小学六年级数学竞赛数论专题试卷(含答案)10
小学六年级数学竞赛数论专题试卷（含答案)10 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．已知a与b的最大公约数是12，a与c的最小公倍数是300，b与c的最小公倍数也是300，那么满足上述条件的自然数a，b，c共有多少组？
（例如：a=12、b=300、c=300，与a=300、b=12、c=300是不同的两个自然数组）2．在一根长100厘米的木棍上，从左至右每隔6厘米染上一个红点，同时从右至左，每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，问长度是1厘米的木棍有几根？共有几根？
3．四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油，每瓶和其他各瓶分别合称一次，记录千克数如下：8、9、10、11、12、13．已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，求最重的两瓶内有多少油？
4．学区举行团体操表演,有1430名学生参加,分成人数相等的若干队,要求每队人数在100至200之间,共有几种分法?
5．有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？
6．求645763除以7的余数.
7．5397被一个质数除，所得余数是15.求这个质数.
8．在100至200之间，有三个连续的自然数，其中最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，写出这样的三个连续自然数.
9．有一个大于1的整数，它除967，1000，2001得到相同的余数，那么这个整数是多少？
10．70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍都恰好等于它两边两个数的和.这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，55，….
问：最右边一个数（第70个数）被6除余几？
11．一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数.
12．有一串数排成一行，其中第一个数是15，第二个数是40，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数的和，问这串数中，第1998个数被3除的余数是多少？13．191997被7除余几？
14．下面这个41位数
能被7整除，中间方格代表的数字是几？
15．四位数7a4b能被18整除，要使这个四位数尽可能的小，a和b是什么数字？16．一个七位数的各位数字互不相同，并且它能被11整除，这样的数中，最大的是哪一个？
17．四位数7□4□能被55整除，求出所有这样的四位数.
18．某个七位数1993□□□能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那么它的最后三个数字组成的三位数是多少？
19．甲、乙两人进行下面的游戏.
两人先约定一个整数N.然后，由甲开始，轮流把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字之一填入下面任一个方格中
每一方格只填一个数字，六个方格都填上数字（数字可重复）后，就形成一个六位数.如果这个六位数能被N整除，就算乙胜；如果这个六位数不能被N整除，就算甲胜.
如果N小于15，当N取哪几个数时，乙能取胜？
20．一本老账本上记着：72只桶，共□67.9□元，其中□处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账补上.
21．在1，2，3，4，5，6六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数（有些数字可以重复出现），使得能被组成它的每一个数字整除，并且组成的数要尽可能小. 22．某缝纫社有甲、乙、丙、丁4个小组，甲组每天能缝制8件上衣或10条裤子；乙组每天能缝制9件上衣或12条裤子；丙组每天能缝制7件上衣或11条裤子；丁组每天能缝制6件上衣或7条裤子。现在上衣和裤子要配套缝制（每套为一件上衣和一条裤子）。问：7天中这4个小组最多可缝制多少套衣服？
23．小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分．小明共套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分．问：小明至多套中小鸡几次？
24．六（1）班举行一次数学测验，采用5级计分制（5分最高，4分次之，以此类推）。男生的平均成绩为4分，女生的平均成绩为3.25分，而全班的平均成绩为3.6分。如果该班的人数多于30人，少于50人，那么有多少男生和多少女生参加了测验？
25．设有六位数3后，变为
26．红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放
置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。结果小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是1998。问：红、黄、蓝3张卡片上各是什么数字？
27．从自然数1，2，3，…，1000中，最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除?
28．如果N是1，2，3，…，1998，1999，2000的最小公倍数，那么N等于多少个2与1个奇数的积？
29．求自然数N，使得它能被5和49整除，并且包括1和N在内，它共有10个约数。30．有100张的一摞卡片，玲玲拿着它们，从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第一张卡片舍去，把下一张卡片放在这一摞卡片的最下面。再把原来的第三张卡片舍去，把下一张卡片放在最下面。反复这样做，直到手中只剩下一张卡片，那么剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第几张？
31．将100以内的质数从小到大排成一个数字串，依次完成以下5项工作叫做一次操作：（1）将左边第一个数码移到数字串的最右边；
（2）从左到右两位一节组成若干个两位数；
（3）划去这些两位数中的合数；
（4）所剩的两位质数中有相同者，保留左边的一个，其余划去；
（5）所余的两位质数保持数码次序又组成一个新的数字串。
问：经过1999次操作，所得的数字串是什么？
32．从1，2，3，…，999这999个数中，要求划去尽量少的数，使得余下的数中每一个数都不等于另外两个数的乘积。应划去哪些数？
（m是整数）得真分数之和，求这个数，并33．已知一个整数等于4个不同的形如m
m+1
求出满足题意的5组不同的真分数。
34．有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是420.如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？
35．将8个数6，24，45，65，77，78，105，110分成两组，每组4个数，并且每组4个数的乘积相等，请写出一种分组.
36．小明买红蓝两种笔各1支共用了17元.两种笔的单价都是整元，并且红笔比蓝笔贵.小强打算用35元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买都不能把35元恰好用完，问红笔、蓝笔每支各多少元？
37．○＋（□+△）=209.在○、□、△中各填一个质数，使上面算式成立.
38．有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少？
39．将某个17位数的数字的排列顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加。试说明，得到的和中至少有一个数字是偶数。
40．在3×3的方格表中已如下图填入了9个质数。将表中同一行或同一列的3个数加上相同的自然数称为一次操作。问：你能通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数吗？
41．是否存在三位数，使得？
42．有一个魔术钱币机，当塞入1枚1分硬币时，退出1枚1角和1枚5分的硬币；当塞入1枚5分硬币时，退出4枚1角硬币；当塞入1枚1角硬币时，退出3枚1分硬币。小红由1枚1分硬币和1枚5分硬币开始，反复将硬币塞入机器，能否在某一时刻，小红手中1分的硬币刚好比1角的硬币少10枚？
43．有一堆棋子，三个三个地数剩下2个，五个五个地数剩下4个，七个七个地数剩下6个.问这堆棋子最少有多少个？
二、填空题
44．用1，2，3，4，5五个数字可以组成_____个三位数．（各位上的数字允许相同）．45．李老师带领一班学生去种树，学生恰好被平均分成四个小组，总共种树667棵，如果师生每人种的棵数一样多，那么这个班共有学生_____人．
46．现有两个人在学校圆形跑道上从A点同时同向出发行走，已知两人各自走完1圈分别需要48秒和56秒，则他们第二次同时在A点会合需_____秒．
47．右图是一张靶纸，靶纸上的1、3、5、7、9表示射中该靶区的分数．甲说：我打了六枪，每枪都中靶得分，共得了27分．乙说：我打了3枪，每枪都中靶得分，共得了27分．已知甲、乙两人中有一人说的是真话，那么说假话的是_____．
48．一个三位数被37除余17,被36除余3.那么,这个三位数是________.
49．有一个自然数，用它分别去除以70，98，143，都有余数（余数不为0），三个余数的和是25。这个数是（_______）。
50．有三个连续的偶数，其中最小的数是最大数的6
，这三个连续偶数分别是（___），（___）
7
（____）
参考答案
1．30组
2．7根33根
3．12千克
4．共有三种分法，即：分成13队，每队110人；分成11队，每队130人；分成10队，每队143人．
5．5
6．6
7．23
8．159，160，161.
9．11
10．最右边一个数被6除余4
11．23
12．2
13．4
14．6
15．a＝1，b＝6
16．9876504
17．7040和7645
18．320
19．使乙获胜的N是1、3、7、9、11、13．
20．367.92
21．122364
22．125套
23．5次
24．男生：21人女生：24人
25．142857
26．红色：2 黄色：1 蓝色：8
27．56个
28．10个
30．第72张
31．3117
32．可划去2，3，…，30，31这30个数
33．3 ｛1
2,2
3
,6
7
,41
42
｝｛1
2
,2
3
,7
8
,23
24
｝｛1
2
,2
3
,9
10
,14
15
｝｛1
2
,3
4
,4
5
,19
20
｝｛1
2
,3
4
,5
6
,11
12
｝
34．4
105
35．第一组：24，65，77，45.
第二组：6，78，110，105.
36．红笔：13元蓝笔：4元
37．11×（17＋2）＝209或11×（2＋17）＝209.
38．7岁、8岁、9岁和10岁
39．证明：假设得到的和中没有一个数字是偶数，即全是奇数。如加法算式所示：
末一列数字的和d+a为奇数，从而第一列也是如此，因此第二列数字的和b+c≤9。将已知数的前两位数字a，b与末两位数字c，d去掉，所得的13位数仍具有“将它的数字颠倒，得到的数与它相加，和的数字都是奇数”这一性质。照此进行，每次去掉首末各两位数字，最后得到一位数，它与自身相加是偶数，矛盾。
由此得出，和的数字中必有偶数。
40．不能
41．不存在
42．不能
43．104个
44．125
45．28
46．336
47．甲
48．831
50．24 26 28
高中数学竞赛中数论问题的常用方法
高中数学竞赛中数论问题的常用方法 数论是研究数的性质的一门科学,它与中学数学教育有密切的联系.数论问题解法灵活,题型丰富,它是中学数学竞赛试题的源泉之一.下面介绍数论试题的常用方法. 1.基本原理 为了使用方便,我们将数论中的一些概念和结论摘录如下: 我们用),...,,(21n a a a 表示整数1a ,2a ,…,n a 的最大公约数.用[1a ,2a ,…,n a ]表示1a ,2a ,…,n a 的 最小公倍数.对于实数x ,用[x ]表示不超过x 的最大整数,用{x }=x -[x ]表示x 的小数部分.对于整数 b a ,,若)(|b a m -,,1≥m 则称b a ,关于模m 同余,记为)(mod m b a ≡.对于正整数m ,用)(m ?表示 {1,2,…,m }中与m 互质的整数的个数,并称)(m ?为欧拉函数.对于正整数m ,若整数m r r r ,...,,21中任何两个数对模m 均不同余,则称{m r r r ,...,,21}为模m 的一个完全剩余系；若整数)(21,...,,m r r r ?中每一个数都与m 互质,且其中任何两个数关于模m 不同余,则称{)(21,...,,m r r r ?}为模m 的简化剩余系. 定理1 设b a ,的最大公约数为d ,则存在整数y x ,,使得yb xa d +=. 定理2(1)若)(mod m b a i i ≡,1=i ,2,…,n ,)(m od 21m x x =,则 1 1n i i i a x =∑≡2 1 n i i i b x =∑； (2)若)(mod m b a ≡,),(b a d =,m d |,则 )(mod d m d b d a ≡； (3)若b a ≡,),(b a d =,且1),(=m d ,则)(mod m d b d a ≡； (4)若b a ≡(i m mod ),n i ,...,2,1=,M=[n m m m ,...,,21],则b a ≡(M mod ). 定理3(1)1][][1+<≤<-x x x x ； (2)][][][y x y x +≥+； (3)设p 为素数,则在!n 质因数分解中,p 的指数为 ∑≥1 k k p n . 定理4 (1)若{m r r r ,...,,21}是模m 的完全剩余系,1),(=m a ,则{b ar b ar b ar m +++,...,,21}也是模 m 的完全剩余系； (2)若{)(21,...,,m r r r ?}是模m 的简化剩余系,1),(=m a ,则{)(21...,,m ar ar ar ?}是模m 的简化剩余系. 定理5(1)若1),(=n m ,则)()()(n m mn ???=. (2)若n 的标准分解式为k k p p p n ααα (2) 121=,其中k ααα,...,21为正整数,k p p p ,...,21为互不相
小学六年级数学能力竞赛试题(含答案)
小学六年级数学能力竞赛试题 一、填空。（每题4分，共48分） 1、在长6cm，宽4cm的长方形中画一个最大的圆，圆的周长是（）cm。 2、1与一个数的倒数之差是7 9 ，这个数是（）。 3、小明看一本书，每天看16页，5天后还剩全书的3 5 没看，这本书有 （）页。 4、一件商品，第一次降价 1 10 后无人问津。店主为了促销，在此基础上 又降价1 10 ，现在的价格是原价的 （） （） 。 5、玲玲和妈妈今年的年龄之和是45岁，年龄之差是27岁，玲玲今年（）岁，妈妈今年（）岁。 6、，每次抽两张组成一个两位数，共可以组成（）个两位数。 7、如果A×75%＝B×1 2 ＝C÷1，则A、B、C从小到大的顺序是： （）。 8、六（1）班学生参加英语竞赛的有18人，参加作文竞赛的有22人， 有14人两项竞赛都参加了。六（1）班参加作文和英语竞赛的一共有（）人。 9、按规律填数。2、7、22、67、（）、（） 10、三(2)班第一小组学生在一次数学测验中，2人得了100分，3人得 了96分，其余6人共得480分，第一小组这次测验的平均成绩是
（）分。 11、c玩具店同时售出二件电动玩具，各为120元。其中一件赚了25%， 另一件亏了25%。玩具店卖出这两件玩具店后是（）（填赚或亏）了（）元。 12、一个学生用计算器算题，在最后一步应除以10，他错误的乘以 10，因此得出错误答案500，正确答案应该是（）。 二、选择正确答案的序号填在括号里。（每题4分，共20分） 1、公园门口摆放了一个正五边形花坛，花坛的最外层每边各摆放了8 盆花，最外层共摆了（）盆花。 A、45 B、40 C、35 2、“大牛的头数相当于小牛的8 5 ”，就是大牛的头数比小牛（）。 A、多3 5 B、少 3 5 C、多 1 5 3、右图几个三角形中（）的面积最大。 A、△ABC B、△ABD C、△ABE 4、有大小两个圆，它们的半径之差是3cm，两个圆的周长之差是（）cm。 A、3 B、9.42 C、18.84 5、掷两粒骰子，出现点数和为7，和为8的可能性大的是（）。 A、点数和为7 B、点数和为8 C、同样大。 6、125×12.5×1.25×8×8×8积的末尾有( )零。 A、6 B、7 C、9 三、巧妙计算。（请写出计算过程）（12分） 1 2＋ 1 6 ＋ 1 12 ＋ 1 20 ＋ 1 30 6.5×999＋135×99
新人教版小学数学六年级竞赛试题及答案
六年级数学竞赛试题 姓名_________ 成绩_______ 一、填空。（27分） 1、一个数由32个百、56个百分之一组成，这个数是（），它含有（）个0.01，这个数保留到十分位是（）。 2、填上合适的单位名称： 一间教室面积是54（）汽车每小时行90（）一瓶矿泉水容积是255（）3、5.02吨=（）吨（）千克 1.75小时=（）小时（）分 4、2÷（）=0.4=（）：15=8 （） =（）% 5、2 15：0.6化成最简整数比是（），比值是（）。 6、桌子每张a元，椅子每把b元，买20套桌椅共需（）元。（一张桌子配两把椅子） 7、小丽和小红同时从学校出发，小丽向东走80米，记作+80米，小红向西走60米，记作（）米，此时两人相距（）米。 8、一个圆柱形木块削去18.84立方分米加工成最大的圆锥体，这个圆柱形木块体积是（）立方分米。 9、三角形三个内角度数比是1：3：5，这个三角形是（）三角形。 10、2 9的分子增加6，要使分数大小保持不变，分母应为（）。 11、王奶奶5月1日去银行存了一年定期储蓄2万元，年利率1.98%，利息税20%，她到期可得本金和税后利息共（）元。 12、一个圆的周长是12.56厘米，以它的一条直径为底边，在圆内画一个最大的三角形，这个三角形面积是（）平方厘米。 13、一张精密零件图纸的比例是5：1，在图上量得某个零件长度是48毫米，这个零件实际长度是（）。 14、自来水管的内直径是2厘米，水管内水的流速是每秒8厘米，一位同学去水池洗手，走时忘记关掉水龙头，5分钟会浪费（）升水。 15、九张卡片上分别写着1-9九个数字。甲、乙、丙、丁四人每人拿两张。甲的数字之和是9，乙的两张数字之差是6，丙的两张数字之积是12，丁的两张数字之商是3，剩下一张的数字是（）。 二、判断题。（8分）
小学数学基本功比赛试题
德州市第四届小学数学教师基本功比赛专业知识测试试题 (满分：100分时间：120分钟) 一、选择题（单选或多选，2×10=20分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1．数学教学活动是师生积极参与，（）的过程． A．交往互动B．共同发展C．交往互动、共同发展 2．标准中使用了“经历、体验、探索”等行为动词表述（） A．过程目标B．结果目标C．课程目标 3．义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有（） A．基础性B．发展性C．普及型 4．老年人活动中心麻将馆门口的拐角处放着一个招牌，这个招牌是由三个特大号的骰子摞在一起而成的，如图所示，其中可看见7个面，而11个面是看不到的，则看不见的面其点数总和是（） Ａ．21 Ｂ．22 Ｃ．41 Ｄ．44 5．已知正方形ABCD的边长是6分米，CE是DE的2倍，则阴影部分的面积为（）A．12 B．8 C．6 D．4 6．在一个40名学生的班级中选举班长，选举结果是： 下面扇形图显示了这些结果的是（）7．有一条围粮的席子，长5米，宽2.5米，把它围成一个筒状的粮食囤．围法有两种： 第一种围法：围成周长2.5米，高5米的粮囤；第二种围法：围成周长5米，高2.5米的粮囤．下列说法正确的是（）． A．第一种围法的容积大，盛粮多 B．第二种围法的容积大，盛粮多 C．因是同一条席子围成的粮囤，所以两种围法围成的粮囤盛的粮一样多 D．无法判断哪种围法围成的粮囤盛的粮多 8．如图所示，是一间民房，房上是一根烟囱，房子的旁边是一个仓库，房子的后面是一条河．明明同学站在河中行驶的游轮上从旁边经过（图中箭头表示游轮行驶方向），看到如图2所示的5幅图，依据游轮行驶的路线，映入明明眼帘的先后顺序是（）． Ａ．③①②④⑤Ｂ．⑤①②④③Ｃ．①②④⑤③Ｄ．⑤④②①③ 9．小王8∶30从家出门去参观房展，家里的闹钟也指向8∶30，房展结束，他12∶00准时回到家，发现家里的闹钟才11∶46，那么，再过几分钟此闹钟才能指到12点整（） A．13分钟B．14分钟 C．15分钟D．16分钟 10．我国古代的“河图”是由3×3的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．图中给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图是（）． 题号一二21 22 23 24 25 26 总分答案 张强刘莉李浩赵红20票10票4票6票8图 图2 第4题图A B C D F E 第5题图
小学六年级数学竞赛试题及详细答案
小学六年级数学竞赛试题及详细答案 一、计算下面各题，并写出简要的运算过程（共15分，每小题5分） 二、填空题（共40分，每小题5分） 1.在下面的“□”中填上合适的运算符号，使等式成立：（1□9□9□2）×（1□9□9□2）×（19□9□2）=1992 2.一个等腰梯形有三条边的长分别是55厘米、25厘米、15厘米，并且它的下底是最长的一条边。那么，这个等腰梯形的周长是_ _厘米。 3.一排长椅共有90个座位，其中一些座位已经有人就座了。这时，又来了一个人要坐在这排长椅上，有趣的是，他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻。原来至少有_ _人已经就座。 4.用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r。a=_ _，r=_ _。 5.“重阳节”那天，延龄茶社来了25位老人品茶。他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000。其中年龄最大的老人今年_ ___岁。 6.学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本，每个学生从中任意借两本。那么，至少__ __个学生中一定有两人所借的图书属于同一种。 7.五名选手在一次数学竞赛中共得404分，每人得分互不相等，并且其中得分最高的选手得90分。那么得分最少的选手至少得__ __分，至多得 __ __分。（每位选手的得分都是整数） 8.要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都要损耗1毫米铜管。那么，只有当锯得的38毫米的铜管为__ __段、90毫米的铜管为_ ___段时，所损耗的铜管才能最少。 三、解答下面的应用题（要写出列式解答过程。列式时，可以分步列式，可以列综合算式，也可以列方程）（共20分，每小题5分） 1.甲乙两个工程队共同修筑一段长4200米的公路，乙工程队每天比甲工程队多修100米。现由甲工程队先修3天。余下的路段由甲、乙两队合修，正好花6天时间修完。问：甲、乙两个工程队每天各修路多少米？ 2.一个人从县城骑车去乡办厂。他从县城骑车出发，用30分钟时间行完了一半路程，这时，他加快了速度，每分钟比原来多行50米。又骑了20分钟后，他从路 旁的里程标志牌上知道，必须再骑2千米才能赶到乡办厂，求县城到乡办厂之间的总路程。 3.一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半（如图12）。将这个长方体切成12个小长方体，这些小长方体的表面积之和为600平方分米。求这个大长方体的体积。 4.某装订车间的三个工人要将一批书打包后送往邮局（要求每个包内所 多35本。第2次他们把剩下的书全部领来了，连同第一次多的零头一起，刚好又打11包。这批书共有多少本？ 四、问答题（共35分） 1.有1992粒钮扣，两人轮流从中取几粒，但每人至少取1粒，最多取4粒，谁取到最后 一粒，就算谁输。问：保证一定获胜的对策是什么？（5分）
小学奥数数论专题
名校真题测试卷10 （数论篇一） 1、（05年人大附中考题）有_____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。 2、（05年101中学考题） 如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数 是_____。 3 （05年首师附中考题） 1 21+ 202 2121 + 50513131313 21212121212121 =________。 4 （04年人大附中考题） 甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。 (02年人大附中考题) 下列数不是八进制数的是( ) A、125 B、126 C、127 D、128 【附答案】 1 【解】：6 2 【解】：设原来数为ab，这样后来的数为a0b,把数字展开我们可得：100a+b=9×(10a+b),所以我们可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原来的两位数为45。 3 【解】：周期性数字，每个数约分后为1 21 + 2 21 + 5 21 + 13 21 =1 4 【解】：题中要求丙与135的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙+乙），这样我们分解135=5×3×3×3，所以丙最小应该是2×2×5×3，所以甲最小是：2×3×3×5=90。 5 【解】：八进制数是由除以8的余数得来的，不可能出现8，所以答案是D。 第十讲小升初专项训练数论篇（一） 一、小升初考试热点及命题方向 数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。由于行程题的类型较多，题型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。数论内容包括：整数的整除性，同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。作为一个理论性比较强的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密切的联系,其重要性是不言而喻的。 二、考点预测 的小升初考试将继续以填空和大题形式考查数论，命题的方向可能偏向小题考察单方面的知识点，大题
高中数学竞赛资料-数论部分 (1)
初等数论简介 绪言：在各种数学竞赛中大量出现数论题，题目的内容几乎涉及到初等数论的所有专题。 1． 请看下面的例子： （1） 证明：对于同样的整数x 和y ，表达式2x+3y 和9x+5y 能同时被整除。(1894年首届匈牙利 数学竞 赛第一题) （2） ①设n Z ∈，证明213 1n -是168的倍数。 ②具有什么性质的自然数n ，能使123n ++++ 能整除123n ??? ？（1956年上海首届数学竞赛第一题） （3） 证明：3 231 122 n n n + +-对于任何正整数n 都是整数，且用3除时余2。（1956年北京、天津市首届数学竞赛第一题） （4） 证明：对任何自然数n ，分数 214 143 n n ++不可约简。（1956年首届国际数学奥林匹克竞赛第一题） （5） 令(,,,)a b g 和[,,,]a b g 分别表示正整数,,,a b g 的最大公因数和最小公倍数，试证： [][][][]()()()() 2 2 ,,,,,,,,,,a b c a b c a b b c c a a b b c c a =??（1972年美国首届奥林匹克数学竞赛第一题） 这些例子说明历来数论题在命题者心目中首当其冲。 2.再看以下统计数字： （1）世界上历史最悠久的匈牙利数学竞赛，从1894~1974年的222个试题中，数论题有41题，占18.5%。 （2）世界上规模最大、规格最高的IMO （国际数学奥林匹克竞赛）的前20届120道试题中有数论13题，占10.8% 。 这说明：数论题在命题者心目中总是占有一定的分量。如果将有一定“数论味”的计数型题目统计在内，那么比例还会高很多。 3.请看近年来国内外重大竞赛中出现的数论题： (1)方程323652x x x y y ++=-+的整数解(,)x y 的个数是（ ） A 、 0 B 、1 C 、3 D 、无穷多 （2007全国初中联赛5） （2）已知,a b 都是正整数，试问关于x 的方程()2 1 02 x abx a b -++=是否有两个整数解？ 如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明。 （2007全国初中联赛12）
小学六年级数学竞赛题汇总
1.计算：4.25×5.24×1.52× 2.51= 2、某工厂三个车间共有180人，第二车间人数是第一车间人数的3倍还多1人，第三车间人数是第一车间人数的一半少1人．三个车间各有多少人？ 3、5个9,之间用加减乘除,等于21。（可以使用括号） 9 9 9 9 9=21 4、 8个8,之间用加减乘除,等于1999。。（可以使用括号） 8 8 8 8 8 8 8 8=1999 5、1，2，5，13，34，89，（），（） 6、把2004个正方形排成一行，甲.乙.丙三个小朋友轮流对这些正方形依次染色。从第一个开始，甲把一个正方形染成红色，乙把两个正方形染成黄色，丙把3个正方形染成蓝色，甲再把4个正方形染成红色，乙把5个正方形染成黄色，丙把6个正方形染成蓝色，……直到将全部正方形染上色为止。其中被染成蓝色的正方形共有多少个？ 7、95个同学排成长方形做操，行数与列数都大于1，共有几种排法？ 8、写出若干个连续自然数，使它们的和是1680。 9、把40、44、45、63、75、78、99、105这八个书平均数分成两组，使两组四个数的积相等。 10、60个同学分组排队去游览，每组人数要一样多，每组不少于6人，不多于15人，有几种分法？怎样分？ 11、有一个长方形，它的长、宽、高是三个连续的自然数，体积是3360立方厘米，求它的表面积？ 12、把30、33、42、52、65、66、67、78、105九个数平均分成三组，每组的数相乘积相等，写出这三组数。 13、甲数比乙数大9，两个数的积是792，求甲、乙数分别是多少？ 14、四个连续奇数的积是19305，这四个奇数各是多少？ 15、有四个孩子，恰好一个比一个大1岁，4人的年龄积是3204，问这四个孩子中最大的几岁？ 16、有三个自然数a、b、c，已知a×b＝30，b×c＝35，c×a＝42，求a×b×c的积是多少？ 17、一堆西瓜，第一次卖出总个数的1/4又5个，第二次卖出余下的1/2又4个，还剩4个，这堆西瓜共有多少个？ 18、晋西小学五、六年级共有学生780人，该校去数学奥校学习的学生中，恰好有8/17是五年级学生，有9/23是六年级学生，那么该校五、六年级学生中，没进奥校学习的有多少人？ 19、一个圆的周长为1.26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行。这两只蚂蚁每秒分别爬行0.04米和0.05米，且每爬行1秒、3秒、5秒……（连续奇数），就掉头爬行。那么，它们相遇时，已爬行的时间是秒。 20、如果六位数1992□□能被105整除，那么这个六位数是（）。 工程问题
人教版小学六年级数学竞赛试卷
_ __ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ ： 名 姓 _ ： 号 学 _ 级 班 _ __ ： 校 学 学习必备 欢迎下载 小学 2012-2013 学年上学期学科竞赛试题 六年级数学 （时间：100 分钟 总分：100 分） 题号 一 二 三 四 五 总分 得分 阅卷人 【卷首语】亲爱的同学们，别紧张，认真思考，相信你能交上一份满意的试卷！ 一、 填空：(每空 2 分,共 40 分) （1）2 的倒数是（ ），1.3 的倒数是（ ）。 （2）0.3 ：1 的前项扩大 10 倍，要使比值不变，后项 1 也 应该（ ）。 （3）0.55 时=（ ）分 680 平方厘米=（ ）平方分米 （4）用一根铁丝围成一个长方形框架，长是 1.2 米，宽是 0.4 米，现把这长方形的边拉直再围成一个正方形，这个正 方形的周长是（ ），面积是（ ）。 （5）一个长方形的周长是 20 厘米，长与宽的比为 3∶2， 这个长方形的长是 ( ) ，宽是 ( ) ，面积是 ( )。 （6）一个三位小数，四舍五入到百分位约是 3.76，这个 三位小数最大可能是（ ），最小可能是（ ）。 （7）、在下面的两个 里填入相同的数，使等式成立。
密封线 学习必备欢迎下载 （8）、一个数扩大到原来的10倍后，比原数大25.2，原数 是（）。 （9）、0.275275…的小数部分第100个数字是(),前 100位数字和是（）。 （10）把11拆分成两个自然数的和，再求出这两个自然数的积。要使积最大，这两个数应为（）和（）。（11）蜗牛从一个枯井网上爬，白天向上爬110厘米，夜里向下滑40厘米，若要第五天的白天爬到井口，这口井至少深（）厘米。 二、判断题。在括号里正确的打√，错误的打×。（8分）（1）10克糖溶于100克水中，糖比糖水是1：10(）（2）甲数比乙数多20％，乙数就比甲数少20％。（）（3）大圆的半径是小圆半径的2倍，那么大圆的面积是小圆面积的2倍。（） (4)面积相等的两个圆，周长也相等。（） 三、请你选一选。（8分） 1、把4∶7的前项加上12，要使比值不变，后项应加上（）。 A、12 B、21 C、28 2、周长都是20厘米的一个圆和一个正方形，圆的面积（） 正方形的面积。 A、小于 B、大于 C、等于 3、从学校走到电影院，小明用8分钟，小红用10分钟，小明和小红速度之比是（）。 A、4∶5 B、5∶4 C、8∶10
数论-小学数学竞赛--因数与倍数之综合应用强化篇
因数与倍数之综合应用 【例 1】(北京市第十届“迎春杯”刊赛试题)筐里共有96个苹果，如果不一次全拿出，也不一个一个地拿；要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少，有种不同的拿法。 【巩固】筐里有300个桃子，如果不是一次全部拿出，也不一个一个地拿，要求每次的个数同样多，拿到最后正好不多不少，问共有多少种不同的拿法？ 【例 2】现有三个正整数，它们的和是1111，这样的三个正整数的公约数中，最大的可以是多少？ 【巩固】9个非零自然数的和是848，它们的最大公约数的最大值是多少？ 【例 3】恰有8个约数的两位数有个。 【巩固】在1到100中，恰好有6个约数的数有多少个？ 【例 4】一个数的平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？ 五年级
【巩固】一个数的立方有28个约数，求这个数的约数个数可能是几？ 【例 5】把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数依不同的次序排列，可以得到362880个不同的九位数，则所有这些九位数的最大公约数为。 【巩固】把1，2，3，4，5，6这六个数依不同的次序排列，可以得到720个不同的六位数，则所有这些六位数的最大公约数为。 【例 6】有3599只甲虫，依次编号为1，2，3，…，3599，开始时头都朝东。第1秒钟，编号为1的倍数的甲虫向右转90度；第2秒钟，编号为2的倍数的甲虫向右转90度；第3秒钟，编号为3的倍数的甲虫向右转90度，…，如此进行。那么，1小时后，第3599号甲虫头朝哪个方向？ 【巩固】200名同学编为1至200号面向南站成一排。第1次全体同学向右转(转后所有的同学面朝西）； 第2次编号为2的倍数的同学向右转；第3次编号为3的倍数的同学向右转；…；第200次编号为200的倍数的同学向右转；这时，面向东的同学有名。 〖答案〗 【例 1】10 【巩固】16 【例 2】101 【巩固】53 五年级
(完整版)小学奥数中的数论问题
小学奥数中的数论问题 在奥数竞赛中有一类题目叫做数论题，这一部分的题目具有抽象，思维难度大，综合运用知识点多的特点，基本上出现数论题目的时候大部分同学做得都不好。 一、小学数论究包括的主要内容 我们小学所学习到的数论内容主要包含以下几类： 整除问题：（1）整除的性质；（2）数的整除特征（小升初常考内容） 余数问题：（1）带余除式的运用被除数=除数×商+余数.（余数总比除数小） （2）同余的性质和运用 奇偶问题：（1）奇偶与加减运算；（2）奇偶与乘除运算质数合数：重点是质因数的分解（也称唯一分解定理）约数倍数：（1）最大公约最小公倍数两大定理 一、两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。 二、两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。 （2）约数个数决定法则（小升初常考内容） 整数及分数的分解与分拆：这一部分在难度较高竞赛中常
出现，属于较难的题型。二、数论部分在考试题型中的地位 在整个数学领域，数论被当之无愧的誉为“数学皇后”。翻开任何一本数学辅导书，数论的题型都占据了显著的位置。在小学各类数学竞赛和小升初考试中，系统研究发现，直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分的30%左右，而在竞赛的决赛试题和小升初一类中学的分班测试题中，这一分值比例还将更高。 出题老师喜欢将数论题作为区分尖子生和普通学生的依据，这一部分学习的好坏将直接决定你是否可以在选拔考试中拿到满意的分数。三、孩子在学习数论部分常常会遇到的问题 数学课本上的数论简单，竞赛和小升初考试的数论不简单。 有些孩子错误地认为数论的题目很简单，因为他们习惯了数学课本上的简单数论题，比如：例1：求36有多少个约数？ 这道题就经常在孩子们平时的作业里和单元测试里出现。可是小升初考题里则是：例2：求3600有多少个约数？ 很多孩子就懵了，因为“平时考试里没有出过这么大的数！”（孩子语）于是乎也硬着头皮用课堂上求约数的方法去求，白白浪费了大把的时间，即使最后求出结果也并不划
六年级数学竞赛试题-及参考答案
（试题总分98分卷面2分共100分时间40分钟）题号一二三四五卷面分总分复核 得分 评卷 一、填空（24分）（每空2分） 1. 4 3=15÷（）=（）﹕16 2.把、1 3 2和按从大到小的顺序排列为（）。 3.一张半圆形纸片半径是1分米，它的周长是（），要剪成这样的半圆形，至少要一张面积是（）平方分米的长方形纸片。 4. 一排长椅共有90个座位，其中一些座位已经有人就座了。这时，又来了一个人要坐在这排长椅上，有趣的是，他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻。原来至少有_ _人已经就座。 5. 7 5吨煤平均7次运完，每次运这些煤的（）（填分数），每次运煤（）吨。 6. 十几辆卡车运送315桶汽油,每辆卡车运的桶数一样多,且一次运完.那么, 每辆卡车运（）桶。 7. 五个数的平均数是30，若把其中一个数改为40，则平均数是35，这个改动的数是( )。 8.两个圆的直径比是2 ：5，周长比是（），面积比是（）。二、判断（10分） 1.某班男生人数比女生人数多 3 1，那么女生人数就比男生少 2 1。（） 2.半圆的周长就是圆周长的一半。( ) 3.把圆分成若干份，分的份数越多，拼成的图形越接近于长方形。（） 4.把10克糖放入100克水中，糖是糖水的 10 1。（） 吨的 9 1和1吨的 9 7一样重。（） 三、选择（18分） 1.下面图形中，（）是正方体的表面展开图． A. B. C. 2.一种商品先降价 8 1，又提价 8 1，现价与原价相比（）。 A.现价高； B.原价高； C.相等。 3.一个三角形，三个内角度数的比是1：3：6，这个三角形是（）。 A.锐角三角形； B.直角三角形； C.钝角三角形 4.甲数是m，比乙数的8倍多n，表示乙数的式子是（） +n +8+n C.(m-n)÷8 5.正方形和圆的周长相等，那么面积谁大（） A.同样大； B.正方形大； C.圆大； D.无法比较。
六年级数学竞赛题(含答案)
密 封 班级 姓名 四川省资阳师范学校附属小学六年级（上）数学竞赛 决 赛 卷 （80分钟完卷，满分100分） 题 号 一 二 三 四 总 分 得 分 一、知能联网 1．已知，16.2×[(714 －□×700)]÷721＝8.1，那么，□＝( )。 2．松鼠的体长估计在50厘米到95厘米之间，它的尾巴约占体长的52 ，它的尾巴至少约 有（ 20 ）厘米，最多有（ 38 ）厘米。 3．购物中心有72件男式上衣，计划每件售价240元，卖出32后，余下的按七五折出售，已知每件男式上衣进价为200元。这笔生意是（ 赚钱 ）（填赚钱或赔钱）。 4．甲、乙、丙三人去买书，乙买的书比甲买的书的本数的 73多3本，丙买的书比甲买的书的5 2少1本。那么，三人合计最少买了（ 66 ）本书。 5．如右上图，在4×7的方格纸上画有如阴影所示的“9”字，阴影边缘是线 段或圆弧，则阴影面积占纸板面积的（ ）。 6．有甲、乙两个小组去青年林参加义务植树活动，甲组植树棵数的8 7恰好是乙组植树棵 数的6 1，那么，甲、乙两组至少共植树（ 50 ）棵。 7．兄弟两人共有储蓄385元，其中哥哥占7 4。哥哥两次取款后(弟弟储蓄没有变)，他的储蓄款占两人储蓄总数的14 3，这时兄弟两人还有存款（ 210 ）元。 ．小冬、小明、小英、小聪四个同学举行乒乓球循环赛，每两人都要赛一场。规定胜一
线局得2分，平一局得1分，负一局得0分，比赛结果没有全胜，并且各人的总分都不同，那么至多有（ 3 ）平局。 9．柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状见右图。 （1）这堆罐头的排列规律是（（层数+1）×（层数+2））。 （2）如果按照这样的方式堆成100层，第100层有（10302 ）听 罐头。 10．电子游戏，一只老鼠从A点沿着长方形路线逃跑，一只花猫同时从A点朝长方形路线的另一方向捕捉，结果在距离中点6㎝的C处，花猫捉住了老鼠。已知老鼠的速度是花猫 的 14 11，则长方形的周长（100厘米）。 11．如右图，以等腰直角三角形的中位线（两条边中点的连线）的中点O为圆心，以高长的一半为半径画一个圆，交两边于E、F，那么，图中阴影部分的面积是多少？（单位：cm） （8×）×（8××） =4×2 =8（平方厘米） 二、应用在线 12．公元2008年，苏宁电器集团在股市发行了500万股股票，每股8元。当时，董事会成员夏威夷认购了30％的股份。一年后，股票上涨到每股10.8元。现在夏威夷要获得这个集团的控股权，他至少还要投入多少万元? 注：（1）要获得集团的控股权，至少要获得该集团51％的股份。 （2）此题暂不考虑交证券公司的管理费和税费等费用。 500×（51%－30%）×10.8 =500×0.21×10.8 =1134（万元）答：他至少还要投入1134万元。 13．甲、乙两车同时从A、B两站相向而行，相遇时甲乙两车所行路程比是3:5。相遇后，甲车继续以原来每小时135.7km的速度行驶，又用了4小时到达B地，求甲、乙两车相遇时间？ 5÷4×3=2.4（小时） 学校
高中数学竞赛数论
高中数学竞赛 数论 剩余类与剩余系 1.剩余类的定义与性质 (1)定义1 设m 为正整数，把全体整数按对模m 的余数分成m 类，相应m 个集合记为：K 0,K 1,…,K m-1,其中K r ={qm+r|q ∈Z,0≤余数r ≤m-1}称为模m 的一个剩余类(也叫同余类)。K 0,K 1,…,K m-1为模m 的全部剩余类. (2)性质(ⅰ)i m i K Z 1 0-≤≤=Y 且K i ∩K j =φ(i ≠j). (ⅱ)每一整数仅在K 0,K 1,…,K m-1一个里. (ⅲ)对任意a 、b ∈Z ，则a 、b ∈K r ?a ≡b(modm). 2.剩余系的定义与性质 (1)定义2 设K 0,K 1,…,K m-1为模m 的全部剩余类，从每个K r 里任取一个a r ，得m 个数a 0,a 1,…,a m-1组成的数组，叫做模m 的一个完全剩余系,简称完系. 特别地,0,1,2,…,m -1叫做模m 的最小非负完全剩余系.下述数组叫做模m 的绝对最小完全剩余系:当m 为奇数时,2 1 ,,1,0,1,,121,21--+----m m m ΛΛ;当m 为偶数时,12 ,,1,0,1,,12,2--+-- m m m ΛΛ或2,,1,0,1,,12m m ΛΛ-+-. (2)性质(ⅰ)m 个整数构成模m 的一完全剩余系?两两对模m 不同余. (ⅱ)若(a,m)=1，则x 与ax+b 同时遍历模m 的完全剩余系. 证明:即证a 0,a 1,…,a m-1与aa 0+b, aa 1+b,…,aa m-1+b 同为模m 的完全剩余系, 因a 0,a 1,…,a m-1为模m 的完系时,若aa i +b ≡aa j +b(modm),则a i ≡a j (modm), 矛盾!反之,当aa 0+b, aa 1+b,…,aa m-1+b 为模m 的完系时,若a i ≡a j (modm),则有 aa i +b ≡aa j +b(modm),也矛盾!
小学数学六年级奥数竞赛综合试题(含答案)
小学数学六年级奥数竞赛综合试题（含答案） （时间：90分钟） 姓名：成绩 一、填空题： 1. 11111111 1357911131517 612203042567290 ++++++++=（） 2.“趣味数学”表示四个不同的数字： 则“趣味数学”为（） 3.某钢厂四月份产钢8400吨，五月份比四月份多产1 7 ，两个月产量和正好是第二季度计划产量的75％，则第二季度计划产钢（）吨． 4.把1 7 化为小数，则小数点后的第100个数字是（），小数点后100个数字的和是（） 5.水结成冰的时候，体积增加了原来的1 11 ，那么，冰再化成水时，体积会减少（）6.两只同样大的量杯，甲杯装着半杯纯酒精，乙杯装半杯水．从甲杯倒出一些酒精到乙 杯内．混合均匀后，再从乙杯倒同样的体积混合液到甲杯中，则这时甲杯中含水和乙杯中含酒精的体积（）大 7.加工一批零件，甲、乙二人合作需12天完成；现由甲先工作3天，然后由乙工作2 天还剩这批零件的4 5 没完成.已知甲每天比乙少加工4个则这批零件共有（）个 8.一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如图所示．它的容积为26.4π立方 厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米，瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米，则瓶内酒精体积是（）立方厘米． 9.有一个算式，上边方格里都是整数，右边答案只写出了四舍五入后 1.16 357 ++≈的近似值.则算式上边三个方格中的数依次分别是（） 10.一个四位数xxyy，使它恰好等于两个相同自然数的乘积，则这个四位数是（） 二、解答题： 11.如图，阴影部分是正方形，则最大长方形的周长是多少厘米？
9厘米 12.如图为两互相咬合的齿轮．大的是主动轮，小的是从动轮．大轮半径为105，小轮半 径为90，现两轮标志线在同一直线上，问大轮至少转了多少圈后，两条标志线又在同一直线上？ 13.请你用1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字，每个只能用一次，拼凑出五个自然 数．让第二个是第一个的2倍，第3个是第一个的3倍，第四个是第一个的4倍，第五个是第一个的5倍．求这五个自然数分别为多少？ 14.有一列数2，9，8，2，6，…从第3个数起，每个数都是前面两个数乘积的个位数字．例 如第四个数就是第二、第三两数乘积9×8=72的个位数字2．问这一列数第1997个数是几？ 15.甲、乙两个工程队分别负责两项工程．晴天，甲完成工程需要10天，乙完成工程需 要16天；雨天，甲和乙的工作效率分别是晴天时的30%和80%．实际情况是两队同时开工、同时完工．那么在施工期间，下雨的天数是多少天？
小学奥数数论知识点总结
小学奥数数论知识点总结 1.奇偶性问题 奇+奇=偶奇×奇=奇 奇+偶=奇奇×偶=偶 偶+偶=偶偶×偶=偶 2.位值原则 形如：abc=100a+10b+c 3.数的整除特征： 整除数特征 2末尾是0、2、4、6、8 3各数位上数字的和是3的倍数 5末尾是0或5 9各数位上数字的和是9的倍数 11奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数4和25末两位数是4(或25)的倍数 8和125末三位数是8(或125)的倍数 7、11、13末三位数与前几位数的差是7(或11或13)的倍数 4.整除性质 ①如果c|a、c|b，那么c|(ab)。 ②如果bc|a，那么b|a，c|a。 ③如果b|a，c|a，且(b,c)=1,那么bc|a。④如果c|b,b|a,那么c|a.
⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。 5.带余除法 一般地，如果a是整数，b是整数(b≠0),那么一定有另外两个整数q和r，0≤r 当r=0时，我们称a能被b整除。 当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商(亦简称为商)。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r,0≤r 6.唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即n=p1×p2×...×pk 7.约数个数与约数和定理 设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×...×pk那么：n的约数个数： d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1) n的所有约数和：(1+P1+P1+…p1)(1+P2+P2+…p2)… (1+Pk+Pk+…pk) 8.同余定理 ①同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b 对于模m同余，用式子表示为a≡b(modm) ②若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。 ④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。 ⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。 9.完全平方数性质 ①平方差：A-B=(A+B)(A-B)，其中我们还得注意A+B，A-B同奇偶性。
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七年级数学竞赛讲义附练习及答案（12套） 初一数学竞赛讲座 第1讲数论的方法技巧（上） 数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力. 数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”. 因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了. 任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作. ”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重. 数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆. 主要的结论有： 1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r （0≤r＜b），且q，r是唯一的. 特别地，如果r=0，那么a=bq. 这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a 的约数，a是b的倍数. 2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c. 3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即
其中p 1＜p 2＜…＜p k 为质数，a 1，a 2，…，a k 为自然数，并且这种表示是唯一的. （1）式称为n 的质因数分解或标准分解. 4．约数个数定理：设n 的标准分解式为（1），则它的正约数个数为： d （n ）=（a 1+1）（a 2+1）…（a k +1）. 5．整数集的离散性：n 与n+1之间不再有其他整数. 因此，不等式x ＜y 与x ≤y-1是等价的. 下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解. 一、利用整数的各种表示法 对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决. 这些常用的形式有： 1．十进制表示形式：n=a n 10n +a n-110n-1+…+a 0； 2．带余形式：a=bq+r ； 4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t ，其中t 为奇数. 例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差. 结果小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是1998. 问：红、黄、蓝3张卡片上各是什么数字？ 解：设红、黄、白、蓝色卡片上的数字分别是a 3，a 2，a 1，a 0，则这个四位 数可以写成：1000a 3+100a 2+10a 1+a 0，它的各位数字之和的10倍是10（a 3+a 2+a 1+a 0）=10a 3+10a 2+10a 1+10a 0，这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差是： 990a 3+90a 2-9a 0=1998，110a 3+10a 2-a 0=222. 比较上式等号两边个位、十位和百位，可得a 0=8，a 2=1，a 3=2. 所以红色卡片上是2，黄色卡片上是1，蓝色卡片上是8. 例2 在一种室内游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数abc (a,b,c 依次是这个数的百位、十位、个位数字)，并请这个人算出5个数cab bca bac acb ,,,与cba 的和N ，把N 告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数abc . 现在设N=3194，请你当魔术师，求出数abc 来. 解：依题意，得
小学六年级数学竞赛练习题及答案
小学六年级数学竞赛练习题及答案 第一组：填空题。（每题5分;第3题10分） 1、下面算式中的两个（）内应填什么数;才能使这道整数除法题的余数为最大。 （）÷25＝104……（） 2、两根同样长的绳子;一根剪去它的1 2;另一根剪去1 2 米。这时剩下的两段绳子仍是同样长。 这两根绳子原来长。 3、下面乘法算式中的“来参加数学邀请赛”八个字;各代表一个不同的数字。其中“赛”代表 9;“来”代表;“参”代表;“加”代表;“数”代表;“学”代表;“邀” 代表;“请”代表。 4、王阿姨用新机器织布。第一天织布253.5米;以后提高了织布技术;每天都比前一天多织布 15.5米。第7天她织布米;7天共织布米。 5、下图是由边长a的6个等边三角形拼成的正六边形。n个这样的正六边形的周长是。 6、甲、乙、丙三个组;甲组6人;乙组5人;丙组4人;现每组各选1人一起参加会议;一共有 种选法;如果三组共同推选一个代表;有种选法。 7、下图中;∠1、∠2、∠3、∠4的和是。 第三组：计算题。（每题5分） 999×87.5＋87.5 19xx99＋19xx9＋19xx＋199＋19
732066×55555×（4－3.2÷0.8） 3.49＋4.47＋3.51+2.38＋4.53＋2.62 第四组：应用题。（每题10分） 1、某厂运来一堆煤;如果每天烧煤1500千克;比计划提前一天烧完;如果每天烧1000千克;将比 计划多烧一天。如果要求按计划规定烧完;每天应烧煤多少千克？ 2、筑路队原计划每天筑路720米;实际每天比原计划多筑路80米;这样在规定完成全路修筑任 务的前3天;就只剩下1160米未筑。这条路全长多少米？ 3、下图是两个正方形;边长分别为5厘米和3厘米。阴影部分的面积是。 4、下面这张发票被墨汁污损了三处（用黑圆点代表被污损部分）;请你算出育英中学买了多 少块小黑板？