立体几何大题练习题集答案解析

立体几何大题练习题集

答案解析

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立体几何大题专练

1、如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别为AB 、PC 的中点； (1)求证：

MN

P ABC -,E

F ,AC BC //EF PAB PAC ⊥ABC PA PC =90ABC ∠=?PEF ⊥PBC

EF E F AC BC //EF AB ∴ ……………………2分

又?EF 平面PAB ，?AB 平面PAB ，

∴ EF ∥平面PAB . ……………………5分 （2）

PA PC =，E 为AC 的中点，

P

A

C E

B

F

PE AC ∴⊥ ……………………6分

又平面PAC ⊥平面ABC

PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分

又因为F 为BC 的中点，

//EF AB ∴

090,BC EF ABC ⊥∠=∴……………………10分

EF PE E =

BC ∴⊥面PEF ……………………11分

又BC ?面PBC

∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分

3. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。 （1）求证：

BC 1

PC

AB N M ABCD PA 、分别是、所在的平面，矩形⊥PAD MN 平面//CD MN ⊥图，正方形ABCD 所在的平面与三角形ＡD Ｅ所在

平面互相垂直，△ＡＥＢ是等腰直角三角形，且ＡＥ＝ＥD 设线段BC 、AE 的中点分别为F 、M ，求证：（1）FM ∥ECD 平面； （2）求二面角Ｅ－ＢＤ—Ａ的正切值．

N

M

P

D

C

B

A

（1）证明：取AD的中点N,连结FN,MN,则MN∥ED，FN∥CD ∴平面FMN∥平面ECD.

∵ MF在平面FMN内,

∴ FM∥平面ECD ......5分

（2）连接EN, ∵AE=ED，N为AD的中点，

∴ EN⊥AD.

又∵面ADE⊥面ABCD，∴EN⊥面ABCD.

作NP⊥BD,连接EP,则EP⊥BD，

∴∠EPN即二面角E-BD-A的平面角，

设AD=a,∵ABCD为正方形，⊿ADE为等腰三角形，∴EN=1

2

a,NP=

2

a.

∴tan∠EPN=2 . ......10分

7.如图，一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，其中有一个高为

x cm 的内接圆柱.

(1)试用x 表示圆柱的侧面积；

（2

）当x 为何值时，圆柱的侧面积最大. 19.（1） 解：设所求的圆柱的底面半径为r 则有662

x r -=,即3

2x

r -=. ∴2

3

24)32(22x x x x rx S ππππ-=-==圆柱侧

.......5分

（2）由（1）知当3)

3

2(24=--

=ππ

x 时，这个二次函数有最大值为π6

所以当圆柱的高为3cm 时，它的侧面积最大为2

6cm π......10分

8．（10分）

如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 o. （1）证明：AB ⊥PC ；

（2）若4PC =，且平面PAC ⊥平面PBC ，求三棱锥P ABC -体积.

解：

（1）因为PAB ?是等边三角形，90PAC PBC ∠=∠=?,

所以Rt PBC Rt PAC ???,可得AC BC =。 如图，取AB 中点D ，连结PD ,CD , 则PD AB ⊥,CD AB ⊥, 所以AB ⊥平面PDC ,

所以AB PC ⊥ ......5分 （2）作BE PC ⊥，垂足为E ，连结AE ． 因为Rt PBC Rt PAC ???， 所以AE PC ⊥，AE BE =．

由已知，平面PAC ⊥平面PBC ，故90AEB ∠=?． 因为Rt AEB Rt PEB ???，所以,,AEB PEB CEB ???都是等腰直角三角形。 由已知4PC =，得2AE BE ==， AEB ?的面积2S =． 因为PC ⊥平面AEB ，

所以三角锥P ABC -的体积 183

3

V S PC =??= ......10分 9.（本题满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，

∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO ＝2，M 为

PD 的中点．

(1)证明PB ∥平面ACM ； (2)证明AD ⊥平面PAC ；

(3)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．

解析： (1)证明：如图，连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O

为BD 的中点．

又M 为PD 的中点，所以PB ∥MO .因为PB ?平面ACM ，MO ?平面ACM ，所以PB ∥平面ACM .

(2)证明：因为∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1，所以∠DAC ＝90°，即

AD ⊥AC .又PO ⊥平面ABCD ，AD ?平面ABCD ，所以PO ⊥AD .而AC ∩PO ＝O ，

所以AD ⊥平面PAC .

(3)如图，取DO 中点N ，连接MN ，AN .因为M 为PD 的中点，所以

MN ∥PO ，且MN ＝12

PO ＝1，由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以

∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角．在Rt△DAO 中，AD ＝1，AO ＝1

2

，

DO ＝

52.从而AN ＝12DO ＝54.在Rt△ANM 中，tan∠MAN ＝MN AN ＝15

4

＝455， 即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为45

5.

10（本小题满分12分）

如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱

111ABC A B C -中，3AC =，5AB =，

4BC =，14AA =，点D 是AB 的中点．

（Ⅰ）求证：1AC BC ⊥； （II ）求证：1//AC 平面1CDB ； （III ）求三棱锥 11A B CD -的体积．

证明：（Ⅰ）在△ABC 中，∵3AC =，5AB =，4BC =， ∴△ABC 为直角三角形，∴

AC BC ⊥， ……………1分

又∵1CC ⊥平面ABC ，∴1CC AC ⊥，

1CC BC C ?=， ……………2分

∴AC ⊥平面1BCC ，∴

1AC BC ⊥． ……………4分

（II ）设1B C 与1BC 交于点E ，则E 为1BC 的中点，连结

DE ， ……………5分

则在△1ABC 中，1//DE AC ，又

1DE CDB ?面， ……………7分

∴1//AC 平面

1B CD ． ……………8分

（III ）在△ABC 中，过C 作CF AB ⊥，F 为垂足，∵平面11ABB A ⊥

平面ABC ，

∴CF ⊥平面11ABB A ，而

3412

55

AC BC CF AB ??=

==， ……………9分 ∵

1111A B CD C A DB V V --=， …………

…10分

而

11

11111

541022

DA B S

A B AA =

=??=， ……………11分

∴

11112

10835

A B CD V -=??=． …………

…12分

11.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别是AP 、AD 的中点

求下：（Ⅰ）直线EF

M

C

D

P

12. （本小题满分12分）

如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面,,ABCD PD CD E =是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F 。 （I ）求证：//PA 平面EDB ； （II ）求证：PB ⊥平面EFD ；

（III ）求二面角P BC D --的大小。

13．（本小题满分12分）

如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，

5====PD PC PB PA

（1）求二面角C AB P --的度数

（2）若M是侧棱PC的中点，求异面直线PA与BM所成角的正切值

14．（本小题满分12分）

若图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，

EC//PD，且PD=2EC。

（1）求证：BE//平面PDA；

（2）若N为线段PB的中点，求证：EN⊥平面PDB；

（1）证明：EC∥PD∴EC∥面PAD；同理BC∥面PAD；∴面BEC∥面PAD；∴BE∥面PAD

（2）证明：取BD的中点O，连NO、CO，易知，CO⊥BD；又∵CO⊥PD;

∴CO⊥面PBD。

15．（本小题满分12分）

如图，在多面体ABCDE中，底面ABC

?为等腰直角三角形，且∠=?，侧面BCDE是菱形，O点是BC的中点，EO⊥平面ABC。

90

ACB

（1）求异直线AC和BE所成角的大小；

（2）求平面ABE与平面ADE所成锐二面角的余弦值。