和为（）

典型例题剖析

题型一：二次根式有意义的条件

当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？

（1）x+5-3-2x；（2）2x-1

1-x

；（3）x-3+3+x

题型二：利用二次根式的非负性化简求值

已知a2+b-2=4a-4，求ab的值。

题型三：二次根式非负性的简单应用

已知实数x，y满足｜x-4｜+y-8=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）题型四：利用a2=｜a｜并结合数轴化简求值

已知实数a，b在数轴上的位置如图所示。

试化简：a2+b2+（a-b）2+（b-1）2-（a-1）2

题型五：a2=｜a｜与三角形三边关系的综合应用

在△ABC中，a，b，c是三角形的三边长，化简（a-b+c）2-2｜c-a-b｜

题型六：逆用（ a ）2 = a（a≥0）在实数范围内分解因式

在实数范围内分解因式：（1）x4-4；（2）x4-4x2+4

二次根式的乘除

1、单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个

单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

2、单项式与单项式相除，把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在

被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

一、二次根式的乘法法则

a ．b=a

b （a≥0，b≥0）即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变（1）进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为非负数这一条件。（2）推广① a ． b ．

c =abc （a≥0，b≥0，c≥0）②a b ．c

d =ac bd

③乘法交换律和结合律在二次根式的乘法中任然可应用。

练习：（1）28 ．7 ；（2）

14 ．256 ；（3）4xy ．1y (4)627 ．（-2 3 ） 二、二次根式乘法法则的逆用 ab = a ． b （a ≥0，b ≥0）即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积 利用这个性质可以把二次根式化简，在进行二次根式的化简运算时，先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后再将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外。

注：（1）公式中的a ，b 可以是数，也可以是代数式，但必须满足a ≥0，b ≥0，实际上，公式中的a ，b 是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab ≥0即可，如（-4）×（-9） ≠-4 ．-9 。（2）在本章中如果没有特别说明，所有的字母都表示正数。

推广：abcd = a ． b ． c ． d （a ≥0，b ≥0，c ≥0，d ≥0）

练习：化简（1）300 ；（2）（-14）×（-112） ；

（3）200a 5b 4c 3 ； （4）132-122 ； （5）16x 4+32x 2

三、二次根式的除法法则 a

b =a b

（a ≥0，b ＞0）即：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。 注：（1）a 必须是非负数，b 必须是正数，式子才成立。若a ，b 都是负数，虽然a b

＞0，a b 有意义，但 a ， b 在实数范围内无意义；若b=0，则a b

无意义。 （2）如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数，如

414 必须先化成174

，以免出现414 = 4 ×14 这样的错误。 （3）在二次根式的计算中，最后结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式。

推广：（m a ）÷（n b ）=（m ÷n ）×（ a ÷ b ），其中a ≥0，b ＞0，n ≠0。

练习：计算（1）48 ÷ 6 ； （2）-27 ÷（310

38 ）； （3）a 4b

4a 3b ÷（-a 4b ； （4）72a 2b 6b

四、二次根式除法法则的逆用

a b = a b

（a ≥0，b ＞0）即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 注：公式中的a ，b 可以是数，也可以是代数式，但必须满足a ≥0，b ＞0。公式中的a ，b 是限制公式右边的，对公式的左边，只要a b ≥0即可。例如计算-3-4 ，不能写为-3-4 =-3

-4 ，而应写为-3-4 =34 = 3 4 = 3 2。 利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为 a

b （a ≥0，b ＞0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可。当被开方数是带分数时，应先把它化成假分数。 练习：化简（1）549 ；（2）81×125144 ；（3）121b 516a

2 五、最简二次根式的概念

★满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。 （1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

★对于最简二次根式的概念我们可作如下解释：

（1）被开方数中不含分母，因此被开方数是整数或整式；

（2）被开方数中每一个因数或因式的指数都是1。