高中数学讲义微专题95统计初步
微专题95 高中涉及的统计学知识
一、基础知识：
（一）随机抽样：
1、抽签法：把总体中的N 个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n 次，就得到容量为n 的样本
2、系统抽样：也称为等间隔抽样，大致分为以下几个步骤：
（1）先将总体的N 个个体编号
（2）确定分段间隔k ，设样本容量为n ，若N n 为整数，则N k n
= （3）在第一段中用简单随机抽样确定第一个个体编号l ，则后面每段所确定的个体编号与前一段确定的个体编号差距为k ，例如：第2段所确定的个体编号为l k +，第m 段所确定的个体编号为()1l m k +-，直至完成样本
注：（1）若N n
不是整数，则先用简单随机抽样剔除若干个个体，使得剩下的个体数能被n 整除，再进行系统抽样。例如501名学生所抽取的样本容量为10，则先随机抽去1个，剩下的500个个体参加系统抽样
（2）利用系统抽样所抽出的个体编号排成等差数列，其公差为k
3、分层抽样：也称为按比例抽样，是指在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本。
分层抽样后样本中各层的比例与总体中各个层次的比例相等，这条结论会经常用到
（二）频率分布直方图：
1、频数与频率
（1）频数：指一组数据中个别数据重复出现的次数或一组数据在某个确定的范围内出现的数据的个数.
（2）频率：是频数与数据组中所含数据的个数的比，即频率=频数/总数
（3）各试验结果的频率之和等于1 2、频率分布直方图：若要统计每个小组数据在样本容量所占比例大小，则可通过频率分布表（表格形式）和频率分布直方图（图像形式）直观的列出
（1）极差：一组数据中最大值与最小值的差
（2）组距：将一组数据平均分成若干组（通常5-12组），则组内数据的极差称为组距，
所以有组距=极差/组数
（3）统计每组的频数，计算出每组的频率，便可根据频率作出频率分布直方图
（4）在频率分布直方图中：横轴按组距分段，纵轴为“频率/组距”
（5）频率分布直方图的特点：
② 因为各试验结果的频率之和等于1，所以可得在频率分布直方图中，各个矩形的面积和为1
（三）茎叶图：通常可用于统计和比较两组数据，其中茎是指中间的一列数，通常体现数据中除了末位数前面的其他数位，叶通常代表每个数据的末位数。并按末位数之前的数位进行分类排列，相同的数据需在茎叶图中体现多次
（四）统计数据中的数字特征：
1、众数：一组数据中出现次数最多的数值，叫做众数
2、中位数：将一组数据从小到大排列，位于中间位置的数称为中位数，其中若数据的总数为奇数个，则为中间的数；若数据的总数为偶数个，则为中间两个数的平均值。
,,n x ，则有：n x n
+
+ 4、方差：代表数据分布的分散程度，记为2s ，设一组数据为：12,,
,n x x x ，其平均数(n x x ++-5、标准差：也代表数据分布的分散程度，为方差的算术平方根
二、典型例题
例1：某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有学生_______人．
思路：分层抽样即按比例抽样，由高一年级和高二年级的人数可得高三人数为185756050--=人，所以抽样比为
501=100020，从而总人数为1185370020
÷=人 答案：3700 例2：某企业三月中旬生产，A ．B ．C 三种产品共3000件，根据分层抽样的结果；企业
统计
员制作了如下的统计表格：
产品类别A B C
产品数量（件）1300
样本容量（件）130
由于不小心，表格中A．C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C的产品数量是件．
思路：由B产品可得抽样比为1301
130010
=，所以若A产品的样本容量比C产品的样本容
量多10，则A产品的数量比C产品的数量多
1
10100
10
÷=，且,A C产品数量和为
300013001700
-=，从而可解得C产品的数量为800
答案：800
例3：某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度（棉花纤维所得数据均在区间[]
5,40中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中___________根棉花纤维的长度小于15mm．
思路：由频率直方图的横纵轴可得：组距为5mm，所以小于15mm的频率为()
0.010.0150.1
+?=，所以小于15mm共有1000.1=10
?根
答案：10
例4：某班甲、乙两位同学升入高中以来的5次数学考试成绩的茎叶图如图，则乙同学这5次数学成绩的中位数是；已知两位同学这5次成绩的平均数都是84，成绩比较稳定的是（第二个空填“甲”或“乙”）．
思路：由茎叶图可读出，乙同学的成绩为79,80,82,88,91，甲同学的成绩为81,82,83,84,91，所以乙同学的成绩的中位数为82，相比较而言，甲同学的成绩比较集中，所以比较稳定的是甲
答案：82，甲
小炼有话说：在求中位数时要注意先将数据从小到大排列，判断成绩稳定，本题甲，乙稳定性的判断定量上要依靠方差，但因为本题从茎叶图上看出甲，乙数据稳定性差距较大，所以定性的判断。
例6：某校从参加高三年级期末考试的学生中随机抽取100名学生，将其数学成绩分成五段：[)[)[)[)50,70,70,90,90,110,110,130，[]130,150，它的频率分布直方图如图所示，则该批学生中成绩不低于90分的人数是_____．
思路：[)90,100的高度未知，但由于直方图体现的是全部样本的情况，所以各部分频率和为1，可以考虑间接法。从图中可观察到(]50,90的频率为()0.00250.0150200.35+?=，所以不低于90分的频率为10.350.65-=，故人数为1000.6565?=（人）
答案：65
例7：从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50到350度之间,频率分布直方图所示．
（1）直方图中x 的值为___________；
（2）在这些用户中,用电量落在区间[)100,250内的户数为_____________．
思路：（1）依题意可得频率直方图中的频率和等于1，由图可得组距为50，所以有()0.00240.00360.00600.00240.0012501x +++++?=，解得0.0044x =
（2）图中[)100,250的频率为()0.00360.0060.0044500.7++?=，所以用户数为1000.770?=（户）
答案：（1）0.0044x = （2）70户
例7：某校1000名学生的数学测试成绩分布直方图如图所示，分数不低于a 即为优秀，如果优秀的人数为175人，则a 的估计值是________．
思路：可先从频率直方图中按分数从高到低统计分数段的人数，组距为10，从而可得： (]140,150的人数为()10000.0110100??=，同理可得(]130,140的人数为150人，而优秀的人数为175人，所以应包含(]140,150的全体，以及(]130,140中的一半人数，所以估计值为130到140的中间值，即135
答案：135a ≈
例8：某地区为了解中学生的日平均睡眠时间（单位：h ）,随机选择了n 位中学生进行调查,根据所得数据，画出样本的频率分布直方图如图所示,且从左到右的第1个、第4个、第2个、第3个小长方形的面积依次构成公差为的等差数列，又第一小组的频数是10，则n = _______.
思路：设第一个的面积为1S a =，则第4个为40.1S a =+，第2个为20.2S a =+，第3个为30.3S a =+，依题意可得四部分的频率和为1，从而12341S S S S +++=可解得0.1a =，所以10.1S =，从而101000.1
n =
= 答案：100 例9：某单位有职工200名，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号，…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第10组抽出的号码应是_________
思路：由系统抽样可知，每组抽出的号码依次成等差数列，且公差为组距5d =，所以522a =，则1055222547a a d =+=+=
答案：47 例10：某单位有840名职工， 现采用系统抽样抽取42人做问卷调查， 将840人按1， 2， …， 840随机编号， 则抽取的42人中， 编号落入区间[]61,120的人数为 ．
思路：由系统抽样可知：组距为8402042
=，所以区间[]61,120可拆分为[)[)[)61,80,81,100,101,120，而每个区间只有一人被抽取，所以共有3人
答案：3
高中数学讲义微专题76 存在性问题
微专题76 圆锥曲线中的存在性问题 一、基础知识 1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在 2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1）点：坐标()00,x y （2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量） （3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧： （1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。 （2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。 （3）核心变量的求法： ①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。 二、典型例题： 例1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为33，过右焦点F 的直线l 与C 相交于 ,A B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为 2 2 。 （1）求,a b 的值 （2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 旋转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？若存在，求出所有的P 的坐标和l 的方程，若不存在，说明理由 解：（1）3 ::323 c e a b c a = =?=
则,a b = =，依题意可得：(),0F c ，当l 的斜率为1时 :0l y x c x y c =-?--= 2 O l d -∴= = 解得：1c = a b ∴== 椭圆方程为：22 132 x y += （2）设()00,P x y ，()()1122,,,A x y B x y 当l 斜率存在时，设():1l y k x =- OP OA OB =+ 012 012 x x x y y y =+?∴?=+? 联立直线与椭圆方程：()221236 y k x x y =-???+=?? 消去y 可得：()222 2316x k x +-=，整理可得： ()2 222326360k x k x k +-+-= 2122632k x x k ∴+=+ ()312122264223232 k k y y k x x k k k k +=+-=-=-++ 22264,3232k k P k k ?? ∴- ?++?? 因为P 在椭圆上 2 2 2 22 642363232k k k k ????∴?+-= ? ?++???? ()()()2 2 42222272486322432632k k k k k k ∴+=+?+=+ ( )2224632k k k ∴=+?= 当k = 时，):1l y x =- ，3,2 2P ?- ?? 当k = ):1l y x =- ，3,22P ? ?? 当斜率不存在时，可知:1l x = ，1, ,1,33A B ??? - ???? ?，则()2,0P 不在椭圆上
高中数学讲义微专题80 排列组合中的常见模型
微专题80 排列组合的常见模型 一、基础知识： （一）处理排列组合问题的常用思路： 1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素。 例如：用0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？ 解：五位数意味着首位不能是0，所以先处理首位，共有4种选择，而其余数位没有要求，只 需将剩下的元素全排列即可，所以排法总数为44496N A =?=种 2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再用全部可能的总数减去对立面的个数即可。 例如：在10件产品中，有7件合格品，3件次品。从这10件产品中任意抽出3件，至少有一件次品的情况有多少种 解：如果从正面考虑，则“至少1件次品”包含1件，2件，3件次品的情况，需要进行分类讨论，但如果从对立面想，则只需用所有抽取情况减去全是正品的情况即可，列式较为简单。 3310785N C C =-=（种） 3、先取再排（先分组再排列）：排列数m n A 是指从n 个元素中取出m 个元素，再将这m 个元素进行排列。但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列。 例如：从4名男生和3名女生中选3人，分别从事3项不同的工作，若这3人中只有一名女生，则选派方案有多少种。 解：本题由于需要先确定人数的选取，再能进行分配（排列），所以将方案分为两步，第一步： 确定选哪些学生，共有2143C C 种可能，然后将选出的三个人进行排列：33A 。所以共有 213433108C C A =种方案 （二）排列组合的常见模型 1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。 例如：5个人排队，其中甲乙相邻，共有多少种不同的排法
高中数学讲义微专题98 含新信息问题的求解
微专题98 含新信息问题的求解 一、基础知识： 所谓“新信息背景问题”，是指题目中会介绍一个“课本外的知识”，并说明它的规则，然后按照这个规则去解决问题。它主要考察学生接受并运用新信息解决问题的能力。这类问题有时提供的信息比较抽象，并且能否读懂并应用“新信息”是解决此类问题的关键。在本文中主要介绍处理此类问题的方法与技巧 1、读取“新信息”的步骤 （1）若题目中含有变量，则要先确定变量的取值范围 （2）确定新信息所涉及的知识背景，寻找与所学知识的联系 （3）注意信息中的细节描述，如果是新的运算要注意确定该运算是否满足交换律 （4）把对“新信息”的理解应用到具体问题中，进行套用与分析。 2、理解“新信息”的技巧与方法 （1）可通过“举例子”的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对新信息的理解 （2）可用自己的语言转述“新信息”所表达的内容，如果能够清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻。 （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律 （4）如果“新信息”是书本知识上某个概念的推广，则要关注此信息与原概念的不同之处，以及在什么情况下可以使用原概念。 二、典型例题 例1：设,P Q 是两个集合，定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈?且，如果{}2|log 1P x x =<，{}|21Q x x =-<，则P Q -等于（ ） A. {}|01x x << B. {}|01x x <≤ C. {}|12x x ≤< D. {}|23x x ≤< 思路：依{}|P Q x x P x Q -=∈?且可知该集合为在P 中且不属于Q 中的元素组成，或者可以理解为P 集合去掉P Q 的元素后剩下的集合。先解出,P Q 中的不等式。:P 2log 102x x
高中数学讲义微专题40 利用函数性质与图像解不等式
微专题40利用函数性质与图像解不等式 高中阶段解不等式大体上分为两类，一类是利用不等式性质直接解出解集（如二次不等式，分式不等式，指对数不等式等）；一类是利用函数的性质，尤其是函数的单调性进行运算。相比而言后者往往需要构造函数，利用函数单调性求解，考验学生的观察能力和运用条件能力，难度较大。本章节以一些典型例题来说明处理这类问题的常规思路。 一、基础知识： （一）构造函数解不等式 1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则 []()()121212,,,x x a b x x f x f x ?∈ (单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号） 3、导数运算法则： （1）()()() ()()()()' ' 'f x g x f x g x f x g x =+ （2）()()()()()()()' ''2 f x f x g x f x g x g x g x ??-= ??? 4、构造函数解不等式的技巧： （1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点。所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析。在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么。两者对接通常可以确定入手点 （2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数。在构造时多进行试验与项的调整 （3）此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性与图像只是辅助手段。所以如果能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点。那么问题便易于解决了。 （二）利用函数性质与图像解不等式： 1、轴对称与单调性：此类问题的实质就是自变量与轴距离大小与其函数值大小的等价关系。通常可作草图帮助观察。例如：()f x 的对称轴为1x =，且在()1,+∞但增。则可以作出草图
高中数学讲义微专题55 数列中的不等关系
第55炼 数列中的不等关系 一、基础知识： 1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求的数列中的最值项，要依靠数列的单调性，所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点 2、如何判断数列的单调性： （1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于n 的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性。由于n N * ∈ ，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为()0,+∞ 的函数，得到函数的单调性后再结合n N * ∈得到数列的单调性 （2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，通常的手段就是作差（与0比较，从而转化为判断符号问题）或作商（与1比较，但要求是正项数列） 3、用数列的眼光去看待有特征的一列数：在解数列题目时，不要狭隘的认为只有题目中的 {}{},n n a b 是数列，实质上只要是有规律的一排数，都可以视为数列，都可以运用数列的知识 来进行处理。比如：含n 的表达式就可以看作是一个数列的通项公式；某数列的前n 项和n S 也可看做数列{}12:,,,n n S S S S L 等等。 4、对于某数列的前n 项和{}12:,,,n n S S S S L ，在判断其单调性时可以考虑从解析式出发，用函数的观点解决。也可以考虑相邻项比较。在相邻项比较的过程中可发现：1n n n a S S -=-，所以{}n S 的增减由所加项n a 的符号确定。进而把问题转化成为判断n a 的符号问题 二、典型例题 例1：已知数列{}1,1n a a =，前n 项和n S 满足()130n n nS n S +-+= （1）求{}n a 的通项公式 （2）设2n n n n c a λ?? =- ??? ，若数列{}n c 是单调递减数列，求实数λ的取值范围 解：（1）()113 30n n n n S n nS n S S n +++-+=? =
高考数学讲义微专题14函数的切线问题(含详细解析)
微专题14 函数的切线问题 一、基础知识： （一）与切线相关的定义 1、切线的定义：在曲线的某点A 附近取点B ，并使B 沿曲线不断接近A 。这样直线AB 的极限位置就是曲线在点A 的切线。 （1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为一个动态的过程，让切点A 附近的点向A 不断接近，当与A 距离非常小时，观察直线AB 是否稳定在一个位置上 （2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。例如函数3 y x =在 ()1,1--处的切线，与曲线有两个公共点。 （3）在定义中，点B 不断接近A 包含两个方向，A 点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线AB 的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点A 处的切线。对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。例如y x =在()0,0处，通过观察图像可知，当0x =左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =-，而当0x =右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =，两个不同的方向极限位置不相同，故y x =在()0,0处不含切线 （4）由于点B 沿函数曲线不断向A 接近，所以若()f x 在A 处有切线，那么必须在A 点及其附近有定义（包括左边与右边） 2、切线与导数：设函数()y f x =上点()() 00,,A x f x ()f x 在A 附近有定义且附近的点 ()()00,B x x f x x +?+?，则割线AB 斜率为： ()()()()() 000000 AB f x x f x f x x f x k x x x x +?-+?-= = +?-? 当B 无限接近A 时，即x ?接近于零，∴直线AB 到达极限位置时的斜率表示为： ()()000 lim x f x x f x k x ?→+?-=?,
全国高考数学复习微专题：函数的图像
函数的图像 一、基础知识 1、做草图需要注意的信息点： 做草图的原则是：速度快且能提供所需要的信息，通过草图能够显示出函数的性质。在作图中草图框架的核心要素是函数的单调性，对于一个陌生的可导函数，可通过对导函数的符号分析得到单调区间，图像形状依赖于函数的凹凸性，可由二阶导数的符号决定（详见“知识点讲解与分析”的第3点），这两部分确定下来，则函数大致轮廓可定，但为了方便数形结合，让图像更好体现函数的性质，有一些信息点也要在图像中通过计算体现出来，下面以常见函数为例，来说明作图时常体现的几个信息点 （1）一次函数：y kx b =+,若直线不与坐标轴平行，通常可利用直线与坐标轴的交点来确定直线 特点：两点确定一条直线 信息点：与坐标轴的交点 （2）二次函数：()2 y a x h k =-+，其特点在于存在对称轴，故作图时只需做出对称轴一侧的图像，另一侧由对称性可得。函数先减再增，存在极值点——顶点，若与坐标轴相交，则标出交点坐标可使图像更为精确 特点：对称性 信息点：对称轴，极值点，坐标轴交点 （3）反比例函数：1 y x = ,其定义域为()(),00,-∞+∞U ，是奇函数，只需做出正版轴图像即可（负半轴依靠对称做出），坐标轴为函数的渐近线 特点：奇函数（图像关于原点中心对称），渐近线 信息点：渐近线 注： （1）所谓渐近线：是指若曲线无限接近一条直线但不相交，则称这条直线为渐近线。渐近线在作图中的作用体现为对曲线变化给予了一些限制，例如在反比例函数中，x 轴是渐近线，那么当x →+∞，曲线无限向x 轴接近，但不相交，则函数在x 正半轴就不会有x 轴下方的部分。 （2）水平渐近线的判定：需要对函数值进行估计：若x →+∞（或-∞）时，()f x →常
高中数学讲义微专题21 多元不等式的证明
微专题21 多元不等式的证明 多元不等式的证明是导数综合题的一个难点，其困难之处如何构造合适的一元函数，本章节以一些习题为例介绍常用的处理方法。 一、基础知识 1、在处理多元不等式时起码要做好以下准备工作： （1）利用条件粗略确定变量的取值范围 （2）处理好相关函数的分析（单调性，奇偶性等），以备使用 2、若多元不等式是一个轮换对称式（轮换对称式：一个n 元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，则称这个代数式为轮换对称式），则可对变量进行定序 3、证明多元不等式通常的方法有两个 （1）消元：① 利用条件代入消元 ② 不等式变形后对某多元表达式进行整体换元 （2）变量分离后若结构相同，则可将相同的结构构造一个函数，进而通过函数的单调性与自变量大小来证明不等式 （3）利用函数的单调性将自变量的不等关系转化为函数值的不等关系，再寻找方法。 二、典型例题： 例1：已知()()2 ln ,()f x x g x f x ax bx ==++，其中()g x 图像在()() 1,g 1处的切线平行于 x 轴 （1）确定a 与b 的关系 （2）设斜率为k 的直线与()f x 的图像交于()()()112212,,,A x y B x y x x <，求证： 21 11k x x << 解：（1）()2 ln g x x ax bx =++ ()' 1 2g x ax b x ∴= ++，依题意可得： ()()'112021g a b b a =++=?=-+ （2）思路：21212121ln ln y y x x k x x x x --= =--，所证不等式为 212211 1ln ln 1 x x x x x x -<<- 即 21221211ln x x x x x x x x --<<，进而可将21 x x 视为一个整体进行换元，从而转变为证明一元不等式
高中数学讲义微专题17 函数的极值
微专题17 函数的极值 一、基础知识： 1、函数极值的概念： （1）极大值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有 ()()0f x f x <，就说()0f x 是函数()f x 的一个极大值，记作()0y f x =极大值，其中0x 是极大值点 （2）极小值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有 ()()0f x f x >，就说()0f x 是函数()f x 的一个极小值，记作()0y f x =极小值，其中0x 是极小值点 极大值与极小值统称为极值 2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点： （1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 （2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值 （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 3、极值点的作用： （1）极值点为单调区间的分界点 （2）极值点是函数最值点的候选点
4、费马引理：()f x 在0x x =处可导，那么0x x =为()f x 的一个极值点?()0'0f x = 说明：①前提条件：()f x 在0x x =处可导 ②单向箭头：在可导的前提下，极值点?导数0=，但是导数0=不能推出0x x =为 ()f x 的一个极值点，例如：3y x =在()0,0处导数值为0，但0x =不是极值点 ③费马引理告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：y x =在()0,0处不可导，但是0x =为函数的极小值点） 5、求极值点的步骤： （1）筛选： 令()' 0f x =求出()'f x 的零点（此时求出的点有可能是极值点） （2）精选：判断函数通过()' f x 的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为 极值点，否则不是极值点 （3）定性： 通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点 6、在综合题分析一个函数时，可致力于求出函数的单调区间，当求出单调区间时，极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来，并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点，换言之，求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程。 7、对于在定义域中处处可导的函数，极值点是导函数的一些零点，所以涉及到极值点个数或所在区间的问题可转化成导函数的零点问题。但要注意检验零点能否成为极值点。 8、极值点与函数奇偶性的联系： （1）若()f x 为奇函数，则当0x x =是()f x 的极大（极小）值点时，0x x =-为()f x 的极小（极大）值点 （2）若()f x 为偶函数，则当0x x =是()f x 的极大（极小）值点时，0x x =-为()f x 的极大（极小）值点 二、典型例题： 例1：求函数()x f x xe -=的极值. 解：()()' 1x x x f x e xe x e ---=-=- 令()'0f x >解得：1x < ()f x ∴的单调区间为：
高中数学讲义微专题52 证明等差等比数列
微专题52 等差等比数列的证明 在数列的解答题中，有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列，既考察了学生证明数列的能力，同时也为后面的问题做好铺垫。 一、基础知识： 1、如何判断一个数列是等差（或等比）数列 （1）定义法（递推公式）：1n n a a d +-=（等差）， 1 n n a q a +=（等比） （2）通项公式：n a kn m =+（等差），()0n n a k q q =?≠（等比） （3）前n 项和：2n S An Bn =+（等差），n n S kq k =-（等比） （4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项 2、如何证明一个数列是等差等比数列： （1）通常利用定义法，寻找到公差（公比） （2）也可利用等差等比中项来进行证明，即n N * ?∈，均有： 122n n n a a a ++=+ （等差） 2 12n n n a a a ++=? （等比） 二、典型例题： 例1：已知数列{}n a 的首项1133,,521 n n n a a a n N a *+= =∈+． 求证：数列11n a ?? -? ??? 为等比数列 思路一：构造法，按照所给的形式对已知递推公式进行构造，观察发现所证的数列存在 1n a 这样的倒数，所以考虑递推公式两边同取倒数：113121 213n n n n n n a a a a a a +++= ?=+ 即 112133n n a a +=+，在考虑构造“1-”：112111 111333n n n a a a +??-=+-=- ??? 即数列11n a ??-? ??? 是公比为1 3的等比数列 思路二：代入法：将所证数列视为一个整体，用n b 表示：1 1n n b a = -，则只需证明{}n b 是等比数列即可，那么需要关于n b 的条件（首项，递推公式），所以用n b 将n a 表示出来，并代换
70 求点的轨迹方程 高中数学讲义微专题Word版
微专题70 求点的轨迹问题 一、基础知识： 1、求点轨迹方程的步骤： （1）建立直角坐标系 （2）设点：将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示） （3）列式：从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程 （4）化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围 2、求点轨迹方程的方法 （1）直接法：从条件中直接寻找到,x y 的关系，列出方程后化简即可 （2）代入法：所求点(),P x y 与某已知曲线()00,0F x y =上一点()00,Q x y 存在某种关系，则可根据条件用,x y 表示出00,x y ，然后代入到Q 所在曲线方程中，即可得到关于,x y 的方程 （3）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程。常见的曲线特征及要素有： ① 圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹 直角→圆：若AB AC ⊥，则A 点在以BC 为直径的圆上 确定方程的要素：圆心坐标(),a b ，半径r ② 椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹 确定方程的要素：距离和2a ，定点距离2c ③ 双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹 注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支 确定方程的要素：距离差的绝对值2a ，定点距离2c ④ 抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹 确定方程的要素：焦准距：p 。若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程 （4）参数法：从条件中无法直接找到,x y 的联系，但可通过一辅助变量k ，分别找到,x y 与k 的联系，从而得到,x y 和k 的方程：()() x f k y g k =???=??，即曲线的参数方程，消去参数k 后即可得 到轨迹方程。
高中数学讲义微专题95统计初步
微专题95 高中涉及的统计学知识 一、基础知识： （一）随机抽样： 1、抽签法：把总体中的N 个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n 次，就得到容量为n 的样本 2、系统抽样：也称为等间隔抽样，大致分为以下几个步骤： （1）先将总体的N 个个体编号 （2）确定分段间隔k ，设样本容量为n ，若N n 为整数，则N k n = （3）在第一段中用简单随机抽样确定第一个个体编号l ，则后面每段所确定的个体编号与前一段确定的个体编号差距为k ，例如：第2段所确定的个体编号为l k +，第m 段所确定的个体编号为()1l m k +-，直至完成样本 注：（1）若N n 不是整数，则先用简单随机抽样剔除若干个个体，使得剩下的个体数能被n 整除，再进行系统抽样。例如501名学生所抽取的样本容量为10，则先随机抽去1个，剩下的500个个体参加系统抽样 （2）利用系统抽样所抽出的个体编号排成等差数列，其公差为k 3、分层抽样：也称为按比例抽样，是指在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本。 分层抽样后样本中各层的比例与总体中各个层次的比例相等，这条结论会经常用到 （二）频率分布直方图： 1、频数与频率 （1）频数：指一组数据中个别数据重复出现的次数或一组数据在某个确定的范围内出现的数据的个数. （2）频率：是频数与数据组中所含数据的个数的比，即频率=频数/总数 （3）各试验结果的频率之和等于1 2、频率分布直方图：若要统计每个小组数据在样本容量所占比例大小，则可通过频率分布表（表格形式）和频率分布直方图（图像形式）直观的列出 （1）极差：一组数据中最大值与最小值的差 （2）组距：将一组数据平均分成若干组（通常5-12组），则组内数据的极差称为组距，
高中数学讲义微专题54 数列求和(含通项公式与求和习题
微专题54 数列求和问题 数列求和问题是高考数列中的一个易考类型，在已知通项公式的前提下，要通过观察通项公式（或者项）的特点决定选择哪种方法进行求和。考查学生的观察能力与辨析能力。所以在复习的过程中要抓住每种求和方法相对应的通项公式特点，并在练习中熟悉解法 一、基础知识： 1、根据通项公式的特点求和： （1）等差数列求和公式：()1122 p q n n a a a a S n n p q n ++= ?=?+=+ () 112 n n n S a n d -=+ （2）等比数列求和公式：() 11 1,11,1n n a q q S q a n q ?-≠? =-??=? （3）错位相减法： 通项公式特点：n a =等差?等比，比如2n n a n =?，其中n 代表一个等差数列的通项公式（关 于n 的一次函数），2n 代表一个等比数列的通项公式（关于n 的指数型函数），那么便可以使用错位相减法 方法详解：以()212n n a n =-?为例，设其前n 项和为n S ① 先将n S 写成n 项和的形式()12 1232212n n S n =?+?+ +-? ② 两边同时乘以等比部分的公比，得到一个新的等式，与原等式上下排列 ()1 2 1232212n n S n =?+?+ +-? ()()23121232232212n n n S n n += ?+?+ +-?+-? ，发现乘完公比后，对比原 式项的次数，新等式的每项向后挪了一位。 ③ 然后两式相减：( )()1 23 1122222212n n n S n +-=?+++ +--? 除了首项与末项，中 间部分呈等比数列求和特点，代入公式求和，再解出n S 即可 ()()1231122222212n n n S n +-=?++++--?
高中数学优秀讲义微专题63 立体几何中的建系设点问题
微专题63 立体几何解答题的建系设点问题 在如今的立体几何解答题中，有些题目可以使用空间向量解决问题，与其说是向量运算，不如说是点的坐标运算，所以第一个阶段：建系设点就显得更为重要，建立合适的直角坐标系的原则有哪些？如何正确快速写出点的坐标？这是本文要介绍的内容。 一、基础知识： （一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴 1、z 轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z 轴要与坐标平面xOy 垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为z 轴与底面的交点 2、,x y 轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考： （1）尽可能的让底面上更多的点位于,x y 轴上 （2）找角：,x y 轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件 （3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点 3、常用的空间直角坐标系满足,,x y z 轴成右手系，所以在标,x y 轴时要注意。 4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应 不同。但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。 5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用 坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直+底面两条线垂直），这个过程不能省略。 6、与垂直相关的定理与结论： （1）线面垂直： ① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直 ② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直 ③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直 ④ 直棱柱：侧棱与底面垂直 （2）线线垂直（相交垂直）： ① 正方形，矩形，直角梯形 ② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一） ③ 菱形的对角线相互垂直 ④ 勾股定理逆定理：若2 2 2 AB AC BC +=，则AB AC ⊥ （二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类 1、能够直接写出坐标的点 （1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的,,'A C D 点，坐标特点如下： x 轴：(),0,0x y 轴：()0,,0y z 轴：()0,0,z 规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0
高中数学讲义微专题84 古典概型
微专题84 古典概型 一、基础知识： 1、基本事件：一次试验中可能出现的每一个不可再分的结果称为一个基本事件。例如：在扔骰子的试验中，向上的点数1点，2点，……，6点分别构成一个基本事件 2、基本事件空间：一次试验，将所有基本事件组成一个集合，称这个集合为该试验的基本事件空间，用Ω表示。 3、基本事件特点：设一次试验中的基本事件为12,,,n A A A L （1）基本事件两两互斥 （2）此项试验所产生的事件必由基本事件构成，例如在扔骰子的试验中，设i A 为“出现i 点”，事件A 为“点数大于3”，则事件456A A A A =U U （3）所有基本事件的并事件为必然事件 由加法公式可得：()()()()()1212n n P P A A A P A P A P A Ω==+++U UL U L 因为()1P Ω=，所以()()()121n P A P A P A +++=L 4、等可能事件：如果一项试验由n 个基本事件组成，而且每个基本事件出现的可能性都是相等的，那么每一个基本事件互为等可能事件。 5、等可能事件的概率：如果一项试验由n 个基本事件组成，且基本事件为等可能事件，则基本事件的概率为 1 n 证明：设基本事件为12,,,n A A A L ，可知()()()12n P A P A P A ===L ()()()121n P A P A P A +++=Q L 所以可得()1 i P A n = 6、古典概型的适用条件： （1）试验的所有可能出现的基本事件只有有限多个 （2）每个基本事件出现的可能性相等 当满足这两个条件时，事件A 发生的概率就可以用事件A 所包含的基本事件个数()n A 占基本事件空间的总数()n Ω的比例进行表示，即()()() n A P A n =Ω 7、运用古典概型解题的步骤：
高中数学讲义微专题95统计初步
微专题95高中涉及的统计学知识 一、基础知识： （一）随机抽样： 1、抽签法：把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中搅拌均匀 后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到容量为n的样本 2、系统抽样：也称为等间隔抽样，大致分为以下几个步骤： （1）先将总体的N个个体编号 （2）确定分段间隔k ,设样本容量为n ,若N为整数，则k=N n n （3）在第一段中用简单随机抽样确定第一个个体编号丨，则后面每段所确定的个体编号与前一段确定的个体编号差距为k ,例如：第2段所确定的个体编号为丨? k，第m段所确定的个体编号为I ? m -1 k，直至完成样本 注：（1）若N不是整数，则先用简单随机抽样剔除若干个个体，使得剩下的个体数能被n整n 除，再进行系统抽样。例如501名学生所抽取的样本容量为10，则先随机抽去1个，剩下的500 个个体参加系统抽样 （2）利用系统抽样所抽出的个体编号排成等差数列，其公差为k 3、分层抽样：也称为按比例抽样，是指在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本。 分层抽样后样本中各层的比例与总体中各个层次的比例相等，这条结论会经常用到 （二）频率分布直方图： 1、频数与频率 （1）频数：指一组数据中个别数据重复出现的次数或一组数据在某个确定的范围内出现的数 据的个数? （2）频率：是频数与数据组中所含数据的个数的比，即频率=频数/总数 （3）各试验结果的频率之和等于1 2、频率分布直方图：若要统计每个小组数据在样本容量所占比例大小，则可通过频率分布表 （表格形式）和频率分布直方图（图像形式）直观的列出 （1）极差：一组数据中最大值与最小值的差 （2）组距：将一组数据平均分成若干组（通常5-12组），则组内数据的极差称为组距，所以 有组距=极差/组数
高中数学讲义微专题10 函数零点的个数问题
微专题10 函数零点的个数问题 一、知识点讲解与分析： 1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点 2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =。 （1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提 （2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续） ① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点 ③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号 3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x < ??? 即可判定
高中数学讲义微专题97 不等式选讲
微专题97 不等式选讲 一、基础知识： （一）不等式的形式与常见不等式： 1、不等式的基本性质： （1）a b b a >?< （2）,a b b c a c >>?>（不等式的传递性） 注：,a b b c a c ≥≥?≥，a c ≥等号成立当且仅当前两个等号同时成立 （3）a b a c b c >?+>+ （4）,0;,0a b c ac bc a b c ac bc >>?>>>?>≥∈ （6 ）)02,a b n n N >>>≥∈ 2、绝对值不等式：a b a b a b -≤+≤+ （1）a b a b +≤+等号成立条件当且仅当0ab ≥ （2）a b a b -≤+等号成立条件当且仅当0ab ≤ （3）a b b c a c -+-≥-：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当且仅当()()0a b b c --≥ 3、均值不等式 （1）涉及的几个平均数： ① 调和平均数：12111n n n H a a a = +++L ② 几何平均数：n G = ③ 代数平均数：12n n a a a A n +++= L ④ 平方平均数：n Q = （2）均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===L
（3）三项均值不等式： ① a b c ++≥ 222 3a b c abc ++≥ ② 3 3a b c abc ++?? ≤ ??? ③ a b c ++≤4、柯西不等式：( )()()2 222 222121 21122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++L L L 等号成立条件当且仅当 1212n n a a a b b b ===L 或120n b b b ====L （1）二元柯西不等式：( )()()2 22 2 2a b c d ac bd ++≥+，等号成立当且仅当ad bc = （2）柯西不等式的几个常用变形 ① 柯西不等式的三角公式： +≥ ② ()2 222 1 2121212n n n n a a a a a a b b b b b b ++++++≥+++L L L ()()222212121212 n n n n a a a b b b a a a b b b ???++++++≥+++ ???L L L ②式体现的是当各项222 12,,,n a a a L 系数不同时，其“平方和”与“项的和”之间的不等关系， 刚好是均值不等式的一个补充。 ③ ()2 1212121122n n n n n a a a a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++L L L 5、排序不等式：设1212,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤L L 为两组实数，12,,,n c c c L 是12,,,n b b b L 的任一排列，则有： 121111221122n n n n n n n a b a b a b a c a c a c a b a b a b -+++≤+++≤+++L L L 即“反序和≤乱序和≤顺序和” （二）不等式选讲的考察内容： 1、利用不等式的变形与常见不等式证明不等式成立
高中数学讲义微专题27 三角函数的值域
微专题27 三角函数的值域与最值 一、基础知识 1、形如()sin y A x ω?=+解析式的求解：详见“函数()sin y A x ω?=+解析式的求解”一节，本节只列出所需用到的三角公式 （1）降幂公式：2 21cos21cos2cos ,sin 22 αα αα+-= = （2）2sin cos sin2ααα= （3）两角和差的正余弦公式 ()sin sin cos sin cos αβαββα+=+ ()sin sin cos sin cos αβαββα-=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+ （4）合角公式：()22sin cos a b a b ααα?+=++，其中tan b a ?= 2、常见三角函数的值域类型： （1）形如()sin y A x ω?=+的值域：使用换元法，设t x ω?=+，根据x 的范围确定t 的范围，然后再利用三角函数图像或单位圆求出x ω?+的三角函数值，进而得到值域 例：求()2sin 2,,444f x x x πππ?? ??=- ∈- ???? ??? 的值域 解：设24 t x π =- 当,44x ππ?? ∈- ???? 时，32,444t x πππ??=-∈-???? 22sin 22t ?∴∈-??? ()2,2f x ??∴∈-?? （2）形如()sin y f x =的形式，即()y f t =与sin t x =的复合函数：通常先将解析式化简为同角同三角函数名的形式，然后将此三角函数视为一个整体，通过换元解析式转变为熟悉的 函数，再求出值域即可 例：求()2 2sin cos 2,,63f x x x x ππ?? =-+∈- ???? 的值域 解：()() 2 2 sin 1sin 2sin sin 1f x x x x x =--+=++
高中数学讲义微专题91 复数
微专题91 复数 一、基础知识： 复数题目通常在高考中有所涉及，题目不难，通常是复数的四则运算1、复数z 的代数形式为(),z a bi a b R =+∈，其中a 称为z 的实部，b 称为z 的虚部（而不是bi )， 2、几类特殊的复数： （1）纯虚数：0,0a b =≠ 例如：5i ，i 等 （2）实数： 0b = 3、复数的运算：设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈ （1）2 1i =- （2）()()12z z a c b d i ±=+++ （3）()()()()212z z a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i ?=+?+=+++=-++ 注：乘法运算可以把i 理解为字母，进行分配率的运算。只是结果一方面要化成标准形式，另一方面要计算21i =- （4）()()()()()()122 2a bi c di ac bd bc ad i z a bi z c di c di c di c d +-++-+===++-+ 注：除法不要死记公式而要理解方法：由于复数的标准形式是(),z a bi a b R =+∈，所以不允许分母带有i ，那么利用平方差公式及21i =的特点分子分母同时乘以2z 的共轭复数即可。 4、共轭复数：z a bi =-， 对于z 而言，实部相同，虚部相反 5 、复数的模：z = 2z z z =? (2 2z z ≠) 6、两个复数相等：实部虚部对应相等 7、复平面：我们知道实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数(),a bi a b R +∈都与平面直角坐标系上的点(),a b 一一对应，将这个平面称为复平面。横坐标代表复数的实部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴。 8、处理复数要注意的几点： （1）在处理复数问题时，一定要先把复数化简为标准形式，即(),z a bi a b R =+∈ （2）在实数集的一些多项式公式及展开在复数中也同样适用。例如：平方差公式，立方和差公式，二项式定理等 二、典型例题