微积分在物理竞赛中的应用

求解在立体斜面上滑动的物体的速度

一物体放在斜面上，物体与斜面间的摩擦因数μ恰好满足αμtg =，α为斜面的倾角。今使物体获得一水平速度0V 而滑动，如图一，

求：

物体在轨道上任意一点的速度V 与φ的关

系，设φ为速度与水平线的夹角。

解：物体在某一位置所受的力有：重力G ，

弹力N 以及摩擦力f 。摩擦力f 总是与运动速度V 的方向相反，其数值

重力在斜面上的分力为1G ，如图二，将1

G 分解为两个分力：

1G

''是1G 沿轨迹切线方向的分力，φαφsin sin sin 11

mg G G =='' ；1G '是沿轨迹法向的分力，φαφcos sin cos 11

mg G G =='，如图三。 根据牛顿运动定律，得运动方程为

τma f G =-''1 （1）

n ma G ='1

（2） 由（1），

而 ,dt dV a =τ得到 ,)1(sin sin dt g dV -=φα （3）

式中φ是t 的函数，但是这个函数是个未知函数，因此还不能对上式积分，要设法在φ与t 中消去一个变量，才能积分，注意到

φφ

d d ds V V dS dt 1== （4） 而φ

d ds 表示曲线在该点的曲率半径ρ，根据（2）式，

ρφα2cos sin V m mg = （5）

由式（3）（4）（5），可得到

φφφφd tg V dV V

V ??-=00)sec (， 积分，得到

)sin 1ln()ln(sec cos ln ln 0

φφφφ+-=+--=tg V V ， 运用积分法求解链条的速度及其时间

一条匀质的金属链条，质量为m ，挂在一个光滑的钉子上，一边长度为1L ，另一边长度为,2L 而且120L L <<，如图一。试求：

链条从静止开始滑离钉子时的速度和所需要的时间。

解：设金属链条的线密度为.2

1L L m +=λ当一边长度为x L +1，另一边长度为x L -2时受力如图二所示，则根据牛顿运动定律，得出运动方程

则.2)(2

121g L L x L L a ++-= 因为dx VdV dt dx dx dV dt dV a ===

，所以 令,2L x ≈可以求得链条滑离钉子时的速度大小

再由,dt

dx V =得到 积分，得到

令x=2L ,可以求得链条滑离钉子所需的时间为

求解棒下落过程中的最大速度

在密度为1ρ的液体上方有一悬挂的长为L,密度为

2ρ的均匀直棒，棒的下端刚与液面接触。今剪断细绳，

棒在重力和浮力的作用下下沉，若21ρρ<，求：

棒下落过程中的最大速度。