微分形式及其应用

微分形式及其应用

1 引子

两个函数，如何检验它们是否互为函数呢

比如 y x f +=2

，6022

2

4

+++=y y x x g ，它们之间就有关系602

+=f g ，这很

明显。但是对于复杂的函数就未必一眼看得出。 另一个老实的办法是，计算它们的雅克比行列式

()0221442////),(,2

2=++=????????=??y

x xy

x x y g y f x g x f y x g f ，因此它们相关，互为函数关系。 对于多元的就要麻烦些，要计算多个雅克比。比如),,(),,,(z y x g z y x f ，要想判定他们是否互为函数，就要判定

()()y x g f ,,??，()()z y g f ,,??，()()

x z g f ,,??都为0才对。 有没有更好的表达方式呢有利用外微分（过一会再解释）

44444444)44()22(2)22()22(2)

2()2()602()602()

602()(33333

2

2242222422222422422242=∧-∧-∧+∧=∧+∧+∧+∧=+∧++∧=++∧+++∧=+∧++∧=+++∧++++∧=+++∧+=∧dy xydx dy dx x dy xydx dy dx x dx xydy dx dy x dy xydx dy dx x xydx dx x dy ydy dy x xdx dy x y dx dx dy dy dy x y dx xdx y x x d dy y y x d dx y y x x d dy y y x x d dx y y x x d y x d dg df

好奇怪的运算规则：任何两个函数微分的外积，互换次序得负；任何相同表达式微分的外积为0。da db db da ∧-=∧，0=∧da da

这让我们想起了面积的定义。对了！外积的意义就是面积。 我们重新理解一下（见图）

如果将),(g f 作为两个变量，则组成空间。),(g f 作为),(y x 的函数，当),(y x 改变时，

),(g f 也随之改变。当函数g f ,互不关联（不互为函数时），由于各自独立改变，当)

,(y x 遍历一个非常小的方形区域)(dy dx ∧时，),(g f 也形成一个小面积。但是当函数g f ,互为

关联（互为函数时），由于各自改变不独立，当),(y x 遍历一个非常小的方形区域)(dy dx ∧时，),(g f 仅在一个小线段上（或者在一个点，总之在低维的空间上）运动。由于dg df ∧就代表面积元，因此为0.

可见，在高维空间中，微分形式非常有用啊！

2 微分形式

我们看在二维空间上的一个线积分

?+l

dx xdy )32(

l 是 ),0()),sin(),(cos(,:2πφ∈→→t t t t R R 定义的一段曲线（在这里是半圆弧线）。可以很容易积分出来

6

))sin(3)(cos 2())

cos(3)sin()cos(2(0

2

-=-=

+??====πππ

dt

t t t d t d t t t t t

如果换一条曲线，会得到另一个值。比如，如果l 是)1,1(),,(,:2

2

-∈→→t t t t R R φ定义的一段抛物线，可得积分

f

f

g

y

63

4)32(1

1

2

+=

+?

=-=t t dt tdt

如果不定义曲线l ，这个积分则不能得到具体的数值。 因此，可以认为这个积分

?+l

dx xdy )32(

是曲线l 的函数，也就是说，给定一条曲线，它就能给出一个值。我们称它为积分形式。（只有形式，等待内容——曲线） 如果去掉积分号

dx xdy 32+

我们则称其为微分形式（只有形式，等待内容——曲线或1维的映射）。给定一个映射，如

))sin(),(cos(,:2t t t R R →→φ，我们就能计算这个微分

dt t t t d t d t dx xdy ))sin(3)cos(2()cos(3)sin()cos(2)32(2*+-=+=+φ

我们称映射将二维空间上的微分形式dx xdy 32+，拉回到1维空间上

dt t t ))sin(3)cos(2(2+-。

微分形式是与坐标无关的。也就是说，一个积分形式，不论如何改变坐标系，只要定义的曲线不变，其积分值是不变的。同样，一个微分形式，不论如何改变坐标系，只要定义的曲线不变，其微分是不变的。这个性质，满足了物理学描述客观性的愿望，因此物理规律（物理方程）用微分形式表达非常简单漂亮。

3 微分形式的外积

我们看面积分

??∑

+dxdy y x )43(，给定一个面，就可以计算这个积分。但是这个表达式有一

个缺憾，就是对于复杂表达，如

??∑

++dy y x d y x )2()43(定义模糊。

我们看变换变量),(),(,:uv y v u x v u N M =+=→→φ时，这个表达式变为

????∑

∑

?+?++=+++dudv v u uv v u uv v u uv d v u d uv v u )

,()

,()

4)(3()()()4)(3(，

其中

)

,()

,(v u uv v u ?+?是变换的Jacobi 行列式。

因此我们将其表达为

??∑

∧+dy dx y x )43(，

规定对于任何表达式g f ,，都要满足df dg dg df ∧-=∧，0=∧df df 则变量改变就可以名正言顺地写为

??????????∑

∑

∑

∑

∑

∧?+?++=∧-∧++=∧+∧+∧+∧++=+∧+++=∧+++dv

du v u uv v u uv v u dv vdu udv du uv v u udv dv duv dv udv du duv du uv v u udv duv dv du uv v u uv d v u d uv v u )

,()

,()

4)(3()

)(4)(3())(4)(3()

())(4)(3()

()()4)(3(

刚好满足变量变换的关系。

这样我们类推地定义外积：

我们知道一个微分形式（1-形式）i

i dx ωω=描述了一个线形式。可以推理，两个1-微分形式i i dx ωω=，i

i dx θθ=可以构造出面形式（2-微分形式）。

j i i j j i j i j i dx dx dx dx ∧-=∧=∧=)(2

1

θωθωθωθωτ

如果两个1-微分形式外积为0，0≡∧θω 这两个微分形式相关，即存在某个函数f 使得

θωf =

4 外微分

给定一个1-微分形式能否得到一个2-微分形式 可以通过外微分。 我们定义

一个微分形式ω的外微分ωd ，与这个微分形式的闭合回路积分有关。

对于无穷小面元∑，有其边界组成的闭合回路∑?

???∑

?∑

=ωωd

具体地

i j i x i i i i dx dx dx d dx d d j ∧?=∧==ωωωω)(

5 微分形式的应用

1． 函数是常函数

0≡df

2． 函数极值点

0=df

表明自变量改变时，函数值不变。

比如302

++=x x f ，0)12(=+=dx x df ，得到2/1-=x 。

如果将函数看成映射，在这一点的映射出现奇异，即这一点附近无穷小的邻域映射为一点。

3． 两个函数相关（这在引子中给出了）

0≡∧

dg df

如果将函数看成映射，将自变量整个空间映射成一条线或点（低于2维的空间）。

3个函数相关

0≡∧∧dh dg df

其他以此类推。 4． 条件极值

即在0=g 情况下计算f 的极值。通常用Lagrange 乘子法，这里可以用微分形式表达式。

0=∧dg df

在极值点附近区域映射为线。

比如在约束03=-+=y x g ，情况下计算2

2

y x f +=的极值点。 因为

dy dx y x dy dx ydy xdx dg df ∧-=+∧+=∧)(2)()22(

所以

30

)(2=-+=-y x y x

得到???==2

/32

/3y x ，与Lagrange 乘子法计算的一致，但是方程简单。

g

g

多个约束以此类推，

如两个约束极值问题, 在0,0==h g 情况下计算f 的极值, 就可以按照下面方程给。

0=∧∧==dh dg df h g

5． 计算偏导数问题

在热力学中经常需要计算各种偏导数问题。采用微分形式可以方便地计算。 热力学中只有两个自由参数。

利用PdV TdS dE -=等关系定义变量间关系。将其外微分，得到dV dP dS dT ∧=∧ 那么热力学可以方便地给出热力学公式，比如

dV dP dS dT ∧=∧，两边除以dV dT ∧可以得到

dV

dT dV

dP dV dT dS dT ∧∧=

∧∧ 可以得到

V

T T P V S ??? ????=??? ???? 对任意一个等式，都可以改变自变量 如

dV T

P dS dE T -=1 外微分后dV T

P

d dE T d ∧-=∧1除以dP dE ∧可以得到

E E

P P

E

P V P T P E V E T P dP dE dV T P d P T ??? ?????????? ?????

?? ??????????

????=

∧∧-=??

??

??

????1 三对换关系

1=∧∧∧∧∧∧dP

dT dT dV dT dV dV dP dV dP dP dT

就是

1=??? ????-???? ????-???? ????-T

V P P V T P V T 求导换自变量 比如

()()()()()()()()()P

V P V V P V P P V P V V P V P T

S T S T S E S E S dV dP dT dS dV dP dE dS dT dS dE dS E ????????=

∧∧∧∧=∧∧=

?)

/()()

/()(

方便得很

6． 正交曲线坐标系的求导公式

∑∑==i

i i i i

i i d h d ξωe e r

∑∑=∧k

k k i

i i

d d ωω

e e

形式地写作

∑∧=j

ij j i k d ωω，j

j i i j

i

ij h h d d k ,ξωω=

=

∑∑=∧ik

k k i

i i

d d ωω

e e

可以特解∑=

k

i

k

k

i d d ωωe e ，其齐次方程

0=∧∑i

i i

d e ω

的解 i i i d ωλe =

满足0=?+?i j j i d d e e e e 的解为 k k

k

i

i

k

i d d d e e ∑-

=

)(

ωωωω

根据微分关系记忆很容易

∑∑=∧ik

k k i

i i

d d ωω

e e k k

k

i

i

k

i d d d e e ∑-

=)(

ωωωω, 系数反对称化是

0=?+?i j j i d d e e e e 的要求

例如 球坐标系

?θ?θd r rd dr d sin ???++=θr

r ?

θωθωω?θd r rd dr

r sin === θr r θθr θr

r ?)sin (sin )(?))

sin (sin (??)sin )()sin ((?))((??)sin )

()sin ((

?)()(?sin ??????

? ??-+-=-+-=-+??? ??-=++=θ?θ?θθ?θ?θ?

?

?θθθ?θθθ??θ?θθθ?θ?θrd d r d d r rd d dr d r d d r ddr d d r rd d rd d r d dr rd d rd ddr d d r dr d dr d r d rd dr d dr

rd d d d r rd dr d

?θ?θ?

?θ?θ?θ?θd d d d d d d d d cos ?sin ??cos ???sin ???θr r θ

θr

--=+-=+=

根据这个公式可以写出在球面坐标系下的各种梯度、旋度、散度等。方法是方

向矢量的偏微分直接计算。

记住这个公式，需要借助立体图。图中画出了点r 及经过其点曲面坐标的三个

单位矢量；θ改变形行成的大圆弧，?改变形成的小圆，r 改变形成通过坐标原点的射线。

r 改变不会影响这些方向。每个单位矢量在这些变化中，形成的图形：大圆，小圆，上椎体，

下椎体。

（1）当θ改变时，r

?是大圆的径向，变化量为大圆半径为1时对应的弧长，大圆切线方向θd θ?

；当?改变时，r

?是下椎体母线方向，改变量为母线长度为1时对应椎体边弧长，方向小圆切线方向?θ?d sin ?

；

（2）当θ改变时，θ?是大圆切线方向，改变向心方向θd r

?-；当?改变时，θ?

是上椎体母线方向，改变量为母线为1时的体边弧长，方向小圆切线方向?θ?d cos ?

；

（3）当θ改变时，??平行移动；当?改变时，??

是小圆切线，按照小圆转动，

改变向心方向?θθd )cos ?sin ?(θr

--；

在柱面坐标系中，完全通过直观可以给出

0?????=-==z

ρθθρ

d d d d d θθ 7． 包络几何（包络线，包络面等）理论

含有参数的方程组代表空间几何曲线或几何面簇，当参数改变时，几何曲线或几何面会随之改变。这些几何簇的包络就是他们共切的曲线。

0),(=s x f 定义了一簇低维面，如果将参数s 改变后仍满足0),(=+s s δx f ，于是可以得到

包络几何满足的方程

??

?=?=0),(0

),(s s s

x f x f ，这就定义了包络几何。 设原方程代表N 维空间中m 维的曲面簇，x 的维数是N ，f 的维数是（N-m ），其包络为N 维空间中N+1-2（N-m ）=2m+1-N 维的曲面，当N>=2m+1时，则不存在包络几何。如二维空间中的曲线簇，其包络是曲线；三维空间中的曲面线簇，其包络是一个曲面；三维空间中的曲线簇，其包络可能只是一个点。 如下是计算线簇y=a sin(ax) 及其包络线。