菱形的性质 公开课获奖教案

18.2.2 菱 形 第1课时 菱形的性质

1．掌握的定义和性质及菱形面积的求法；(重点)

2．灵活运用菱形的性质解决问题．(难点)

一、情境导入

将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形呢？这就是另一类特殊的平行四边形，即菱形．

二、合作探究

探究点一：菱形的性质

【类型一】 利用菱形的性质证明线段相等

如图，四边形ABCD 是菱形，

CE ⊥AB 交AB 延长线于E ，CF ⊥AD 交AD 延长线于F .求证：CE ＝CF

.

解析：连接AC .根据菱形的性质可得AC 平分

∠DAB ，再根据角平分线的性质可得CE ＝FC .

证明：连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 平分∠DAB .∵CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴CE ＝CF .

方法总结：菱形的两条对角线互相垂

直，并且每一条对角线平分一组对角；角平

分线的性质：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

【类型二】 利用菱形的性质进行有关的计算

如图，O 是菱形ABCD 对角线AC

与BD 的交点，CD ＝5cm ，OD ＝3cm.过点C 作CE ∥DB ，过点B 作BE ∥AC ，CE 与BE 相交于点E .

(1)求OC 的长；

(2)求四边形OBEC 的面积．

解析：(1)在直角三角形OCD 中，利用勾股定理即可求解；(2)利用矩形的定义即可证明四边形OBEC 为矩形，再利用矩形的面积公式即可直接求解．

解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD .在直角三角形OCD 中，OC ＝CD 2－OD 2＝52－32＝4(cm)；

(2)∵CE ∥DB ，BE ∥AC ，∴四边形OBEC 为平行四边形．又∵AC ⊥BD ，即∠COB ＝90°，∴平行四边形OBEC 为矩形．∵OB ＝OD ，∴S 矩形OBEC ＝OB ·OC ＝4×3＝12(cm 2)．

方法总结：菱形的对角线互相垂直，则菱形对角线将菱形分成四个直角三角形，所以可以利用勾股定理解决一些计算问题．

【类型三】 运用菱形的性质证明角相等

如图，四边形ABCD是菱形，对

角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，

连接OH，求证：∠DHO＝∠DCO.

解析：根据“菱形的对角线互相平分”

可得OD＝OB，再根据“直角三角形斜边上

的中线等于斜边的一半”可得OH＝OB，

∠OHB＝∠OBH，根据“两直线平行，内错

角相等”求出∠OBH＝∠ODC，然后根据

“等角的余角相等”证明即可．

证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OD

＝OB，∠COD＝90°.∵DH⊥AB，∴OH＝

1

2

BD＝OB，∴∠OHB＝∠OBH.又∵AB∥CD，

∴∠OBH＝∠ODC，∴∠OHB＝∠ODC.在

Rt△COD中，∠ODC＋∠DCO＝90°.在

Rt△DHB中，∠DHO＋∠OHB＝90°，

∴∠DHO＝∠DCO.

方法总结：本题考查了菱形的对角线互

相垂直平分的性质，直角三角形斜边上的中

线等于斜边的一半的性质，以及等角的余角

相等，熟记各性质并理清图中角度的关系是

解题的关键．

【类型四】运用菱形的性质解决探究

性问题

感知：如图①，在菱形ABCD中，

AB＝BD，点E、F分别在边AB、AD上．若

AE＝DF，易知△ADE≌△DBF.

探究：如图②，在菱形ABCD中，AB

＝BD，点E、F分别在BA、AD的延长线上．若

AE＝DF，△ADE与△DBF是否全等？如果

全等，请证明；如果不全等，请说明理由．

拓展：如图③，在?ABCD中，AD＝BD，

点O是AD边的垂直平分线与BD的交点，

点E、F分别在OA、AD的延长线上．若AE

＝DF，∠ADB＝50°，∠AFB＝32°，求∠ADE

的度数．

解析：探究：△ADE与△DBF全等，

利用菱形的性质首先证明三角形ABD为等

边三角形，再利用全等三角形的判定方法即

可证明△ADE≌△DBF；拓展：因为点O在

AD的垂直平分线上，所以OA＝OD，再通

过证明△ADE≌△DBF，利用全等三角形的

性质即可求出∠ADE的度数．

解：探究：△ADE与△DBF全等．∵

四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD.∵AB＝

BD，∴AB＝AD＝BD，∴△ABD为等边三

角形，∴∠DAB＝∠ADB＝60°，∴∠EAD

＝∠FDB＝120°.∵AE＝DF，

∴△ADE≌△DBF；

拓展：∵点O在AD的垂直平分线上，

∴OA＝OD.∴∠DAO＝∠ADB＝50°，

∴∠EAD＝∠FDB＝130°.∵AE＝DF，AD＝

DB，∴△ADE≌△DBF，∴∠DEA＝∠AFB

＝32°，∴∠EDA＝∠OAD－∠DEA＝18°.

方法总结：本题考查了菱形的性质、等

边三角形的判定和性质以及全等三角形的

判定和性质的综合运用，解题时一定要熟悉

相关的基础知识并进行联想．

探究点二：菱形的面积

已知菱形ABCD中，对角线AC

与BD相交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，

则该菱形的面积是()

A．163B．83C．43

D．8

解析：∵四边形ABCD是菱形，∴AB

＝BC，OA＝

1

2AC＝2，OB＝

1

2BD，AC⊥BD，

∠BAD＋∠ABC＝180°.∵∠BAD＝120°，

∴∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC＝4，∴OB＝AB2－OA2＝

42－22＝23，∴BD ＝2OB ＝43，∴S 菱形

ABCD ＝12AC ·BD ＝1

2×4×43＝8 3.故选B. 方法总结：菱形的面积有三种计算方

法：①将其看成平行四边形，用底与高的积来求；②对角线分得的四个全等三角形面积之和；③两条对角线的乘积的一半．

三、板书设计 1．菱形的性质

菱形的四边条都相等；

菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．

2．菱形的面积

S 菱形＝边长×对应高＝1

2ab (a ，b 分别是

两条对角线的长)

通过剪纸活动让学生主动探索菱形的性质，大多数学生能全部得到结论，少数需要教师加以引导．但是学生得到的结论，有一些是他们的猜想，是否正确还需要证明，因此问题就上升到证明这个环节．在整个新知生成过程中，探究活动起了重要的作用．课堂中学生始终处于观察、比较、概括、总结和积极思维状态，切身感受到自己是学习的主人．为学生今后获取知识、探索发现和创造打下了良好的基础，更增强了敢于实践，勇于探索，不断创新和努力学习数学知识的信心和勇气．

17．1 勾股定理

第1课时 勾股定理

1．经历探索及验证勾股定理的过程，

体会数形结合的思想；(重点)

2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题；(重点)

3．了解利用拼图验证勾股定理的方法．(难点)

一、情境导入

如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？

二、合作探究

探究点一：勾股定理

【类型一】 直接运用勾股定理

如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，

AB ＝13cm ，BC ＝5cm ，CD ⊥AB 于D ，求：

(1)AC 的长； (2)S △ABC ； (3)CD 的长．

解析：(1)由于在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13cm ，BC ＝5cm ，根据勾股定理即可求出AC 的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S △ABC ；(3)根据面积公式得到CD ·AB ＝BC ·AC 即可求出CD .

解：(1)∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13cm ，BC ＝5cm ，∴AC ＝AB 2－BC 2＝12cm ；

(2)S △ABC ＝12CB ·AC ＝1

2

×5×12＝30(cm 2)；

(3)∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝1

2CD ·AB ，∴CD

＝

AC ·BC AB ＝60

13

cm.

方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．

【类型二】分类讨论思想在勾股定理中的应用

在△ABC中，AB＝15，AC＝13，

BC边上的高AD＝12，试求△ABC的周长．

解析：本题应分△ABC为锐角三角形和

钝角三角形两种情况进行讨论．

解：此题应分两种情况说明：

(1)当△ABC为锐角三角形时，如图①

所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝

152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝

AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝5

＋9

＝14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；

(2)当△ABC为钝角三角形时，如图②

所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝

152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝

AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝9－5

＝4，∴△ABC的周长为15＋13＋4＝32.∴

当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长

为42；当△ABC为钝角三角形时，△

ABC

的周长为32.

方法总结：解题时要考虑全面，对于存

在的可能情况，可作出相应的图形，判断是

否符合题意．

【类型三】勾股定理的证明

探索与研究：

方法1：如图：

对任意的符合条件的直角三角形ABC

绕其顶点A旋转90°得直角三角形AED，所

以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正

方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，

而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和

Rt△BFE的面积之和．根据图示写出证明勾

股定理的过程；

方法2：如图：

该图形是由任意的符合条件的两个全

等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根

据图示再写出一种证明勾股定理的方法

吗？

解析：方法1：根据四边形ABFE面积

等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和进行

解答；方法2：根据△ABC和Rt△ACD的

面积之和等于Rt△ABD和△BCD的面积之

和解答．

解：方法1：S正方形ACFD＝S四边形ABFE＝S△BAE

＋S△BFE，即b2＝

1

2c

2＋1

2(b＋a)(b－a)，整理

得2b2＝c2＋b2－a2，∴a2＋b2＝c2；

方法2：此图也可以看成Rt△BEA绕其

直角顶点E顺时针旋转90°，再向下平移得

到．∵S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD，S四边形ABCD

＝S△ABD＋S△BCD，∴S△ABC＋S△ACD＝S△ABD＋

S△BCD，即

1

2b

2＋1

2ab＝

1

2c

2＋1

2a(b－a)，整理得

b2＋ab＝c2＋a(b－a)，b2＋ab＝c2＋ab－a2，

∴a

2＋b2＝c2.

方法总结：证明勾股定理时，用几个全

等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后

利用大图形的面积等于几个小图形的面积

和化简整理证明勾股定理．

探究点二：勾股定理与图形的面积

如图是一株美丽的勾股树，其中

所有的四边形都是正方形，所有的三角形都

是直角三角形，若正方形A、B、C、

D的面

积分别为2，5，1，2.则最大的正方形E的

面积是________．

解析：根据勾股定理的几何意义，可得正方形A、B的面积和为S1，正方形C、D 的面积和为S2，S1＋S2＝S3，即S3＝2＋5＋1＋2＝10.故答案为10.

方法总结：能够发现正方形A、B、C、D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A、

B、C、D的面积和即是最大正方形的面积．

三、板书设计

1．勾股定理

如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.

2．勾股定理的证明

“赵爽弦图”、“刘徽青朱出入图”、“詹姆斯·加菲尔德拼图”、“毕达哥拉斯图”．

3．勾股定理与图形的面积

课堂教学中，要注意调动学生的积极性．让学生满怀激情地投入到学习中，提高课堂效率．勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，设计一些拼图活动，并自制精巧的课件让学生从形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究突破本节课的难点．