数学浙教版八年级下册全册教案
第1章 二次根式
1.1 二次根式
【教学目标】 知识与技能
1．理解二次根式的概念。
2．使学生掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值范围。 过程与方法
1．经历探究二次根式意义的过程，并能观察思考得出二次根式的特点。 2．通过探究，进一步发展观察、归纳、概括等能力。
3．培养与提高灵活运用知识的能力、准确计算能力以及语言表达能力。 情感态度与价值观
1．通过探究二次根式，让学生获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。 2．通过探究,鼓励学生敢于发表自己的观点，尊重与理解他人的见解，从交流中获益。 3．通过对二次根式特点的归纳，提高学生的逻辑思维能力。 教学重难点
重点：二次根式的概念和二次根式有意义的条件。 难点：确定较复杂的二次根式中字母的取值范围。 【教学过程】 知识回顾
求一求：（1）3的平方根是_____； （2）3的算术平方根是_____； （3
呢？
归纳：①一个正数有____个平方根，负数_____________；
②一个非负数a 的算术平方根可以表示为 。 情景导入
根据图1.1-1的直角三角形、正方形和圆的条件，完成以下填空：
2 cm a cm
图1.1-1
直角三角形的斜边长是_____；正方形的边长是______；圆的半径是________。 学生写出表示算术平方根的式子。问：你认为所得的各代数式的共同特点是什么？ 学生通过观察，感知二次根式的特征，从而引出课题。 探究新知 1.二次根式的概念
引导学生概括二次根式的概念：像
这样表示算术平方根的代
数式叫做二次根式。 2.深化二次根式的概念：
① 提问：9-1呢？
② 表示什么意义？此算术平方根的被开方数是什么？被开 方数必须满足什么条件的二次根式才有意义？其中字母a 需满足什么条件？为什么？
经学生讨论后，让学生回答，并让其他学生点评。③ 教师总结：强调二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于0。 ④ 巩固练习一： 下列式子，哪些是二次根式？ 3.讲解例题
例1 求下列二次根式中字母a 的取值范围：
（1）1+a ； （2）a 43-； （3）x - .
教师提问，学生回答，教师板书解题过程。 ① 被开方数需满足什么? ② 由此可得怎样的不等式？
例2 求下列代数式中字母x 的取值范围：
可以转化为解怎样的不等式？
交流归纳，总结：二次根式中字母的取值范围的基本依据是——被开方数不小于0，当分母中有字母时，要保证分母不为0。
巩固练习二： 求下列二次根式中字母x 的取值范围。 π
s
b a ,3,42
-+1,211
,
1),()3(,1,14,3,5222
---+-+-x a
x y x xy a a x ，为同号;211
)
1(x
-.21
)
3(x
x --;322
)
2(x
--22)1(,21,3,1
,
4,1-----x x x x
x x
例3 当x =4
教法：（1）引导学生回顾代数式的值的概念和如何求代数式的值。
（2）指出二次根式也是一种代数式，求二次根式的值与求其他代数式的值的方法相同. 巩固练习三：当x 分别取下列值时，求二次根式x 24-的值。 x =0 ； x =1 ； x =-1。
例4 一艘轮船先向东北方向航行2小时，再向西北方向航行t 小时，船的航速是 25千米/时。
（1）用关于t 的代数式表示船离出发地的距离。
（2）求当t =3时，船离出发地多少千米？ （精确到0.01千米） 教法：引导学生画图，让学生注重数形结合思想。 知识梳理
由学生总结，谈一谈：本节课你有什么收获或困惑？教师适当提问并补充。 一个概念:二次根式)0(≥a a 。
两类题型:1.求代数式所含字母的取值范围。
2.求二次根式的值。
三点注意:1.二次根式的双重非负性0,0≥≥a a 。
2.分母不能为0。
3.转化思想。
1.2 二次根式的性质
教学目标
1.经历二次根式的性质的探索过程，体验归纳、猜想的思想方法.
2.会运用二次根式的性质进行有关计算. 教学重难点
重点：理解二次根式的性质.
难点：运用二次根式的性质进行有关计算. 教学过程
1.引入新课 知识回顾：
动动脑筋：你能把一张三边长分别为5，5，10的三角形纸片放入4×4方格内，
使它的三个顶点都在方格的顶点上吗？
板书课题
2.内容组织
图1-2
1.正方形的边长是a.
参考图1-2，完成以下填空:
2
221
2=_______7=______________.
2
；；
你发现什么规律？
二次根式的性质1：
2
(0).
a a a
=≥
2.填空:
2
2
2
2_______2_______;
(5)_______5_______;
0_______0_______.
==
-=-=
==
，
，
，
2
a a有什么关系？当a≥02a；当a ＜02a
二次根式的性质22
(0)
(0).
a a
a a
a a
≥
?
==?
-<
?
；
例1 计算:
（122
(10)(15)
-；
（2）2
2(2)222
?-
?
例2 计算：
.
3
2
5
4
)
3
2
5
3
(2-
+
-
3.我们继续来探究二次根式的其他性质：填空（可用计算器计算）
；，______________94________________94=?=? ；，______________54________________54=?=?
；，______________01.0100________________01.0100=?=?
；，______________169________________169== .______________2
3________________23==， 比较左右两边的等式，你发现了什么？你能用字母表示你发现的规律吗？ 1.积的算术平方根的性质：
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积（各因式必须是非负数）
，即0,0)a b =≥≥.
2.商的算术平方根的性质：
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根（被除式必须是非负数，除式必须是正数），即
b
a b
a =
).0,0(>≥b a
例3 化简：
.7
2495374222512112）；（）；（）；（）（??
样的二次根式我们就说它是最简二次根式.
例4 化简：
123 3.课堂小结
1.二次根式的性质：（1）).0()(2≥=a a
a （2(0)(0).a a a a a ≥?==?
-
；
（3）)0,0(≥≥?=b a b a ab .
（4）
b
a b
a =
).0,0(>≥b a
2.最简二次根式的特点：根号内不含分母，不含开得尽方的因数或因式.
1.3 二次根式的运算
课时1 二次根式的乘除运算
【教学目标】
1．了解二次根式的运算法则是由二次根式的性质得到的． 2．会进行简单的二次根式的乘除运算． 【教学重难点】
重点：二次根式的运算法则．
难点：将二次根式的运算结果化成最简二次根式. 【教学过程】
一、 复习引入
1.二次根式有哪些性质？
2.化简下列二次根式：
，
，3
1
1，48.
3.计算：109.0?，
3
03.0.教师根据二次根式的性质公式引导学生思考二次根式的乘除运算，进而引入新课. 二、探究新知 1.例题教学
例 1 计算：62)1(?； 1027321)2(? ； 97
10
3.1102.5)3(??.
分析：（2）中一个二次根式的被开方数是带分数要先化成假分数，再进行运算. 解：（1）.32126262==?=? （2）.22
3
2910
273510273510273
2
1==?=?=?
（3）
.2.010410
3.1102.5103.1102.529
79
7=?=??=
??-
2.二次根式乘除运算的一般步骤：
（1）运用法则，转化为根号内的实数运算； （2）完成根号内相乘、相除运算； （3）化简二次根式.
3.教师引导学生学习教材P13例2. 二、 巩固练习
教材P14课内练习第3题，学生完成后，出示答案. 三、 课堂小结
（1）二次根式的乘除运算法则：
).0,0();0,0(>≥=
≥≥=?b a b
a
b a b a ab b a
（2）注意：二次根式的乘除运算中被开方数是带分数要先化成假分数再进行运算.二次根式运算的结果，如果能够化简，那么应把它化简为最简二次根式.
（3）运用二次根式解决实际问题. 四、 布置作业
教材P14作业题第1,2,4,6题.
课时2 二次根式的四则混合运算
【教学目标】
1．会进行简单的二次根式的四则混合运算．
2．通过整式运算的某些法则在二次根式四则运算中的运用，体验迁移、化归等数学思
想．
【教学重难点】
重点：二次根式的四则混合运算．
难点：二次根式的四则混合运算的运算顺序． 【教学过程】
一、课题引入
a a a 3
2312--
计算
并回答问题：
（1）你是运用什么知识解决上面的计算？（学生回答后，教师板书解题过程）
a
a a a a =--=--)3
2
312(32312
（2）上题中的a 若用替代，即：
22)32
312(23223122=--=--
你
认为运算是否正确？
〖教师归纳〗我们发现整式中的合并同类项法则在二次根式的运算中也适用.
猜想: 那么整式中的其他运算法则或运算律或运算顺序是否也适用于二次根式的运
算呢? (教师作肯定回答后) 导出课题: 二次根式的加减运算. 二、探究新知
1. 二次根式的加减运算
教材P15例3 化简:
31
13112--
.
启发提问: ⑴ 这是一道二次根式的什么运算?能否适用合并同类项的方法进行合并?
⑵ 上面的二次根式是否还可以化简?请同学们试一下,再回答问题⑴ ( 最后教师板书解题过程)
归纳: 二次根式加减运算之前,应先化简二次根式，再把所含二次根式完全相同的项
合
并成一项.
2.练一练: 化简：
).12232461(32--
3.二次根式的四则混合运算 例 计算:
⑴ 226327?-；
⑵
6)3383
(
?-；
⑶ 3)2748(÷-.
启发提问: ⑴ 第⑴题有哪些运算?运算顺序是什么?系数-3和2如何处理?
⑵ 第⑵⑶题可否用运算律？用到哪些运算律？ ⑶ 第⑵⑶题能否先做括号内的?(教师板书解题过程)
学以致用: 计算:
⑴ 2
322421
?-； ⑵
513)151(3--. 教师带领学生一起学习教材例题. 教材P15例5 计算:
⑴ )2233)(3322(+-； ⑵ )223)(22(+-. 提 问 : ⑴ 这两题的计算与整式中的什么运算类似?
⑵ 第⑴题又有什么特征? (教师板书解题过程)
三、巩固练习
计算:
⑴ )22)(21(-+； ⑵ 2
)2553(-.
四、课堂小结
⒈二次根式的加减运算：先化简二次根式，再合并同类二次根式.
2.二次根式的四则混合运算顺序：先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的. 五、 布置作业
教材P16作业题.
课时3 二次根式及其运算的应用
【教学目标】
1．会运用二次根式解决简单的实际问题．
2．进一步体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值． 【教学重难点】
重难点：二次根式及其运算的实际应用． 【教学过程】 一、课题引入
二次根式的知识在实际生活中有广泛的用途.
如图,我们规定斜坡的铅直高h 与水平长度l 的比叫做坡比(或坡度),即坡比.l
h i 已知斜坡的坡比为3:4,且其高CE=2 dm,宽AB=1 dm.一只蚂蚁从A 点爬到C 点,最短路程是多少?
说明:设计本题有以下目的: ⑴介绍预备知识“坡比”； ⑵激发学生的学习兴趣；
⑶会用二次根式表示未知量.在Rt△BCE 中,BC=BE 2
+CE 2
.
二、应用举例
〖例1〗(教材P17例6)如图，扶梯AB 的坡比为1:0.8，滑梯CD 的坡比为1:1.6，AE=32
m ，BC=1
2
CD.一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，经过的总路程是多少米(要
求先化简,再取近似值,结果精确到0.01 m)?
分析：由题意知BE:AE=1:0.8，AE=32 m ，所以BE=8158.023
=（m ）.因为BE=CF=8
15
m ，CF:FD=1:1.6,
所以FD=38
15
6.1=?
（m ）.由勾股定理，得AB=8413)815()23(2222=
+=+BE AE (m), CD=889
33)815(
2222=
+=+FD CF (m).因为BC=12CD ，所以BC=12×16
8938893=(m).所以这个男孩经过的总路程约为AB+BC+CD=
16
41
68998893168938413+=
++≈7.71（m ）. 说明:以上的分析过程显示了求解问题的格式化的程序,学生必须养成这样的思维习惯.
练习一： (教材P19作业题T3)
〖例2〗(教材P17例7)如图㈠是一张等腰直角三角形彩色纸,AC=BC=40 cm.将斜边上的高CD 四等分,然后截出3张宽度相等的长方形纸条. ⑴分别求出3张长方形纸条的长度.
⑵若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边(纸条不重叠),如图㈡,正方形美术作品的面积为多少平方厘米 ?
分析:⑴①如图㈠,从已知能得到什么?
在Rt△ABC 中,CD⊥AB,AC=BC=40 cm,易求得AB 和CD 的长(让学生求),则CE 3=E 3F 3=F 3G 3=G 3D = 1
4
CD,纸条的宽度可求.
②怎样求纸条的长度?
纸条的总长度=E 1E 2+F 1F 2+G 1G 2 ,怎样求E 1E 2(让学生想一想)? F 1F 2和G 1G 2 呢? 由等腰三角形的性质知E 1E 2 =2CE 3,F 1F 2=2CF 3 ,G 1G 2=2CG 3 .
⑵如图㈡,由⑴得纸条的总长度为60 2 cm,它被四等分,则AC=15 2 cm,它们所围成的正方形的边长 AB=AC –BC ,则这幅正方形美术作品的面积可求出. 三、布置作业
教材P19作业题第2,4,5题.
图㈡
A
B
图㈠
E 1 E 2 E 3
F 1 F 2
F 3
G 1
G 2
G 3
2.1 一元二次方程
教学内容
一元二次方程的概念及一元二次方程的一般式及有关概念．
教学目标
了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0(a≠0)及其派生的概念；应用一元二次方程的概念解决一些简单题目．
1．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程的概念给一元二次方程下定义．2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．
3．解决一些概念性的题目.
4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
重难点
重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．
难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
教学过程
一、情景导入
学生活动：列方程．
问题(1)古算趣题：“执竿进屋”
笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭.
有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足.
借问竿长多少数，谁人算出我佩服.
如果假设门的高为x尺，那么这个门的宽为_______尺，长为_______尺.
根据题意，得________．
整理、化简，得__________．
二、探索新知
学生活动：请口答下面问题．
(1)上面方程整理后含有几个未知数？
(2)按照整式中的多项式的规定，它的最高次数是几次？
(3)有等号吗？还是与多项式一样只有式子？
老师点评：(1)只含一个未知数x；(2)它的最高次数是2；(3)有等号，是方程．
因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．
一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax 2+bx +c =0 (a ≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
一个一元二次方程经过整理化成ax 2
+bx +c =0(a ≠0)后，其中ax 2
是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．
例1 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)9x 2=5-4x ； (2)(2-x )(3x +4)=3.
例2 已知一元二次方程220x bx c ++=的两个根分别为x 1=5
2
和x 2=3-，求这个方程. 三、巩固练习
判断下列方程是否为一元二次方程？ (1)3x +2=5y -3； (2) x 2=4； (3)3x 2-5
x
=0； (4) x 2-4=(x +2)2 ； (5)ax 2+bx +c =0. 四、应用拓展
求证：关于x 的方程(m 2-8m +17)x 2+2mx +1=0，不论m 取何值，该方程都是一元二次方程． 分析：要证明不论m 取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m 2-8m +17≠0即可． 证明：m 2-8m +17=(m -4)2+1. ∵(m -4)2≥0,
∴(m -4)2
+1>0，即(m -4)2
+1≠0,
∴不论m 取何值，该方程都是一元二次方程．
练习:1.方程(2a —4)x 2—2bx +a =0， 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
2.当m 为何值时，方程(m +1)x |4m |-4+27mx +5=0是关于x 的一元二次方程. 五、归纳小结(学生总结，教师点评) 本节课要掌握：
(1)一元二次方程的概念；(2)一元二次方程的一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0)和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其运用．
2.2 一元二次方程的解法
教学目标
会利用因式分解法、开平方法、配方法、公式法解一元二次方程；能利用一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况．
重难点
重点：四种一元二次方程的解法和一元二次方程根的判别式的意义.
难点：用因式分解法和配方法解一元二次方程． 教学过程 一、探究新知
上节课我们学习了一元二次方程的有关概念，同学们还记得吗？谁能说一说？ 教师：我们知道“能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）”，那么我们怎么求一元二次方程的解呢？
学生思考，教师引入新课. 二、例题导学 1.因式分解法 例1 解下列方程:
(1)x 2
-3x =0. (2)25x 2
=16.
解：（1）将原方程的左边分解因式，得x （x -3）=0，则x=0，或x -3=0，解得x 1=0，x 2=3. （2）移项，得25x 2-16=0.将方程的左边分解因式，得（5x -4）（5x +4）=0，则5x -4=0， 或5x +4=0，解得x 1=
54，x 2=5
4
-. 像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.这种方法把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程.
例2 解下列一元二次方程： (1)(x -5)(3x -2)=10. (2)(3x -4)2=(4x -3)2.
学生独立完成，教师巡视、指导. 2.开平方法
一般地，对于形如x 2
=a (a ≥0)的方程，根据平方根的定义，可得x 1，x 2.这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
例3 用开平方法解下列方程： (1)3x 2-48=0. (2)(2x -3)2=7.
解：（1）移项，得3x 2
=48.方程的两边同除以3，得x 2
=16.解得x 1=4，x 2=-4. （2）由原方程，得2x -3=7，或2x -3=-7，解得x 1=273+，x 2=2
7
3-. 3.配方法
将一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
例4 用配方法解下列一元二次方程： (1) x 2+6x =1. (2)x 2+5x -6=0.
解：（1）方程的两边同加上9，得x 2+6x +9=1+9，即（x +3）2
=10.则x +3=10，或x +3=-10，
解得x 1=-3+10，x 2=-3-10.
（2）移项，得x 2+5x =6.方程的两边同加上2)25
(，得x 2
+5x +2)25(=6+2)25(，即4
49)25(2=
+x . 则2725=+
x ，或2
7
25-=+x ，解得x 1=1，x 2=-6. 4.公式法
(1)ax 2－7x +3 =0. (2)ax 2+bx +3=0.
(3)如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
问题：已知a x 2
+bx +c =0(a ≠0)，试推导它的两个根x 1=2b a
-，x 2=
2b a
-(这个方程一定有解吗？什么情况下有解？)
解：移项，得ax 2+bx =-c . 二次项系数化为1，得x 2
+
b a x =-
c a
. 配方，得x 2
+
b
a x +(2
b a )2=-
c a +(2b a
)2，
即(x +2b a )2=22
44b ac
a -.
∵4a 2
>0，当b 2
-4ac ≥0时，22
44b ac a -≥0,
∴(x +2b a )2=(2a
)2
，
直接开平方，得x +2b a =±2a ，即x =2b a
-±，
∴x 1=2b a -，x 2=2b a
--.
由上可知，一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根由方程的系数a ，b ，c 而定，因此： (1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx +c =0，当b 2-4ac ≥0时，将a ，
b ，
c 代入式子x (公式所出现的运算，恰好包括了所学过
的六种运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性)
(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式． (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法. 例5 用公式法解下列一元二次方程： (1)2x 2
-5x +3=0； (2)4x 2
+1=-4x ； (3）
34x 2-2x -1
2
=0. 解：（1）对方程2x 2
-5x +3=0，a =2,b =-5,c =3,b 2
-4ac =（-5）2
-4×2×3=1，∴x =
4
15221)5(±=
?±--，∴x 1=23415=+，x 2=1415=-. （2）移项，得4x 2+4x +1=0，则a =4,b =4,c =1,b 2-4ac =42-4×4×1=0，∴2
1
4204-=?±-=x ，
∴2
121-
==x x . （3）方程的两边同乘4，得3x 2
-8x -2=0.则a =3,b =-8,c =-2,b 2
-4ac =（-8）2
-4×3×（-2）
=88，∴322432888±=
?±=
x ，∴32241+=x ，3
22
42-=x . 从一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的求根公式的推导过程中不难看出，方程的根的情况由代数式b 2-4ac 的值来决定.因此b 2-4ac 叫做一元二次方程的根的判别式，它的值与一元二次方程的根的关系是：
b 2-4a
c ＞0则方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两个不相等的实数根； b 2-4ac =0则方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两个相等的实数根； b 2-4ac ＜0则方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)没有实数根.
2.3 一元二次方程的应用
教学目标
1.让学生在经历运用一元二次方程解决实际问题的过程中体会一元二次方程的应用价值.
2.在运用一元二次方程解决实际问题的过程中，提高学生分析问题、解决问题的能力. 重难点
重点：建立一元二次方程模型解决实际问题. 难点：将实际问题转化成一元二次方程模型. 教学过程
一、复习引入
1、回顾：不解一元二次方程，你如何判断根的情况？
2、复习列方程解应用题的一般步骤：
(1)审题：仔细阅读题目，分析题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；
(2)设未知数：用字母(如x)表示题中的未知数，通常是求什么量，就设这个量为x；
(3)列方程：根据题中已知量和未知量之间的关系列出方程；
(4)解方程：求出所给方程的解；
(5)检验：既要检验所求方程的解是否满足所列出的方程，又要检验它是否能使实际问题有意义；
(6)作答：根据题意，选择合理的答案.
二、讲解例题
例1 某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系.当每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利为10元，则每盆应植多少株？
分析：本题涉及的主要数量有每盆的花苗株数，平均单株盈利，每盆花苗的盈利，主要数量关系有：平均单株盈利×株数=每盆盈利；平均单株盈利=3-0.5×每盆增加的株数.
解：设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（3+x）株，平均单株盈利为（3-0.5x）元.
由题意，得（x+3）（3-0.5x）=10.
化简、整理，得x2-3x+2=0.
解这个方程，得x1=1，x2=2.
经检验，x1=1，x2=2都是方程的解，且符合题意.
答：要使每盆的盈利为10元，则每盆应植入4株或5株.
教师：想一想，列一元二次方程解应用题的基本步骤与列一元一次方程解应用题相同吗？列一元二次方程解应用题时，你认为有哪些地方更需引起注意？
学生：列一元二次方程解应用题的基本步骤与列一元一次方程解应用题相同.列一元二次方程解应用题时，应该注意求出来的根是否满足题意.
教师引导做教材P40例2和教材P41例3.
三、课堂小结：
列一元二次方程解决实际问题的步骤，审、设、找、列、解、检、答，注意一定要检验求出的根是否满足题意.
2.4 一元二次方程根与系数的关系
教学目标
1、了解一元二次方程根与系数的关系，并能进行简单的运用.
2、能通过对根与系数关系的探索，提高代数推理的能力与意识．
教学重难点
1.了解一元二次方程根与系数的关系，并能进行简单的运用．
2.能通过对根与系数关系的探索，提高代数推理的能力与意识．
教学设计
探索发现
观察下表，你能发现下列一元二次方程根与系数有什么关系吗？
你能解释刚才的发现吗？
一元二次方程ax 2＋bx ＋c
＝0(a ≠0)，如果b 2
－4ac ≥0，它的两个根分别是x 1，x 2． 总结发现
一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，如果b 2－4ac ≥0，它的两个根分别是x 1，x 2． 那么12b x x a +=-，12
c x
x a
?=． 例题精讲
例1 设x 1，x 2是一元二次方程2
5-7-30x x =的两个根，求x 12
+x 2
2和12
11
x x +的值.
例2 已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是1
3
，1.写出这个方程. 尝试与交流
小明在一本课外读物中读到如下一段文字：
“一元二次方程x 2
－x 0的两个根分别是2+和2”， 你能写出这个方程中被墨迹污染的一次项系数和常数项吗？ 达标练习
教材P46课内练习第1，2题． 课堂小结
1．一元二次方程根与系数的关系：如果x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，那么x 1+x 2=a
b -；x 1x 2=a
c .
2．运用一元二次方程根与系数的关系时，先要把方程化成一般形式.
3．运用一元二次方程根与系数的关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即当且仅
当b2－4ac≥0时，才能运用一元二次方程根与系数的关系．
课后作业
适当补充针对性练习．
3.1 平均数
教学目标
知识与技能
1.在实际情境中理解平均数的概念和意义，会计算一组数据的算术平均数.
2.理解加权平均数的意义，会进行加权平均数的计算.
过程与方法
初步经历数据的收集、加工整理的过程，能利用算术平均数和加权平均数解决一些实际问题，提髙学生的数学应用能力.
情感、态度与价值观
培养学生互相合作与交流的能力，增强学生的数学应用意识.
教学重点
算术平均数和加权平均数的意义和计算方法.
教学难点
算术平均数和加权平均数的计算方法.
教学设计
一.创设情境，提出问题.
图片欣赏
(出示课件：水果在收获前，果农常会先估计果园里果树的产量，你认为应该怎样估计呢？）
二.启发诱导，探索新知.
1.合作学习
某果农种植的100棵苹果树即将收获.果品公司在付给果农定金前，需要对这些果树的苹果总产量进行估计.
(1)果农任意摘下20个苹果，称得这20个苹果的总质量为4千克.这20个苹果的平均质量是多少千克？
(2)果农从100棵苹果树中任意选出10棵，数出这10棵苹果树上的苹果数，得到以下数据(单位：个)：
154， 150，155，155，159，150，152，155，153，157.你能估计出平均每棵树的苹果个数吗？
(3)根据上述两个问题，你能估计出这100棵苹果树的苹果总产量吗？
2.引出平均数的概念，平均数用符号x表示，读做“x拔”，计算平均数的公式
x＝1
n
(12
x x
++…＋
n
x).
指出：在实践中，常用样本的平均数来估计总体的平均数.例如，在上面的例子中，用20个苹果的平均质量0.2千克来估计100棵苹果树上苹果的平均质量，用10棵苹果树的平均苹果个数（154个）来估计100棵苹果树的平均苹果个数.
3.完成教材P54做一做.
三、学以致用，体验成功.
1.例题讲解
例1 统计一名射击运动员在某次训练中15次射击的中靶环数，获得如下数据：
6，7，8，7，7，8，10，9，8，8，9，9，8，10，9.
方法(一)：直接根据平均数的意义来计算，这里的1x，2x，…，n x指的是什么？n等
于多少？
方法(二)：15个数据中有几个6，几个7，几个8，几个9，几个10？n＝15与这些相同数的个数之间有什么关系？所求的平均数x的算式还可以写成怎样的算式？
2.由上例中的方法(二)概括出加权平均数的概念和权的意义.
3.例题讲解
.
（2）如果学校认为这三个项目的重要程度有所不同，而给予“服装统一”“动作整齐”“动作准确”三个项目在总分中所占的比例分别为15%，35%，50%，那么三个班的排名顺序又怎样？
分析：(1)求算术平均数.(2)涉及加权平均数，不妨以801班为例，表中相应的3个数据为1x＝80，2x＝84，3x＝87，给定三个项目的权的比为15：35：50，即表示1f：2f：3f ＝15：35：50，因此可设1f＝15k，2f＝35k，3f＝50k (k＞0)，加权平均数
x＝158035845087158035845087
153550153550
k k k
k k k
?+?+??+?+?
=
++++
=84.9（分）.
4.完成教材P56课内练习第1,2题.
四、总结回顾，反思内化.
1.学习了平均数、加权平均数，会计算平均数和加权平均数.
2.会用样本的平均数来估计总体的平均数.
五、作业
教材P57作业题第1，2，4，5，6题.
3.2 中位数和众数
教学目标
知识与技能
理解中位数、众数的概念和意义，会求一组数据的中位数、众数.
过程与方法
通过数据的整理与分析，体会统计的数学思想.
情感态度与价值观
培养学生互相合作与交流的能力，增强学生的数学应用能力.
教学重点
理解中位数、众数的概念和意义，会求一组数据的中位数、众数.
教学难点
求一组数据的中位数、众数.
教学设计
1．情境创设
(1)课本提供的情境，是为了说明“平均数”不能准确反映“平均水平”，教学中也可设计其他的情境，只要一组数据中，个别数据与其他数据有很大的差异即可．
(2)结合课本中的“讨论”，还可选用以下的情境：一家鞋店在一段时间内销售了某种女
新浙教版八年级下册数学教学计划
八年级下册数学教学计划 一、学生分析： 从八年级上册数学期末考试成绩来看，本班优秀率有突破15人，算是达到预期目 标，但及格率只达到43% 多，与预期尚有一定的差距。总体上来看，仅管绝大多数学生学习很努力，也掌握了一定的学习数学的方法和技巧，但基础知识的不扎实成为制约他们学习的瓶颈，造成班级发展不平衡，两极分化现象严重 二、教材分析： 第1章二次根式 二次根式属于“数与代数”领域的内容，它是在学生学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的，是对七年级上册“实数”、“代数式”等内容的延伸和补充。二次根式的运算以整式的运算为基础，在进行二次根式的有关运算时，所使用的运算法则与整式、分式的相关法则类似；在进行二次根式的加减时，所采用的方法与合并同类项类似；在进行二次根式的乘除时，所使用的法则和公式与整式的乘法运算法则及乘法公式类似。这些都说明了前后知识之间的内在联系。 本章的主要内容有二次根式，二次根式的性质，二次根式的运算（根号内不含字母、不含分母有理化）。 第2章一元二次方程 方程教学在中学数学教学中占有很大的比例，一元二次方程在初中代数中占有重要地位。一方面，一元二次方程可以看成是前面所学过的有关知识的综合运用，如有理数、实数的概念和整式、分式、开平方等的运算，一元一次方程、二元一次方程组解法等知识，在本章都有应用。从数学角度看，这一章的学习有一定难度，如果前面某个环节薄弱或知识点有问题，就会给本章的学习带来困难，因此，这一章的教学是对以前所学的有关知识的检验，又是一次复习与巩固。当然，一元二次方程知识也是前面所学知识的继续和发展，尤其是方程方面知识的深入和发展。 本章的主要内容是一元二次方程的解法和应用，课本首先引入一元二次方程的概念，从实数的性质，将分解成为两个一次因式相乘积为零的一元二次方程转化为两个一元一次方程入手，介绍了利用因式分解法解一元二次方程的方法，体现了数学的转化思想。接着课本首先从数的开平方的知识出发，直接讲开平方法，然后依次介绍了配方法和公式法。在讲述公式法的同时，课本特别给出了利用计算器解一元二次方程的解法示例，以揭示技术发展给数学学习带来的影响，这也是一种新的尝试。同时，以建立数学模型为主要着力点介绍了一元二次方程的应用，并在例题的设置上充分考虑了图表、立体图形、物体运动和经济活动中的问题背景，力图使学生在现实的环境中学习数学。这一章是全书乃至整个初中代数的一个重点内容。因为这一部分内容既是对以前所学内容的总结、巩固和提高，又是以后学习的知识基础。因此这一章可以说是起到了承上启下的作用。高中阶段的指数方程、对数方程及三角方程，无非就是指数、对数、三角函数的有关知识与一元一次方程、一元二次方程的综合
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课题 2.1 一元二次方程（ 1） 课时1、经历一元二次方程概念的发生过程 . 教学2、理解一元二次方程的概念 . 目标3、了解一元二次方程的一般形式，会辨认一元二次方程的二次 项系数、一次项系数和常数项 . 本节教学重点是一元二次方程的概念，包括它的一般形式. 教学 例 1 第（ 4）题包含了代数式的变形和等式变形两个方面，计算设想 容易产生差错，是本节教学的难点 . 教学程序与策略 一、合作学习，探究新知 1、列出下列问题中关于未知数x 的方程： （1）把面积为4 平方米的一张纸分割成如图所示的正方形和长方形两个部分，求正方形的边长。 设正方形的边长为x, 可列出方程 ______________; (2)据国家统计局公布的数据，浙江省 2001 年全省实现生产总值 6 万亿元，2003年生产总值达 9200 亿元，求浙江省这两年实现生产总值的年平均增长率。设年平均增长率为 x，可列出方程 ______________； （3）从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框 宽4 尺，竖着比门框高 2 尺. 另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这 个醉汉一试，不多不少刚好进去了 . 你知道竹竿有多长吗？ 设竹竿为 x 尺，可列出方程 ______________。 学生自主探索，并互相交流，自己列出方程。 2、观察上面所列方程，说出这些方程与一元一次方程的共同和不同之处 . 学 生各抒己见，发表自己的发现：共同点：①它的左右两边都是整式，②只含 一个未知数；不同点：未知数的最高次数是2。 二、得出新知，运用强化 1、教师指出符合上述特征的方程叫做一元二次方程．板书课题及一元二次方 程的定义并指出：能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的 解（或根）。 2、判断下列方程是否是一元二次方程： (1) 10x29;(2) 2(x-1)=3x; (3) 2x2 1 10. 3x 1 0; (4) 2 x x 3、判断未知数的值x=-1,x=0,x=2是不是方程x22x 的根。 通过此题的求解向学生说明：一元二次方程的解（或根）的概念与一元一次方程的解（或根）的概念类似，但解的个数不同。 4.一元二次方程概念的延伸
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第一章 二次根式 1．二次根式：一般地，式子)0a (,a ≥叫做二次根式.注意：（1）若0a ≥这个条件不成立， 则 a 不是二次根式；（2）a 是一个重要的非负数，即；a ≥0. 2．重要公式：（1）)0a (a )a (2≥=,（2） ? ??<-≥==)0a (a )0a (a a a 2 ；注意使用)0a ()a (a 2≥=. 3．积的算术平方根：)0b ,0a (b a ab ≥≥?=，积的算术平方根等于积中各因式的算术 平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求. 4．二次根式的乘法法则： )0b ,0a (ab b a ≥≥=?. 5．二次根式比较大小的方法： （1）利用近似值比大小； （2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小； （3）分别平方，然后比大小. 6．商的算术平方根： )0b ,0a (b a b a >≥=，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 7．二次根式的除法法则： （1）)0b ,0a (b a b a >≥= ； （2）)0b ,0a (b a b a >≥÷=÷； （3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同 乘分母的有理化因式，使分母变为整式. 8．常用分母有理化因式： a a 与，b a b a +-与， b n a m b n a m -+与，
它们也叫互为有理化因式. 9．最简二次根式： （1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因 式是整式，② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式； （2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母； （3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式； （4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式. 10．二次根式化简题的几种类型：（1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题. 11．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次 根式叫做同类二次根式. 12．二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的， 在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用； （2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合 并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等. 第二章 一元二次方程 1. 认识一元二次方程： 概念：只含有一个未知数，并且可以化为20ax bx c ++= (,,a b c 为常数，0a ≠) 的整式方程叫一元二次方程。 构成一元二次方程的三个重要条件： ①、方程必须是整式方程(分母不含未知数的方程)。 如：2230x x --=是分式方程，所以2230x x --=不是一元二次方程。
浙教版八年级数学下册知识点汇总
八年级（下册） 1. 二次根式 1.1. 二次根式 像3,4a 2++b 这样表示算术平方根的代数式叫做二次根式，二次根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零。 1.2. 二次根式的性质 ()()0a 2≥=a a ()() ???<-≥==00a 2a a a a a ()0,0a ab ≥≥?=b a b @ ()0,0a >≥=b a b a b 像57，这样，在根号内不含字母，不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式称为最简二次根式。 1.3. 二次根式的运算 ()0,0ab a ≥≥=?b a b ()0,0a >≥=b a b b a 2. 一元二次方程 2.1. 一元二次方程 像方程x 2 +3x=4的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程。能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(或根)。 · 任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为ax 2 +bx+c=0的形式。 ax 2+bx+c=0(a,b,c 为已知数，a ≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax 2，bx ，c 分别称为二次项、一次项和常数项，a,b 分别称为二次项系数和一次项系数。 2.2. 一元二次方程的解法 利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法，这种方法把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程。 形如x 2 =a(a ≥0)的方程，根据平方根的定义，可得x 1=a ，x 2=-a ，这种解一元二次方程的方法叫做开平方法。 把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负数，然后用开方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的情况由代数式b 2-4ac 的值来决定，因此b 2-4ac 叫做一元二次方程的根的判别式，它的值与一元二次方程的根的关系是：
浙教版八年级数学下册各章复习讲义 并附带讲义分析
第一章《二次根式》复习 二次根式为了方便，我们把一个数的算术平方根（如）也叫做二次根式。 二、二次根式被开方数不小于0 1、下列各式中不是二次根式的是 （ ） （A ）12+x （B ）4- （C ）0 （D ） ()2b a - 2、判断下列代数式中哪些是二次根式？ ⑴21， ⑵16-， ⑶9+a ， ⑷12+x ， ⑸222++a a ， ⑹x -（0≤x ）， ⑺()23-m 。 答：_____________________ 3、下列各式是二次根式的是（ ） A B 4、下列各式中，不是二次根式的是（ ） A ． B D ． 5、下列各式中，是二次根式是（ ）. （A ）（B （C ） （D ）6、若01=++-y x x ，则20052006y x +的值为： （ ） A 、0 B 、1 C 、 -1 D 、 2 7、已知1y =，则y x = 。 8、若x 、y 都为实数，且152********+-+-=x x y ，则y x +2=________。 三、含二次根式的代数式有意义（1）二次根式被开方数不小于0 （2）分母含有字母的，分母不等于0 1、x （ ）