清华大学微积分题库

(3343)．微分方程0cos tan =-+'x x y y 的通解为 x C x y cos )(+=。

(4455)．过点)0,2

1(且满足关系式11arcsin 2

=-+

y x y 的曲线方程为

1arcsin -

=x x y 。 (4507)．微分方程03='+''y y x 的通解为 2

1x C C y +

=。 (4508)．设)(),(),(321x y x y x y 是线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解，且

C x y x y x y x y ≠--)

()()

()(1312，则该微分方程的通解为

)())()((())()((1132121x y x y x y C x y x y C y +-+-=。

(3081)．设x e x y x y -++=+=22213,3是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应齐次方程的一个解为x y =3，则该微分方程的通解为x e C x C x y -+++=2123。 (4725)．设出微分方程x e xe

x y y y x x

2cos 32++=-'-''-的一个特解形式

)2sin 2cos ()(*x F x E e e D Cx x B Ax y x x +++++=-。

(4476)．微分方程x e y y y =+'-''22的通解为 )sin cos 1(21x C x C e y x ++=。 (4474)．微分方程x e y y 24=-''的通解为 x x

e x C e

C y 222141??? ?

++=-。

(4477)．函数x C x C y 2s i n 2c o s 21+=满足的二阶线性常系数齐次微分方程为

04=+''y y 。

(4532)．若连续函数)(x f 满足关系式 2ln )2

()(20

+=?

dt t

f x f ，则=)(x f 2ln 2x e 。 (6808)．设曲线积分

--L

x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关，其中)(x f 具有一阶

连续导数，且0)0(=f ，则)(x f 等于[ ] (A)

)(2

1x x e e --。 (B) )(21

x x e e --。

1x x e e -+-。答B

注：根据题意，y e x f y x f x cos ])([cos )(-='-，解得x x

Ce e x f -+=

1)(。由0)0(=f ，得21-=C ，所以)(2

)(x x e e x f --=，即选项(B)正确。

6907．若函数x y 2cos =是微分方程0)(=+'y x p y 的一个特解，则该方程满足初始条件

2)0(=y 的特解为[ ]

(A) 22cos +=x y 。 (B) 12cos +=x y 。 (C) x y cos 2=。 (D) x y 2cos 2=。答D

注：根据解的结构，通解为x C y 2cos =，由2)0(=y 得2=C 。故选项(D)正确。

其他选项经验证不满足方程或定解条件。

6126．设函数)(),(21x y x y 是微分方程0)(=+'y x p y 的两个不同特解，则该方程的通解为[ ]

(A)2211y C y C y +=。 (B) 21Cy y y +=。 (C) )(211y y C y y ++=。 (D) )(12y y C y -= 。答D

注：因为)(),(21x y x y 是微分方程0)(=+'y x p y 的两个不同特解，所以12y y -是该

方程的一个非零特解。根据解的结构，其通解为)(12y y C y -=，即选项(D)正确。另：根据通解定义，选项(A)中有两个任意常数，故其不对。当02≡y 时，选项(B)不对。当12y y -=时，选项(C)不对。

6579．已知函数)(x y y =在任意点x 处的增量π=?++?=?)0(),(12

y x o x

y y ，则)1(y 等于[ ]

(A)π2。 (B)π。 (C)4

e 。 (D) 4π

πe 。

答D

注：根据微分定义及微分与导数的关系得2

y y +=

'，解得C x y +=arctan ln ，由

π=)0(y ，得πln =C ，所以41arctan )1(π

ππe e y ==。因此选项(D)正确。

6215．设函数)(x f y =是微分方程042=+'-''y y y 的一个解。若0)(,0)(00='>x f x f ，则函数)(x f 在点0x [ ]

(A) 取到极大值。 (B) 取到极小值。 (C) 某个邻域内单调增加。 (D) 某个邻域内单调减少。答A

注：因为0)(0='x f ，0)(4)(00<-=''x f x f ，所以选项(A)正确。

6316. 设21,y y 是二阶常系数线性齐次方程0=+'+''qy y p y 的两个特解，21,C C 是两个任意常数，则下列命题中正确的是[ ] （A ） 2211y C y C +一定是微分方程的通解。（B ）2211y C y C +不可能是微分方程的通解。（C ）2211y C y C +是微分方程的解。（D ）2211y C y C +不是微分方程的解。答C

注：根据叠加原理，选项（C ）正确，选项（D ）错误。当21,y y 线性相关时，选项（A ）

错误, 当21,y y 线性无关时，选项（B ）错误。

1897. 微分方程1+=-''x

e y y 的一个特解应具有形式[ ]

(A)b ae x +。 (B)b axe x

+。

答B

注：相应齐次方程的特征根为1,1-，所以x e y y =-''的一个特解形式为x

axe ，

1=-''y y 的一个特解形式为b 。根据叠加原理，原方程的一个特解形式为b axe x +，即选

项(B)正确。其他选项经检验不满足方程。

1890. 具有特解x x x e y xe y e y 3,2,321===--的三阶线性常系数齐次微分方程是[ ] (A)0=+'-''-'''y y y y 。 (B) 0=-'-''+'''y y y y 。 (C) 06116=-'+''-'''y y y y 。 (D) 022=+'-''-'''y y y y 。答B

注：根据题意，1,1-是特征方程的两个根，且1-是重根，所以特征方程为

01)1)(1(232=--+=+-λλλλλ。故所求微分方程为0=-'-''+'''y y y y ，即选项(B)正确。

7819. 设x y e y x ==21,是三阶线性常系数齐次微分方程0=+'+''+'''cy y b y a y 的两个特解，则c b a ,,的值为[ ]

(A)0,1,1=-==c b a 。 (B)0,1,1===c b a 。 (C)0,0,1==-=c b a 。 (D)0,0,1===c b a 。

答C

注：根据题意，0,1是特征方程的两个根，且0是重根，所以特征方程为

0)1(232=-=-λλλλ。故原微分方程应为0=''-'''y y ，所以0,0,1==-=c b a 即选

项(C)正确。

2670. 设二阶线性常系数齐次微分方程0=+'+''y y b y 的每一个解)(x y 都在区间),0(+∞上有界，则实数b 的取值范围是[ ]

(A)0≥b 。 (B)0≤b 。 (C)4≤b 。 (D)4≥b 。

答A

注：因为当2±≠b 时，x

b b x

b b e

C e

C x y 24

224122)(----+-+=，所以，当0

42>-b 时，要想使)(x y 在区间),0(+∞上有界，只需要04,042

2≥--≥-+b b b b ，即

2>b 。当042<-b 时，要想使)(x y 在区间),0(+∞上有界，只需要42-+b b 与

42--b b 的实部大于等于零，即20<≤b 。当2=b 时，x x xe C e C x y --+=21)(在区

间),0(+∞上有界。当2-=b 时，x x xe C e C x y 21)(+=)0(2

221≠+C C 在区间),0(+∞上无

界。综上所述，当且仅当0≥b 时，方程0=+'+''y y b y 的每一个解)(x y 都在区间),0(+∞上有界，即选项(A)正确。

3296．求微分方程0112

=+'++x y y y x 的通解。

解：方程两端同乘以

dx y

112

++，得

xdx x

ydy y

1102

+=，

此方程是一个变量分离方程，其通解为

)2(1122>=+++C C x y 。

5678．求微分方程dy dx x y x x

+=1sin 的通解。解：这是一个一阶线性微分方程，求解其相应的齐次方程

dy dx x

y +=1

0，得其通解为

x C y ln

ln =，即x

C y =。

令x

x C y )

，代入原方程，得 x x

x C x x C x C x sin )()()(22

=+-'，解得

C x x C +-=cos )(。

所以原方程的通解为

)cos (1

C x x

y +-=

。

注：本题也可直接利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式，得

y x x e dx c e x

x c x dx x dx =??+?=-+-(sin )(cos )111。

2312．求解微分方程xdy ydx y e dy y -

=2。

解：将y 看成自变量，x 看成是的y 函数，则原方程是关于未知函数x x y =()的一阶线性

微分方程

y ye y

dy dx -=-，此方程通解为

y dy y y dy y ye Cy dy e ye C e x -=???

? ???-?=?-1

1，

其中C 是任意常数。`

2367．求微分方程22y xy y x =+'满足初始条件1)1(=y 的特解。解：将原方程变形，得

x y x y y -??

??='2

，

这是一个齐次型方程。令xu y =，代入上式，得

u u u x 22-='，

分离变量，得

x dx u

u du =-22

，积分，得

Cx u

u =-，即

22Cx y

y =-。

因为1)1(=y ，所以1-=C 。于是所求特解为

12x

y +=

。

2368．设x e y =施微分方程x y x p y x =+')(的一个解，求此微分方程满足条件0)2(ln =y 的特解。

解：将x e y =代入原方程，得

x e x p xe x x =+)(，

解出

x xe x p x -=-)(。

所以原方程为

x y x xe y x x =-+'-)(，

解其对应的齐次方程，得

e x Ce y -+=。

所以原方程的通解为

e x x

e y -++=。

由0)2(ln =y ，得21

-=e

C 。故所求特解为

+--=x e x x e

e y 。

2402．求微分方程

x y x x

y y

=+-

412

的通解。解：将原方程化为

y x y x x

y =+-

，这是一个伯努利方程。令 y z =

，则原方程化为

122x z x x dx dz =+-。这是一个一阶线性微分方程，解得

))1ln()(1(4

122

+++=

x C x z ，所以原微分方程的通解为

==2z y ()

222))1ln()(1(16

+++=

x C x z 。

2405．求微分方程0)1()1(=-

++dy y

e dx e y

x y

x 的通解。解：将y 看成自变量，则)(y x x =是y 的函数。由于原方程是齐次型方程，令y

x y u =)(，原微分方程化为

++-='u

u e u

e u y ，这是一个变量可分离的方程，解得

C u e y u =+)(。

所以原方程的通解为

C x ye y

x =+。

另解：令 =+=),(,1),(y x Q e y x P y x

)1(y

e y

x -，则x y x Q e y x y y x P y x

??=

-=??),(),(2，所以，在0>y 时，原方程为全微分方程。令

-++=)

,()

1,0()1()1(),(y x y

x y x dy y

e dx e y x u ，

由于此曲线积分与路径无关，所以),(y x u 就是全微分式dy y

e dx e y

x y

x )1()1(-++的一个原函数，且

。

1)1(1)1()0

1()1()1(),(01

,()1,0(-+=-++-=++-=-++=??

x ye e y x y dx

e dy y

e dy

e dx e y x u y

x y

x x y x

y x y

x y x 所以原方程的通解为

C x ye y

x =+。

2489．设μ为实数，求微分方程0=+''y y μ的通解。

解：此方程的特征方程为02=+μλ，所以，（1）当0>μ时，特征方程有一对复根 μλi

±= ，方程有两个线性无关解

x x μμsin ,cos 。因此微分方程的通解为

),(sin cos 2121R C C x C x C y ∈+=μμ。

（2）当0=μ时，特征方程有一个二重根0=λ。方程有两个线性无关解x ,1,于是微分方程的通解为

x C C y 21+=。

（3）当0<μ时，特征方程有两个单重实根 μλ-±=。方程有两个线性无关解

μμ---,，所以微分方程的通解为

),(2121R C C e C e

C y x

∈+=--

-μμ。

2909．求微分方程122+='+''x y y 的通解。

解将方程写作x e x y y 02)12(+='+''。因为0=λ是特征方程02=+λλ的单根，所以原方程一个特解形式为

cx bx ax x y ++=23*)(，

将此解代入原方程，得

12)2()62(322+=++++x b c x a b ax ，

比较两端同次项的系数，有

12,062,23=+=+=b c a b a 。

解上述方程组，得

5,2,3

=-==

c b a 。从而得到原方程的一个特解

x x x x y 523

2)(23

*+-=

。又因为相应齐次方程0='+''y y 的通解为

x e C C y -+=21。

所以原方程的通解为

x e C C y -+=21x x x 523

223

+-+

。

另解：方程122+='+''x y y 两端积分，得

2C x x y y ++=

+'，这是一个一阶线性微分方程，其通解为

。

x x x e C C x x x e C C dx e C x x C e y x x x x 523

55232

)

)32

((23212321132+-++=-+-++=+++=---?

2356．求解微分方程x xe y y y 42=+'-''。

解：因为1=λ是特征方程0122=+-λλ的重根，所以原方程的一个待定特解为

x e b ax x y )(2*+=，

将此解代入原方程，得

x x xe e b ax 4)26(=+。

比较两端系数，得0,3

b a 。于是得到原方程的一个特解 x e x y 3*3

=。

又因为相应齐次方程的通解是

x e x C C y )(21+=。

因此原方程的通解为

x e x C C y )(21+=x

e x 33

。 1123．求微分方程x x y y cos +=+''的通解。解：原方程所对应齐次方程的通解为

x C x C y sin cos 21+=。

设非齐次方程x y y =+''的一个特解为

B Ax y +=1，

代入次方程，得 0,1==B A 。所以 x y =1。

设非齐次方程x y y cos =+''的一个特解为

x Dx x Ex y sin cos 2+=，

代入方程，得 21,

=D E 。所以 x x y sin 2

2=。

因为21y y +为原方程的一个特解，所以原方程的通解为

x C x C y sin cos 21+=x x x sin 2

+。 1278．求解微分方程 y y y y y ln )(22='-''。

解：因为原微分方程不显含自变量x ，所以这是一个可降阶微分方程。令 )()(x y y u '=，则u u x y y u x y '=''='')()()(。原方程变为

y y u u yu ln 22=-'。

再令 )()(2y u y p =，则有

y y p y

p ln 22

'，这是一个一阶线性微分方程，求得

)ln (22y C y p +=。

所以

)ln (22y C y u +=

，

故

)ln (22y C y y +=

'。

这是个变量可分离微分方程，解得

()

12ln ln ln C x y C y +=++，

这就是原微分方程的通解。

注：方程y y u u yu ln 2

=-'是一个伯努利方程，可用伯努利方程的一般解法求解。

2456．求解微分方程)5(33-=+'+''+'''-x e y y y y x 。解：微分方程 033=+'+''+'''y y y y 的特征方程为

013323=+++λλλ，

1-=λ是其三重特征根。所以该齐次方程的通解为

)(2321x C x C C e y x ++=-。

令原微分方程的一个特解形式为

x e b ax x y -+=)(3*，

代入原微分方程，并整理得

5624-=+x b ax ，

所以 6

,241-==

b a 。因此原微分方程的一个特解为 x e x x y --=)54

(63*

，

故所求通解为

)(2

321x C x C C e y x

++=-x e x x --+)54

(63。

3214．求解微分方程2

x y y x ='-''。解：令 )()(x y x u '=，则原方程化为

x u x

u =-'1

，

这是个一阶线性微分方程，解得

)(1x C x u +=。

因此 )(1x C x y +='，所以原微分方程的通解为

221322133

2131C x C x C x C x y ++=++=

，其中21,C C 是任意常数。另解：令x

x y x p )()('=，则原方程化为 1='p ，所以 1C x p +=。由)(1C x x xp y +=='得

2213

1C x C x y ++=

。 3333．求解微分方程x x y y x y x ln 2232=+'-''。解：原方称为二阶欧拉方程。令 t

e x =，得

dt dy dt

y d y x dt dy y x -=''='222,。

所以原微分方程化为

t e y dt dy dt

y d t 32

223=+-，其中t 是自变量。

这是一个二阶线性常系数非齐次方程，解得

t t t e t e C e C y 3221)2

(21-+

+=。所以原微分方程的通解为

3(ln 213221-+

+=x x x C x C y ，其中21,C C 是任意常数。

3337．已知函数）

，在∞+0[)(x f 上可导，1)0(=f ，且满足等式 0)(11)()(0

=+-

+'?x

dt t f x x f x f ，

求)(x f '，并证明)0(1)(≥≤≤-x x f e x

。

解：根据条件，得

0)())()()(1(0

=-+'+?x

dt t f x f x f x ，

因为），在∞+0[)(x f 上可导，由上式，知）

，在∞+0[)(x f 上二阶导数存在，所以 0)()1

1()(='++

+''x f x x f ，这是)(x f '满足的一个一阶线性齐次方程，解得

)(+='-x Ce x f x

，

由于 1)0()0(-=-='f f ，所以 1-=C ，故

)(+-='-x e x f x

。

当0≥x 时，因为01

)(<+-

='-x e x f x

，所以1)0()(=≤f x f 。又0≥x 时，()

1)(≥+=++-='

-----x xe e x e e x f x x

x x

，所以0)0()(0=-≥--e f e x f x 。

故

)0(1)(≥≤≤-x x f e x 。

注：证明不等式时，只需要知道导数的符号及函数在某点上的值，并不要求一定知道函

数的表达式。

3338．设p x q x (),()为连续函数,证明方程)()(x q y x p y =+'的所有积分曲线上横坐标相同的点的切线交于一点。

证：记 )(1x y y =为方程)()(x q y x p y =+'的一条积分曲线，则方程)()(x q y x p y =+'的任一条积分曲线可记为)(1x Cy y =。曲线)(1x y y =在点))(,(010x y x 的切线方程为

))(()(001

01x x x y x y y -'=-，曲线)(1x Cy y =在点))(,(010x Cy x 的切线方程为

))(()(001

01x x x y C x Cy y -'=-。

求解方程组

?-'=--'=-))(()())(()(00101001

01x x x y C x Cy y x x x y x y y ，得

0,)

()

(01010='-

=y x y x y x x 。

所以，任一条积分曲线)(1x Cy y =与积分曲线)(1x y y =在横坐标为0x 的点处的切线

相交于与C 无关的点)0,)()

((01

010x y x y x '-，即方程)()(x q y x p y =+'的所有积分曲线上横坐

标相同的点的切线交于一点。

3339．设)(x p 在),0[+∞上连续非负，证明微分方程0)(=+'y x p y 的任意非零解满足

0)(lim =+∞

→x y x 的充要条件是广义积分?

+∞

)(dx x p 发散。

证：设)(x y 是方程0)(=+'y x p y 的任一解，则

?=-x dt

t p e

C x y 0

)(0)(，

其中0C 是非零常数。所以

0lim )(lim 0

)(0=?=-+∞

→+∞

→x dt

t p x x e

C x y +∞=??+∞

→x

x dt t p 0)(lim

，即0)(lim =+∞→x y x 的充要条件是广义积分

+∞

)(dx x p 发散。

2359．设0>a ，函数)(x f 在),0[+∞上连续有界，证明微分方程)(x f ay y =+'的解在

),0[+∞上有界。

证：因为原方程的通解为

))(()(0

?+=-x

at ax dt e t f C e x y ，

满足定解条件00)(y x y =的解为

))(()(0

0?+=-x

at ax dt e t f y e x y 。

记)(x f 在),0[+∞上的界为M ，则当0≥x 时，有

，

a M

y e a M

y dt

e Me y dt e t

f y e x y ax x

at ax x

at ax +≤-+

=+≤+=---??000

0)1()

)(()(

即)(x y 在),0[+∞上有界。

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习题 1—2 1．确定下列函数的定义域：（1）91 2 -=x y ；（2）x y a arcsin log =；（3）x y πsin 2 = ；（4）)32(log 213-+-=x x y a ；（5）)4(log 2 1 arccos 2x x y a -+-= 2．求函数 ?????=≠=) 0(0 )0(1sin x x x y 的定义域和值域。 3．下列各题中，函数)(x f 和)(x g 是否相同？（1）2)(,)(x x g x x f ==；（2）2 sin 21)(,cos )(2π -==x g x x f ；（3）1)(,1 1 )(2-=+-= x x g x x x f ；（4）0)(,)(x x g x x x f == 。 4．设x x f sin )(=证明： ?? ? ?? +=-+2cos 2sin 2)()(x x x x f x x f ??? 5．设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ，试确定b a ,的值。 6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？（1）)1(22x x y -= （2）3 23x x y -=；（3）2211x x y +-=；（4）)1)(1(+-=x x x y ；（5）1cos sin +-=x x y （6）2 x x a a y -+=。 7．设)(x f 为定义在),(∞+-∞上的任意函数，证明：（1）)()()(1x f x f x F -+= 偶函数；（2）)()()(2x f x f x F --=为奇函数。 8．证明：定义在),(∞+-∞上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。 9．设)(x f 定义在),(L L -上的奇函数，若)(x f 在),0(L 上单增，证明：)(x f 在)0,(L -上也单增。 10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：（1）)2cos(-=x y （2）x y 4cos =；（3）x y πsin 1+=；（4）x x y cos =；（5）x y 2sin = （6）x x y tan 3sin +=。 11．下列各组函数中哪些不能构成复合函数？把能构成复合函数的写成复合函数，并指出其定义域。（1）t x x y sin ,3== （2）2,x u a y u ==；（3）23,log 2+==x u u y a ；（4）2sin ,-==x u u y （5）3,x u u y == （6）2,log 2-==x u u y a 。 12．下列函数是由哪些简单函数复合而成的？（1）321)1(++=x y （2）2 )1(3+=x y ；

关于清华大学高等数学期末考试

关于清华大学高等数学期末考试 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

清华大学 2010-2011学年第一学期期末考试试卷（A 卷）考试科目：高等数学A （上）考试班级： 2010级工科各班考试方式：闭卷命题教师：一. 9分） 1、若在), (b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ，二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调，曲线是的。 2、设?????+=+=232322t t y t t x 确定函数)(x y y =，求=22dx y d 。 3、=? dx 1cos 12 。本大题共3小题，每小题3分，总计 9分） 1、设A x x ax x x =-+--→1 4lim 231，则必有答( ) 2、设211)(x x f -=，则)(x f 的一个原函数为答( ) 3、设f 为连续函数，又，?=x e x dt t f x F 3)()(则=')0(F 答( ) 2小题，每小题5分，总计10分） 1、求极限x e e x x x cos 12lim 0--+-→。

2、x y 2ln 1+=,求y '。 3小题，每小题8分，总计24分） 1、讨论?? ???=≠=0,00arctan )(2 x x x x x f ，，在0=x 处的可导性。 2、设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(0≤≤x f ，证明：至少存在一点]1,0[∈ξ，使得 ξξ=)(f 。 3、证明不等式：当4>x 时，22x x >。 3小题，每小题8分，总计24分） 1、求函数x e y x cos =的极值。 2、求不定积分? x x x d cos sin 3。 3、计算积分?-+-+2222)cos 233(ln sin ππdx x x x x 。 4小题，每小题6分，总计24分） 1、求不定积分? +)1(10x x dx 。 2、计算积分?+πθθ4 30 2cos 1d 。 3、求抛物线221x y = 被圆822=+y x 所截下部分的长度。 4、求微分方程''-'-=++y y y x e x 2331的一个特解。

大一微积分期末试卷及答案

微积分期末试卷一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（　）。Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（　）Ａ高阶无穷小Ｂ低阶无穷小Ｃ等价无穷小Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　）Ａ连续点Ｂ可去间断点Ｃ跳跃间断点Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（） n 1 X cos n = 2 00000001( ) 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（）Ａ仅有水平渐近线Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 二、填空题 1d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２２１１、（）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为：ｘ２３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ｘ５、若则的值分别为：ｘ＋2x-3

1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11(1)()1m lim lim 2 (1)(3)3477,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 三、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（） 2、0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（） 5、设函数ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 20lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求解：332233 33232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限

清华大学微积分习题(有答案版)

第十二周习题课一．关于积分的不等式 1．离散变量的不等式（1） Jensen 不等式：设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数，则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ，有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ （2）广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ，有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时，就是AG 不等式。（3） Young 不等式：由（2）可得设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，q y p x y x q p +≤1 1 。（4） Holder 不等式：设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ，则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在（3）中，令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。（5） Schwarz 不等式： 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。（6） Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明： ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1

清华大学微积分试题库完整

(3343)．微分方程0cos tan =-+'x x y y 的通解为 x C x y cos )(+=。 (4455)．过点)0,2 1(且满足关系式11arcsin 2 =-+ 'x y x y 的曲线方程为 21arcsin - =x x y 。 (4507)．微分方程03='+''y y x 的通解为 2 2 1x C C y + =。 (4508)．设)(),(),(321x y x y x y 是线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解，且 C x y x y x y x y ≠--) ()() ()(1312，则该微分方程的通解为 )())()((())()((1132121x y x y x y C x y x y C y +-+-=。 (3081)．设x e x y x y -++=+=22213,3是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应齐次方程的一个解为x y =3，则该微分方程的通解为x e C x C x y -+++=212 3。 (4725)．设出微分方程x e xe x y y y x x 2cos 32++=-'-''-的一个特解形式 )2sin 2cos ()(*x F x E e e D Cx x B Ax y x x +++++=-。 (4476)．微分方程x e y y y =+'-''22的通解为 )sin cos 1(21x C x C e y x ++=。 (4474)．微分方程x e y y 24=-''的通解为 x x e x C e C y 222141??? ? ? ++=-。 (4477)．函数x C x C y 2s i n 2c o s 21+=满足的二阶线性常系数齐次微分方程为04=+''y y 。 (4532)．若连续函数)(x f 满足关系式 2ln )2 ()(20 +=? x dt t f x f ，则=)(x f 2ln 2x e 。 (6808)．设曲线积分 ?--L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关，其中)(x f 具有一阶连续导数，且0)0(=f ，则)(x f 等于[ ] (A) )(2 1x x e e --。 (B) )(21 x x e e --。

AP 微积分BC 选择题样卷一

AP Calculus Practice Exam BC Version - Section I - Part A Calculators ARE NOT Permitted On This Portion Of The Exam 28 Questions - 55 Minutes 1) Given Find dy/dx. a) b) c) d) e) 2) Give the volume of the solid generated by revolving the region bounded by the graph of y = ln(x), the x-axis, the lines x = 1 and x = e, about the y-axis. a) b) c) d) e) 3) The graph of the derivative of f is shown below.

Find the area bounded between the graph of f and the x-axis over the interval [-2,1], given that f(0) = 1. a) b) c) d) e) 4) Determine dy/dt, given that and a) b) c) d) e) 5) The function is invertible. Give the slope of the normal line to the graph of f -1 at x = 3. a) b) c) d)

e) 6) Determine a) b) c) d) e) 7) Give the polar representation for the circle of radius 2 centered at ( 0 , 2 ). a) b) c) d) e) 8) Determine a) b) c) d) e)

清华大学微积分题库

(3343)．微分方程0cos tan =-+'x x y y 的通解为 x C x y cos )(+=。 (4455)．过点)0,2 1(且满足关系式11arcsin 2 =-+ 'x y x y 的曲线方程为 21arcsin - =x x y 。 (4507)．微分方程03='+''y y x 的通解为 22 1x C C y + =。 (4508)．设)(),(),(321x y x y x y 是线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解，且 C x y x y x y x y ≠--) ()() ()(1312，则该微分方程的通解为 )())()((())()((1132121x y x y x y C x y x y C y +-+-=。 (3081)．设x e x y x y -++=+=22213,3是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应齐次方程的一个解为x y =3，则该微分方程的通解为x e C x C x y -+++=212 3。 (4725)．设出微分方程x e xe x y y y x x 2cos 32++=-'-''-的一个特解形式 )2sin 2cos ()(*x F x E e e D Cx x B Ax y x x +++++=-。 (4476)．微分方程x e y y y =+'-''22的通解为 )sin cos 1(21x C x C e y x ++=。 (4474)．微分方程x e y y 24=-''的通解为 x x e x C e C y 222141??? ? ? ++=-。 (4477)．函数x C x C y 2sin 2cos 21+=满足的二阶线性常系数齐次微分方程为 04=+''y y 。 (4532)．若连续函数)(x f 满足关系式 2ln )2 ()(20 +=? x dt t f x f ，则=)(x f 2ln 2x e 。 (6808)．设曲线积分 ?--L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关，其中)(x f 具有一阶连续导数，且0)0(=f ，则)(x f 等于[ ] (A) )(2 1x x e e --。 (B) )(21 x x e e --。

清华大学第二学期高等数学期末考试模拟试卷及答案

清华大学第二学期期末考试模拟试卷一．填空题（本题满分30分，共有10道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中． 1. 设向量AB 的终点坐标为()7,1, 2-B ，它在x 轴、y 轴、z 轴上的投影依次为4、4-和7，则该向量的起点A 的坐标为___________________________． 2. 设a 、b 、c 都是单位向量，且满足0 =++c b a ，则=?+?+?a c c b b a _____________________________． 3. 设()()xy xy z 2cos sin +=，则 =??y z _____________________________． 4. 设y x z =，则=???y x z 2___________________． 5. 某工厂的生产函数是),(K L f Q =，已知⑴. 当20,64==K L 时， 25000=Q ；（2）当20,64==K L 时，劳力的边际生产率和投资的边际生产率为270='L f ，350='K f 。如果工厂计划扩大投入到24,69==K L ，则产量的近似增量为_______________ 6. 交换积分顺序，有()=?? --2 21 , y y y dx y x f dy _____________________________． 7. 设级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，且 u u n n =∑∞ =1 ，则级数()=+∑∞ =+1 1n n n u u __________． 8. -p 级数 ∑∞ =1 1 n p n 在p 满足_____________条件下收敛． 9. 微分方程x x y sin +=''的通解为=y ______________________．

清华大学微积分A(1)期中考试样题

一元微积分期中考试答案一．填空题（每空3分，共15题） 1. e 1 2。21 3. 31 4。3 4 5. 1 6．第一类间断点 7。()dx x x x ln 1+ 8。 22sin(1)2cos(1)x x x e ++ 9。 0 10。11?????? ?+x e x 11．x x ne xe + 12。13 13。0 14。)1(223 +? =x y 15． 13y x =+ 二．计算题 1. 解：,)(lim ,0)(lim 00b x f x f x x ==+?→→故0=b 。 …………………3分 a x f x f f x =?=′? →?)0()(lim )0(0 …………………3分 1)0()(lim )0(0=?=′+→+x f x f f x …………………3分 1=a 故当1=a ，0=b 时，)(x f 在),(+∞?∞内可导。 …………………1分 2. 解：=?+∞→])arctan ln[(lim ln /12x x x πx x x ln )arctan ln(lim 2?+∞→π = x x x x /1arctan ) 1/(1lim 22?+?+∞→π …………罗比达法则…………4分 =x x x x arctan )1/(lim 2+?++∞→π = )1/(1)1/()1(lim 2222x x x x ++?+∞→ = 2211lim x x x +?+∞→ = 1? ………………………4分所以，原极限=1?e ………………………………………………………………………2分 3．解：)'1)((''y y x f y ++= ，故 1) ('11)('1)(''?+?=+?+=y x f y x f y x f y ；……4分 3 2)]('1[)('')]('1[)'1)((''''y x f y x f y x f y y x f y +?+=+?++= …………………………………………6分 4.解：

微积分期末试卷及答案

一、填空题(每小题3分,共15分) 1、已知2 )(x e x f =,x x f -=1)]([?,且0)(≥x ?,则=)(x ? . 答案：)1ln(x - 王丽君解：x e u f u -==1)(2 ,)1ln(2x u -=,)1ln(x u -=. 2、已知a 为常数,1)12 ( lim 2=+-+∞→ax x x x ,则=a . 答案：1 孙仁斌解：a x b a x ax x x x x x x x -=+-+=+-+==∞→∞→∞→1)11(lim )11( 1lim 1lim 022. 3、已知2)1(='f ,则=+-+→x x f x f x ) 1()31(lim . 答案：4 俞诗秋解：4)] 1()1([)]1()31([lim 0=-+--+→x f x f f x f x

4、函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的拐点数为 . 答案：2 俞诗秋解：)(x f '有3个零点321,,ξξξ:4321321<<<<<<ξξξ, )(x f ''有2个零点21,ηη:4132211<<<<<<ξηξηξ, ))((12)(21ηη--=''x x x f ,显然)(x f ''符号是：＋,－,＋,故有2个拐点. 5、=? x x dx 22cos sin . 答案：C x x +-cot tan 张军好解：C x x x dx x dx dx x x x x x x dx +-=+=+=????cot tan sin cos cos sin sin cos cos sin 22222222 . 二、选择题(每小题3分,共15分) 答案： 1、 2、 3、 4、 5、。 1、设)(x f 为偶函数,)(x ?为奇函数,且)]([x f ?有意义,则)]([x f ?是 (A) 偶函数； (B) 奇函数； (C) 非奇非偶函数； (D) 可能奇函数也可能偶函数. 答案：A 王丽君 2、0=x 是函数??? ??=≠-=.0 ,0 ,0 ,cos 1)(2x x x x x f 的 (A) 跳跃间断点； (B) 连续点； (C) 振荡间断点； (D) 可去间断点. 答案：D 俞诗秋

关于清华大学高等数学期末考试

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清华大学 2010-2011学年第一学期期末考试试卷（A 卷）考试科目：高等数学A （上）考试班级： 2010级工科各班考试方式：闭卷命题教师：一. 9分） 1、若在) ,(b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ，二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调，曲线是的。 2、设?????+=+=232322t t y t t x 确定函数)(x y y =，求=22dx y d 。 3、=? dx 1cos 12 。本大题共3小题，每小题3分，总计 9分） 1、设A x x ax x x =-+--→1 4lim 231，则必有答( ) 2、设211)(x x f -=，则)(x f 的一个原函数为答( ) 3、设f 为连续函数，又，?=x e x dt t f x F 3)()(则=')0(F 答( ) 2小题，每小题5分，总计10分） 1、求极限x e e x x x cos 12lim 0--+-→。

清华大学一元微积分期末考题答案

一．填空题（每空3分，共15空）（请将答案直接填写在横线上！） 1. =-?dx x x 2)1(ln 答案：C x x x x +--+-ln |1|ln 1ln 2. ? =+x dx 2cos 1 。答案： C x +?? ? ??tan 21arctan 21 3. =? +∞ 1 2 arctan dx x x 解： 22 ln 4)1(arctan arctan 121 1 2+=++-=?? ∞++∞ ∞+πx x dx x x dx x x 4.C x dx x xf +=?arctan )(，则 =? dx x f ) (1 。答案：C x x ++4 24 2 5. =++?-dx x x x 2 22sin 1cos )1(π π 。答案： 2 π 6. =?? ? ???22x x t dt e dx d 。答案：2 4 2x x e xe - 7. 设)(x f 为连续函数，0)0(≠f ，? =x dt t f t x F 0 2 )()(，当0→x 时，)(x F 与k x 是同阶无穷小，则=k 。答案：3 8. 将22 (3)1x y -+=绕y 轴转一圈，则所得图形围成的体积为。答案：2 6π 9. 设0>m ，且广义积分? +∞ +0 m x x dx 收敛，则m 的范围为答案：1>m

10．幂级数∑∞ =-+1 2)5(2n n n n x 的收敛域为。答案：)5,5(- 11. 级数 ∑ ∞ +=-1 1 sin )1(n p n n n 条件收敛，则参数p 的范围为。答案：01≤<-p 12.在00=x 点，函数 ? -x t dt e 0 2 的幂级数展开为答案：∑+∞ =++-0 1 2)12(!)1(n n n n n x ，?∈x 13.'x x y y e e ++=，的通解是。答案：ln 1y y x e e e C =++ 14.0)2(=-+dx y x xdy 满足0)1(=y 的解为。答案：2 x x y -= 15. 初值问题()? ??='=='+''0)0(,1)0(0 22y y y x y 的解为。答案：1=y 二．计算题（每题10分，共40分） 1．求p 的范围，使得1sin ln p dx x x π∞?收敛解：???∞+∞+=2211ln sin ln sin ln sin x dx x x dx x x dx x p p p πππ， 1x =附近，p p x x x x )1(1 11~ln 1sin -?? ? ??-ππ ，所以仅当20p ->时?21ln sin x dx x p π收敛 ……………………………………………….5分 x x x x x p p ln ~ln 1sin ,π π +∞→对任意的p 成立,所以只需要考虑广义积分2ln p dx x x π∞?

清华大学高等数学期末考试

... 清华大学 2010- 2011 学年第一学期期末考试试卷（ A 卷）考试科目：高等数学A（上）考试班级：2010 级工科各班考试方式：闭卷命题教师：大题一二三四五六总分得分得分评卷人一 . 填空题（将正确答案填在横线上。本大题共 3 小题，每小题 3 分，总计 9 分） 1、若在( a, b)内，函数f ( x)的一阶导数 f (x)0 ，二阶导数 f ( x) 0 ,则函数 f (x) 在此区间内单调，曲线是的。 x t 22t 2确定函数 y d 2 y 2、设 2t 3 3t y(x) ，求2。 y dx 3、12cos 1 dx。 x x 得分评卷人二. 单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中。本大题共 3 小题，每小题 3 分，总计 9 分）

... x 3 ax 2 x 4 1、设 lim x 1 A ，则必有 x 1 ( A)a 2， A 5 ; (B)a 4， A 10 ; (C )a 4， A 6 ; (D ) a 4，A 10 . 答 ( ) 2、设 f ( x) 1 ，则 f (x) 的一个原函数为 2 1 x ( A) arcsin x (B) arctanx 1 1 x 1 1 x (C ) ln 1 x (D) ln x 2 2 1 答 ( ) e x 3、设 f 为连续函数，又， F ( x) x 3 f (t) dt 则 F (0) ( A) e (B) f (1) (C)0 (D ) f (1) f (0) 答 ( ) 得分评卷人三 . 解答下列各题（本大题共 2 小题，每小题 5分，总计 10分） 1、求极限 lim e x e x 2 。 x 0 1 cos x 2、 y 1 ln 2 x , 求 y 。

清华大学微积分学期中考试试卷

2006级微积分（二）期中考试试卷院系_________ 班级_____________ 姓名____________ 学号__________ 一、填空题（每小题4分，共24分） 1．同时垂直于矢量{}1,2,1和矢量{}1,2,1-的单位矢量为 _____________。 2．用参数方程?????+=+-==t z t y x 2311 表示的直线L 的点向式方程为_________________。 3．曲线:L ???=+=01 2x y z 绕z 轴旋转的旋转曲面在点P )3,1,1(处的切平面方程为（化简为一般方程）。 4．函数32),,(z xy z y x f =在点)1,1,1(P 处的微分P df =________________。 5．设 y x x y e x z xy arctan )2(sin 5-+?=π 。则函数),(y x z 在点)1,2(P 的偏导数=??P x z 。 6．逐次积分 ??2 0104x xdy dx 的值 = 。二、选择题（每小题4分，共16分） 7．关于函数),(y x f 在点),(b a P 的性态，下列结论中不对的是（） A ．在点),(b a P 的偏导数),(b a f x '存在推不出沿方向{}0,1的方向导数存在； B ．在点),(b a P 沿方向{}0,1的方向导数存在推不出偏导数),(b a f x '存在； C ．在点),(b a P 的两个偏导数存在推不出在点),(b a P 连续；

D ．在点),(b a P 连续推不出在点),(b a P 的两个偏导数存在。 8．在空间直角坐标系中，方程 053=+y x 表示的几何对象为（） A ．通过原点的直线； B ．Oxy 平面上的直线； C ．垂直于Oz 轴的平面； D ．包含Oz 轴的平面。 9．函数3xy z =在原点处的函数值（） A ．是极小值； B ．是极大值； C ．不是极值 D ．无法判定是否为极值。 10．关于函数),(y x f z = 在约束条件0),(=y x g （),(y x f ，),(y x g 处处可微）下的极值点),(00y x P 的可能范围，合理的描述为（） A ．完全包含在曲线0),(=y x g 与等值线c y x f =),(相切的切点集合中； B ．完全包含在曲线0),(=y x f 与等值线c y x g =),(相切的切点集合中； C ．完全包含在使得偏导数),(),,(y x f y x f y x 都为零的驻点集合中； D ．以上三个结论都不对。三、计算下列各题（每小题6分，总分48分） 11．设)()3,(xy y y x x f z ?++=，?,f 具有二阶连续导数，求y x z ???2

清华大学 2016-2017学年第2 学期高等数学A期末考试试卷

清华大学高等数学A 期末考试试卷 2016~2017学年第2 学期考试科目：高等数学A 考试类型：（闭卷）考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足条件时级数条件收敛。二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是（） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy = 2．求极限 (,)(0,0)lim x y →= （） A ． 14 B ．12- C ．1 4 - D ．12 3 ．直线: 327 x y z L ==-和平面:327 80x y z π-+-=的位置关系是（） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上

C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤，则D σ= （） A ．33()2 b a π - B ．332()3b a π- C ．334()3b a π- D ．333()2b a π- 5．下列级数收敛的是（） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1121n n ∞=-∑ D ．1 n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22{(,)1,1}D x y x y x y =+≤+≥。 3．设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数，求z z x y ??+??。

清华大学微积分三机考题库

第五部分多元函数微分学 [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A

清华大学微积分期末试题

期末样题参考解答一、填空题（15空45分，答案直接填写在横线上） 1．积分? ?x dy xy f dx 0 3 )(在极坐标下的累次积分为。答案：? ?=θ πθθθ cos 30 240 )sin cos (rdr r f d 2．设平面闭域}1|||| :),{(≤+=y x y x D ，则积分 ()=+??D dxdy yx x )sin(12 。答案：2==??D dxdy 3．已知函数),(y x f 在{}10 ,10 :),(≤≤≤≤=y x y x D 上具有连续偏导数，且 x x f cos 2)1,(=，??=D dxdy y x f 1),(，则??=??D dxdy y y x f y ) ,( 。答案：11sin 2- 4．计算积分值?? =-1 ) 1ln(y y dx x x dy 。答案：???-=--=-=101 041 )1ln()1()1ln(2 dx x x dy x x dx x x 5. 设}2: ),,{(22≤≤+=Ωz y x z y x ，则=++???Ω dxdydz z y x )( 。答案：ππθπ 4222 3 02 020====???????Ωdz z zrdr dz d zdxdydz z 6. 设L 是xy 平面上以)1,1(),1,1(),1,1(--C B A 为顶点的三角形周边构成的曲线，则第一型曲线积分=-? L ds y x )(22 。答案：0 7. 设S 为上半球面222y x R z --= ，则第一型曲面积分 =++??S dS z y x )( 。答案：32 22R dxdy z R z zdS R y x S π== =?? ??≤+ 8. 设L 为xy 平面上的曲线10,2 ≤≤=x e y x ，起点为)1,0(，终点为),1(e ，则第二型曲线积分 =+?L ydy xdx 。

清华大学《大学物理》题库及答案03相对论

一、选择题 1．4351：宇宙飞船相对于地面以速度v 作匀速直线飞行，某一时刻飞船头部的宇航员向飞船尾部发出一个光讯号，经过?t (飞船上的钟)时间后，被尾部的接收器收到，则由此可知飞船的固有长度为 (c 表示真空中光速) (A) c ·?t (B) v ·?t (C) (D) ［］ 2．4352一火箭的固有长度为L ，相对于地面作匀速直线运动的速度为v 1，火箭上有一个人从火箭的后端向火箭前端上的一个靶子发射一颗相对于火箭的速度为v 2的子弹。在火箭上测得子弹从射出到击中靶的时间间隔是：(c 表示真空中光速) (A) (B) (C) (D) ［］ 3．8015：有下列几种说法：(1) 所有惯性系对物理基本规律都是等价的；(2) 在真空中，光的速度与光的频率、光源的运动状态无关；(3) 在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向的传播速率都相同。若问其中哪些说法是正确的，答案是 (A) 只有(1)、(2)是正确的 (B) 只有(1)、(3)是正确的 (C) 只有(2)、(3)是正确的 (D) 三种说法都是正确的［］ 4．4164：在狭义相对论中，下列说法中哪些是正确的？ (1) 一切运动物体相对于观察者的速度都不能大于真空中的光速 (2) 质量、长度、时间的测量结果都是随物体与观察者的相对运动状态而改变的 (3) 在一惯性系中发生于同一时刻，不同地点的两个事件在其他一切惯性系中也是同时发生的 (4)惯性系中的观察者观察一个与他作匀速相对运动的时钟时，会看到这时钟比与他相对静止的相同的时钟走得慢些 (A) (1)，(3)，(4) (B) (1)，(2)，(4) (C) (1)，(2)，(3) (D) (2)，(3)，(4) ［］ 5．4169在某地发生两件事，静止位于该地的甲测得时间间隔为4 s ，若相对于甲作匀速直线运动的乙测得时间间隔为5 s ，则乙相对于甲的运动速度是(c 表示真空中光速) (A) (4/5) c (B) (3/5) c (C) (2/5) c (D) (1/5) c ［］ 6．4356：一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行。如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度应是：(c 表示真空中光速) (A) v = (1/2) c (B) v = (3/5) c (C) v = (4/5) c (D) v = (9/10) c ［］ 7．4358：K 系与K ＇系是坐标轴相互平行的两个惯性系，K ＇系相对于K 系沿Ox 轴正方向匀速运动。一根刚性尺静止在K ＇系中，与O 'x '轴成 30°角。今在K 系中观测得该尺与Ox 轴成 45°角，则K ＇系相对于K 系的速度是： (A) (2/3)c (B) (1/3)c (C) (2/3)1/2c (D) (1/3)1/2c ［］ 8．4359：(1)对某观察者来说，发生在某惯性系中同一地点、同一时刻的两个事件，对于相对该惯性系作匀速直线运动的其它惯性系中的观察者来说，它们是否同时发生？(2)在某惯性系中发生于同一时刻、不同地点的两个事件，它们在其它惯性系中是否同时发生？关于上述两个问题的正确答案是： (A) (1)同时，(2)不同时 (B) (1)不同时，(2)同时 (C) (1)同时，(2)同时 (D) (1)不同时，(2)不同时［］ 9．4355：边长为a 的正方形薄板静止于惯性系K 的Oxy 平面内，且两边分别与x ，y 轴平行。今有惯性系K ＇以 0.8c （c 为真空中光速）的速度相对于K 系沿x 轴作匀速直线运动，则从K ＇系测得薄板的面积为 2)/(1c t c v -??2)/(1c t c v -???21v v +L 2v L 12v v -L 211)/(1c L v v -

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