高中数学必修二直线与方程经典

高中数学必修 2 知识点——直线与方程

一、直线与方程

（1）直线的倾斜角 定义： x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 x 轴平行 或重合时 , 我们规定它的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 0°≤ α＜ 180° （2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是

90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常

用 k 表示。即 k tan (

900 ) 。斜率反映直线与 x 轴的倾斜程度。

当

0 ,90 时， k

0； 当 90 ,180 时， k 0； 当

90 时， k 不存在。

②过两点的直线的斜率公式：

k

y 2

y 1

(x 1 x 2 )

x 2

x 1

注意下面四点： (1) 当

x 1 x 2 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90°；

(2) k 与 P 1、P 2 的顺序无关； (3) 以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

(4) 求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 例 .如右图，直线 l 1 的倾斜角 = 30°，直线 l 1⊥ l 2，求直线 l 1 和 l 2 的斜率 .

y

解： k 1= tan30° =

3 ∵l 1⊥ l 2 ∴ k 1· k 2 = — 1

l 1

3

∴ k 2 = — 3

2

1

x

例： 直线 x

3y 5

0 的倾斜角是 (

)

o

l 2

A.120 °

B.150 °

C.60°

D.30 °

（3）直线方程

①点斜式： y

y 1 k (x x 1 ) 直线斜率 k ，且过点 x 1, y 1

注意：当直线的斜率为 0°时， k=0，直线的方程是 y =y 1。

当直线的斜率为 90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因

l

上每一点的横坐标都等于 x 1，所以它的方程是 x =x 1。

②斜截式： y kx b ，直线斜率为

k ，直线在 y 轴上的截距为 b

③两点式：

y y 1

x x 1 （ x 1 x 2 , y 1 y 2 ）即不包含于平行于 x 轴或 y 直线两点轴的直

y 2 y 1 x 2 x 1

线，直线两点 x 1, y 1 ， x 2 , y 2 ，当写成 (x 2

x 1 )( y y 1 ) ( y 2

y 1)( x x 1) 的形式时，方程

可以表示任何一条直线。 ④截矩式：

x

y 1

a

b

其中直线 l 与 x 轴交于点 ( a,0) , 与 y 轴交于点 (0,b) , 即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别为 a, b 。

对于平行于坐标轴或者过原点的方程不能用截距式。

⑤一般式： Ax By

C 0 （A ，B 不全为 0）

注意：○1 各式的适用范围

○2 特殊的方程如：

平行于 x 轴的直线： y b （ b 为常数）；

平行于 y 轴的直线： x a （ a 为常数）； 例题： 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：

(1)斜率是

1

，经过点 A(8 ， — 2)；

.

2

(2)经过点 B(4,2) ，平行于 x 轴；

.

(3)在 x 轴和

y 轴上的截距分别是

3, 3；

. 2

4)经过两点

P 1(3， — 2)、 P 2(5， —4)；

.

例 1：直线 l 的方程为

A ． C=0， B>0

C ． C= 0， AB<0

A x+

B y+

C = 0，若直线经过原点且位于第二、四象限，则（

B ．C= 0， B>0， A>0

D ． C= 0， AB>0

）

例 2：直线 l

的方程为

A x — By — C= 0，若

A 、

B 、 C

满足

AB.>0

且 BC<0 ，则 l 直线不经

的象限是（ ）

A ．第一

B ．第二

C ．第三

D ．第四

（ 4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线

（一）平行直线系

平行于已知直线

A x

B 0y C

0 （

A 0,

B 0 是不全为

0 的常数）的直线系：

A 0 x

B 0 y

C 0 （C 为常数）

（二）过定点的直线系

（ⅰ）斜率为 k 的直线系： y

y 0

k

x

x 0 ，直线过定点

x 0 , y 0 ；

（ⅱ）过两条直线

l 1 : A x B y

C

0 ， l 2 : A 2x B 2 y C 2 0 的交点的直线

1

1

1

系方程为 A x B y

C

A x

B y

C 0（ 为参数），其中直线 l 2

不在直线系中。

1 1

1

2 2 2

（三）垂直直线系

垂直于已知直线

Ax By C

0（ A,B 是不全为

0 的常数）的直线系：

Bx

Ay C 0

例 1：直线 l ： (2m+1) x+(m+1) y —7m — 4= 0 所经过的定点为 。 (m ∈ R)

（5）两直线平行与垂直

当 l 1 : y k 1 x

b 1 ， l 2 : y k 2 x b 2 时，

（ 1） l 1 // l 2 k 1 k 2 , b 1 b 2 ；（ 2） l 1 l 2

k 1k 2

1

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

（3） k 1

k 2 ,b 1 b 2

l 1 与 l 2 重合；（4） k 1

k 2 l 1 与 l 2 相交。

另 外 一 种 形 式 ： 一 般 的 ， 当 l 1

: A 1 x B 1 y C 1 0( A 1 , B 1不全为 0) ， 与

l 2 : A 2 x B 2 y C 2

0( A 2 , B 2不全为 0)

时，

（1） l 1

/ / l

2

A 1

B 2

A 2

B 1

0 A 1B 2 A 2B 1 0

，或者

。

B 1

C 2

B 2

C 1

AC

A C 0

2

1 2 1

（2） l

1

l 2 A 1 A 2 B 1B 2 0。

（3） l 1 与 l 2 重合A 1B 2 A 2 B 1 = B 1C 2 B 2C 1 = AC 12 A 2C 1 =0。 （4） l 1 与 l 2 相交A 1 B 2

A 2

B 1 0 。

例 .设直线 l 1 经过点 A( m ，1)、 B( — 3，4) ，直线

l 2 经过点 C(1，m)、 D(— 1， m+1)，

当 (1) l 1/ / l 2

(2)

l 1⊥ l 1 时分别求出 m 的值

例 1.已知两直线l1： x+(1+ m) y = 2— m 和 l2：2mx+4y+16= 0， m 为何值时l 1与 l2①相交②平行

例 2. 已知两直线 l 1： (3a+2) x+(1 — 4a) y + 8= 0 和 l 2： (5a—2)x+( a+4) y— 7= 0 垂直，求 a 值（6）两条直线的交点

l1 : A1 x B1 y C10 l2: A2x B2y C20 相交

交点坐标即方程组

A1x B1 y C10

A2 x B2 y C2的一组解。

方程组无解l1// l 2；方程组有无数解l1与l2重合

例3.求两条垂直直线 l 1： 2x+ y +2= 0 和 l 2： mx+4y—2= 0 的交点坐标

例 4. 已知直线 l 的方程为y11，

x

2

(1)求过点（ 2， 3）且垂直于 l 的直线方程；(2)求过点（ 2， 3）且平行于 l 的直线方程。例 2：求满足下列条件的直线方程

(1)经过点 P(2， 3)及两条直线 l 1： x+3y— 4= 0 和 l 2：5x+2y+ 1=0 的交点 Q；

(2)经过两条直线l 1：2x+y— 8= 0 和 l2： x— 2y+ 1= 0 的交点且与直线 4x—3y— 7= 0 平行；

(3)经过两条直线l 1：2x— 3y+10= 0 和 l2：3x+4y—2= 0 的交点且与直线 3x— 2y+4= 0 垂直；（7）两点间距离公式：设 A(x1 , y1 )，（B x2 , y2）是平面直角坐标系中的两个点，则|AB|( x2x1)2( y2 y1 )2

（ 8 ）点到直线距离公式：一点P x0, y0到直线l1: Ax By C 0的距离

d

Ax0 By0C

A2B2

（9）两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

对于 l

1: A x B y C0 l

2

: A x B

2

y C

2

0 来说：

1112

C1C2

。

d

B2

A2

例 1：求平行线l 1：3x+ 4y— 12= 0 与 l 2： ax+8y+11= 0 之间的距离。

例2：已知平行线 l1： 3x+2 y —6= 0 与 l 2： 6x+4y— 3= 0，求与它们距离相等的平行线方程。

(10)对称问题

1) 中心对称 A 、若点M ( x1 , y1) 及N (x, y)关于P( a, b)对称，则由中点坐标公式得

x 2a x1,

B 、直线关于点的对称，主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐

y 2b y1.

标公式求出它们对于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个

对称点，再利用 l1 / / l2，由点斜式得出所求直线的方程。

2) 轴对称 A 、点关于直线的对称：若 P1( x1 , y1) 与 P2 ( x2 , y2 ) 关于直线l : Ax By C 0 对

称，则线段 PP12的中点在对称轴l上，而且连结 PP12的直线垂直于对称轴 l，由方程组

A x

1

x

2B

y

1y2 C 0,

22

可得到点 P1关于l对称的点 P2的坐标 ( x2 , y2 ) （其中

y1y2 B ,

x1x2A

A0, x1x2 ) 。 B 、直线关于直线的对称：此类问题一般转化为关于直线对称的

点来解决，若已知直线l1与对称轴l相交，则交点必在与 l1对称的直线 l 2上，然后再求出 l1上任一个已知点P1关于对称轴l对称的点 P2，那么经过交点及点 P2的直线就是 l 2；

若已知直线 l1与对称轴l平行，则与 l1对称的直线和 l1到直线l的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出l1的对称直线。

例1：已知直线 l ： 2x— 3y+1=0 和点 P(— 1，— 2).

(1)分别求：点 P(—1，— 2)关于 x 轴、 y 轴、直线 y=x、原点 O 的对称点 Q 坐标

(2) 分别求：直线l ：2x— 3y+1=0 关于 x 轴、 y 轴、直线y=x 、原点 O 的对称的直线方程.

(3)求直线 l 关于点 P(—1，— 2)对称的直线方程。

(4)求 P(— 1，— 2)关于直线 l 轴对称的直线方程。

例 2：点 P(—1，— 2)关于直线l： x+y— 2= 0 的对称点的坐标为。

11. 中点坐标公式：已知两点P1 (x1， y1) 、P1(x1， y1)，则线段的中点M 坐标为 ( x

1

x

2 ，

2

y1y2

)

2

例 .已知点A(7，—4)、B(—5,6),求线段AB的垂直平分线的方程