九年级数学锐角三角函数带答案
锐角三角函数与解直角三角形
【考纲要求】
1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；
2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题. 【知识网络】 【考点梳理】
考点一、锐角三角函数的概念
如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．
锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A a
A c ∠==的对边斜边； 锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A b
A c ∠=
=的邻边斜边；
锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A a
A A b
∠=
=∠的对边的邻边.
同理sin B b B c ∠=
=的对边斜边；cos B a
B c
∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠=
=∠的对边的邻边．
要点诠释：
(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
(2)sinA ，cosA ，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成
，
，
，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A
的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成“tanAEF ”；另外，
、
、
常写成
、
、
． (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
(4)由锐角三角函数的定义知：
当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA ＞0．
B a
b
c
考点二、特殊角的三角函数值
利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：
要点诠释：
(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，
例如：若，则锐角．
(2)仔细研究表中数值的规律会发现：
sin0?、、、、sin90?的值依次为0、、、、1，
而cos0?、、、、cos90?的值的顺序正好相反，、、
的值依次增大，其变化规律可以总结为：
当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，
①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)
②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．
考点三、锐角三角函数之间的关系
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)互余关系：，；
(2)平方关系：；
(3)倒数关系：或；
(4)商数关系：．
要点诠释：
锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．
考点四、解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.
在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.
设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：
①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).
②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.
③边角之间的关系：
，，，
，，.
④，h为斜边上的高.
要点诠释：
(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.
(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).
(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.
已知条件解法步骤
Rt△
ABC
两
边
两直角边(a，b)
由求∠A，∠B=90°
－∠A，
斜边，一直角边(如c，a)
由求∠A，∠B=90°
－∠A，
一
边
一
角
一直角边
和一锐角
锐角、邻边(如
∠A，b)
∠B=90°－∠A，
，
锐角、对边(如
∠A，a)
∠B=90°－∠A，，
斜边、锐角(如c，∠A)
∠B=90°－∠A，，
1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.
2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.
考点六、解直角三角形的应用
解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.
解这类问题的一般过程是：
(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.
(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.
(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
拓展：
在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：
(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.
坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.
(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.
(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.
(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.
要点诠释：
1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.
2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：
3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.
【典型例题】
类型一、锐角三角函数的概念与性质
1．(1)如图所示，在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为( )．
A．10·tan50° B．10·cos50° C．10·sin50° D．
10 sin50°
(2)如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝3
5
，求cosA+tanB的值．
(3)如图所示的半圆中，AD是直径，且AD＝3，AC＝2，则sinB的值等于________．【思路点拨】
(1)在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义，可以用某个锐角的三角函数值和一条边表示其他边．
(2)直角三角形中，某个内角的三角函数值即为该三角形中两边之比．知道某个锐角的三角函数值就知道了该角的大小，可以用比例系数k表示各边．
(3)要求sinB的值，可以将∠B转化到一个直角三角形中．
【答案与解析】
(1)选B．
(2)在△ABC，∠C＝90°，
3
sin
5 BC
A
AB
==．
设BC＝3k，则AB＝5k(k＞0)．由勾股定理可得AC＝4k，
∴
4432 cos tan
5315
k k
A B
k k
+=+=．
(3)由已知，AD是半圆的直径，连接CD，可得∠ACD＝90°
∠B＝∠D，所以sinB＝sinD＝
2
3 AC
AD
=．
【总结升华】
已知一个角的某个三角函数值，求同角或余角的其他三角函数值时，常用的方法是：利用定义，根据三角函数值，用比例系数表示三角形的边长；
(2)题求cosA时，还可以直接利用同角三角函数之间的关系式sin2 A+cos2 A＝1，读者可自己尝试完成．
举一反三：
【变式】Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，那么c 等于( ) (A) a cosA bsin B + (B) asin A bsin B +
(C) a b sin A sin B + (D) a b
cos A sin B +
【答案】 选B.
过点C 作CD ⊥AB 于D,在Rt △ACD 中, AD AD
cos A AC b
=
=
,所以AD=bcosA,同理,BD=acosB,所以c=AB=AD+BD=bcosA+acosB,又∠A+∠B=90°,所以cosA=sinB,cosB=sinA,所以
c=asinA+bsinB.
类型二、特殊角的三角函数值
2．解答下列各题：
(1)化简求值：tan 60tan 45sin 45sin 30sin 60cos30cos 45--++°°°
°°°°；
(2)在△ABC 中，∠C ＝9012sin cos A A -
【思路点拨】
第(2)题可以先利用关系式sin 2 A+cos 2 A ＝1对根号内的式子进行变形，配成完全平方的形式．
【答案与解析】
解 (1)tan 60tan 45sin 45sin 30sin 60cos30cos 45--++°°°
°°°°
(2)12sin cos A A -2(sin cos )|sin cos |A A A A =-=-，
12sin cos A A -cos sin (045)
sin cos (4590)
A A A A A A -
【总结升华】
由第(2)题可得到今后常用的一个关系式：1±2sin αcos α=(sin α±cos α)2．
例如，若设sin α+cos α＝t ，则21
sin cos (1)2t αα=-．
举一反三： 【变式】若3sin 22α=，cos sin βα=(2α，β为锐角)，求2
tan()3
β的值. 【答案】 ∵3
sin 2α
2α为锐角， ∴2α＝60°，α＝30°．
∴12cos sin 22
βα===， ∴β＝45°．
∴23
tan()tan 3033
β==°．
3． (1)如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝105°，∠A ＝30°，AC ＝8，求AB 和BC 的长；
(2)在△ABC 中，∠ABC ＝135°，∠A ＝30°，AC ＝8，如何求AB 和BC 的长?
(3)在△ABC 中，AC ＝17，AB ＝26，锐角A 满足12
sin 13
A =，如何求BC 的长及△ABC 的面
积？
若AC ＝3，其他条件不变呢? 【思路点拨】
第(1)题的条件是“两角一夹边”．由已知条件和三角形内角和定理，可知∠B ＝45°；过点C 作CD ⊥AB 于D ，则Rt △ACD 是可解三角形，可求出CD 的长，从而Rt △CDB 可解，由此得解；第(2)题的条件是“两角一对边”；第(3)题的条件是“两边一夹角”，均可用类似的方法解决． 【答案与解析】
解： (1)过点C 作CD ⊥AB 于D ． ∵∠A ＝30°，∠ACD ＝105°， ∴∠B ＝45°．
∵AC ·sinA ＝CD ＝BC ·sin B ，
∴sin 8sin 3042sin sin 45AC A BC B ===g °
°．
∴AB ＝AD+BD ＝AC ·cosA+BC ·cosB ＝8cos30°+42cos45°＝443+． (2)作CD ⊥AB 的延长线于D ，则AB ＝434-，42BC =． (3)作BD ⊥AC 于D ，则BC ＝25，ABC S =△204． 当AC ＝3时，∠ACB 为钝角，BC ＝25，36ABC S =△．
【总结升华】
对一个斜三角形，通常可以作一条高，将它转化为两个直角三角形，并且要尽量使直角三角形中含有特殊的锐角(如30°、45°、60°的角)，然后通过解直角三角形得到原来斜三角形的边、角的大小． 类型三、解直角三角形及应用
4．如图所示，D 是AB 上一点，且CD ⊥AC 于C ，:2:3ACD CDB S S =△△，4
cos 5
DCB ∠=，
AC+CD ＝18，求tanA 的值和AB 的长． 【思路点拨】
解题的基本思路是将问题转化为解直角三角形的问题，转化的目标主要有两个，一是构造可解的直角三角形；二是利用已知条件通过设参数列方程． 【答案与解析】
解：作DE ∥AC 交CB 于E ，则∠EDC ＝∠ACD ＝90°． ∵4cos 5
CD DCE CE =∠=， 设CD ＝4k(k ＞0)，则CE ＝5k ，由勾股定理得DE ＝3k ． ∵△ACD 和△CDB 在AB 边上的高相同， ∴AD:DB ＝:2:3ACD CDB S S =△△．
即55
3533
AC DE k k ==?=．
∴44
tan 55
CD k A AC k ===．
∵AC+CD ＝18， ∴5k+4k ＝18，解得k ＝2．
∴2241241AD AC CD k =+==． ∴AB ＝AD+DB ＝AD+
3
2
AD ＝541 【总结升华】
在解直角三角形时，常用的等量关系是：勾股定理、三角函数关系式、相等的线段、面积关系等． 专题总结及应用 一、知识性专题
专题1：锐角三角函数的定义
【专题解读】 锐角三角函数定义的考查多以选择题、填空题为主． 例1 如图28－123所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是 ( ) A ．sin A 3 B ．tan A ＝12 C ．cos B 3
D ．tan B 3 分析 sin A ＝
BC AB ＝12，tan A ＝BC AC 3，cos B ＝BC
AB ＝12．故选D.
例2 在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝3
5
,则tan A 等于 ( )
A ．35
B ．45
C ．34
D ．43
分析 在Rt △ABC 中，设AC ＝3k ，AB ＝5k ，则BC ＝4k ，由定义可知tan A ＝
44
33
BC k AC k ==．故选D. 分析 在Rt △ABC 中，BC 222254AB AC --3，∴sin A ＝35
BC AB =．故填3
5． 专题2 特殊角的三角函数值
【专题解读】 要熟记特殊角的三角函数值．
例4 计算|－3|＋2cos 45°－31)0． 分析 cos 452． 解：原式＝3＋2×
2
2
－122． 例5 计算－12??- ???
9＋(－1)
2007－cos 60°． 分析 cos 60°＝1
2
．
解：原式＝12＋3＋(－1)－12
＝3－1＝2． 例6 计算|2|＋(cos 60°－tan 30°)08 分析 cos 60°＝12，tan 303
，∴cos 60°－tan 30°≠0，∴(cos 60°－tan 30°)0＝1，
21十＋2＝21．
例7 计算3
12-?? ???－(π－3.14)0
－|1－tan 60°|－
32
-. 分析 tan 603 解：原式＝8－13132＝10.
专题3 锐角三角函数与相关知识的综合运用
【专题解读】 锐角三角函数常与其他知识综合起来运用，考查综合运用知识解决问题的能力.
例8 如图28－124所示，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，E 为AC 边的中点，BC ＝14，AD ＝12，sin B ＝45
． (1)求线段DC 的长； (2)求tan ∠EDC 的值.
分析 在Rt △ABD 中，由sin B ＝
AD
AB
，可求得BD ，从而求得
CD ．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得DE ＝12
AC ＝EC ，则∠EDC ＝∠C ，所以求tan ∠EDC 可以转化为求tan C .
解：(1)∵AD 是BC 边上的高，∴AD ⊥BC
在Rt △ABD 中，sin B ＝
AD
AB
． ∵AD ＝12，sin B ＝45
，∴AB ＝15， ∴BD 22AB AD -221512-9．
∵BC＝14，∴CD＝5．
(2)在Rt△ADC中，∵AE＝EC，∴DE＝1
2
AC＝EC，∴∠EDC＝∠C
∵tan C＝AD
DC ＝12
5
,∴tan∠EDC＝tan C＝12
5
．
例9 如图28－125所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan B
＝cos∠DAC.
(1)求证AC＝BD；
(2)若sin C＝12
13
，BC＝12，求AD的长．
分析(1)利用锐角三角函数的定义可得AC＝BD．(2)利用锐角三角函数与勾股定理可求得AD的长．
证明：(1)∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，∠ADC＝90°．
在Rt△ABD和Rt△ADC中，
∵tan B＝AD
BD ，cos∠DAC＝AD
AC
，tan B＝cos∠DAC，
∴AD
BD ＝AD
AC
，∴AC＝BD.
解：(2)在Rt△ADC中，sin C＝12
13
，设AD＝12k，AC＝13k，
∴CD22
AC AD
-5k．
∵BC＝BD＋CD，AC＝BD，
∴BC＝13k＋5k＝18k．
由已知BC＝12，∴18k＝12，k＝2
3
，
∴AD＝12k＝12×2
3
＝8．
例10 如图28－126所示，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，
BC＝30＋3AB的长．
分析过点A作AD⊥BC于D，把斜三角形转化为直角三角形，
利用AD是两个直角三角形的公共边，设AD＝x，把BD，DC用含x
的式子表示出来，再由BD＋CD＝BC这一等量关系列方程，求得AD，则AB可在Rt △ABD中求得．
解：过点A作AD⊥BC于D，设AD＝x.
在Rt△ADB中，tan B＝AD
BD ，∴BD＝
tan tan45
AD AD
B
=
?
＝x，
在Rt△ADC中，tan C＝AD
CD ，∴CD＝
tan
AD
C
＝
tan30
AD
?
3．
又∵BD＋CD＝BC，BC＝30＋3∴x3＝30＋3,∴x＝30．
在Rt △ABD 中，sin B ＝AD
AB
， ∴AB ＝
30
sin sin 45AD B =
?2
2 专题4 用锐角三角函数解决实际问题
【专题解读】 加强数学与实际生活的联系，提高数学的应用意识，培养应用数学的能力是当今数学改革的方向，围绕本章内容，纵观近几年各地的中考试题，与解直角三角形有关的应用问题逐步成为命题的热点，其主要类型有轮船定位问题、堤坝工程问题、建筑测量问题、高度测量问题等，解决各类应用问题时要注意把握各类图形的特征及解法．
例13 如图28－131所示，我市某中学数学课外活动小组的同学利用所学知识去测量沱江流经我市某段的河宽．小凡同学在点A 处观测到对岸C 点，测得∠CAD ＝45°，又在距A 处60米远的B 处测得∠CBA ＝30°，请你根据这些数据算出河宽是多少?(结果保留小数点后两位) 分析 本题可作CE ⊥AB ，垂足为E ，求出CE 的长即为河宽．
解：如图28－131所示，过点C 作CE ⊥AB 于E ，则CE 即为河宽，
设CE ＝x (米)，则BE ＝x ＋60(米)．
在Rt △BCE 中，tan30°＝
CE EB 3＝60
x
x +,
解得x ＝30(31)≈81.96(米)．
答：河宽约为81．96米．
【解题策略】 解本题的关键是设CE ＝x ，然后根据BE ＝AB ＋AE 列方程求解． 例14 如图28－132所示，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A 点处发现海中的B 点有人求救，便立即派三名救生员前去营救．1号救生员从A 点直接跳入海中；2号救生员沿岸边(岸边可以看成是直线)向前跑到C 点再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑300米到离B 点最近的D 点，再跳入海中，救生员在岸上跑的速度都是6米／秒，在水中游泳的速度都是2米/秒．若∠BAD ＝45°，∠BCD ＝60°，三名救生员同时从A 点出发，请说明谁先到达营救地点B ．(2 1.43 1.7)
分析 在Rt △ABD 中，已知∠A ＝45°和AD ，可求AB ，BD ，在Rt △BCD 中，可利用求出的BD 和∠BCD ＝60°求出BC ，然后根据计算出的数据判断谁先到达． 解：在Rt △ABD 中，∠A ＝45°，∠D ＝90°，AD ＝300， ∴AB ＝
AD cos452
=
?＝2
BD
AD
＝tan 45°，即BD ＝AD ·tan 45°＝300． 在Rt △BCD 中，∠BCD ＝60°，∠D ＝90°， ∴BC ＝
sin 603
BD =
?3CD ＝tan 60BD
?33 . 1号救生员到达B 点所用的时间为
3002
2
＝2210(秒)，
2号救生员到达B30010032003
-＝502503≈192(秒)，
3号救生员到达B点所用的时间为300
6＋300
2
＝200(秒)．
∵192＜200＜210.∴2号求生员先到达营救地点B.
【解题策略】本题为阅读理解题，题目中的数据比较多，正确分析题意是解题的关键．
例15 如图28－133所示，某货船以24海里/时的速度将一批重要
物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在它的北偏东60°
方向上，该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在它的北偏东
30°方向上；已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若货船继续向正
东方向航行，该货船有无触礁危险?试说明理由．
分析本题可作CD⊥AM于点D，在Rt△BCD中求出CD即可．
解：过点C作CD⊥AM，垂足为点D，
由题意得∠CBD＝60°，∠CAB＝30°,
∴∠ACB＝30°，∠CAB＝∠ACB，
∴BC＝AB＝24×1
2
＝12(海里)．
在Rt△BCD中，CD＝BC×sin 60°＝3海里)．
∵39，∴货船继续向正东方向航行无触礁危险．
【解题策略】此题实际上是通过⊙C(半径为9海里)与直线AM相离判断出无触礁危险.
例16 如图28－134所示，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、
乙两人分别在相距8米的A，B两处测得D点和C点的仰角分别为
45°和60°，且A，B，F三点在一条直线上，若BE＝15米，求这块广
告牌的高度．3 1.73，结果保留整数)
分析由于CD＝CE－DE，所以可分别在Rt△AED和Rt△BEC中
求DE，CE的长，从而得出结论．
解：∵AB＝8，BE＝15，∴AE＝23．
在Rt△AED中，∠DAE＝45°，∴DE＝AE＝23．
在Rt△BEC中，∠CBE＝60°，∴CE＝BE·tan 60°＝3
∴CD＝CE－DE＝323≈3，
即这块广告牌的高度约为3米．
例17 如图28－135所示，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽
AD＝2.5m，坝高4 m，背水坡的坡度是1：1，迎水坡的坡度是1：1.5，
求坝底宽BC.
分析坡度即坡角的正切值，所以分别过A，D两点向坝底引垂线，
把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形．
解：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，
由题意可知tan B＝1，tan C＝1
1.5
，
在Rt △ABE 中，AE ＝4，tan B ＝
AE
BE
＝1，∴BE ＝AE ＝4， 在Rt △DFC 中，DF ＝AE ＝4，tan C ＝
1
1.5
DF CF =
， ∴CF ＝1．5DF ＝1.5×4＝6． 又∵EF ＝AD ＝2.5，
∴BC ＝BE ＋EF ＋FC ＝4＋2.5＋6＝12．5．
答：坝底宽BC 为12．5 m ．
【解题策略】 背水坡是指AB ，而迎水坡是指CD . 例18 如图28－136所示，山顶建有一座铁塔，塔高CD ＝30m ，某人在点A 处测得塔底C 的仰角为20°，塔顶D 的仰角为23°，求此人距CD 的水平距离AB ．(参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，tan 20°≈0.364，sin 23°≈0.391，cos 23°≈0.921，tan 23°≈0.424)
分析 要求AB 的值，由于两个直角三角形中都只有角的已知条件，不能直接求解，所以设AB 为未知量，即用AB 表示BD 和BC ，根据BD －BC ＝CD ＝30，列出关于AB 的方程．
解：在Rt △ABC 中，∠CAB ＝20°，
∴BC ＝AB tan ∠CAB ＝AB tan 20°． 在Rt △ABD 中，∠DAB ＝23°，
∴BD ＝AB tan ∠DAB ＝AB tan 23°．
∴CD ＝BD －BC ＝AB tan 23°－AB tan 20°＝AB (tan 23°－tan 20°)．
∴AB ＝
tan 23tan 20CD ?-?≈30
0.4240.364
-＝500(m)．
答：此人距CD 的水平距离AB 约为500 m ．
二、规律方法专题 专题5 公式法
【专题解读】 本章的公式很多，熟练掌握公式是解决问题的关键．
例19 当0°＜α＜9021sin α
-的值．
分析 由sin 2α＋cos 2α＝1，可得1－sin 2α＝cos 2α
解：∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝1－sin 2α．
221sin cos |cos |
cos αααα
-==.
∵0°＜a ＜90°，∴cos α＞0． ∴原式＝
cos cos α
α
＝1． 【解题策略】 以上解法中，应用了关系式sin 2α＋cos 2α＝1(0°＜α＜90°)，这一关系式在解题中经常用到，应当牢记，并灵活运用． 三、思想方法专题 专题6 类比思想
【专题解读】 求方程中未知数的过程叫做解方程，求直角三角形中未知元素的过程叫做解直角三角形，因此对解直角三角形的概念的理解可类比解方程的概念．我们可以像解方程(组)一样求直角三角形中的未知元素．
例20 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a 5，b 15，解这个直角三角形． 分析 已知两直角边长a ，b ，可由勾股定理c 22a b +求出c ，再利用sin A ＝a
c
求出∠A ，进而求出∠B ＝90°－∠A ． 解：∵∠C ＝90°，∴a 2＋b 2＝c 2．
∴c 222515+522
a b +=2（
）（） 又∵sin A ＝51
22
5a c ==，∴∠A ＝30°．
∴∠B ＝90°－∠A ＝60°．
【解题策略】 除直角外，求出Rt △ABC 中的所有未知元素就是解直角三角形． 专题7 数形结合思想
【专题解读】由“数”思“形”，由“形”想“数”，两者巧妙结合，起到互通、互译的作用，是解决几何问题常用的方法之一．
例21 如图28－137所示，已知∠α的终边OP ⊥AB ，直线AB 的方程为y 3x 3，则cos α等于 ( ) A ．12
B ．2
C 3
D 3 分析 ∵y 3x 3，∴当x ＝0时，y 3
，当y ＝0时，x ＝1，∴A (1，0)，B 3?
??，∴OB 3，OA ＝1，∴AB 22OB OA +23cos ∠OBA ＝1
2
OB AB =. ∴OP ⊥AB ，∴∠α＋∠OAB ＝90°，又∵∠OBA ＋∠OAB ＝90°，∴∠α＝∠OBA ．∴cos
α＝cos ∠OBA ＝12
．故选A.
专题8 分类讨论思想
【专题解读】 当结果不能确定，且有多种情况时，对每一种可能的情况都要进行讨论．
例22 一条东西走向的高速公路上有两个加油站A ，B ，在A 的北偏东45°方向上还有一个加油站C ，C 到高速公路的最短距离是30 km ，B ，C 间的距离是60 km ．要经过C 修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P 到B ，C 的距离相等，求交叉口P 与加油站A 的距离．(结果可保留根号) 解：①如图28－138(1)所示，
在Rt △BDC 中，∵CD ＝30，CB ＝60，∴∠B ＝30°．
又PC ＝PB ，∴∠CPD ＝60°，∴DP ＝3 故AP ＝AD ＋DP ＝(30＋3．
②同理，如图28－138(2)所示，可求得AP ＝(30－3， 故交叉口P 与加油站A 的距离为(30＋3或(30－3．
【解题策略】 此题针对P 点的位置分两种情况进行讨论，即点P 在线段AB 上或点P 在线段BA 的延长线上． 专题9 转化思想
例24 如图28－140所示，A ，B 两城市相距100 km ．现计划在这两座城市中间修筑一条高速公路(即线段AB )，经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50 km 为半径的圆形区域内．请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区．为什么?(3 1.73221.414)
解：过点P 作PC ⊥AB ，C 是垂足，
则∠APC ＝30°，∠BPC ＝45°，
AC ＝PC ·tan 30°，BC ＝PC ·tan 45°，
∵AC ＋BC ＝AB ，
∴PC ·tan 30°＋PC ·tan 45°＝100， ∴3
＋1)PC ＝100， ∴PC ＝50(33≈50×(3－1.732)≈63．4＞50．
答：森林保护区的中心与直线AB 的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条
高速公路不会穿越保护区．
例25 小鹃学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图28－141所示，把一张长方形卡片ABCD 放在每格宽度为12 mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上．已知α＝36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．(结果保留整数；参考数据：sin 36°≈0．6，cos 36°≈0．8，tan 36°≈0.7)
解：作BE ⊥l 于点E ，DF ⊥l 于点F ．
∵α＋∠DAF ＝180°－∠BAD ＝180°－90°＝90°， ∠ADF ＋∠DAF ＝90°， ∴∠ADF ＝α＝36°．
根据题意，得BE ＝24 mm ，DF ＝48 mm ．
在Rt △ABE 中，sin α＝BE
AB
， ∴AB ＝
sin36BE ?
≈24
0.6＝40(mm)． 在Rt △ADF 中，cos ∠ADF ＝DF
AD
， ∴AD ＝
cos36DF ?
≈48
0.8＝60(mm)． ∴矩形ABCD 的周长＝2(40＋60)＝200(mm)．
例26 如图28－142所示，某居民楼I 高20米，窗户朝南．该楼内一楼住户的窗台离地面距离CM 为2米，窗户CD 高1．8米．现计划在I 楼的正南方距1楼30米处新建一居民楼Ⅱ．当正午时刻
太阳光线与地面成30°角时，要使Ⅱ楼的影子不影响I楼所有住户的采光，新建Ⅱ楼最高只能盖多少米?
解：设正午时光线正好照在I楼的一楼窗台处，此时新建居民楼
Ⅱ高x米．
过C作CF⊥l于F，
在Rt△ECF中，EF＝(x－2)米，FC＝30米，∠ECF＝30°，
x ,∴＝2．
30
答：新建居民楼Ⅱ最高只能建2)米．
初三数学锐角三角函数通用版
初三数学锐角三角函数通用版 【本讲主要内容】 锐角三角函数 包括：正弦、余弦、正切。 【知识掌握】 【知识点精析】 1. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA 。 即 c a A A sin == 斜边的对边∠；把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即c b A A cos =∠=斜边的邻边；把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即 b a A A A t an =∠∠=的邻边的对边。 2. 锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数。 3. 特殊角的三角函数值： 30° 45° 60° sin α 1 2 22 32 cos α 32 22 12 tan α 33 1 3 4. 记忆方法： 【解题方法指导】 例1. （2000年成都市）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，D 是AC 的中点，那么tan ∠DBC 的值是________。 锐 角 α 三 角 函 数
分析：在Rt △ABC 中，由∠ABC ＝60°，可知3BC AC 60tan == ，即AC ＝3BC ，又CD ＝ 1 2 AC ，tan ∠DBC 可求。 解：在△ABC 中， ∵∠C ＝90°，∠ABC ＝60°， ∴tan ∠ABC ＝tan60°＝3BC AC =， ∴AC ＝3BC 。 又D 是AC 中点， ∴DC ＝ 12AC ＝32 BC 。 ∴2 3 BC BC 23 BC DC DBC tan = ==∠。 评析：在解题中紧紧扣住tan α的定义。 例2. （2001年四川）在Rt △ABC 中 ，CD 是斜边AB 上的高，已知3 2 ACD sin = ∠，那么=AB BC ______。 分析：由Rt △ABC 中CD ⊥AB 于D ，可得∠ACD ＝∠B ，由sin ∠ACD ＝ 2 3 ，那么sinB ＝23，设AC ＝2，AB ＝3，则BC ＝32522-=，则AB BC 可求。 解：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ， ∴∠ACD ＝∠B 。 又sin ∠ACD ＝sinB ＝ 23 ， 可设AC ＝2，AB ＝3， ∴BC ＝32522-=。
最新锐角三角函数练习题及答案
锐角三角函数 1．把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ′B ′C ′，那么锐角A ，A ′的余弦值的关系为（ ） A ．cosA=cosA ′ B ．cosA=3cosA ′ C ．3cosA=cosA ′ D ．不能确定 2．如图1，已知P 是射线OB 上的任意一点，PM ⊥OA 于M ，且PM ：OM=3：4，则cos α的值等于（ ） A ．34 B ．43 C ．45 D ．35 图1 图2 图3 图4 图5 3．在△ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，则下列各项中正确的是（ ） A ．a=c ·sin B B ．a=c ·cosB C ．a=c ·tanB D ．以上均不正确 4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=23 ，则tanB 等于（ ） A ．35 B C ．25 D 5．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则sinA=______，cosA=______，?tanA=_______． 6．如图2，在△ABC 中，∠C=90°，BC ：AC=1：2，则sinA=_______，cosA=______，tanB=______． 7．如图3，在Rt △ABC 中，∠C=90°，b=20，，则∠B 的度数为_______． 8．如图4，在△CDE 中，∠E=90°，DE=6，CD=10，求∠D 的三个三角函数值． 9．已知：α是锐角，tan α=724 ，则sin α=_____，cos α=_______． 10．在Rt △ABC 中，两边的长分别为3和4，求最小角的正弦值为 10．如图5，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x 轴上，?另一边经过点P （2，，求角α的三个三角函数值． 12．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD ⊥AC 于D ，∠CBD=α，AB=3，?BC=4，?求sin α，cos α， tan α的值．
初中数学锐角三角函数的难题汇编含答案
初中数学锐角三角函数的难题汇编含答案 一、选择题 1．如图，点O 为△ABC 边 AC 的中点，连接BO 并延长到点D,连接AD 、CD ，若BD=12，AC=8，∠AOD ＝120°，则四边形ABCD 的面积为（ ） A ．23 B ．22 C ．10 D ．243 【答案】D 【解析】 【分析】 分别过点A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为M 、N ，通过题意可求出AM 、CN 的长度，可计算三角形ABD 和三角形CBD 的面积，相加即为四边形ABCD 的面积. 【详解】 解：分别过点A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为M 、N ， ∵点O 为△ABC 边 AC 的中点，AC=8， ∴AO=CO=4， ∵∠AOD ＝120°， ∴∠AOB=60°，∠COD=60°， ∴342 AM AM sin AOB AO ===∠， 342 CN CN sin COD CO ===∠， ∴AM=23CN=3 ∴12231232ABD BD AM S ?===g △ 12231232BD CN S ?===g △BCD ， ∴=123123243ABD BCD ABCD S S S +==△△四边形 故选：D. 【点睛】
本题考查了三角函数的内容，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键. 2．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在AC 上找一点B ，取145ABD ∠=o ，500BD m =，55D ∠=o ，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ） A ．500sin55m o B ．500cos55m o C ．500tan55m o D ．500cos55m o 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知利用∠D 的余弦函数表示即可． 【详解】 在Rt △BDE 中，cosD= DE BD ， ∴DE=BD ?cosD=500cos55°． 故选B ． 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键． 3．如图，在ABC ?中，4AC =，60ABC ∠=?，45C ∠=?，AD BC ⊥，垂足为D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为（ ） A ．22 B ．223 C ．23 D ．322 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ADC 中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD 的长度，在Rt △ADB 中，由AD 的长度及∠ABD 的度数可求出BD 的长度，在Rt △EBD 中，由BD 的长度及∠EBD 的度数可求出DE 的长度，再利用AE=AD?D E 即可求出AE 的长度． 【详解】 ∵AD ⊥BC ∴∠ADC=∠ADB=90?
初中数学九年级锐角三角函数知识点总结
【苏教版】初中数学九年级知识点总结 28锐角三角函数 一、知识框架 二、知识点、概念总结 １.Ｒｔ△ABC中 (１）∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦,记作sinA= ＼f(∠A的对边，斜边) (2）∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA= 错误! (３）∠Ａ的对边与邻边的比值是∠A的正切,记作tanA= 错误! (4)∠Ａ的邻边与对边的比值是∠Ａ的余切,记作cｏta= 错误! 2.特殊值的三角函数: a sina cosa ｔana cota 30°1 2 错误!错误!错误! ４5°错误!错误! 1 １ ６0°错误!1 2 3 错误! 3.互余角的三角函数间的关系 siｎ(90°－α)=cosα, cos(９0°-α)=sinα,
ｔaｎ(9０°-α）＝coｔα, coｔ(90°-α)＝ｔａnα.４. 同角三角函数间的关系 平方关系： sin2(α)＋cos2(α）=1 tan2（α)+1=sｅc2(α） coｔ2（α)＋1=cｓc2（α) 积的关系： sinα=ｔanα·coｓα cosα=cotα·sinα tanα=sinα·ｓｅｃα cotα=ｃｏｓα·cｓcα ｓecα＝tanα·cscα csｃα=secα·cotα 倒数关系： ｔanα·coｔα=1 sinα·cｓcα＝1 coｓα·secα＝1 5.三角函数值 （1)特殊角三角函数值 (2）0°～90°的任意角的三角函数值,查三角函数表。 （3)锐角三角函数值的变化情况 (i）锐角三角函数值都是正值 （ｉi)当角度在0°~9０°间变化时, 正弦值随着角度的增大(或减小）而增大(或减小） 余弦值随着角度的增大(或减小)而减小（或增大） 正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) 余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) （iii）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时， ０≤sｉnα≤1, 1≥cosＡ≥０, 当角度在0°<∠A<90°间变化时，
2019年最新中考数学专题复习：锐角三角函数
锐角三角函数 三只钟的故事 一只小钟被主人放在了两只旧钟当中，两只旧钟滴答、滴答的走着。 一只旧钟对小钟说：“来吧，你也该工作了。可是我有点担心，你走完三千两百万次以后，恐怕会吃不消的。” “天哪！三千两百万次。”小钟吃惊不已，“要我做这么大的事？办不到，办不到！”另一支旧钟说：“别 听他胡说八道，不用害怕，你只要每秒滴答摆一下就行了。” “天下哪有这么简单的事情？”小钟将信将疑，“如果这样，我就试试吧。”小钟很轻松地每秒滴答摆一 下，不知不觉中，一年过去了，它摆了三千两百万次。 成功就是这样，把简单的事做到极致，就能成功。 例1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值是（） A．B．C．D． 例2.如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，则AC的长为（） A．1 B．C．3 D．
例3．cos 60°的值等于（ ） A ． B ． C ． D ． 例4．如图，在半径为1的⊙O 中，∠AOB =45°，则sinC 的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 练习一 锐角三角函数 1．已知sinA= 2 1 （∠A 为锐角），则∠A=_________，cosA_______，tanA=__________． 2．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，1a =，2b =，则cosA=________，tanA=_________． 3．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AB=5，BC=3，则sinA=________， tanA=_________． 4．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，∠A=30o，4b =，则a =__________，c =__________． 5．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，若sinA= 5 3 ，则cosB=_________． 6．已知cosA= 2 3 ，且∠B=90o-∠A ，则sinB=__________． 7．若∠A 是锐角，且cosA=sinA ，则∠A 的度数是（ ） A 、30o B 、45o C 、60o D 、不能确定 8．如图，电线杆AB 的中点C 处有一标志物，在地面D 点处测得标志物的仰角为45°，若点D 到电线杆底部点B 的距离为 a ，则电线杆AB 的长可表示为 A ．a B ．2a C ．3 2a D ．52 a D C B A
初中数学锐角三角函数的真题汇编含答案
初中数学锐角三角函数的真题汇编含答案 一、选择题 1．将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，则CD的长为（） A．43B．12﹣43C．12﹣63D．63 【答案】B 【解析】 【分析】 过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝60°，进而可得出答案． 【详解】 解：过点B作BM⊥FD于点M， 在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝122， ∴BC＝AC＝122． ∵AB∥CF， ∴BM＝BC×sin45°＝ 2 12212 ?= CM＝BM＝12， 在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°， ∴∠EDF＝60°， ∴MD＝BM÷tan60°＝43， ∴CD＝CM﹣MD＝12﹣43． 故选B． 【点睛】 本题考查了解直角三角形，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立直角三角形利用所学的三角函数的关系进行解答． 2．在课外实践中，小明为了测量江中信号塔A离河边的距离AB，采取了如下措施：如
图在江边D 处，测得信号塔A 的俯角为40?，若55DE =米，DE CE ⊥，36CE =米， CE 平行于AB ，BC 的坡度为1:0.75i =，坡长140BC =米，则AB 的长为( )（精确到0.1米，参考数据：sin 400.64?≈，cos400.77?≈，tan 400.84?≈） A ．78.6米 B ．78.7米 C ．78.8米 D ．78.9米 【答案】C 【解析】 【分析】 如下图，先在Rt △CBF 中求得BF 、CF 的长，再利用Rt △ADG 求AG 的长，进而得到AB 的长度 【详解】 如下图，过点C 作AB 的垂线，交AB 延长线于点F ，延长DE 交AB 延长线于点G ∵BC 的坡度为1:0.75 ∴设CF 为xm ，则BF 为0.75xm ∵BC=140m ∴在Rt △BCF 中，()2 220.75140x x +=，解得：x=112 ∴CF=112m ，BF=84m ∵DE ⊥CE ，CE ∥AB ，∴DG ⊥AB ，∴△ADG 是直角三角形 ∵DE=55m ，CE=FG=36m ∴DG=167m ，BG=120m 设AB=ym ∵∠DAB=40° ∴tan40°= 167 0.84120 DG AG y ==+ 解得：y=78.8 故选：C 【点睛】 本题是三角函数的考查，注意题干中的坡度指的是斜边与水平面夹角的正弦值.
初中数学锐角三角函数定义大全
初中数学：锐角三角函数定义大全 锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的锐角三角函数。 正弦（sin）等于对边比斜边；sinA=a/c 余弦（cos）等于邻边比斜边；cosA=b/c 正切（tan）等于对边比邻边；tanA=a/b 余切（cot）等于邻边比对边；cotA=b/a 正割（sec)等于斜边比邻边；secA=c/b 余割(csc)等于斜边比对边。cscA=c/a 互余角的三角函数间的关系 sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα. 平方关系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) 积的关系： sinα=tanα·cosα cosα=cotα·sinα tanα=sinα·secα cotα=cosα·cscα secα=tanα·cscα cscα=secα·cotα 倒数关系： tanα·cotα=1
sinα·cscα=1 cosα·secα=1 特殊的三角函数值 0°30°45°60°90° 01/2√2/2√3/21←sinA 1√3/2√2/21/20←cosA 0√3/31√3None←tanA None√31√3/30←cotA 诱导公式 sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosα tan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotα
sin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2－α）=tanαsin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotα
2018年中考数学《锐角三角函数》专题练习含答案
2018中考数学专题练习《锐角三角函数》 (时间:100分钟 满分:120分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.下列各数是有理数的是( ) A. B. 4π C. sin 45? D. 1 cos60? 2一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除并改造成供轮椅行走的斜坡，数据如图1所示，则下列关系或说法正确的是( ) A.斜坡AB 的坡度是10o B.斜坡AB 的坡度是tan10? C. 1.2tan10AC =?米 D. 1.2 cos10AB = ? 米 3.在ABC ?中，A ∠，B ∠都是锐角，且1 sin 2 A = ，cos 2B =，则ABC ?三个角 的大小关系是( ) A. C A B ∠>∠>∠ B. B C A ∠>∠>∠ C. A B C ∠>∠>∠ D. C B A ∠>∠>∠ 4.如图2，在R t A B C ?中，90A ∠=?，AD BC ⊥于点D ，:3:2BD CD =，则t a n B 的值是( ) A. 32 B. 2 3 C. D. 5.如图3，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长 线于点E ，30A ∠=?，则s sin E 的值为( ) A. 1 2 B. 2 C. D.
6.数学社团的同学们对某塔的高度进行了测量，如图4，他们在A 处仰望塔顶，测得仰角为30o，再往楼的方向前进60 m 至B 处，测得仰角为60o，若学生的身高忽略不计， 1.7≈，结果精确到1m ，则该楼的高度CD 为( ) A.47 m B.51 m C.53 m D.54 m 7.如图5，点O 是摩天轮的圆心，长为110米的AB 是其垂直地面的直径，小莹在地面C 点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A 的仰角为33o，测得圆心O 的仰角为21o，则小莹所在C 点到直径AB 所在直线的距离约为(参考数据:tan330.65?≈，tan 210.38?≈)( ) 图 5 A.169米 B.204米 C.240米 D.407米 8.如图6，在ABC ?中，已知90ABC ∠=?，点D 沿BC 自B 向C 运动(点D 与点B ， C 不重合)，作BE AD ⊥于E ，CF AD ⊥交AD 的延长线于F ，则BE CF +的值( ) A.不变 B.增大 C.减小 D.先变大，再变小 9.如图7，轮船从B 处以每小时50海里的速度沿南偏东30o方向匀速航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东75o的方向上，轮船航行半小时到达C 处，在C 处观测灯塔A 位于北偏东60o的方向上，则C 处与灯塔A 的距离是( ) A. B.
锐角三角函数练习及其答案
解直角三角形 学习目标、重点、难点 【学习目标】 1.理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 2．会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决． 【重点难点】 1.直角三角形的解法． 2.三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 3.实际问题转化成数学模型. 知识概览图 解直角三角形的定义：在直角三角形中，由已知元素求未知元 素的过程 三边关系：a 2＋b 2＝c 2(勾股定理) 两锐角关系：两锐角互余 边角关系：三角函数 30°角所对的直角边等于斜边的一 半 两边一角：由勾 股定理求另一边，再求角 一边一角：由三 角函数求另两边，再求角 新课导引 【生活链接】如右图所示，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°，现有一个长6 m 的梯子． (1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙?(结果保留小数点后一位) (2)当梯子底端距离墙面2.4 m 时，梯子与地面所成的角a 等于多少?这时人 解直角三角形 直角三角形的有关性质 解直角三角形的基本类型及方法
是否能够安全使用这个梯子?(结果保留整数) 【问题探究】对于问题(1)，当梯子与地面所成的角α为75°时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能安全攀到的最大高度，即在Rt△ABC中，已知∠A＝75°，斜边AB＝6，求∠A的对边BC的长．由sin A＝BC AB ，得BC＝AB2sin A＝6sin75°．由计算器求得sin 75°≈0.97，∴BC≈630.97≈5.8(m)．那么对于问题(2)，该如何求解呢? 教材精华 知识点1 解直角三角形的概念 如图28－30所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝50°，c ＝5，如何求∠B，a，b呢? 由∠A＋∠B＝90°，∠A＝50°，得∠B＝90°－∠A＝40°． 由sin A＝a c ，得a＝c2sin A＝52sin 50°≈530.7660＝3.83． 由cos A＝b c ，得b＝c2cos A＝52cos 50°≈530.6428＝3.214．上述问题中，除直角外，已知一条边和一个锐角，求另外两条边和一个锐角，于是有： 一般地，直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 拓展直角三角形中一共有六个元素，即三条边和三个角，除直角外，另外的五个元素中，只要已知一条边和一个角或两条边，就可以求出其余的所有未知元素． 知识点2 解直角三角形的理论依据 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边． (1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2(勾股定理)． (2)两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°． (3)边角之间的关系：sin A＝a c ，cos A＝b c ，tan A＝a b ，sin B＝b c ，cos B＝a c ，tan B＝b a . (4)直角三角形中的有关定理．
(人教版初中数学)锐角三角函数
锐角三角函数 一．〖基础训练〗 1、在△ABC 中,∠C ＝90°,则sinA= ,cosA= tanA= cotA= . 2、根据直角三角形的 元素（至少有一个边）,求出 其它所有元素的过程,即解直角三角形 3．Rt △ABC 中,若sinA ＝45 ,AB ＝10,那么BC ＝ ,tanB ＝ 4．写出适合条件的锐角α Sin600= , tan300= ,cos α＝32 ,α= , 5、在△ABC 中,∠C ＝90°,AC=6,BC=8,那么sinA= 6、sin300+tan450= . 7、若sin α=cos70°,则角α等于 A ．70°； B ．60°； C ．45°； D ．20°． 8、（讲解）若∠A 为锐角,且cosA ≤ 12 ,那么（ ） A 、00≤A ≤600 B 、600≤A ≤900 C 、00≤A ≤300 D 、300≤A ≤90 0 二．〖中考在线〗（讲解） 1、（2004年中考题）．在△ABC 中,∠C ＝90°,sinA ＝35 ,则cosA 的值是（ ） （A ） 35 （B ）45 （C ）925 （D ）1625 2、如图,(2003年第21题)在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,tanB=cos ∠DAC. (1)求证：AC=BD （2）若sinC=1213 ,BC=12,求AD 的长. 三．〖考点训练〗 1．Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AB ＝6,AC ＝2,则sinA ＝（ ） （A ） 13 （B ）23 （C ）23 2 （D ）23 2．已知∠A ＋∠B ＝90°,则下列各式中正确的是（ ） A B C D
九年级——锐角三角函数
锐角三角函数 【正弦、余弦与正切的概念】 【基础练习】 【例1】（2012?营口）在Rt△ABC中，若∠C=90°，BC=6，AC=8，则sinA的值为（） A ． 4 5 B． 3 5 C ． 3 4 D． 4 3 【例2】（2012?遂宁）在△ABC中，∠C=90°，BC=4，AB=5，则cosB的值是（） A． 4 5 B． 3 5 C． 3 4 D． 4 3 【例3】（2012?青海）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tanB的值是（） A． 4 5 B． 3 5 C． 3 4 D． 4 3 【例4】（2012?宁波）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB= 2 3，则BC的长为（）A．4 B．5C． 1813 13 D． 1213 13
【例5】（2012?哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则sinB的值是（） A ． 2 3 B． 3 5 C． 3 4 D. 3 4 【例6】如图，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，且PM：OM=3：4，则cosα的值等于（） A． 3 4 B． 4 3 C． 4 5 D． 3 5 【例7】在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列各项中正确的是（）A．a=c·sinB B．a=c·cosB C．a=c·tanB D．以上均不正确 【例8】在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA= 2 3，则tanB等于（） A． 3 5 B． 5 3 C． 2 5 5D． 5 2 【例9】如图，在△ABC中，∠C=90°，BC：AC=1：2，则sinA=_______，cosA=______，tanB=______．【例10】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，b=20，c=202，则∠B的度数为_______．
锐角三角函数知识点及试题(含答案).
锐角三角函数 一.知识框架 二.知识概念 1.Rt △ABC 中 (1∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦,记作sinA = ∠A 的对边 斜边 (2∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦,记作cosA = ∠A 的邻边斜边 (3∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切,记作tanA = ∠A 的对边
∠A 的邻边 (4∠A 的邻边与对边的比值是∠A 的余切,记作cota = ∠A 的邻边∠A 的对边 2.特殊值的三角函数: 锐角三角函数(1 基础扫描 1. 求出下图中sinD ,sinE 的值. 2.把Rt △ABC 各边的长度都扩大2倍得Rt △A ′B ′ C ′,那么锐角A 、A ′的正弦值的关系为( . A . sinA =sinA ′ B . sinA =2sinA ′ C . 2sinA =sinA ′ D . 不能确定 3.在Rt △ABC 中,∠C=90°,若AB =5,AC =4,则sinB 的值是( A . 35
B . 45 C . 34 D . 4 3 4. 如图,△ABC 中,AB=25,BC=7,CA=24.求sinA 的值. 25 24 7C B A 5. 计算:sin30°·sin 60°+sin45°. 能力拓展 6. 如图,B 是线段AC 的中点,过点C 的直线l 与AC 成60°的角,在直线上取一点P ,连接AP 、PB ,使sin ∠APB=1 2,则满足条件的点P 的个数是( A 1个 B 2个 C 3个
D 不存在 7. 如图,△ABC 中,∠A 是锐角,求证:1 sin 2 ABC S AB AC A ?= ?? 8.等腰△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,求sinA 、sinB . l C B A (第7题图 85 F E D 创新学习 9. 如图,△ABC的顶点都是正方形网格中的格点,则sin∠BAC等于( A. B C.
中考数学锐角三角函数真题汇编
中考数学真题汇编:锐角三角函数 (WORD版本真题试卷+名师解析答案，建议下载保存) 一、选择题 1.的值等于（） A. B. C. 1 D. 【答案】B 2.如图，过点，，，点是轴下方上的一点，连接，，则的度数是（） A. B. C. D. 【答案】B 3.如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的直径是( ) A.3 B. C. D. 【答案】D
4.如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面CD的坡度，坡长米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：，，） A. 12.6米 B. 13.1米 C. 14.7米 D. 16.3米 【答案】B 5.一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据：）（） A. 4.64海里 B. 5.49海里 C. 6.12海里 D. 6.21海里 【答案】B 6.如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（） A. B. C. D. 【答案】B
7. 如图，已知在中，，，，则的值是（） A. B. C. D. 【答案】A 8. 如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B 在同一条直线上）（） A. B. C. D. h?cosα 【答案】B 二、填空题 9.如图．一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在处测得岛礁在东北方向上，继续航行1．5小时后到达处此时测得岛礁在北偏东方向,同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向为了在台风到来之前用最短时间到达处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行 ________小时即可到达(结果保留根号) 【答案】 10.如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=________。
中考数学真题汇编 锐角三角函数
中考数学真题汇编:锐角三角函数 一、选择题 1.的值等于（） A. B. C. 1 D. 【答案】B 2.如图，过点，，，点是轴下方上的一点，连接，， 则的度数是（） A. B. C. D. 【答案】B 3.如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的 直径是( ) A.3 B.
C. D. 【答案】D 4.如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面CD的坡度 ，坡长米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离米，则旗杆AB的高度约为 （） （参考数据：，，） A. 12.6米 B. 13.1 米 C. 14.7 米 D. 16.3米 【答案】B 5.一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后 两位）（参考数据：）（） A. 4.64海里 B. 5.49海 里 C. 6.12海 里 D. 6.21海里 【答案】B
6.如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（） A. B. C. D. 【答案】B 7. 如图，已知在中，，，，则的值是（） A. B. C. D. 【答案】A 8. 如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B 在同一条直线上）（）
A. B. C. D. h?cosα 【答案】B 二、填空题 9.如图．一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在处测得岛礁在东北方向上，继续航 行1．5小时后到达处此时测得岛礁在北偏东方向,同时测得岛礁正东方向上的避风港在 北偏东方向为了在台风到来之前用最短时间到达处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航 行________小时即可到达 (结果保留根号) 【答案】 10.如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=________。 【答案】 11.如图，把三角形纸片折叠，使点、点都与点重合，折痕分别为，，得到 ，若厘米，则的边的长为________厘米. 【答案】 12.如图，在菱形中，，分别在边上，将四边形沿翻折， 使的对应线段经过顶点，当时，的值为________.
《锐角三角函数》习题(含答案)正确无误版
《锐角三角函数》 一、选择题 1. 4 sin tan 5 ααα= 若为锐角,且，则为 ( ) 933425543 A B C D ． ． ． ． 2．在Rt △ABC 中，∠C = 90°，下列式子不一定成立的是（ ） A ．sinA = sin B B ．cosA=sinB C ．sinA=cosB D ．∠A+∠B=90° 3．直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（ ） A ．10 B ．22 C ．10或27 D ．无法确定 4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的关系式是（ ） A ．c = sin a A B ．c =cos a A C ．c = a ·tanA D ．c = tan a A | 5、 45cos 45sin +的值等于（ ） A. 2 B. 2 1 3+ C. 3 D. 1 6．在Rt △ABC 中，∠C=90°，tan A=3，AC 等于10，则S △ABC 等于( ) A. 3 B. 300 C. 50 3 D. 150 7．当锐角α>30°时，则cos α的值是（ ） A ．大于 12 B ．小于12 C ．大于3 D ．小于3 8．小明沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降（ ） A ．1米 B ．3米 C ．23 D ． 23 3 9．如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，则AB=（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）23 （D ）83 3 \ 10．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=4 3 ，BC=8，则AC 等于（ ） A ．6 B ．32 3 C ．10 D ．12 二、填空题 11．计算2sin30°+2cos60°+3tan45°=_______． 12．若sin28°=cos α，则α=________． 13．已知△ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则tanA=______．
初三数学锐角三角函数含答案
锐角三角函数 中考要求 重难点 1．掌握锐角三角函数的概念，会熟练运用特殊三角函数值； 2．知道锐角三角函数的取值范围以及变化规律； 3．同角三角函数、互余角三角函数之间的关系； 4．将实际问题转化为数学问题，建立数学模型． 课前预习 “正弦”的由来 公元五世纪到十二世纪，印度数学家对三角学作出了较大的贡献．尽管当时三角学仍然还是天文学的一个计算工具，是一个附属品，但是三角学的内容却由于印度数学家的努力而大大的丰富了．三角学中“正弦”和“余弦”的概念就是由印度数学家首先引进的，他们还造出了比托勒密更精确的正弦表． 托勒密和希帕克造出的弦表是圆的全弦表，它是把圆弧同弧所夹的弦对应起来的．印度数学家不同，他们把半弦(AC)与全弦所对弧的一半(AD)相对应，即将AC与∠AOC对应，这样，他们造出的就不再是“全弦表”，而是“正弦表”了．印度人称连结弧(AB)的两端的弦(AB)为“吉瓦”，是弓弦的意思；称AB的一半(AC) 为“阿尔哈吉瓦”．后来“吉瓦”这个词译成阿拉伯文时被误解为“弯曲”、“凹处”，阿拉伯语是“dschaib”．十二世纪，阿拉伯文被转译成拉丁文，这个字被意译成了“sinus”．三角学输入我国，开始于明崇祯4年(1631年)，这一年，邓玉函、汤若望和徐光启合编《大测》，作为历书的一部份呈献给朝廷，这是我国第一部编译的三角学．在《大测》中，首先将sinus译为“正半弦”，简称“正弦”，这就成了正弦一词的由来．
例题精讲 模块一 三角函数基础 一、锐角三角函数的定义 如图所示，在Rt ABC △中，a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠的对边． （1）正弦：Rt ABC ?中，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作sin A ，即sin a A c =． （2）余弦：Rt ABC ?中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作cos A ，即cos b A c =． （3）正切：Rt ABC ?中，锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作tan A ，即tan a A b =． 注意： ① 正弦、余弦、正切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意三角形随便套用定义． ② sin A 、cos A 、tan A 分别是正弦、余弦、正切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为sin 与A 、 cos 与A 、tan 与A 的乘积． ③ 在直角三角形中，正弦、余弦、正切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值，当这个锐角确定后，这些比值都是固定值． 二、特殊角三角函数 这些特殊角的三角函 数值一定要牢牢记住！ 三、锐角三角函数的取值范围 在Rt ABC ?中，90C ∠=?，000a b c a c b c >>><<，，，，，又sin a A c =，cos b A c =，tan a A b =，所以 0sin 10cos 1tan 0A A A <<<<>，，． 四、三角函数关系 a A
中考数学二轮 锐角三角函数 专项培优及详细答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，△ABC 内接于⊙O ，2,BC AB AC ==，点D 为AC 上的动点，且10 cos B =. (1)求AB 的长度； (2)在点D 运动的过程中，弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ，问AD?AE 的值是否变化？若不变，请求出AD?AE 的值；若变化，请说明理由. (3)在点D 的运动过程中，过A 点作AH ⊥BD ，求证：BH CD DH =+. 【答案】(1) 10AB ；(2) 10AD AE ?=；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB 即可求得AB 长； （2）连接DG ，则可得AG 为⊙O 的直径，继而可证明△DAG ∽△FAE ，根据相似三角形的性质可得AD?AE=AF?AG ，连接BG ，求得AF=3，FG= 1 3 ，继而即可求得AD?AE 的值； （3）连接CD ，延长BD 至点N ，使DN=CD ，连接AN ，通过证明△ADC ≌△ADN ，可得AC=AN ，继而可得AB=AN ，再根据AH ⊥BN ，即可证得BH=HD+CD. 【详解】（1)过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ， ∵AB=AC ，AF ⊥BC ，∴BF=CF=1 2BC=1， 在RtΔAFB 中，BF=1，∴AB=10 cos 10 BF B == （2）连接DG ， ∵AF ⊥BC ，BF=CF ，∴AG 为⊙O 的直径，∴∠ADG=∠AFE=90°， 又∵∠DAG=∠FAE ，∴△DAG ∽△FAE ， ∴AD ：AF=AG ：AE ， ∴AD?AE=AF?AG ， 连接BG ，则∠ABG=90°，∵BF ⊥AG ，∴BF 2=AF?FG ， ∵22AB BF -=3， ∴FG= 13 ，
中考数学锐角三角函数综合经典题附答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP的长为62 或 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE； （2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE； （3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得. 【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K， ∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO， ∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK， ∵△EFK是直角三角形，∴OF=1 2 EK=OE； （2）如图2中，延长EO交CF于K，
∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°， ∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF， ∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF， ∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF， ∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE； （3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H， ∵|CF﹣AE|=2，3AE=CK，∴FK=2， 在Rt△EFK中，tan∠3 ∴∠FEK=30°，∠EKF=60°， ∴EK=2FK=4，OF=1 2 EK=2， ∵△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2， 在Rt△PHF中，PH=1 2 PF=1，3OH=23 ∴()2 2 12362 +-=
广州市初中数学锐角三角函数的解析
广州市初中数学锐角三角函数的解析 一、选择题 1．将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A 为60°角与直尺的交点，B 为光盘与直尺的交点，AB =4，则光盘表示的圆的直径是( ) A ．4 B ．83 C ．6 D ．43 【答案】B 【解析】 【分析】 设三角板与圆的切点为C ，连接OA 、OB ，根据切线长定理可得AB=AC=3，∠OAB=60°，然后根据三角函数，即可得出答案. 【详解】 设三角板与圆的切点为C ，连接OA 、OB ， 由切线长定理知，AB =AC =3，AO 平分∠BAC ， ∴∠OAB =60°， 在Rt △ABO 中，OB =AB tan ∠OAB =43， ∴光盘的直径为83． 故选：B ． 【点睛】 本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数. 2．如图，AB 是O e 的弦，直径CD 交AB 于点E ，若3AE EB ==，15C ∠=o ，则OE 的长为( ) A 3 B ．4 C ．6 D ．33
【答案】D 【解析】 【分析】 连接OA ．证明OAB ?是等边三角形即可解决问题． 【详解】 如图，连接OA ． ∵AE EB =， ∴CD AB ⊥， ∴??AD BD =， ∴230BOD AOD ACD ∠=∠=∠=o ， ∴60AOB ∠=o ， ∵OA OB =， ∴AOB ?是等边三角形， ∵3AE =， ∴tan 6033OE AE =?=o ， 故选D ． 【点睛】 本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．如图，在等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 的中点，将△ABC 折叠，使点A 与点D 重合，EF 为折痕，则sin ∠BED 的值是（ ） A 5 B ．35 C 2 D ．23 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据翻折变换的性质得到DEF AEF ???，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性