第一讲 线性规划与最优化

第一讲线性规划与最优化

厦门六中数学教研组杨福海

第一课时

一：什么是线性规划方法?

线性规划方法是在第二次世界大战中发展起来的一种重要的数量方法，线性规划方法是企业进行总产量计划时常用的一种定量方法。线性规划是运筹学的一个最重要的分支，理论上最完善，实际应用得最广泛。主要用于研究有限资源的最佳分配问题，即如何对有限的资源作出最佳方式地调配和最有利地使用，以便最充分地发挥资源的效能去获取最佳的经济效益。由于有成熟的计算机应用软件的支持，采用线性规划模型安排生产计划，并不是一件困难的事情。在总体计划中，用线性规划模型解决问题的思路是，在有限的生产资源和市场需求条件约束下，求利润最大的总产量计划。该方法的最大优点是可以处理多品种问题。

二：线性规划模型的适用性

线性规划模型用在原材料单一、生产过程稳定不变、分解型生产类型的企业是十分有效的，如石油化工厂等。对于产品结构简单、工艺路线短、或者零件加工企业，有较大的应用价值。需要注意的是，对于机电类企业用线性规划模型只适用于作年度的总生产计划，而不宜用来做月度计划。这主要与工件在设备上的排序有关，计划期太短，很难安排过来。

三：线性规划模型的结构

企业是一个复杂的系统，要研究它必须将其抽象出来形成模型。如果将系统内部因素的相互关系和它们活动的规律用数学的形式描述出来，就称之为数学模型。线性规划的模型决定于它的定义，线性规划的定义是：求一组变量的值，在满足一组约束条件下，求得目标函数的最优解。

根据这个定义，就可以确定线性规划模型的基本结构。

（1）变量变量又叫未知数，它是实际系统的未知因素，也是决策系统中的可控因素，一般称为决策变量，常引用英文字母加下标来表示，如X l，X2，X3，X mn等。（2）目标函数将实际系统的目标，用数学形式表现出来，就称为目标函数，线性规划的目标函数是求系统目标的数值，即极大值，如产值极大值、利润极大值或者极小值，如成本极小值、费用极小值、损耗极小值等等。

（3）约束条件约束条件是指实现系统目标的限制因素。它涉及到企业内部条件和外部环境的各个方面，如原材料供应、设备能力、计划指标、产品质量要求和市场销售状态等等，这些因素都对模型的变量起约束作用，故称其为约束条件。

约束条件的数学表示形式为三种，即≥、＝、≤。线性规划的变量应为正值，因为变量在实际问题中所代表的均为实物，所以不能为负。在经济管理中，线性规划使用较多的是下述几个方面的问题：

(1) 投资问题—确定有限投资额的最优分配，使得收益最大或者见效快。

(2) 计划安排问题—确定生产的品种和数量，使得产值或利润最大，如资源配制问题。

(3) 任务分配问题—分配不同的工作给各个对象(劳动力或机床)，使产量最多、效率最高，如生产安排问题。

(4) 下料问题—如何下料，使得边角料损失最小。

(5) 运输问题—在物资调运过程中，确定最经济的调运方案。

(6) 库存问题—如何确定最佳库存量，做到即保证生产又节约资金等等。

应用线性规划建立数学模型的三步骤：

(1) 明确问题，确定问题，列出约束条件。

(2) 收集资料，建立模型。

(3) 模型求解(最优解)，进行优化后分析。

其中，最困难的是建立模型，而建立模型的关键是明确问题、确定目标，在建立模型过程中花时间、花精力最大的是收集资料。

四：运用线性规划模型进行总生产计划时的问题

1、线性规划模型考虑的因素可能不全面，实际中有些情况没有被考虑到，这就使得线性规划模型过于理想化；

2、实际运用线性规划模型时，虽然一些因素或约束条件被考虑到了，但是由于这些因素或约束条件不易量化或求得（如进行总生产计划常需考虑到的能源单耗就不易求得）时，线性规划模型的运用和有效性因而受到了一定的限制；

3、对一些基础管理不善的企业而言，模型中的单位产品资源消耗系数a很难得到；

4、目标函数中的产为成本系数c实际上是个变量，他随计划的数量结构和品种结构而变。这些问题给机械行业应用线性规划模型带来许多困难，如处理不好，求得的结果的可靠性会很低的。