人教版高中数学《圆锥曲线和方程》全部教案

椭圆及其标准方程

一、教学目标

(一)知识教学点

使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程．

(二)能力训练点

通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力．

(三)学科渗透点

通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力．

二、教材分析

1．重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．

(解决办法：用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆的标准方程单独列出加以比较．)

2．难点：椭圆的标准方程的推导．

(解决办法：推导分4步完成，每步重点讲解，关键步骤加以补充说明．) 3．疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因．

(解决办法：分三种情况说明动点的轨迹．)

三、活动设计

提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答．

四、教学过程

(一)椭圆概念的引入

前面，大家学习了曲线的方程等概念，哪一位同学回答：

问题1：什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？

对上述问题学生的回答基本正确，否则，教师给予纠正．这样便于学生温故而知新，在已有知识基础上去探求新知识．

提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形．

问题3：圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？

一般学生能回答：“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”．对同学提出的轨迹命题如：

“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹．”

“到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹．”

“到两定点距离之差等于常数的点的轨迹．”

教师要加以肯定，以鼓励同学们的探索精神．

比如说，若同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”，那么动点轨迹是什么呢？这时教师示范引导学生绘图：

取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如图2-13)，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆．

教师进一步追问：“椭圆，在哪些地方见过？”有的同学说：“立体几何中圆的直观图．”有的同学说：“人造卫星运行轨道”等……

在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：

平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．

学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调：

(1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平面内”．

(2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2|”．

(二)椭圆标准方程的推导

1．标准方程的推导

由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．

如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．

(1)建系设点

建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．

以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图2-14)．设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，0)．

(2)点的集合

由定义不难得出椭圆集合为：

P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．

(3)代数方程

(4)化简方程

化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演，其余同学在下面完成，教师巡视，适当给予提示：

①原方程要移项平方，否则化简相当复杂；注意两次平方的理由详见问题3说明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)

②为使方程对称和谐而引入b，同时b还有几何意义，下节课还要

(a＞b＞0)．

关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．

示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这里c2=a2-b2．2．两种标准方程的比较(引导学生归纳)

0)、F2(c，0)，这里c2=a2-b2；

-c)、F2(0，c)，这里c2=a2+b2，只须将(1)方程的x、y互换即可得到．

教师指出：在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．

(三)例题与练习

例题平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程．

分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程．解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示．取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．∵2a=10，2c=8．

∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3

因此，这个椭圆的标准方程是

请大家再想一想，焦点F1、F2放在y轴上，线段F1F2的垂直平分

练习1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

练习2 下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是

[ ]

由学生口答，答案为D．

(四)小结

1．定义：椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．

3．图形如图2-15、2-16．

4．焦点：F1(-c，0)，F2(c，0)．F1(0，-c)，F2(0，c)．

五、布置作业

1．如图2-17，在椭圆上的点中，A1与焦点F1的距离最小，|A1F1|=2，A2 F1的距离最大，|A2F1|=14，求椭圆的标准方程．

3．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

是过F1的直线被椭圆截得的线段长，求△ABF2的周长．作业答案：

4．由椭圆定义易得，△ABF2的周长为4a．

六、板书设计

椭圆及其标准方程

一、教学目标

(一)知识教学点

使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程．

(二)能力训练点

通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力．

(三)学科渗透点

通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力．

二、教材分析

1．重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．

(解决办法：用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆的标准方程单独列出加以比较．)

2．难点：椭圆的标准方程的推导．

(解决办法：推导分4步完成，每步重点讲解，关键步骤加以补充说明．)

3．疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因．

(解决办法：分三种情况说明动点的轨迹．)

三、活动设计

提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答．

四、教学过程

(一)椭圆概念的引入

前面，大家学习了曲线的方程等概念，哪一位同学回答：

问题1：什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？

对上述问题学生的回答基本正确，否则，教师给予纠正．这样便于学生温故而知新，在已有知识基础上去探求新知识．

提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形．

问题3：圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？

一般学生能回答：“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”．对同学提出的轨迹命题如：

“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹．”

“到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹．”

“到两定点距离之差等于常数的点的轨迹．”

教师要加以肯定，以鼓励同学们的探索精神．

比如说，若同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”，那么动点轨迹是什么呢？这时教师示范引导学生绘图：

取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如图2-13)，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆．

教师进一步追问：“椭圆，在哪些地方见过？”有的同学说：“立体几何中圆的直观图．”有的同学说：“人造卫星运行轨道”等……

在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：

平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．

学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调：

(1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平面内”．

(2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2|”．

(二)椭圆标准方程的推导

1．标准方程的推导

由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．

如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．

(1)建系设点

建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．

以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图2-14)．设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，0)．

(2)点的集合

由定义不难得出椭圆集合为：

P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．

(3)代数方程

(4)化简方程

化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演，其余同学在下面完成，教师巡视，适当给予提示：

①原方程要移项平方，否则化简相当复杂；注意两次平方的理由详见问题3说明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)

②为使方程对称和谐而引入b，同时b还有几何意义，下节课还要

(a＞b＞0)．

关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．

示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这里c2=a2-b2．2．两种标准方程的比较(引导学生归纳)

0)、F2(c，0)，这里c2=a2-b2；

-c)、F2(0，c)，这里c2=a2+b2，只须将(1)方程的x、y互换即可得到．

教师指出：在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．

(三)例题与练习

例题平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程．

分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程．解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示．取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．∵2a=10，2c=8．

∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3

因此，这个椭圆的标准方程是

请大家再想一想，焦点F1、F2放在y轴上，线段F1F2的垂直平分

练习1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

练习2 下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是

[ ]

由学生口答，答案为D．

(四)小结

1．定义：椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．

3．图形如图2-15、2-16．

4．焦点：F1(-c，0)，F2(c，0)．F1(0，-c)，F2(0，c)．

五、布置作业

1．如图2-17，在椭圆上的点中，A1与焦点F1的距离最小，|A1F1|=2，A2 F1的距离最大，|A2F1|=14，求椭圆的标准方程．

3．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

是过F1的直线被椭圆截得的线段长，求△ABF2的周长．作业答案：

4．由椭圆定义易得，△ABF2的周长为4a．

六、板书设计

椭圆的几何性质

一、教学目标

(一)知识教学点

通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用．

(二)能力训练点

通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力．

(三)学科渗透点

使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等．

二、教材分析

1．重点：椭圆的几何性质及初步运用．

(解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结．) 2．难点：椭圆离心率的概念的理解．

(解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的影响，最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e的几何意义．)

3．疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．

(解决办法：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明．)

三、活动设计

提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结．

四、教学过程

(一)复习提问

1．椭圆的定义是什么？

2．椭圆的标准方程是什么？

学生口述，教师板书．

(二)几何性质

根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是

b＞0)来研究椭圆的几何性质．说明：椭圆自身固有几何量所具有的性质是与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．

1．范围

即|x|≤a，|y|≤b，这说明椭圆在直线x=±a和直线y=±b所围成的矩形里(图2-18)．注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．2．对称性

先请大家阅读课本椭圆的几何性质2．

设问：为什么“把x换成-x，或把y换成-y？，或把x、y同时换成-x、-y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称的”呢？

事实上，在曲线的方程里，如果把x换成-x而方程不变，那么当点P(x，y)在曲线上时，点P关于y轴的对称点Q(-x，y)也在曲线上，所以曲线关于y轴对称．类似可以证明其他两个命题．

同时向学生指出：如果曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称．如：如果曲线关于x轴和原点对称，那么它一定关于y轴对称．

事实上，设P(x，y)在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点P1(x，-y)必在曲线上．又因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点对称点P2(-x，y)必在曲线上．因P(x，y)、P2(-x，y)都在曲线上，所以曲线关于y轴对称．最后指出：x轴、y轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心．

3．顶点

只须令x=0，得y=±b，点B1(0，-b)、B2(0，b)是椭圆和y轴的两个交点；令y=0，得x=±a，点A1(-a，0)、A2(a，0)是椭圆和x轴的两个交点．强调指出：椭圆有四个顶点A1(-a，0)、A2(a，0)、B1(0，-b)、B2(0，b)．

教师还需指出：

(1)线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b；

(2)a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长；

这时，教师可以小结以下：由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形．

4．离心率

教师直接给出椭圆的离心率的定义：

等到介绍椭圆的第二定义时，再讲清离心率e的几何意义．

先分析椭圆的离心率e的取值范围：

∵a＞c＞0，∴ 0＜e＜1．

再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响：

(2)当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆；

(3)当e=0时，c=0，a=b两焦点重合，椭圆的标准方程成为x2+y2=a2，图形就是圆了．

(三)应用

为了加深对椭圆的几何性质的认识，掌握用描点法画图的基本方法，给出如下例1．

例1 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．

本例前一部分请一个同学板演，教师予以订正，估计不难完成．后一部分由教师讲解，以引起学生重视，步骤是：

(2)描点作图．先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆(图2-19)．要强调：利用对称性可以使计算量大大减少．

本例实质上是椭圆的第二定义，是为以后讲解抛物线和圆锥曲线的统一定义做准备的，同时再一次使学生熟悉求曲线方程的一般步骤，因此，要详细讲解：

设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P={M

将上式化简，得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．

这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是椭圆．

由此例不难归纳出椭圆的第二定义．

(四)椭圆的第二定义

1．定义

平面内点M与一个定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数

线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率．

2．说明

这时还要讲清e的几何意义是：椭圆上一点到焦点的距离和它到准线的距离的比．

(五)小结