高中数学选修2-2 定积分的简单应用
[学习目标] 1.理解定积分的几何意义，会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积.2.掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法.3.通过具体实例了解定积分在物理中的应用，会求变速直线运动的路程和变力做功的问题.
知识点一 定积分在求几何图形面积方面的应用
1.求由一条曲线y ＝f (x )和直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )及y ＝0所围成的平面图形的面积S . (1)如图①，f (x )＞0，??a b f (x )d x ＞0，所以S ＝??a
b f (x )d x .
(2)如图②，f (x )＜0，??a
b f (x )d x ＜0，所以S ＝????
?
?a
b
f (x )d x
＝－??a
b f (x )d x .
(3)如图③，当a ≤x ≤c 时，f (x )≤0，??a c f (x )d x ＜0；当c ≤x ≤b 时，f (x )≥0，??a
b f (x )d x ＞0.所以
S ＝????
?
?a
c
f (x )d x ＋??c
b f (x )d x ＝－??a
c f (x )
d x ＋?
?c
b
f (x )d x .
2.求由两条曲线f (x )和g (x )(f (x )＞g (x ))，直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )所围成平面图形的面积S . (1)如图④，当f (x )＞g (x )≥0时，S ＝??a
b [f (x )－g (x )]d x .
(2)如图⑤，当f (x )＞0，g (x )＜0时，S ＝??a
b f (x )d x ＋????
?
?a
b
g (x )d x ＝?
?a
b
[f (x )－g (x )]d x .
3.当g (x )＜f (x )≤0时，同理得S ＝??a
b [f (x )－g (x )]d x .
思考 (1)怎样利用定积分求不分割型图形的面积？ (2)当f (x )<0时，f (x )与x 轴所围图形的面积怎样表示？
答案 (1)求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可.
(2)如图，因为曲边梯形上边界函数为g (x )＝0，下边界函数为f (x )，所以 S ＝??a b (0－f (x ))d x ＝－??a
b f (x )d x .
4.利用定积分求平面图形面积的步骤：
(1)画出图形：在平面直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；
(2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标(或纵坐标)，确定积分上、下限； (3)确定被积函数；
(4)写出平面图形面积的定积分表达式；
(5)利用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积，写出答案. 知识点二 定积分在物理中的应用 1.在变速直线运动中求路程、位移
路程是位移的绝对值之和，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b 所经过的路程s 和位移s ′分别为： (1)若v (t )≥0，则s ＝??a b v (t )d t ，s ′＝??a
b v (t )d t .
(2)若v (t )≤0，则s ＝－??a b v (t )d t ，s ′＝??a
b v (t )d t .
(3)若在区间[a ，c ]上v (t )≥0，在区间[c ，b ]上v (t )<0， 则s ＝??a c v (t )d t －??c b v (t )d t ，s ′＝??a
b v (t )d t .
2.定积分在物理中的应用
(1)做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即s ＝??a
b v (t )d t .
(2)一物体在恒力F (单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s (单位：m)，则力F 所做的功为W ＝Fs ；而若是变力所做的功W ，等于其力函数F (x )在位移区间[a ，b ]上的定积分，即W ＝??a
b F (x )d x .
思考 下列判断正确的是 .
(1)路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念； (2)利用定积分求变速直线运动的路程和位移是同一个式子??t 1t 2v (t )d t ；
(3)利用定积分求变速直线运动的路程和位移不是同一个式子??t 1t 2v (t )d t .
答案 (1)(3)
解析 (1)显然正确.对于(2)(3)两个判断，由于当v (t )≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用??t 1t 2v (t )d t 求解；当v (t )<0时，求某一时间段内的位移用??t 1t 2v (t )d t 求解，这一时段的路程
是位移的相反数，即路程为 －??t 1
t 2v (t )d t .所以(2)错(3)正确.
题型一 利用定积分求平面图形的面积问题
例1 求由抛物线y 2＝x
5
，y 2＝x －1所围成图形的面积.
解 在同一个平面直角坐标系上画出两个抛物线的大致图形，如图.
方法一 以x 为积分变量.
由?????
y 2＝x 5，y 2＝x －1，
得两个抛物线的两个交点坐标分别为A ????54，12，B ????54
，－1
2. 设点P (1,0)，则所求面积S ＝2? ??
?????0
54
x 5d x －??
?1
54
x －1d x
＝2()3
5
53
24420
3
12
x x ?--?????
＝2
3. 方法二 以y 为积分变量.
由?????
y 2＝x 5，y 2＝x －1，
可得两个抛物线的两个交点坐标分别为A ????54，12，B ????54
，－1
2. 设点P (1,0)，则所求面积S ＝2??
?0
1
2
(y
2＋1－5y 2)d y
＝2????y －43y 3????
120
＝2
3
. 反思与感悟 若以x 为积分变量，则被积函数的原函数不易确定，而且计算也比较麻烦；若以y 为积分变量，则可以避免这种情况.选取积分变量有时对解题很关键.
跟踪训练1 在曲线y ＝x 2(x ≥0)上的某一点A 处作一切线，使之与曲线以及x 轴所围成图形的面积为1
12
.试求：切点A 的坐标和过切点A 的切线方程.
解 如图所示，设切点A (x 0，y 0)，由y ′＝2x 得过A 点的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20.
令y ＝0，得x ＝x 0
2
即C ????x 02，0. 设由曲线和过A 点的切线及x 轴所围成图形的面积为S ，则S ＝S 曲边△AOB －S △ABC . S 曲边△AOB ＝
x ?
x 2d x ＝13x 3???
x 00＝13x 30
，
S △ABC ＝12|BC |·|AB |＝1
2????x 0－x 02·x 20＝14x 30， 即S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝1
12，所以x 0＝1. 从而切点为A (1,1)，切线方程为y ＝2x －1 题型二 运用定积分求解物理问题
例2 一点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(m/s)运动，求： (1)此点在t ＝4 s 时的位置； (2)此点在t ＝4 s 时运动的路程.
解 因为位置决定于位移，所以它是v (t )在[0,4]上的定积分，而路程是位移的绝对值之和，所以需要判断在[0,4]上哪些时间段的位移为负. (1)在t ＝4 s 时，该点的位移为
?
?0
4(t 2
－4t ＋3)d t ＝????13t 3－2t 2＋3t ???
4
0＝43(m). 即在t ＝4 s 时该点在距出发点4
3 m 处.
(2)∵v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)， ∴在区间[0,1]及[3,4]上，v (t )≥0，
在区间[1,3]上，v (t )≤0， ∴该点在t ＝4 s 时的路程为
S ＝??0
1(t 2－4t ＋3)d t ＋??????13(t 2
－4t ＋3)d t ＋?
?3
4(t 2－4t ＋3)d t ＝??01(t 2－4t ＋3)d t －??13(t 2－4t ＋3)d t ＋??3
4(t 2－4t ＋3)d t ＝4(m).
反思与感悟 解决此类问题的一般步骤：(1)求出每一时间段上的速度函数；(2)根据定积分的物理意义，求出对应时间段上的定积分.
跟踪训练2 有一辆汽车以每小时36 km 的速度沿平直的公路行驶，在B 处需要减速停车.设汽车以2 m/s 2的加速度刹车，问：从开始刹车到停车，汽车行驶了多远？ 解 设从开始刹车到停车，汽车经过了t s. v 0＝36 km /h ＝10 m/s ，v (t )＝v 0－at ＝10－2t . 令v (t )＝0，解得t ＝5.
所以从开始刹车到停车，汽车行驶的路程为s ＝??0
5
(10－2t )d t ＝(10t －t 2
)???
5
0＝25(m).
故从开始刹车到停车，汽车行驶了25 m. 题型三 用定积分解决变力做功问题
例3 设有一个长为25 cm 的弹簧，若加以100 N 的力，则弹簧伸长到30 cm ，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功.
解 设x 表示弹簧伸长的长度，f (x )表示加在弹簧上的力，则f (x )＝kx (其中常数k 为比例系数).
因为当f (x )＝100时，x ＝5，所以k ＝20. 所以f (x )＝20x .
弹簧由25 cm 伸长到40 cm 时，弹簧伸长的长度x 从0 cm 变化到15 cm ，故所做的功
W ＝??0
15
20x d x ＝10x 2
???
15
0＝2 250(N·cm)＝22.5(J).
反思与感悟 (1)根据物理学知识，求出变力f (x )的表达式；(2)由功的物理意义知，物体在变力f (x )的作用下，沿力的方向做直线运动，使物体由一个位置移到另一个位置，因此，求功之前应先求出位移的起始位置和终止位置；(3)根据变力做功的公式W ＝??a
b f (x )d x 求出变力所
做的功.
跟踪训练3 如图所示，设气缸内活塞一侧存在一定量气体，气体做等温膨胀时推动活塞向右移动一段距离，若气体体积由V 1变为V 2，求气体压力所做的功.
解 由物理学知识知，气体膨胀为等温过程，所以气体压强为P ＝C
V (V 表示气体体积，C 为
常数)，而活塞上的压力为F ＝PQ ＝CQ V ＝C
L (Q 表示截面积，L 表示活塞移动的距离，V ＝LQ ).
记L 1，L 2分别表示活塞的初始位置和终止位置，于是有W ＝??L 1L 2F (L )d L ＝??L 1L 2C L d L ＝C ??V 1V 21
V d V
＝C (ln V )???
V 2
V 1 ＝C (ln V 2－ln V 1).
所以气体体积由V 1变为V 2，气体压力所做的功为C (ln V 2－ln V 1).
用定积分求平面图形面积时，因对图形分割不当致误
例4 求由抛物线y 2＝8x (y ＞0)与直线x ＋y －6＝0及y ＝0所围成图形的面积. 错解 由题意，作出图形如图
由????? y 2＝8x (y ＞0)，x ＋y －6＝0得?????
x ＝2，y ＝4，
所以抛物线y 2＝8x (y ＞0)与直线x ＋y －6＝0的交点坐标为(2,4)，
所以所求面积为S ＝??0
4(6－x －8x )d x
＝3
242012623x x x ??-- ??
?
＝24－8－423×3
24＝16－322
3.
错因分析 S ＝?
?04(6－x －8x )d x ＝??04(6－x )d x －??0
48x d x .
??04(6－x )d x 表示由直线y ＝6－x 与直线x ＝0，直线x ＝4，直线y ＝0围成的图形的面积，??04
8x d x 表示由抛物线y 2＝8x (y ＞0)与直线x ＝0，直线x ＝4，直线y ＝0围成的图形的面积.上述S 显然不是所求图形的面积.
正解 S ＝??0
28x d x ＋?
?2
6(6－x )d x
＝3223x ???
??? 20＋????6x －12x 2???
6
2 ＝163＋??????
??6×6－12×62－????6×2－12×22 ＝163＋8＝40
3
. 防范措施 合理划分积分上、下限及正确选择积分变量，最好结合图形进行处理.
1.在下面所给图形的面积S 及相应表达式中，正确的有( )
S ＝??b
a [f (x )－g (x )]d x S ＝?
?0
8(22x －2x ＋8)d x
① ②
S ＝??1
4f (x )d x －??4
7f (x )d x S ＝??0
a [g (x )－f (x )]d x ＋?
?a
b [f (x )－g (x )]d x
③ ④
A.①③
B.②③
C.①④
D.③④
答案 D
解析 ①应是S ＝??a
b [f (x )－g (x )]d x ，②应是
S ＝??0822x d x －??4
8(2x －8)d x ，③和④正确.故选D.
2.曲线y ＝cos x (0≤x ≤3
2π)与坐标轴所围图形的面积是( )
A.2
B.3
C.5
2 D.4
答案 B
解析 S ＝???0π
2cos x d x －????
π2
3π2cos x d x ＝sin x ????
π
2
0- sin x ???
3π
2
π2
＝sin π2－sin 0－ sin 3π2＋sin π
2
＝1
－0＋1＋1＝3.
3.一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t ，则列车刹车后前进多少米才能停车
( )
A.405
B.540
C.810
D.945 答案 A
解析 停车时v (t )＝0，由27－0.9t ＝0，得t ＝30， ∴s ＝??030
v (t )d t ＝??0
30
(27－0.9t )d t ＝(27t －0.45t 2
)??
30
0＝405. 4.由曲线y ＝x 2＋4与直线y ＝5x ，x ＝0，x ＝4所围成平面图形的面积是 . 答案
19
3
解析 由图形可得
S ＝??01(x 2＋4－5x )d x ＋??1
4(5x －x 2－4)d x
＝
????13x 3＋4x －52x 2??? 1
0＋
????52x 2－13x 3－4x ???
4
1 ＝13＋4－52＋52×42－13×43－4×4－52＋13＋4 ＝193
. 5.一个弹簧压缩x cm 可产生4x N 的力，把它从自然长度压缩到比自然长度短5 cm ，求弹簧克服弹力所做的功. 解 设F (x )＝kx ，
∵弹簧压缩x cm 可产生4x N 的力，∴k ＝4. ∴弹簧克服弹力所做的功为
W ＝4?
?0
5x d x ＝4×
????12x 2???
5
0＝50(N·cm)＝
0.5(J).
1.利用定积分求平面图形面积的一般步骤：
(1)在平面直角坐标系中画出图形；(2)通过解方程求出交点坐标；(3)写出平面图形面积的定积分表达式，当被求平面区域较复杂时，可分割求和；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积. 2.路程问题.
(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键.(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算. 3.变力做功问题.
(1)变力做功问题，首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键一步.(2)根据变力做功的公式，将其转化为求定积分的问题.
一、选择题
1.用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( )
A. ??a
c f (x )
d x
B.??????a c
f (x )d x C. ??a b f (x )d x ＋??b
c f (x )
d x
D.??b c f (x )d x －??a
b f (x )d x
答案 D
解析 ∵x ∈[a ，b ]时， f (x )<0，x ∈[b ，c ]时，f (x )>0，
∴阴影部分的面积S ＝??b c f (x )d x －??a
b f (x )d x .
2.一物体沿直线以v ＝2t ＋1 (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)的速度运动，则该物体在1～2 s 间行进的路程为( ) A.1 m B.2 m C.3 m D.4 m
解析 s ＝
?
?1
2(2t ＋1)d t ＝(t 2
＋t )???
2
1
＝4(m). 3.一物体从A 处向B 处运动，速度为1.4t m /s(t 为运动的时间)，到B 处时的速度为35 m/s ，则AB 间的距离为( ) A.120 m B.437.5 m C.360 m D.480 m
答案 B
解析 从A 处到B 处所用时间为25 s.所以|AB |＝??0
251.4t d t ＝0.7t 2??
?
25
＝437.5 (m).
4.若y ＝f (x )与y ＝g (x )是[a ，b ]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面区域的面积为( ) A.??a
b [f (x )－g (x )]d x
B.??a b [g (x )－f (x )]d x
C.??a
b |f (x )－g (x )|d x
D.????
?
?a
b
[f (x )－g (x )]d x
答案 C
解析 当f (x )＞g (x )时，所求面积为??a b [f (x )－g (x )]d x ；当f (x )≤g (x )时，所求面积为??a
b [g (x )－
f (x )]d x .综上，所求面积为??a
b |f (x )－g (x )|d x .
5.以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t s 时速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( ) A.160
3 m B.80
3 m C.40
3 m D.203
m 答案 A
解析 v ＝0时物体达到最高， 此时40－10t 2＝0，则t ＝2 s. 又∵v 0＝40 m/s ，∴t 0＝0 s.
∴h ＝?
?0
2(40－10t 2)d t ＝
????40t －103t 3???
2
0＝1603(m). 6.如果1 N 的力使弹簧伸长1 cm ，在弹性限度内，为了将弹簧拉长10 cm ，拉力所做的功为
A.0.5 J
B.1 J
C.50 J
D.100 J 答案 A
解析 由于弹簧所受的拉力F (x )与伸长量x 成正比，依题意，得F (x )＝x ，为了将弹簧拉长10 cm ，拉力所做的功为W ＝??0
10F (x )d x ＝?
?0
10x d x ＝
12x 2???
10
0＝50 (N·cm)＝0.5 (J).
二、填空题
7.由曲线y ＝x 与y ＝x 3所围成的图形的面积可用定积分表示为 . 答案 ?
?0
1(x －x 3)d x
解析 画出y ＝x 和y ＝x 3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，
解方程组???
y ＝x ，
y ＝x
3
得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为S ＝??01(x －x 3)d x .
8.有一横截面的面积为4 cm 2的水管控制往外流水，打开水管后t 秒末的流速为v (t )＝6t －t 2(单位：cm/s)(0≤t ≤6).则t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量为 cm 3. 答案 144
解析 由题意可得t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量V ＝??0
64(6t －t 2)d t ＝
4
??0
6(6t －t 2
)d t ＝4????3t 2－13t 3?
??
6
＝144 (cm 3).故t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量为144 cm 3. 9.如图所示，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m 处，则克服弹簧力所做的功为 J.
答案 1
2
kl 2
解析 在弹性限度内，拉伸(压缩)弹簧所需的力与弹簧拉伸(压缩)的长度成正比，即F (x )＝kx ，其中k 为比例系数.由变力做功公式得W ＝
??0l
kx d x ＝12kx 2???
10＝1
2
kl 2(J).
10.由两条曲线y ＝x 2，y ＝1
4
x 2与直线y ＝1围成平面区域的面积是 .
答案 43
解析 如图，y ＝1与y ＝x 2交点A (1,1)， y ＝1与y ＝x 2
4交点B (2,1)，由对称性可知面积
S ＝2? ????
??01x 2d x ＋??121d x －??0214x 2d x ＝43
.
三、解答题
11.求抛物线y ＝－x 2＋4x －3与其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积. 解 由y ′＝－2x ＋4得在点A 、B 处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y ＝2x －2和y ＝－2x ＋6，
由?
????
y ＝2x －2，
y ＝－2x ＋6，得两直线交点坐标为C (2,2)， ∴S ＝S △ABC －??1
3(－x 2＋4x －3)d x
＝12×2×2－
????－13x 3＋2x 2－3x ???
3
1＝2－43＝2
3
. 12.物体A 以速度v A ＝3t 2＋1(米/秒)在一直线上运动，同时物体B 也以速度v B ＝10t (米/秒)在同一直线上与物体A 同方向运动，问多长时间物体A 比B 多运动5米，此时，物体A ，B 运动的距离各是多少？
解 依题意知物体A ，B 均做变速直线运动.设a 秒后物体A 比B 多运动5米，则A 从开始到a 秒末所走的路程为s A ＝??0a v A d t ＝??0
a (3t 2＋1)d t ＝a 3＋a ；
B 从开始到a 秒末所走的路程为 s B ＝??0a v B d t ＝??0
a 10t d t ＝5a 2.
由题意得s A ＝s B ＋5，即a 3＋a ＝5a 2＋5，得a ＝5. 此时s A ＝53＋5＝130(米)，s B ＝5×52＝125(米).
故5秒后物体A 比B 多运动5米，此时，物体A ，B 运动的距离分别是130米和125米. 13.定义F (x ，y )＝(1＋x )y ，x ，y ∈(0，＋∞).令函数f (x )＝F (1，log 2(x 2－4x ＋9))的图象为曲线C 1，曲线C 1与y 轴交于点A (0，m )，过坐标原点O 作曲线C 1的切线，切点为B (n ，t )(n >0)，设曲线C 1在点A 、B 之间的曲线段与OA 、OB 所围成图形的面积为S ，求S 的值.
解 ∵F (x ，y )＝(1＋x )y ，
∴f (x )＝F (1，log 2(x 2－4x ＋9))＝2log 2(x 2－4x ＋9)＝x 2－4x ＋9，故A (0,9)，f ′(x )＝2x －4. 又∵过O 作C 1的切线，切点为B (n ，t )(n >0)， ∴?????
t ＝n 2
－4n ＋9，t n
＝2n －4，解得B (3,6).
∴S ＝?
?03(x 2－4x ＋9－2x )d x ＝
????13x 3
－3x 2＋9x ???
3
0＝9.
定积分的简单应用求体积
定积分的简单应用求体 积 Document number：BGCG-0857-BTDO-0089-2022
定积分的简单应用(二) 复习： （1） 求曲边梯形面积的方法是什么 （2） 定积分的几何意义是什么 （3） 微积分基本定理是什么 引入： 我们前面学习了定积分的简单应用——求面积。求体积问题也是定积分的一个重要应用。下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。 1. 简单几何体的体积计算 问题：设由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的平面图形（如图甲） 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为V ，如何求V 分析： 在区间[,]a b 内插入1n -个分点，使0121n n a x x x x x b -=<<<<<=，把曲线()y f x =（a x b ≤≤）分割成n 个垂直于x 轴的“小长条”，如图甲所示。设第i 个“小长条”的宽是1i i i x x x -?=-，1,2,,i n =。这个“小长条”绕x 轴旋转一周就得到一个厚度是i x ?的小圆片，如图乙所示。当i x ?很小时，第i 个小圆片近似于底面半径为()i i y f x =的小圆柱。因此，第i 个小圆台的体积i V 近似为2()i i i V f x x π=? 该几何体的体积V 等于所有小圆柱的体积和：
2221122[()()()]n n V f x x f x x f x x π≈?+?+ +? 这个问题就是积分问题，则有： 22()()b b a a V f x dx f x dx ππ==?? 归纳： 设旋转体是由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成，则所得到的几何体的体积为2()b a V f x dx π=? 2. 利用定积分求旋转体的体积 （1） 找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数 （2） 分清端点 （3） 确定几何体的构造 （4） 利用定积分进行体积计算 3. 一个以y 轴为中心轴的旋转体的体积 若求绕y 轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为y ，其公式为 2()b a V g y dy π=? 类型一：求简单几何体的体积 例1：给定一个边长为a 的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求它的体积 思路： 由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。 解：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为,x y 轴建立如图所示的平面直角 坐标系，如图:BC y a =。则该旋转体即为圆柱的体积为： 22300|a a V a dx a x a πππ=?==?
高二定积分的简单应用(理科)
年 级 高二 学科 数学 内容标题 定积分的简单应用（理科） 编稿老师 胡居化 一、教学目标 1. 能用定积分知识解决在物理学中的一些简单问题及求曲边图形的面积等问题 2. 体会数与形结合的思想、等价转化的数学思想的应用. 二、知识要点分析 1. 定积分在物理学中的简单应用 （1）变速直线运动的路程：作变速直线运动的物体在时间t=a 到时间t=b （a
（2）求曲边图形面积的一般步骤： （a ）画图，并将图形分割成若干个曲边梯形 （b ）对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上下限. （c ）确定被积函数 （d ）求出各曲边梯形的面积和，即各种定积分的绝对值之和. 【典型例题】 知识点一：定积分在物理学中的简单的应用 例1：一物体在力F ?? ?>+≤≤=) 2(,43) 20(,10)(x x x x （单位：N ）的作用下沿力F 相同的方向， 从x=0处运动到x=4处（单位：米），这力F （x ）所做的功是（ ） A . 44 B . 46 C . 48 D . 50 【题意分析】本题考查物理学中的变力做功问题，物体在x=0到x=4距离内所做的功是函 数F （x ）在区间［0，4］上的定积分. 【思路分析】由已知F （x ）的表达式是分段函数，故物体所做的功是函数F （x ）在［0，2］，［2，4］上的积分之和. 【解题步骤】由定积分的物理意义知： ????++=+=42202042)43(10)()(dx x dx dx x F dx x F W ＝4222 0|)42 3(|10x x x ++ ＝46， 故选（B ） 【解题后的思考】本题考查的知识点是利用定积分求变力做功的问题，易错点是：认为F （x ）在区间［0，4］内所做的功是 ? +4 )43(dx x . 例2：一物体做变速直线运动，其v －t 曲线（如图所示），求物体在s s 62 1 -内的运动路程. 【题意分析】本题考查物理学中变速直线运动路程问题，由v （t ）曲线知：0)(≥t v ，故在 s s 621-间的物体运动的路程是v （t ）在区间]6,2 1 [上的定积分.
§1.7定积分的简单应用
定积分的简单应用 一：教学目标 知识与技能目标 1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法； 2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 4、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。 过程与方法 情感态度与价值观 二：教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 三：教学过程： 1、复习 1、求曲边梯形的思想方法是什么？ 2、定积分的几何意义是什么？ 3、微积分基本定理是什么？ 2、定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 解：2 01y x x x y x ?=??==? =??及，所以两曲线的交点为 （0，0）、（1，1），面积S=1 1 20 xdx x dx = -? ?，所以 ?1 2 0S =(x -x )dx 321 3 023 3x x ??=-????=13 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。 2 x y =y x A B C D O
巩固练习 计算由曲线36y x x =-和2 y x =所围成的图形的面积. 例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x = 以及x 轴所围图形的面积S. 分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯 形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线4y x =-与曲线2y x =的交点的横坐标， 直线4y x =-与 x 轴的交点． 解：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的 面积． 解方程组2, 4 y x y x ?=?? =-?? 得直线4y x =-与曲线2y x = 的交点的坐标为（8,4) . 直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2 4 8 8 4 4 2[2(4)]xdx xdx x dx =+--? ? ? 334 82822044 2222140||(4)|23 x x x =+-=. 由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图， 再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限． 例3.求曲线], [sin 320π∈=x x y 与直线,,3 20π==x x x 轴所围成的图形面积。
高中数学 定积分练习与解析1 苏教版选修2-2
定积分 练习与解析1 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内 1.根据定积分的定义，dx x ?2 02=( ) A. n n i n i 112 1???? ??-∑= B. n n i n i n 1 12 1lim ??? ? ??-∑=∞→ C. n n i n i 2 22 1??? ? ??∑= D. n n i n i n 222 1lim ??? ? ??∑=∞→ 解析：由求定积分的四个步骤：分割，近似代替，求和，取极限.可知选项为D 2、?-+22 )cos (sin π πdx x x 的值为（ ） A 0 B 4 π C 2 D 4 解析：?-+22 )cos (sin π πdx x x =() 22 sin cos ππ- +-x x ?? ? ?????? ??-+??? ??---??? ??+-2sin 2cos 2sin 2cos ππππ=2， 故选C. 3、直线4-=x y 与抛物线x y 22=所围成的图形面积是（ ） A 15 B 16 C 17 D 18 解析：直线4-=x y 与抛物线x y 22=的交点为()().4,8,2,2-结合图像可知面积 ()()[]1812303 1213021248221 4 2 3242=-=?-=---?+= --?y dy y s .此题选取y 为积分变量较容易. 选D. 4.以初速度40m/s 素质向上抛一物体，ts 时刻的速度 21040t v -= ，则此物体达到最高时的高度为（ ） A . m 3160 B. m 380 C. m 340 D. m 320 解析：由 2 1040t v -==0，得物体达到最高时 t =2.高度 () ()m t t dt t h 3160310401040203202= ??? ? ? -=-=? 5.一物体在力()5232+-=x x x F （力单位：N ，位移单位:m ）作用下沿与()x F 相同的方向由m x 5=直线运动到 m x 10=处作的功是（ ）
北师大版数学高二选修2试题 4.3定积分的简单应用--简单几何体的体积
4.3定积分的简单应用 定积分在物理中应用及简单几何体的体积同步练习 1．物本做变速度直线运动经过的路程s ，等于其速度函数v = v (t ) (v (t )≥0 )在时间区间 [a ，b ]上的 定积分 ，即?=b a dt t v s )(． 2．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t ) = – 3sin t ，则 t 1 = 3至t 2 = 5时间内的位移是 ()dt t ?-5 3sin 3．（只列式子） 3．变速直线运动的物体的速度v (t ) = 5 – t 2，初始位置v (0) = 1，前2s 所走过的路程为 3 25 ． 4．如果物体沿恒力F (x )相同的方向移动，那么从位置x = a 到x = b 变力所做的功W = F （b —a ）． 5．如果物体沿与变力F (x )相同的方向移动，那么从位置x = a 到x = b 变力所做的 功W =?b a dx x F )(． 6．一物体在力F (x ) =10(02)34(2)x x x ≤≤?? +>?（单位：N ）的作用下沿与力F (x )做功为（ B ） A ．44J B ．46J C ．48J D ．50J 7．证明：把质量为m （单位kg ）的物体从地球的表面升高h （单位：m ）处所做的功W = G ·() Mmh k k h +，其中G 是地球引力常数，M 是地球的质量，k 是地球的半径． 证明：根据万有引力定律，知道对于两个距离为r ，质量分别为m 1、m 2的质点，它们之间的引力f 为f = G ·122 m m r ，其中G 为引力常数． 则当质量为m 物体距离地面高度为x （0≤x ≤h ）时，地心对它有引力f (x ) = G ·2 ()Mm k x +故该物体从地面升到h 处所做的功为 0()h W f x =?d x =20() h Mm G k x ?+?·d x = GMm 201()h k x +? d (k + 1) = GMm 01()|h k x -+ =11()() Mnh GMm k G k h k k h -+=?++． 8．直线2y x =，1x =，2x =与x 轴围成的平面图形绕旋x 轴转一周得到一个圆台，
(新)高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
年 级 高二 学科 数学 内容标题 定积分的计算 编稿老师 马利军 一、教学目标： 1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：? b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义： （1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分? b a dx x f )(的几何意义是：y=f （x ） 与x=a ，x=b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下. ? b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、 函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x=b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号. 在图（1）中：0s dx )x (f b a >=? ，在图（2）中：0s dx )x (f b a <=? ，在图（3）中：dx )x (f b a ? 表示函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于? b a dx x f )(，仅 当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于 ? b a dx x f )(. 3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ （2）?? =b a b a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数） （3） ?? ?+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( （4）若在区间［a ，b ］上，? ≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则
定积分的简单应用(6)
§1.7 定积分的简单应用（一） 一：教学目标 1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法； 2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 4、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。 二：教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 三：教学过程： 定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 解：201y x x x y x ?=??==?=??及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积 S=1 1 20 xdx x dx = -? ?，所以 ?1 20S =(x -x )dx 32 1 3023 3x x ??=-????=13 例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x =以及x 轴所围图形的面积S. 解：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为图阴影部分的面积． 解方程组2, 4 y x y x ?=?? =-?? 得直线4y x =-与曲线2y x = 的交点的坐标为（8,4) . 直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2 4 8 8 4 4 2[2(4)]xdx xdx x dx =+--? ? ? 33482822044 2222140||(4)|3323 x x x =+-=. 例3.求曲线],[sin 3 20π ∈=x x y 与直线,,3 20π ==x x x 轴所围成的图形面积。 答案： 2 33 2320 = -=? ππo x xdx S |cos sin ＝ 练习 1、求直线32+=x y 与抛物线2x y =所围成的图形面积。 答案：3 32 33323132 23 1= -+=--? |))x x x dx x x S （－＋（＝ 2、求由抛物线342-+-=x x y 及其在点M （0，－3） 2 x y =y x = A B C D O
高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
一、教学目标：1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：?b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义： （1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分?b a dx x f )(的几何意义是：y=f （x ）与x=a ，x= b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x= b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号. 在图（1）中：0s dx )x (f b a >=?，在图（2）中：0s dx )x (f b a <=?，在图（3）中：dx )x (f b a ?表示 函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于?b a dx x f )(. 3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ （2）??=b a b a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数） （3）???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( （4）若在区间［a ， b ］上，?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论：（1）若在区间［a ，b ］上，??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则 （2）??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| （3）若f （x ）是偶函数，则??=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(，若f （x ）是奇函数，则0)(=?-a a dx x f 4. 微积分基本定理： 一般地，若)()()(],[)(),()('a F b F dx x f b a x f x f x F b a -==?上可积，则在且 注：（1）若)()('x f x F =则F （x ）叫函数f （x ）在区间［a ，b ］上的一个原函数，根据
高中数学定积分知识点
数学选修2-2知识点总结 一、导数 1．函数的平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或 0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；
6、常见的导数和定积分运算公式:若() g x均可导（可积），则有： f x，() 用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数'() f x (3)求方程'() f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/() f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如
高中培优讲义定积分及其简单应用
第十三讲定积分及其简单应用 教学目标：1、了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2、了解微积分基本定理的含义. 一、知识回顾课前热身 知识点1、定积分 (1)定积分的相关概念在∫b a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式． (2)定积分的几何意义 ①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)． ②一般情况下，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数． (3)定积分的基本性质 ①∫b a kf(x)d x＝k∫b a f(x)d x. ②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x＝∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x. ③∫b a f(x)d x＝∫c a f(x)d x＋∫b c f(x)d x. (4)．定积分∫b a[f(x)－g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么？ 提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积． 知识点2、微积分基本定理如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫b a f(x)d x＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)|b a，即∫b a f(x)d x＝F(x)|b a＝F(b)－F(a)． 基础练习 1.∫421 x d x等于( ) A．2ln 2 B．－2ln 2 C．－ln 2 D．ln 2 解析：选D ∫421 x d x＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2. 2．一质点运动时速度和时间的关系为V(t)＝t2－t＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移
知识讲解_定积分的简单应用(基础)
定积分的简单应用 【学习目标】 1.会用定积分求平面图形的面积。 2.会用定积分求变速直线运动的路程 3.会用定积分求变力作功问题。 【要点梳理】 要点一、应用定积分求曲边梯形的面积 1. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x =(()0f x ≥)围成的曲边梯形的面积： ()[()()]b b a a S f x dx f x g x dx ==-?? 2.如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线 ()y f x =(0)(≤x f )围成的曲边梯形的面积： ()()[()()]b b b a a a S f x dx f x dx g x f x dx = =-=-? ?? 3．由三条直线,(),x a x b a c b x ==<<轴及一条曲线()y f x =（不妨设在区间[,]a c 上 ()0f x ≤，在区间[,]c b 上()0f x ≥）围成的图形的面积： ()c a S f x dx = + ? ()b c f x dx ? ＝()c a f x dx -?＋()b c f x dx ?. 4. 如图，由曲线11()y f x =22()y f x =12()()f x f x ≥及直线x a =，x b =()a b <围
成图形的面积： 1212[()()]()()b b b a a a S f x f x dx f x dx f x dx =-=-??? 要点诠释： 研究定积分在平面几何中的应用，其实质就是全面理解定积分的几何意义： ① 当平面图形的曲边在x 轴上方时，容易转化为定积分求其面积； ② 当平面图形的一部分在x 轴下方时，其在x 轴下的部分对应的定积分为负值，应取其相反数（或绝对值）； 要点二、求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 （1）画出图形； （2）确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限； （3）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置； （4）写出平面图形面积的定积分表达式； （5）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。 要点三、定积分在物理中的应用 ① 速直线运动的路程 作变速直线运动的物体所经过的路程S ，等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间 [,]a b 上的定积分，即()b a S v t dt =?. ②变力作功 物体在变力()F x 的作用下做直线运动，并且物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动到x b =()a b <，那么变力()F x 所作的功W = ()b a F x dx ? . 要点诠释： 1. 利用定积分解决运动路程问题，分清运动过程中的变化情 况是解决问题的关键。应注意的是加速度的定积分是速度，速度的定积分是路程。 2. 求变力作功问题，要注意找准积分变量与积分区间。 【典型例题】 类型一、求平面图形的面积 【高清课堂：定积分的简单应用 385155 例1】 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【思路点拨】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
定积分的简单应用
定积分的简单应用 海口实验中学陈晓玲 一、教材分析 “定积分的简单应用”是人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修2－2第一章1.7的内容。从题目中可以看出，这一节教学的要求就是让学生在充分认识导数与积分的概念，计算，几何意义的基础上，掌握用积分手段解决实际问题的基本思想和方法，在学习过程中了解导数与积分的工具性作用，从而进一步认识到数学知识的实用价值以及数学在实际应用中的强大生命力。在整个高中数学体系中，这部分内容也是学生在高等学校进一步学习数学的基础。 二、教学目标（以教材为背景，根据课标要求，设计了本节课的教学目标） 1、知识与技能目标： （1）应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程问题； （2）学会将实际问题化归为定积分的问题。 2、过程与方法目标： 通过体验解决问题的过程，体现定积分的使用价值，加强观察能力和归纳能力，强化数形结合和化归思想的思维意识，达到将数学和其他学科进行转化融合的目的。 3、情感态度与价值观目标： 通过教学过程中的观察、思考、总结，养成自主学习的良好学习习惯，培养数学知识运用于生活的意识。 三、教学重点与难点 1、重点：应用定积分解决平面图形的面积和变速直线运动的路程问题，在解决问题的过程中体验定积分的价值。 2、难点：将实际问题化归为定积分的问题。 四、教学用具：多媒体 五、教学设计
教学环节教学设计师生 互动 设计意图 一、 创设情境 引出新课1、生活实例： 实例1：国家大剧院的主题构造 类似半球的构造，如何计算建造时中间玻璃段的使用面积？ 边缘的玻璃形状属于曲边梯形，要计算使用面积可以通过计算 曲边梯形的面积实现。 实例2：一辆做变速直线运动的汽车，我们如何计算它行驶的 路程？ 2、复习回顾： 如何计算曲边梯形的面积？ 3、引入课题： 定积分的简单应用 学生:观 察。 教师：启 发，引导 学生：思 考，回 忆。 学生：疑 惑，思 考，感 受。 教师：启 发，引 导。 学生：复 习，回忆 老师：引 入课题 数学源于生活，又服 务于生活。 通过对国家大剧院的 观察，创设问题情境，体 验数学在现实生活中的 无处不在，激发学生的学 习热情，引导他们积极主 动的参与到学习中来。 启发学生把物理问题 与数学知识联系起来，训 练学生对学科间的思维 转换和综合思维能力。 学生感受定积分的工 具性作用与应用价值。 在生活实例的启发 下，引导学生把所学知识 与实际问题联系起来，回 忆如何计算曲边梯形面 积。 这是这节课的知识基 础。 引入本节课的课题。 哎呀，里程表坏了，你 能帮我算算我走了多 少路程吗? x y o y f(x) = a b A ?=b a dx x f A) (
21-17定积分的简单应用
1.7.1定积分在几何中的应用 教材分析 这一节的教学要求是让学生在充分认识导数与积分的概念、计算、几何意义的基础上，掌握用积分解决实际问题的基本思想和方法.在学习过程中，理解导数与积分的工具性作用，从而进一步认识到数学知识的使用价值以及数学在实际应用中的强大作用.在整个高中数学体系中，这部分内容也是进一步学习高 等数学的基础.教学方法是“问题诱导一一启发讨论一一探索结果”、“直观观察一一抽象归纳一一总结规 律”的一种研究性教与学的方法，过程中注重“诱、思、探、练”的结合，从而引导学生转变学习方式采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究地学习，形成师生互动的教学氛围.探究式的学习方法能 够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；探究过程中对学生进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学生自主探究. 课时分配 本课时是定积分应用部分的第一课时，主要解决的是平面图形的面积问题 教学目标 重点：应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值. 难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数 知识点：应用定积分解决平面图形的面积. 能力点：通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法. 教育点：在解决问题的过程中体会定积分的价值 自主探究点：探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法. 考试点：应用定积分解决平面图形的面积. 易错易混点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数 拓展点：链接咼考. 教具准备实物投影机和粉笔. 课堂模式基于问题驱动的诱思探究. 一、创设情境 1、求曲边梯形的思想方法是什么？（以直代曲，无限逼近） 2、定积分的几何意义是什么？ o - - cos 二-(-cosO) =2 , 若f(x)^O则表示面积 sin xdx = -cosx =f "sin xdx=—cosx ?=—cos2x —(—cosn) =-2，若f (x)兰0则表示面积相反数
高中数学~定积分和微积分基本原理
高中数学~~定积分和微积分基本原理 1、求曲线、直线、坐标轴围成的图形面积 ? [ 高三数学] ? 题型:单选题 由曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A. 310 B. 4 C. 3 16 D. 6 问题症结：大概知道解题方向了，但没有解出来，请老师分析 考查知识点： ? 定积分在几何中的应用 ? 用微积分基本定理求定积分值 难度:难 解析过程： 联立方程组,2 ???-==x y x y 得到两曲线的交点坐标为（4，2）， 因此曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为： 3 16)]2([4 = --? dx x x . 答案：C 规律方法： 首先求出曲线y=和直线y=x-2的交点，确定出积分区间和被积函数，然后利用导数和积分的关 系求解． 利用定积分知识求解该区域面积是解题的关键. 高二数学问题 ? [ 高一数学] ? 题型:简答题 曲线y=sinx （0≤x ≤π）与直线y=?围成的封闭图形面积是？ 问题症结：找不到突破口，请老师帮我理一下思路 考查知识点： ? 用定义求定积分值 难度:中 解析过程：
规律方法： 利用定积分的知识求解。 知识点：定积分和微积分基本原理 概述 所属知识点： [导数及其应用] 包含次级知识点： 定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用 知识点总结 本节主要包括定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用等知识点。对于定积分和微积分基本原理的理解和掌握一定要通过数形结合理解，不能死记硬背。只有理解了定积分的概念，才能理解定积分的几何意义。
高中数学定积分计算习题
定积分的计算 班级 姓名 一、利用几何意义求下列定积分 （1）dx x ? 1 1 -2-1 (2)dx x ? 2 2-4 （3） dx x ? 2 2-2x （4） ()dx x x ? -2 4 二、定积分计算 （1）()dx ?1 7-2x （2）( ) d x ?+2 1 x 2x 32 （3）dx ?3 1 x 3 （4）dx x ?π π - sin （5）dx x ?e 1 ln （6）dx ? +1 x 112 （7）() dx x x ?+-10 2 32 （8）()dx 2 31 1-x ? （9）dx ?+1 1 -2x x 2）（ （10）( ) d x x ?+21 2x 1x （11）() dx x x ?-+1 1 -352x （12）() dx e e x x ?+ln2 x -e （13）dx x ?+π π --cosx sin ） （ （14）dx ? e 1 x 2 （15）dx x ?2 1 -x sin -2e ）（ （16）dx ?++2 1-3x 1 x x 2 （17）dx ? 2 1x 13 （18）()dx 2 2 -1x ?+
三、定积分求面积、体积 1求由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积。 2．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－1 3 x 所围成图形的面积． 3．求由曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积 4.如图求由两条曲线y ＝－x 2 ，y ＝－14 x 2 及直线y ＝－1所围成的图形的面积． 5、求函数f(x)＝???? ? x ＋1 (－1≤x<0)cosx (0≤x ≤π 2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积。 6．将由曲线y ＝x 2，y ＝x 3所 围成平面图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 7．将由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 8.由曲线y ＝x 与直线x ＝1，x ＝4及x 轴所围成的封闭图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积
最新17定积分的简单应用03622
17定积分的简单应用 03622
定积分的简单应用 一：教学目标 知识与技能目标 1、进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边 梯形的思想方法； 2、让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 3、初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 4、体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做 功）。 过程与方法 情感态度与价值观 二：教学重难点 重点曲边梯形面积的求法 难点定积分求体积以及在物理中应用 三：教学过程： 1、复习 1、求曲边梯形的思想方法是什么？ 2、定积分的几何意义是什么？ 3、微积分基本定理是什么？ 2、定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线?Skip Record If...?和?Skip Record If...?所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢- 6 -
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢- 6 - 解：?Skip Record If...?，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=?Skip Record If...?，所以?Skip Record If...??Skip Record If...?=13 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四 个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。 巩固练习 计算由曲线?Skip Record If...?和?Skip Record If...?所围成的图形的面积. 例2．计算由直线?Skip Record If...?，曲线?Skip Record If...?以及x 轴所围 图形的面积S. 分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线?Skip Record If...?与曲线?Skip Record If...?的交点的横坐标，直线?Skip Record If...?与 x 轴的交点． 解：作出直线?Skip Record If...?，曲线?Skip Record If...?的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的面积． 解方程组?Skip Record If...? 得直线?Skip Record If...?与曲线?Skip Record If...?的交点的坐标为（8,4) . 2x y =y x = A B C D O
1.7定积分的简单应用
§1.7定积分的简单应用（二课时） 一：教学目标 知识与技能：初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；让学生深刻理解定积 分的几何意义以及微积分的基本定理。 过程与方法：进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方 法 情感态度与价值观：体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）， 培养学生唯物主义思想。 二：教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 三：教学过程：（第一课时） 1、复习 1、求曲边梯形的思想方法是什么？ 2、定积分的几何意义是什么？ 3、微积分基本定理是什么？ 2、定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 解：2 01y x x y x ?=?==?=??及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积 S=1 20 0x dx = -? ? ，所以 ?1 20S =x )dx 32 1 3023 3x x ??=-????=13 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。 巩固练习 计算由曲线3 6y x x =-和2 y x =所围成的图形的面积. 例2．计算由直线4y x =- ，曲线y = x 轴所围图形的面积S. 分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形 2 x y =y x A B C D O
高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解教学内容
定积分与微积分基本定理习题 一、选择题 1． a ＝??02x d x ，b ＝??02e x d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a