(完整word版)高三数学空间向量专题复习附答案
一、利用向量处理平行与垂直问题
例1、 在直三棱柱111C B A ABC -中，090=∠ACB , 030=∠BAC ,M A A BC ,6,11==是1CC 得中点。求证：AM B A ⊥1
练习：棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，在棱DD 1上是否存在点P 使B 1D ⊥面P AC ？
例2 如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点N M ,分别在对角线AE BD ,上，且AE AN BD BM 3
1,31==,求证：//MN 平面CDE
练习1、在正方体1111D C B A ABCD -中,E,F 分别是BB 1,,CD 中点，求证：D 1F ⊥平面ADE
2、如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中, ?=∠60ABC ，
,2,a PD PB a AC PA ====点E 在PD 上,且PE :ED = 2: 1.在棱PC 上是否存在一点
F, 使BF ∥平面AEC?证明你的结论.
二、利用空间向量求空间的角的问题
例1 在正方体1111D C B A ABCD -中,E 1，F 1分别在A 1B 1,,C 1D 1上，且E 1B 1=4
1A 1B 1，D 1F 1=4
1D 1C 1，求BE 1与DF 1所成的角的大小。
例2 在正方体1111D C B A ABCD -中, F 分别是BC 的中点，点E 在D 1C 1上,且
=
11E D 41
D 1C 1,试求直线
E 1
F 与平面D 1AC
例3 在正方体1111D C B A ABCD -中,求二面角1C BD A --的大小。
z
x
1
C
F
D C
B
A
例4 已知E,F分别是正方体
1
1
1
1
D
C
B
A
ABCD-的棱BC和CD的中点，求：
（1）A1D与EF所成角的大小；
（2）A1F与平面B1EB所成角的大小；
（3）二面角B
B
D
C-
-
1
1
的大小。
三、利用空间向量求空间的距离的问题
例1 直三棱柱AB C-A1B1C1的侧棱AA1，底面ΔAB C
求点B1到平面A1B C的距离。
例2如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，2
=
=
=
=BD
CD
CB
CA
2
=
=AD
AB
（I）求证：AO⊥平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD
（III）求点E到平面ACD的距离。
例3如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，
F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B-AC-E的大小；
（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离。
空间向量与立体几何考点系统复习
一、利用向量处理平行与垂直问题（特别是探索性问题）
例1、 在直三棱柱111C B A ABC -中，090=∠ACB , 030=∠BAC ,M A A BC ,6,11==是1CC 得中点。求证：AM B A ⊥1
证明：如图，建立空间坐标系
)2
6
,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),6,0,3(1M A B A )6,1,3(),2
6
,0,3(1--=-=A AM 01=?A
练习：棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，在棱DD 1上是否存在点P 使B 1D ⊥面P AC ？
解：以D 为原点建立如图所示的坐标系，
设存在点P （0，0，z ），
AP u u u r =(-a ,0,z )，AC u u u r =(-a ,a ,0)，1DB u u u u r =(a ,a ,a )， ∵B 1D ⊥面
P AC ，∴01=?DB ，
01=?DB
∴－a 2+az =0∴z =a ，即点P 与D 1重合 ∴点P 与D 1重合时，DB 1⊥面P AC
例2 如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点N M ,分别在对角线AE BD ,上，且AE AN BD BM 3
1,31==,求证：//MN 平面CDE 证明：建立如图所示空间坐标系，设AB,AD,AF 长分别为3a ,3b ,3c
),0,2(c a BM AB NA NM -=++=
又平面CDE 的一个法向量)0,3,0(b = 由0=? 得到⊥
因为MN 不在平面CDE 内
所以NM//平面CDE
练习1、在正方体1111D C B A ABCD -中,E,F 分别是BB 1,,CD 中点，求证：D 1F ⊥平面ADE
证明：设正方体棱长为1，建立如图所示坐标系D -xyz
)0,0,1(=,)2
1
,,1,1(=
因为)1,2
1
,0(1-=D
所以0,011=?=?D D
D D ⊥⊥11,
D DA D
E =I 所以2、如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中, ?=∠60ABC ，
,2,a PD PB a AC PA ====点E 在PD 上,且PE :ED = 2: 1.在棱PC 上是否存在一点
F, 使BF ∥平面AEC?证明你的结论.
解答：根据题设条件，结合图形容易得到：
)3,32,0(,),,0(,)0,2,23(
a
a E a a D a a B - ),0,0(,)0,2
,23(a P a a C
),2,23(a a
a CP --=
假设存在点F
λ=),2
,23(a a
a λλλ--=。
???
? ??--=+=a a a CF BC BF λλλ,)21(,23 又)3
,32,
0(a
a AE =，)0,2,23(
a a AC = 则必存在实数21,λλ使得21λλ+=，把以上向量得坐标形式代入得
???
???
???
=-==?????
?????=+=
-=-2321213322)21(2323212211λλλλλλλλλλa a a a a a a 即有23
21+-= 所以，在棱PC 存在点F ，即PC 中点，能够使BF ∥平面AEC 。
二、利用空间向量求空间的角的问题
例1 在正方体1111D C B A ABCD -中,E 1，F 1分别在A 1B 1,,C 1D 1上，且E 1B 1=4
1A 1B 1，D 1F 1=4
1D 1C 1，求BE 1与DF 1所成的角的大小。
解：设正方体棱长为4，以1,,DD DC DA 为正交基底，建立如图所示空间坐标系
xyz D -
)4,1,0(1-=BE ,)4,1,0(1=DF ，?1BE 1DF ＝15
17
15|
|||,cos 1111=
11E D 4 1 D 1C 1,试求直线 E 1 F 与平面D 1AC 所成角的大小 解：设正方体棱长为1，以1,,DD 为单位正交基底，建立如图所示坐标系D -xyz 1DB 为D 1AC 平面的法向量，)1,1,1(1=DB )1,43 ,21(1-=E 87 87,cos 11>= 87 87 例3 在正方体1111D C B A ABCD -中,求二面角1C BD A --的大小。 解： 求出平面BD A 1与平面BD C 1的法向量 )1,1,1(,)1,1,1(21-=-=n n 3 1 ||||,cos 2121= 例4 已知E,F 分别是正方体1111D C B A ABCD -的棱BC 和CD 的中点，求： （1）A 1D 与EF 所成角的大小； （2）A 1F 与平面B 1EB 所成角的大小； （3）二面角B B D C --11的大小。 解：设正方体棱长为1，以1,,DD DC DA 为单位正交基底，建立如图所示坐标系 z 1 C D -xyz （1）)1,0,1(1--=A )0,21 ,21(--= 2 1| |||,cos 11=>= 1,1(1--=F A ,)0,1,0(=AB 3 1,cos 11= 6| |||,cos 11= >= 3 6 三、利用空间向量求空间的距离的问题 例1 直三棱柱AB C-A 1B 1C 1的侧棱AA 1，底面ΔAB C 中，∠C=90°，A C=B C=1，求点B 1到平面A 1B C 的距离。 解1：如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下： A （1,0,0）， B （0,1,0）， C （0,0,0）A 1（1,0, 3 ），B 1（0,1, 3 ），C 1（0,0, 3 ） ∴A 1 =（－1,1,－ 3 ），C A 1 =（－1,0,－ 3 ）11A B =（1,－1,0） 设平 面 A 1 B C 的一个法向?????=?=?0 011C A n B A n ???? ?=--=-+-?030 3z x z y x ?? ???==-=?103z y x 即)1,0,3(-= 所以，点B 1到平面A 1B C 的距离= = d 例2如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2====BD CD CB CA 2==AD AB （I ）求证：AO ⊥平面BCD ； （II ）求异面直线AB 与CD E F D C B A （III ）求点 E 到平面ACD 的距离。 解：（I ）略 （II ）解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则 (1,0,0),(1,0,0),B D -13 3,0),(0,0,1),(,(1,0,1),(1,3,0).22 C A E BA C D =-=--u u u r u u u r .2 cos ,,4BA CD BA CD BA CD ∴<>== u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ∴异面直线AB 与CD 所成角的大小为2 .4 （III ）解：设平面ACD 的法向量为(,,),n x y z =r 则 .(,,).(1,0,1)0,.(,,3,1)0, n AD x y z n AC x y z ?=--=??=-=??r u u u r r u u u r 0, 30.x z z +=??∴-= 令1,y =得(3,1,3)n =r 是平面ACD 的一个法向量，又13 (2EC =-u u u r ∴点E 到平面ACD 的距离.321 77EC n h n ===u u u r r r 例3如图，直二面角D-AB-E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE ＝EB ， F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ． （Ⅰ）求证：AE ⊥平面BCE ； （Ⅱ）求二面角B-AC-E 的大小； （Ⅲ）求点D 到平面ACE 的距离。 解（Ⅰ）略 （Ⅱ）以线段AB 的中点为原点O ，OE 所在直线为x 轴， AB 所在直线为y 轴，过O 点平行于AD 的直线为z 轴， 建立空间直角坐标系O —xyz ，如图. ⊥AE Θ面BCE ，BE ?面BCE ， BE AE ⊥∴， 在AB O AB AEB Rt 为中,2,=?的中点， ).2,1,0(),0,0,1(),0,1,0(1 C E A OE -∴=∴ ).2,2,0(),0,1,1(== 设平面AEC 的一个法向量为),,(z y x =， 则???=+=+?????=?=?.022, 0,0,0x y y x n AC 即解得???=-=,,x z x y 令,1=x 得)1,1,1(-=是平面AEC 的一个法向量. x C A B O D y z E 又平面BAC 的一个法向量为)0,0,1(=， .3 331| |||),cos(==?= ∴n m ∴二面角B —AC —E 的大小为.3 3arccos （III ）∵AD//z 轴，AD=2，∴)2,0,0(=， ∴点D 到平面ACE 的距离.33 2 32===d 空间向量与立体几何 (角度问题)教学设计 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 空间向量与立体几何（角度问题）教学设计 一、学习目标： 1．能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角； 2．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 3、探究题型，掌握解法。 二、重难点：向量法在立体几何中求空间的夹角应用。探究题型，掌握解法。 三、学情分析： 本节内容是高考热点问题，需要学生做到非常熟练。在平时的学习中，学生已经对该几类问题有所认识，本堂课重点在于让学生体会空间角度与向量角度之间的差异，培养学生养成良好的答题习惯。 四、教学过程 本节课为高三复习课，所以从开始直奔主题，从回顾旧知开始直接进入例题讲解、课堂练习、方法提炼、课堂小结，重点在于提炼解决类型题的方法 教师总结规律两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小 θ＝． (2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角 的小大θ＝ ． 求空间角：设直线l1，l2的方向向量分别 为a，b，平面α、β的法向量分别为n，m. ①异面直线l1与l2所成的角为θ，则cosθ ＝ |a·b| |a||b|. ②直线l1与平面α所成的角为θ，则sinθ ＝ |a·n| |a||n|. ③平面α与平面β所成的二面角为θ，则 |cosθ|＝ |n·m| |n||m|.、 结合图像，让学生更 直观地了解到二面角与直 线方向向量同平面法向量 之间所成的角存在的区别 与联系，从而找到适当的 方法进行调整 通过之前的对比，分 析清楚空间角与向量角之 间存在的差异后，找寻适 当的方法去解决差异，从 而统一解题方法。 高三数学选择题专题训练（一） 1．已知集合{}1),(≤+=y x y x P ，{ }1),(22≤+=y x y x Q ，则有 （ ） A ．Q P ?≠ B ．Q P = C ．P Q P = D ．Q Q P = 2．函数11)(+-=x x e e x f 的反函数是（ ） A ．)11( 11)(1<<-+-=-x x x Ln x f B ．)11(11)(1-<>+-=-x x x x Ln x f 或 C ．)11( 11)(1 <<--+=-x x x Ln x f D ．)11(11)(1-<>-+=-x x x x Ln x f 或 3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，369-=S ，10413-=S ，等比数列{}n b 中，55a b =，77a b =， 则6b 的值 （ ） A ．24 B ．24- C ．24± D ．无法确定 4．若α、β是两个不重合的平面， 、m 是两条不重合的直线，则α∥β的一个充分而非必要 条件是 （ ） A ． αα??m 且 ∥β m ∥β B ．βα??m 且 ∥m C ．βα⊥⊥m 且 ∥m D ． ∥α m ∥β 且 ∥m 5．已知n n n x a x a a x x x +++=++++++ 102)1()1()1(，若n a a a n -=+++-509121，则n 的 值 （ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 6．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，则)1(λλ-+=，)2,1(∈λ，则（ ） A ．点M 在线段A B 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上 D ．O ，A ，M ，B 四点共线 7．若A 为抛物线24 1x y = 的顶点，过抛物线焦点的直线交抛物线于B 、C 两点，则AC AB ?等于 （ ） A ．31- B ．3- C ．3 D ．43- 8．用四种不同颜色给正方体1111D C B A ABCD -的六个面涂色，要求相邻两个面涂不同的颜色， 则共有涂色方法 （ ） A ．24种 B ．72种 C ．96种 D ．48种 9．若函数x x a y 2cos 2sin -=的图象关于直线π8 7=x 对称，那么a 的值 （ ） A ．2 B ．2- C ．1 D ．1- 平面向量及空间向量高考数学专题训练（四） 一、选择题（本大题共12小题，每小题分6，共72分） 1．设-=1(a cos α,3), (=b sin )3,α,且a ∥b ， 则锐角α为（ ） A. 6π B. 4π C. 3 π D. 125π 2．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =?满足，则点P 的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 3．已知向量值是相互垂直，则与且k b a b a k b a -+-==2),2,0,1(),0,1,1(（ ） A. 1 B. 51 C. 53 D. 5 7 4．已知b a ,是非零向量且满足的夹角是与则b a b a b a b a ,)2(,)2(⊥-⊥-（ ） A. 6π B. 3 π C. 32π D. 65π 5．将函数y=sinx 的图像上各点按向量=a （2,3 π ）平移，再将所得图像上各点的横坐标 变为原来的2倍，则所得图像的解析式可以写成（ ） A.y=sin(2x+ 3π)+2 B.y=sin(2x －3 π )－2 C.y=(321π+x )－2 D.y=sin(321π-x )+2 6．若A,B 两点的坐标是A(3φcos ,3φsin ,1),B(2,cos θ2,sin θ1),||的取值范围是( ) A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25] 7．从点A(2,－1,7)沿向量)12,9,8(-=a 方向取线段长|AB|=34,则点B 的坐标为（ ） A.(-9,-7,7) B. (-9,-7,7) 或(9,7,-7) C. (18,17,-17) D. (18,17,-17)或(-18,-17,17) 8．平面直角坐标系中，O 为坐标原点， 已知两点A(3, 1)， B(-1, 3)，若点C 满足 =OB OA βα+, 其中α、β∈R 且α+β=1, 则点C 的轨迹方程为 ( ) A.01123=-+y x B.5)2()1(2 2 =-+-y x C. 02=-y x D. 052=-+y x 9．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于m ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则?的值为 （ ） A.2 m B. 212m C. 4 1 2m D. 432m 10．O 为空间中一定点，动点P 在A,B,C 三点确定的平面内且满足)()(-?-=0, 利用向量解决空间角问题 一、教材分析：立体几何是高中数学教学中的一个重要内容，在整个高中数学学习中占有重要的地位，它不仅能培养学生的辩证唯物主义观点，还能培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，是历年高考的重点考查内容之一。用向量法处理几何问题，可使空间形式的研究从“定性”推理转化为“定量”计算.空间角又是立体几何中的重要知识点，学好了它对其他数学知识的学习及贯穿运用有很大的帮助，因此在首轮复习有必要再对其进行专题复习。 二、学情分析 学生虽已学完了立体几何，也对立体几何有了一定的认识，但由于空间角是一个难点，一般的方法是由“作、证、算”三部分组成，学生对作出空间角的方法即如何化空间角为平面角并在可解三角形中来求解有一定的困难，还不能熟练掌握，而空间向量的引入，使立几问题演绎难度降低，相比较来说过关比较容易，因此有必要对此内容通过引入空间向量的方法进行专题训练，使学生能更好地掌握。 三、教学目标 知识基础：空间向量的数量积公式、夹角公式，坐标表示。 认知目标：掌握利用空间向量求空间角（两条异面直线所成的角，直线和平面所成的角及二面角）的方法，并能熟练准确的求解结果及完整合理的表达。 能力目标：培养学生观察分析、类比转化的能力；体验从“定性”推理到“定量”计算的转化，提高分析问题、解决问题的能力. 使学生更好的掌握化归和转化的思想。 情感目标：激发学生的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位；感受和体会数学美的魅力，激发“学数学用数学”的热情. 教学重点：1）向量法求空间角的方法和公式； 2）空间角与向量夹角的区别和联系。 教学难点：1)两条异面直线的夹角、二面角的平面角与两个空间向量的夹角之间的区别； 2)构建恰当的空间直角坐标系，并正确求出点的坐标及向量的坐标. 关键：建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空间向量的坐标,将几何问题转化为代数问题. 四、课型及课时安排 课型：高三首轮复习专题课课时：一节课 五、教学方法：启发式讲解互动式讨论研究式探索反馈式评价 六、教学手段：借助多媒体辅助教学 空间向量 一、向量的基本概念与运算 1.定义：在空间内，把具有大小和方向的量叫空间向量，可用有向线段来表示．用同向且 等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 2.零向量：起点与终点重合的向量叫做零向量，记为0或0． 3.书写：在手写向量时，在字母上方加上箭头，如a ，AB ． 4.模：表示向量a 的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||a 5.方向：有向线段的方向表示向量的方向． 6.基线：有向线段所在的直线叫做向量的基线． 7.平行向量：如果空间中一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平 行向量．a 平行于b 记为a b ∥． 8.向量运算：与平面向量类似； 二、空间向量的基本定理 1.共线向量定理：对空间两个向量a ，b （0b ≠），a b ∥的充要条件是存在实数x ，使a xb =． 2.共面向量：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量． 3.共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是， 存在唯一的一对实数x ，y ，使c xa yb =+． 4.空间向量分解定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一 个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p xa yb zc =++．表达式xa yb zc ++，叫做向量a ，b ，c 的线性表示式或线性组合． 注：上述定理中，a ，b ，c 叫做空间的一个基底，记作{}a b c ， ，，其中a b c ，，都叫做基向量． 由此定理知，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 三、向量的数量积 1.两个向量的夹角 已知两个非零向量a b ，，在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作a b ??， ．通常规定0πa b ??≤，≤．在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且a b b a ??=??， ，．如果90a b ??=，°，则称a 与b 互相垂直，记作a b ⊥． 2.两个向量的数量积 已知空间两个向量a ，b ，定义它们的数量积（或内积）为：||||cos a b a b a b ?=??， 空间两个向量的数量积具有如下性质： 1）||cos a e a a e ?=??，；（2）0a b a b ??=； （3）2||a a a =?；（4）a b a b ?||≤||||． 空间两个向量的数量积满足如下运算律： 1）()()a b a b λλ?=?；（2）a b b a ?=?；（3）()a b c a c b c +?=?+?． 四、空间向量的直角坐标运算 前提：建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量i j k ，，，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{}i j k ，，，这个基底叫做单位正交基底． 空间直角坐标系Oxyz ，也常说成空间直角坐标系[]O i j k ；， ，． 1.坐标 在空间直角坐标系中，已知任一向量a ，根据空间向量分解定理，存在唯一数组123()a a a ，，，使123a a i a j a k =++，1a i ，2a j ，3a k 分别叫做向量a 在i j k ，， 方向上的分量，有序实数组123()a a a ，，叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标．上式可以简记作123()a a a a =，，． 若123()a a a a =， ，，123()b b b b =，，， 则：112233()a b a b a b a b +=+++， ，；112233()a b a b a b a b -=---，，； 空间向量的概念解析 例1、下列说法中正确的是（ ） A.若｜a ｜=｜b ｜，则a,b 的长度相同，方向相同或相反 B.若向量a 是向量b 的相反向量，则｜a ｜=｜b ｜ C.空间向量的减法满足结合律 D.在四边形ABCD 中，一定有AB AD AC += 练习 1、给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点相同；③若空间向量a,b 满足｜a ｜=｜b ｜，则a=b ；④若空间向量m,n,p 满足m=n,n=p,则m=p ；⑤空间中任意两个单位向量必相等，其中正确命题的个数为（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 2、下列四个命题： （1）方向相反的两个向量是相反向量 （2）若a,b 满足｜a ｜＞｜b ｜，且a,b 同向，则a ＞b （3）不相等的两个空间向量的模必不相等 （4）对于任何向量a,b ，必有｜a+ b ｜≤｜a ｜+｜b ｜ 其中正确命题的序号为（ ） A.（1）（2）（3） B.（4） C.（3）（4） D.（1）（4） 空间向量的线性运算 例1、 已知长方体ABCD-A ’B ’C ’D ’,化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量 （1）AA CB '-（2）AB B C C D '''''++（3） 111222 AD AB A A '+- 练习 1、如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量的共有（ ） ①1()AB BC CC ++②11111()AA A D DC ++ ③111()AB BB BC ++④11111()AA A B BC ++ A.1个 B.2个 C.3个 D.4 个 利用空间向量求空间角 一、高考考纲要求： 能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题．体会向量法在立体几何中的应用． 二、命题趋势： 在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算，属中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多. 三、教学目标 知识与技能：能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用； 过程与方法：通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力； 情感态度价值观：通过数形结合的思想和方法的应用，进一步让学生感受和体会空间直角坐标系，方向向量，法向量的魅力. 四、教学重难点 重点：用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角； 难点：将立体几何问题转化为向量问题. 五、教学过程 （一）空间角公式 1、异面直线所成角公式：如图，设异面直线l ，m 的方向向量分别为a r ,b r ,异面直线l ，m 2、线面角公式：设直线l 为平面α的斜线，a r 为l 的方向向量，n r 为平面α的法向量，θ为 l 与α所成的角，则sin cos ,a n θ==r r a n a n ?r r r r . 3、面面角公式：设1n r ，2n r 分别为平面α、β的法向量，二面角为θ，则12,n n θ=r r 或 12,n n θπ=-r r （需要根据具体情况判断相等或互补） ，其中121212 cos ,n n n n n n ?=r r r r r r . α θ O n r a （二）典例分析 如图，已知：在直角梯形OABC 中，//OA BC ，90AOC ∠=o ，SO ⊥面OABC ，且 1,2OS OC BC OA ====.求： （1）异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值； （2）OS 与面SAB 所成角α的正弦值； （3）二面角B AS O --的余弦值. 解：如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ， (2,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，(0,0,1)S ， 于是我们有(2,0,1)SA =-u u r ，(1,1,0)AB =-u u u r ，(1,1,0)OB =u u u r ，(0,0,1)OS =u u u r ， （1）cos ,5SA OB SA OB SA OB ?== =u u r u u u r u u r u u u r u u r u u u r ， 所以异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值为5 . （2）设平面SAB 的法向量(,,)n x y z =r ， 则0,0, n AB n SA ??=???=??r u u u r r u u r ，即0,20.x y x z -+=??-=? 取1x =，则1y =，2z =，所以(1,1,2)n =r ， sin cos ,3OS n OS n OS n α?∴=== =u u u r r u u u r r u u u r r . （3）由（2）知平面SAB 的法向量1(1,1,2)n =u r ， 又OC ⊥Q 平面AOS ，OC ∴u u u r 是平面AOS 的法向量， 令2(0,1,0)n OC ==u u r u u u r ，则有121212 cos ,n n n n n n ?== =u r u u r u r u u r u r u u r . ∴二面角B AS O --O A B C S空间向量与立体几何(角度问题)教学设计
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