静电场和稳恒电场基本知识

电荷

电荷的概念

电荷的概念是从物体带电的现象中产生的．两种不同质料的物体，如丝绸与玻璃棒相互摩擦后，它们都能吸引小纸片等轻微物体．这时说丝绸和玻璃棒处于带电状态，它们分别带有电荷．

物体或微观粒子所带的电荷有两种，称为正电荷和负电荷．带同种电荷的物体(简称同号电荷)互相排斥，带异种电荷的物体(简称异号电荷)互相吸引．

表示电荷多少的量叫做电量．国际单位制中，电量的单位是库仑。 电荷守恒定律

在一孤立系统内，无论发生怎样的物理过程，该系统电荷的代数和保持不变。 电荷的量子化

任何带电体所带电量都是基本电量C e 1910602.1-?=的整数倍。由于基本电量太小，使电荷的量子性在研究宏观现象时表现不出，通常认为宏观带电体带电连续。 近代物理从理论上预言，基本粒子由夸克或反夸克组成，夸克或反夸克所带电量是基本电量的三分之一或三分之二，然而单独存在的夸克尚未在实验中发现。即使发现自由夸克或反夸克，也不会改变电荷的量子化，只是把基本电量变为原来的三分之一而已。

库仑定律 点电荷

当带电体本身的线度与它们之间的距离相比足够小时，带电体可以看成点电荷，即带电体的形状、大小可以忽略，而把带电体所带电量集中到一个“点”上。 库仑定律

两个静止的带电体之间存在作用力，称为静电力。库仑定律定量描述了真空中两个静止点电荷之间的静电力。

定律指出：真空中两个静止的点电荷之间相互作用力的大小与这两个点电荷所带电量1q 和2q 的乘积成正比，与它们之间的距离r 的平方成反比。作用力的方向沿着两个点电荷的连线，同号电荷相互排斥，异号电荷相互吸引。

221r r q q k F F =-=，

041πε=k 其中2

121201085.8---???=m N C ε称为真空中的介电常数，0r 是由施力电

荷指向受力电荷的矢径方向的单位矢量。（附图）

注意：库仑定律只适用于两个点电荷之间的作用。 静电力的叠加原理

当空间同时存在几个点电荷时，它们共同作用于某一点电荷的静电力等于其他各点电荷单独存在时作用在该点电荷的静电力的矢量和。

电场强度 电场

静电力是物质之间的相互作用，这种特殊的物质叫做电场。电荷和电荷之间是通过电场这种特殊物质传递相互作用的，可以表示为 电荷电场电荷??

静电场

相对于观察者为静止的带电体周围存在的电场。 静电场对外表现：

1、处于电场中的任何带电体都受到电场所作用的力。

2、当带电体在电场中移动时，电场所作用的力将对带电体作功。 电场强度

电场中任一点处电场的性质，由电场强度来描述。电场中某一点中的电场强度定义为实验电荷0q 放在该点时所受作用力F

和0q 的比值。

0q F E =

即电场中任一点的电场强度等于单位正电荷在该点所受的电场力。 单位：牛顿每库仑或伏特每米。

电场强度通常是位置的函数，记为)(r E E

=。

场强叠加原理

电场中任一场点处的总场强等于各个点电荷单独存在时在该点各自产生的场强的矢量和。

∑∑===i

i E q F q F E

电通量 电力线

在电场中描绘电场强度的曲线，曲线上每一点的切线方向都与该点的电场强度的方向一致；为了描述电场的强弱，规定在电场中任一点处，通过垂直于电场强度的单位面积的电力线的数目等于该点处电场强度的量值。（附图） 电力线的性质

1、不形成闭合回线也不中断，而是起自正电荷 (或无穷远处)、

止于负电荷(或无穷远处)。

2、任何两条电力线不相交。

电通量

通过电场中任一给定面的电力线的条数称为通过该面的电通量，用符号e Φ表示。（附图）

1、在均匀电场中，通过与E 方向垂直的平面S 的电通量。 ES e =Φ

2、在均匀电场中，若平面S 的法线n

与E 方向的夹角为θ，通过该平面的电通量。

S E ES e

?==θΦcos

3、任意电场中，通过任意曲面的电通量。

S d E d e

?=Φ

?=S

e e d ΦΦ???=?=S

S

dS

n E S d E

曲面闭合时，有

???==S S e S

d E dS E

θΦcos 规定：面元S d 法线n

的正向为指向闭合面的外侧。因此，从曲

面上穿出的电力线，电通量为正值；穿入曲面的电力线，电通量为负值。

高斯定理

高斯定理是静电场的一条基本原理，它给出了静电场中通过任一闭合曲面的电通量与该闭合曲面内所包围的电荷之间的量值关系。 定理表述：

在真空中的任意静电场中，通过任一闭合曲面S 的电通量Φe ,等于该闭合曲面所包围的电荷电量的代数和除以ε0， 而与闭合曲面外的电荷无关。

∑?=

?=i

s

e q

S d E 0

1

εΦ

高斯定理的理解：（附图）

1、定理表达式中的电场强度E 是由闭合曲面内外的电荷共同产生的。

2、闭合曲面外的电荷发出的电力线从曲面某处穿入，必从另一处穿出，一进一出正负抵消，所以对闭合曲面的电通量的贡献为零。

3、当曲面内电荷电量代数和为正，表明电力线从正电荷出发穿出曲面，正电荷是静电场的源头；当曲面内电荷电量代数和为负，表明电力线穿入曲面终止于负电荷，负电荷是静电场的尾。

高斯定理的应用 1、已知带电体的电荷分布，根据高斯定理求任意闭合曲面的电通量。 2、如果场源电荷分布具有某些对称性，取合适的闭合面时，利用高斯定理可方便地计算场强。

电场力的功

在点电荷q 的电场中，试验电荷0q 从场中a 点经任意路径acb 移动到b 点，电场力将对试验电荷作功。（附图）

在路径中任取一元位移l d

，试验电荷在元位移上受的电场力为 E q F 0=

电场力在元位移上对试验电荷所作的功为

Edr q dl E q l d E q l d F dA 000cos ==?=?=θ

当试验电荷从a 点移动到b 点时，电场力作功为

??-=

==b

a

r r b

a o

b

a

r r qq dr r q q Edr q A )1

1(44002

00πεπε

推广：

在任意电场（可以看成由许多点电荷组成的带电体产生的）中，试验电荷从a 点移动到b 点时，电场力作功为

?????+?+?=?+++=b a

b a

b a

n b a

n ab l

d E q l d E q l d E q l d E E E q A

02010210)(

∑

-=+++=i

ib ia i n r r q q A A A )1

1(40021πε

表明：

试验电荷在任何静电场中移动时，静电场力所做的功只与路径的起点和终点位置有关，而与路径无关。

静电场的环流定理

静电力作功与路径无关。假设试验电荷从电场中某一点经任意闭合路径回到起点，（附图）则电场力在整个闭合路径上作功为

?????=?-

?=

?+

?=

?=acb

adb

acb

bda

l d E q l d E q l d E q l d E q l d E q A 0

00000

由于00≠q ，则

?=?0

l d E

上式左边是场强沿闭合路径的积分，称为静电场强的环流，上式表明在静电场中，场强的环流恒等于零，这一结论称为静电场的环流定理。

电势

电势能a W 与电场性质和a 点位置以及0q 有关，但0q W a 仅由电场性质和a 点位置决定，是描述电场中任一点a 电场性质的物理量，称为a 点的电势，用U 表示。

?∞

?==a

a

a l

d E q W U 0

表明，若规定无穷远处为电势零点，则电场中某点a 的电势在数值上等于单位正电荷在该点具有的电势能，或者等于把单位正电荷从该点沿任意路径移到无穷远处时电场力所作的功。 电势是标量，国际单位制中单位为伏特。

电势差

静电场中任意两点的电势之差称为电势差，也称电压。

????=?-?=-=∞

∞b a

a

b

b a ab

l

d E l d E l d E U U U

表明两点的电势差等于单位正电荷从一点移到另一点时电场力所作的功。

任意电荷q 从a 点移到b 点时，电场力作功为

)

(b a b

a

b a ab U U q l d E q W W A -=?=-=?

电势能

任何保守力场都可以引入势能概念。

静电场相应地引入电势能的概念，即认为试验电荷0q 在静电场中某一位置具有一定的电势能，用W 表示。当试验电荷0q 从a 点移动到b 点时，电场力作功等于相应电势能增量的负值，即

b

a b

a

ab W W l d E q A -=?=?

电场力作正功，电势能减少；电场力作负功，电势能增加。 电势能是相对量，选定电势能零点后，电荷在电场中某点才有电势能的绝对大小。一般场源电荷有限时，常把电势能零点选在无穷远点，则电场中任一点a 的电势能为

?∞

∞?==a

a a l

d E q A W

即在规定无穷远处电势能为零时，试验电荷0q 在电场中任一点a 的电

势能在数值上等于把0q 由a 移到无穷远处时电场力所作的功。

场强与电势的关系 等势面

静电场中电势相等的各点所构成的曲面称为等势面。（附图） 等势面的特性：

1、等势面与电力线处处正交，电力线指向电势降落的方向。

2、等势面较密集的地方场强大，较稀疏的地方场强小。 规定:场中任意两相临等势面间的电势差相等。

场强与电势梯度的关系

在任意静电场中，取两个十分靠近的等势面，电势分别为U 和dU U +，设0>dU ，a 点在电势为U 的等势面上，b 在电势为U+dU

的等势面上，从a 到b 的位移元为l d （附图）。

当把正电荷0q 从a 点沿l d

移到b 点时，电场力的功为

dU q U U q A b a 00)(-=-=

另一方面 dl E q dl E q l d E q A l 000cos ==?=θ

由上两式，得

dU dl E l -=

即

dl dU

E l -

=

表明，电场中某一点的场强沿某一方向的分量等于电势沿该方向上变化率的负值。

在直角坐标系中，电势是坐标x ，y ，z 的函数，有

x U

E x ??-=，

y U E y

??-=，z U E z ??-= 矢量表达式为

)

(k z U j y U i x U E

??+??+??-=

)(k z U j y U i x U

??+??+??称为电势的梯度，用U gradU ?或表示。 即U gradU E -?=-

表明，电场中任意一点的场强等于该点电势梯度的负值。 电势梯度的物理意义：

电势梯度是个矢量，它的大小为电势沿等势面法线方向的变化率，它的方向沿等势面法向且指向电势增大的方向。

静电场中的导体

导体的静电平衡（附图）

一个不带电的中性导体在电场力作用下，内部的自由电子会作定向运动而改变导体上电荷分布，使导体处于带电状态，这就是静电感应。当导体中的自由电子没有定向运动时，称导体处于静电平衡。 静电平衡条件：

导体内部的场强为零，在导体表面附近场强沿表面的法线方向。 处于静电平衡状态的导体的性质：

1、导体是等势体，导体表面是等势面。

2、导体内部处处没有未被抵消的净电荷，净电荷只分布在导体的表面上。（由高斯定理可证）

3、导体以外，靠近导体表面附近处的场强大小与导体表面在该处的面电荷密度σ的关系为

0εσ=

E

导体表面上的电荷分布

静电场中的孤立带电体，导体上电荷面密度的大小与该处表面的曲率有关。

1、曲率较大，表面尖而凸出部分，电荷面密度较大。

2、曲率较小，表面比较平坦部分，电荷面密度较小。

3、曲率为负，表面凹进去的部分，电荷面密度最小。 尖端放电

导体表面尖端处电场特别强，会导致尖端放电。这类放电只发生在靠近导体表面很薄的一层空气里。空气中少量残留的带电离子在强电场作用下激烈运动，当它与空气分子碰撞时会使空气分子电离，产生大量新的离子，使原先不导电的空气变得易于导电。

与导体尖端电荷异号的离子受到吸引趋向尖端，而与导体尖端电荷同号的离子受到排斥而加速离开尖端，形成高速离子流，即通常所说的“电风”。 静电屏蔽

当导体壳腔内没有其他带电体时，在静电平衡条件下，导体壳内表面处处没有电荷，电荷只分布在导体壳的外表面上，而且空腔内没有电场。当导体壳腔内有其他带电体时，导体壳内表面上要感应出电荷，即导体内表面所带电荷与空腔内带电体的电荷等量异号。（附图）

在静电平衡条件下，不论导体壳本身带电还是导体壳处于外界电场中，腔内无其他带电体的导体壳内部没有电场。这样，导体壳的表面就“保护”了它所包围的区域，使之不受导体壳外表面的电荷或外界电场的影响。

而接地良好的导体壳还可以把腔内部带电体对外界的影响全部

消除(即上述导体壳的外表面所带感应电荷全部入地)。总之，导体壳内部电场不受壳外电荷的影响，接地导体壳使得外部电场不受壳内电荷的影响。这种现象称为静电屏蔽。

静电场中的介质

电介质指不导电的绝缘介质，电介质内部没有可以自由移动的电子。 电介质的极化

电介质在外电场作用下出现的带电现象。 1、无极分子电介质的位移极化

无极分子正、负电荷的中心重合，没有分子偶极子。在外场作用下，正负电荷中心发生相对位移，形成电偶极子，这些电偶极子的方向都沿外电场的方向。介质表面出现正负极化电荷。（附图） 2、有极分子电介质的取向极化

有极分子正、负电荷的中心不重合，有分子偶极子。无外场时，由于分子的热运动，各个分子偶极矩排列纷乱，对外不显电性。在外场作用下，每个分子偶极矩受到力矩的作用，偶极矩的方向都转向外电场的方向使介质带电。（附图） 极化强度

描述电介质极化程度的物理量。

V p P i

?∑

=

即单位体积内分子电偶极矩的矢量和。 极化强度和极化电荷的关系

(1)均匀介质极化时，其表面上某点的极化电荷面密度，等于该处电极化强度在外法线上的分量。

n P n P =?='

σ

(2)在电场中，穿过任意闭合曲面的极化强度通量等于该闭合曲面内极化电荷总量的负值。

∑?'-=?S

i

S

q S d P

有电介质时的高斯定理

有电介质时，总电场包括自由电荷产生的电场和极化电荷产生的附加电场。所以有电介质时的高斯定理表达为

)

(1

10

∑∑∑?'+=

=

?i i S

q q q S d E εε

式中∑q 和∑'

i q 分别为高斯面S 内的自由电荷与极化电荷的代数和。由极化强度与极化电荷的关系式，得

∑?

=?+q

S d P E S

)(0ε

定义电位移矢量 P E D +=0ε 得到

∑?=?q

S d D S

此式就是有电介质时的高斯定理：在静电场中通过任意闭合曲面的电位移通量等于闭合面内自由电荷的代数和。 各向同性介质中，有

E E E E P E D r εεεχεεε==+=+=0000

其中ε、r ε分别表示电介质的介电常数和相对介电常数。

电容 电容器 孤立导体的电容

附近没有其他导体和带电体的孤立导体，所带电量与它的电势成正比，即

C U q =

比例系数C 称为孤立导体的电容，即是使导体升高单位电势所需的电

量，反映了导体的储存电荷和电能的能力，与导体的尺寸和形状有关。 孤立导体球的电容R C 04πε=。

单位：法拉=库仑/伏特（国际单位制）、微法拉、皮法拉 电容器及其电容

由两个导体组成的导体系称为电容器。两个导体带等量异号电荷，导体间的电势差与导体所带电量成正比。其电容为

AB B A U q

U U q C =

-=

其中AB U 指两个导体的电势差。 平行板电容器

d S

C 0ε=

球形电容器

A B B

A R R R R C -=

04πε 圆柱形电容器

A B

R R L C ln 20πε=

电容器的联接

串联（附图）

串联的每个电容器都带有相同的电量，而电压与电容成反比地分配在各个电容器上。总电容的倒数为

n C C C C 111121+++=

并联 并联时，各电容器上的电压是相同的，电量与电容成正比地分配在各个电容器上，总电容为

n C C C C +++= 21

电流 电流密度

大量电荷有规则地定向运动形成电流 电流强度

单位时间内通过某横截面积的电量。

dt dq I =

方向：正电荷定向运动的方向。

单位：安培（A ） 电流密度

电流在粗细不均匀的导线或大块导体中运动时，导体的不同福分电流的大小和方向可能不一样，需引入电流密度矢量。

n dS dI j ⊥=

方向：沿该点电场强度的方向。 大小：等于通过与该点场强方向垂直的单位面积的电流强度。（附图）

通过面元S d

的电流为 S d j dS j jdS dI

?===⊥θcos 通过导体中任一面积的电流为

?

?=S

S

d j I

穿过某截面的电流强度等于电流密度矢量穿过该截面的通量。

稳恒电场

电流的连续性方程

通过某一面积的电流就是通过该面积的电流密度的通量。通过一个封闭曲面的电流表示为

?

?=S

S

d j I

净流出封闭面的电流就是单位时间从封闭面向外流出的正电荷的电量。由电荷守恒定律，通过封闭面流出的电量等于封闭面内电荷的减少。即

dt dq S d j S

-

=??

称为电流的连续性方程。 稳恒电场

导体内各处的电流密度不随时间变化的电流叫稳恒电流。 稳恒电流的重要性质：

通过任一封闭面的稳恒电流等于零，即

=??

S

S d j

在稳恒电流情况下，导体内电荷的分布不随时间改变，不随时间改变的电荷分布产生不随时间改变的电场称为稳恒电场。 静电场与稳恒电场的区别（附表）

电动势

在导体中维持恒定电流，不能单纯靠静电力的作用。（附图） 非静电力

能把正电荷从电势较低的电（如电源负极板）送到较高的点（如电源

正极板的作用力称为非静电力，记作k F

。

电源

提供非静电力的装置。 电动势

作用在单位正电荷的非静电力称为非静电场场强，记作

q F E k k =

电动势就是把单位正电荷从负极经电源内部移到正极时，电源中非静电力所做的功。

?

+

-

?=l

d E k

ε

方向：自负极经电源内部到正极的方向为正方向。 另一定义：单位正电荷绕闭合回路一周时，电源中非静电力所做的功。

??=L

k l

d E ε

电场的能量

带电系统的能量

对于电量为Q 的带电体A ，可以设想是在不断地把微小电量dq 从无穷远处移到A 上的过程中，外界克服电场力作的功增加了带电体A 的能量。即 Udq dA dW ==

带电体A 从不带电到带有电量Q 的整个过程积蓄的能量为

??==Q

Udq

dW W 0

对于电容器，有

?=

=Q

C Q dq C q W 0

2

2 或2

21

21CU QU W ==

电场能量

对于平行板电容器，有

V E Sd E Ed d S CU W 202020221

)(21))((2121εεε====

电场中单位体积的能量，即能量密度

2021

E V W w ε==

上式适用于任何电场。 对于任意电场，

???===V V V DEdV

dV E dW W 21

2120ε