2018年大连市高三双基考试数学(理科)答案

2018年大连市高三双基考试 数学（理科）参考答案

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一．选择题

1.C

2.D

3.B

4.A

5.B

6.D

7.C

8.B

9.D 10.A 11.C 12.B 二．填空题

13.602 16.{1}- 三．解答题 17. 解：（Ⅰ）

在ABD ?中，由正弦定理可得

sin sin AB BD

ADB BAD =

∠∠， 在ACD ?中，由正弦定理可得sin sin AC DC

ADC CAD

=

∠∠， 因为sin sin ,sin sin ADB ADC BAD CAD ∠=∠∠=∠， 所以

1

2

AB BD AC DC ==. ┄┄┄┄┄┄4分 （面积法、平面几何法酌情给分）

（Ⅱ）法一：因为

1

2

BD DC =， 所以1121()3333

AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u

r u u u r ，┄┄┄┄┄┄8分

所以2221()33AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，即8448

++cos<,9999AB AC =>u u u r u u u r ，所以cos<,0AB AC >=u u u r u u u r ，

所以<,=2

AB AC π

>u u u r u u u r ，所以ABC ?面积为112=12??. ┄┄┄┄┄12分

法二：设BAD α∠=，则ABD ?面积为11sin 23α??，ACD ?面积为12sin 2α?，ABC ?面积为

1

12sin 22

α???，

所以

11sin 23α??1+2sin 2α?112sin 22

α=???，┄┄┄┄┄┄8分

sin 22sin cos αααα==

，所以sin cos αα==， 所以ABC ?面积为

1

12sin 2=12

α???.┄┄┄┄┄┄12分 法三：设,2BD t DC t ==，在ABD ?和ACD ?中分别利用余弦定理，得到

：

2222

22

12233

t t +-+-=（）

，解得t =，┄┄┄┄┄┄8分

所以BC ==

ABC ?为直角三角形，面积为1

12=12

??.┄┄┄12分

法四：设,2BD t DC t ==，在ABD ?和ACD ?中分别对BAD CAD ∠∠、利用余弦定理，

22222

2

1(

2((2)t t +-+-=

，解得t =，┄┄┄┄┄┄8分

所以BC ==

ABC ?为直角三角形，面积为1

12=12

??.┄┄┄12分

18.解：（Ⅰ）设移动支付笔数为X ，则4

~(10,)5

X B ， ┄┄┄┄┄┄2分

所以4418

108,105555

EX DX =?==??=. ┄┄┄┄┄┄6分

（Ⅱ）因为22

2

()5002703017030)= 2.841 3.841()()()()44060300200

n ad bc a b c d a c b d χ-??-?=

≈<++++???（，┄┄┄┄┄9分 所以没有95%的把握认为2017年个人移动支付比例达到了80%与该用户是城市用户还是农村用户有关.

┄┄┄┄┄┄12分

19. （Ⅰ）

法一：过'C 作'C O BD ⊥交BD 于点O ，因为平面'BC D ⊥平面ABD ， 所以'C O ⊥平面ABD ，┄┄┄┄┄┄2分

因为AD ?平面ABD ，所以'C O ⊥AD ，

假设'90ADC ∠=o

，即'AD DC ⊥，因为'''C O DC C =I ，

'C O ?平面

'BC D ，'DC ?平面'BC D ，

所以AD ⊥平面'BC D ，又BD ?平面'BC D ，所以AD BD ⊥，

与已知

90ADB ∠≠o 矛盾，所以假设不成立.

所以'90ADC ∠≠o

.┄┄┄┄┄┄4分

法二：过'C 作'C O BD ⊥交BD 于点O ，因为平面'BC D ⊥平面ABD ，

所以'C O ⊥平面ABD ，

,,'

OD OE OC 过O 作OE BD ⊥交AB 于点E ，以O 为坐标原点，

为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

所以13'(0,0,

(,0,0),(0,0),(1,2222

C B

D A -，，

所以，13(,'(,0,22AD C D ==u u u r u u u u r ，所以3'04

AD C D ?=≠u u u r u u u u r ， 所以'90ADC ∠≠o

.┄┄┄┄┄┄4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）的方法二可知，

31''(,0,'(,0,22C A C D C B ===-u u u u r u u u u r u u u u r

设平面'ADC 的一个法向量为111(,,)m x y z =r ，所以有'0'0

m C A m C D ??=???=??u u u u r r u u u u r

r

，即111

110302x y z x z ?-=????=??， 不妨令11x =

，则113

z y =

=

，即(1,3m =r

，┄┄┄┄┄┄6分 设平面'ABC 的一个法向量为222(,,)n x y z =r ，所以有'0'0

n C A n C B ??=???=??u u u u r r u u u u r

r

，即2222201-022

x y z x z ?-=????-=??， 不妨令23x =

，则22z y ==-

(3,n =-r

，┄┄┄┄┄┄8分

所以3cos ,||||13m n m n m n ?<>==

=-r r

r r

r r .┄┄┄┄┄┄10分 由题可得，二面角'B AC D --的余弦值为3

13

-

.┄┄┄┄┄┄12分 20.解：（Ⅰ）显然点A 在椭圆外，所以1||||PF PA -22(||||)a PA PF =-+，

当P 在线段2AF 上时2||||PA PF +取到最小值，1||||PF PA -

取到最大值2a ┄┄┄┄┄┄2分

又12c a =

，化简22a a a ==，为长半轴长.┄┄┄4分 （Ⅱ）由

12

c a =

，可得b a =

222

343x y a +=，2AF

斜率为b a c =- 所以可以设直线l

方程为y m =+

，其与椭圆联立可得：22215430x m a ++-=，且22180480

a m ?=->┄┄┄┄┄┄5分

设1122(,),(,)M x y N x y ，根据两点间距离公式及韦达定理可得

||MN =

= 根据点到直线距离公式可得，O 到直线l 的距离为||

2m ，┄┄┄┄┄8分

所以

222122

12(4512)2OMN m S m a m ?=?+-=≤=???

当2

2

4524

a m =

22=4,3a b =， 即椭圆C 的方程为22

143

x y +=.┄┄┄┄┄12分

21.解：（Ⅰ）法一：()0f x ≤可得ln 2

x a x

+≥，┄┄┄┄┄┄1分 设ln 2

()(0)x g x x x

+=

>， 则2

ln 1'()(0)x g x x x --=>，1'()00g x x e >?<<，1

'()0g x x e

， 所以函数()g x 在区间1(0,)e 上为增函数，在1

(+)e ∞，上为减函数，┄┄┄┄┄3分

所以max 1

()()g x g e e

==.所以实数a 的取值范围为[,)e +∞.┄┄┄┄┄4分

法二：显然0a ≤时，(1)0f >，不符合题意；┄┄┄┄┄1分

当0a >时，1'()ax f x x -=，1'()00f x x a >?<<，1

'()0f x x a ， 所以函数()f x 在区间1(0,)a 上为增函数，在1

(+)a ∞，上为减函数，┄┄┄┄┄3分

所以max 11

()()ln 10f x f a a

==+≤，解得实数a 的取值范围为[,)e +∞.┄┄┄┄┄4分

（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）知+1212ln 222

x x e e

e x x e x ex +--≥--+，┄┄┄┄┄6分

设12()2(0)2

x e h x e x ex x +=--+≥，则1

'()x h x e ex e +=--，

令()'()x h x φ=，则1

'()x x e

e φ+=-，

当0x >时，恒有'()0x φ>，所以函数'()h x 在区间(0,+)∞上为增函数， 所以'()'(0)0h x h >=，所以函数()h x 在区间(0,+)∞上为增函数， 所以0x >时，()(0)2 4.72h x h e >=+≈，┄┄┄┄┄9分

又112

211

ln 4.85222

e e

+-?-≈，所以m 的最大值为4.┄┄┄┄┄12分 法二：设2

()1(0)2

x

x h x e x x =---≥，则'()1x h x e x =--，令()'()x h x ψ=，则'()1x x e ψ=-

当0x >时，恒有'()0x ψ>，所以函数'()h x 在区间(0,+)∞上为增函数， 所以'()'(0)0h x h >=，

所以函数()h x 在区间(0,+)∞上为增函数，所以()(0)0h x h >=，

所以当0x >时，2+1

22ln (1)ln ln 222

x e x e

e

x x e x x x ex e x -->++--=+-， 设()+ln t x ex e x =-，则1

'()t x e x

=-， 1'()0t x x e >?>，1

'()00t x x e

所以函数()t x 在区间1(0,)e 上为减函数，在1

(+)e

∞，上为增函数，

所以1

()()2 4.72t x t e e

≥=+≈，┄┄┄┄┄9分

又112

211

ln 4.85222

e e

+-?-≈，所以m 的最大值为4.┄┄┄┄┄12分 22.解：（Ⅰ）4sin ((0,

))2

π

ρθθ=∈可以化为224(0)x y y x +=>，

其参数方程为2cos 22sin x y ββ

=??

=+?（参数(,)22ππ

β∈-）. ┄┄┄┄┄4分

(Ⅱ)由题得||4sin OP α=，6

||sin cos OQ αα

=+，其中(0,)2πα∈，┄┄┄┄┄6分

所以

2||221cos 2sin 22sin 2cos 21

(sin sin cos )()=()||3322322

OP OQ ααααααα--=+=++

21=[)]3242

3

πα-+≤，┄┄┄┄┄8分 因为32(,

)4

44π

ππ

α-

∈-

，所以当24

2

π

π

α-

=

即38

π

α=

时取到等号，

所以

||

||

OP OQ 的最大值为3.┄┄┄┄┄10分

23. 解：（Ⅰ）当1a =时，1()|21|||02f x x x =+--

<，即1

|21|||2

x x +<-， 两边平方可得221(21)()2x x +<-，解得31

(,)26

x ∈--.┄┄┄┄┄4分

（Ⅱ）1,2211()3,22211,22a x a x a a f x x a x a a x a x a a ?

---≤-??

?

=+--<≤

??

?

++>??

，所以()f x 在(,)2a -∞-上为减函数，在(,)2a -+∞为增函数，┄┄┄┄┄6分

()f x

的最小值1()()1222a a m f a =-=-+≤-=-，当且仅当1

22a a

=即1a =时取到等号. ┄┄┄┄┄8分

所以32

+10,10m m ≤-≥，

所以53232232

1()(1)1(1)(1)0m m m m m m m m ---=--+=+-≤.

所以5321m m m -≤-┄┄┄┄10分