和差公式及倍角公式的运用

和差公式及倍角公式的运用

一、和差公式

;

tan tan 1tan tan )tan(,sin sin cos cos )cos(,sin cos cos sin )sin(β

αβ

αβαβαβαβαβαβαβα

二、倍角公式

α

α

ααααααααα22222tan 1tan 22tan ,1cos 2sin 21sin cos 2cos ,

cos sin 22sin

三、应用类型

（题型一）-----给角求值

例1、求)280cos(200cos )160sin(100sin 0000 的值．

【解析】原式=2130sin )10sin 20cos 20sin 10(cos 00000 ．

或原式=.2

1

60cos )80cos 20cos 20sin 80(sin 00000

例2、计算025.22sin 21 的结果等于 （ ）．

A ．

2

1

B ．22

C ．33

D ．23

【解析】2

2

45cos 5.22sin 210

2

． 答案：B

例3、已知3

2

sin

α，则)2cos(απ 的值为 （ ）． A ．35

B ．91

C ．9

1

D ．35 【解析】9

1

19421sin 2)sin 21(2cos )2cos(2

2

ααααπ．

答案：B

例4、已知α为第三象限角，5

3

cos

α，则 α2tan ． 【解析】∵α为第三象限角，5

3cos

α， ∴5

4)5

3(1cos 1sin 2

2

αα， 于是 3

4

cos sin tan

ααα， ∴724)3

4(134

2tan 1tan 22tan 2

2

α

αα． 例5、求000070sin 50sin 30sin 10sin 的值．

【解析】法一：利用二倍角公式的变形公式

解：∵αααcos sin 22sin ，∴α

α

αcos 22sin sin

， ∴原式=00

000070cos 2140sin 50cos 2100sin 2110cos 220sin ??? =00000020sin 240sin 40sin 280sin 2180sin 220sin ???=16

1

．

法二：先将正弦变成为余弦，再逆用二倍角公式 解：原式=00020cos 40cos 21

80cos ???=00080cos 40cos 20cos 2

1

=0000020sin 280cos 40cos 20cos 20sin 221? =000020sin 480cos 40cos 40sin =0

0020

sin 880cos 80sin =0020sin 16160sin =161． 或原式=00020cos 40cos 21

80cos ???=00080cos 40cos 20cos 2

1

=16120sin 160sin 16120sin 80cos 80sin 8180cos 40cos 20sin 240sin 210

00000

000 ? ? ??． 提示：∵αααcos sin 22sin ，∴α

ααsin 22sin cos ，因此.20sin 240sin 20cos 000

法三：构造对偶式，列方程求解

.70cos 50cos 10cos ,70sin 50sin 10sin 000000 y x 令

则00000070cos 70sin 50cos 50sin 10cos 10sin ?? xy

=000140sin 21100sin 2120sin 21??

=00040sin 80sin 20sin 81??=00020sin 40sin 80sin 81

?? =00070cos 50cos 10cos 81=y 8

1 ∵0 y ，∴81 x ，从而有000070sin 50sin 30sin 10sin =16

1

．

例6、求下列各式的值 （1）2

1

8sin 2

π； （2）12

tan

12

tan 1ππ 【解析】（1）原式=4

2

4cos 21)8sin 21(2118sin

22

122

πππ）（； （2）原式=

326

tan 1212tan 212tan 1212tan 12tan 12

2

πππ

ππ． 【题后感悟】对二倍角公式的理解应注意以下几点：

（1）对“二倍角”应该有广义的理解，如：α4是α2的二倍角，α是2

α的二倍角，α3是

2

3α

的二倍角等； （2）公式逆用：主要形式有ααα2sin cos sin 2 ，,2sin 2

1cos sin ααα

,sin 22sin cos ,cos 22sin sin αααααα

,2cos sin cos 22ααα .2tan tan 1tan 22αα

α

【变式训练】

同步练习、求下列各式的值

⑴ 000080cos 60cos 40cos 20cos ； ⑵)8

sin 8

)(cos 8

sin 8

(cos ππππ

；⑶

8

tan 18

tan

2

π

π

（题型二）------给值求值 例1、已知.)

4

cos(2cos ),4

,0(,51)4sin(的值求x πx

πx x π

【点拨】

).

4

sin()]4(2sin[)4cos()4cos()4sin(2)22sin(,)22

sin(2cos )4cos(4x πx ππx πx πx πx πx π

x x πx π ；而求值利用的值求的范围求

【解析】∵),4,0(πx ∴),4

,0(4πx π

依题意，51)4sin( x π，∴,5

6

2)4(sin 1)4cos(2 x πx π 又,25

6

45625

12)4

cos()4

sin(2)22

sin(2cos

x πx πx πx ,5

1)4sin()]4(2sin[)4cos( x πx ππx π

∴原式=.56

45

1256

4

【题后感悟】

（1）从角的关系寻找突破口．这类三角函数求值问题常有两种解题途径：一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．

（2）当遇到x π

4

这样的角时，可利用互余角的关系和诱导公式，将

条件与结论沟通．

).4

cos()4sin(2)22sin(2cos x π

x πx πx 类似这样的变换还有：

.1)4

(sin 2)4(cos 21)22cos(2sin ),

4

(sin 211)4(cos 2)22cos(2sin ),

4cos()4sin(2)22sin(2cos 2222等等 x πx πx πx x πx πx πx x π

x πx πx 例2、已知),4

,0(,3

2)4

sin(πx x π 求

)

4

sin(2sin x πx

的值． 【解析】)22

cos(2sin x π

x )4

(sin 212x π ,9

1)3

2(212

又∵),4,0(πx ∴),4

,0(4πx π

依题意，32)4sin( x π，∴,3

5)4(sin 1)4cos(2

x πx π 而,3

5)4

cos()]4

(2

sin[)4

sin(

x πx ππx π .155

3

591

原式

（题型三）------化简 例、化简下列各式： ⑴

;40cos 170cos )10tan 31(10cos 0

000 ⑵

.)4

(sin )4tan(21

cos 222θπθπθ 【点拨】切化弦，并逆用二倍角公式

【解析】（1）原式=2

40sin 210sin 310cos 20

cos 220sin )10cos 10sin 31(10cos 0000

000

?

.2240

sin 40sin 2240sin )10sin 30cos 10cos 30(sin 2240sin )

10sin 2310cos 21(2240sin )10sin 310(cos 20

0000000

0000

提示：1、02020cos 240cos 1 ； 2、.50cos ,60sin 2

3

,60cos 2

1000因此，分子变为变为将变为还可以将 【解析】（2）原式=

.12cos 2cos )

22

sin(2cos )

4(cos )

4

cos()

4sin(22cos 2

? θθ

θπθθπθπθπθ

【题后感悟】

被化简的式子中有切函数与弦函数时，常首先“切化弦”，然后分析角的内部关系，看是否有互余或互补的，若有，应用诱导公式转化；若没有，再分析角间是否存在线性关系，并利用两角和与差的三角函数展开（或重新组合），经过这样的处理后，一般都会化简完毕．

【变式训练】

化简：⑴)

212cos 4(12sin 312tan 30

200 ； ⑵ααααααααcos sin 1cos sin 1cos sin 1cos sin 1 ． 【解析】⑴原式=0

000002000

24cos 12cos 12sin 212cos 312sin 3)112cos 2(12sin 2312cos 12sin 3

0000000048sin )12cos 30cos 12sin 30(sin 3424cos 24sin )

12cos 2312sin 21(32 .3448

sin 48sin 3448sin 42cos 340

00

⑵法一：原式=

2sin 22cos 2sin 22cos 22cos 2sin 22cos 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 22

2

22αααααααααααα .sin 22

cos

2sin 2cos 2sin 2sin 2cos 2cos 2sin 2

2ααααααααα

法二：原式=α

αα

ααααααααα2

22222cos )sin 1(cos 2)sin 1(2)cos sin 1(cos sin 1)cos sin 1()cos sin 1( ）（ .sin 2

)sin 1(sin 2)sin 1(4α

ααα

四、万能公式（正、余弦的二倍角与正切的单角的关系） 1．;tan 1tan 22sin ,tan 1tan 2cos sin cos sin 2cos sin 22sin 2

222α

α

αααααααααα

即 2．.tan 1tan 12cos ,tan 1tan 1cos sin sin cos sin cos 2cos 2

22222

222

2

α

α

αααααααααα 即 说明：这两个公式叫做“万能公式”，在是否记忆上不做硬性要求，但记住了αααT C S 222与、之间的关系，就会使解题过程更简捷．

五、活用公式

由于公式之间存在着紧密的联系，所以，就要求我们在思考问题的时候必须因势利导、融会贯通，要有目的地活用公式．

主要形式有：

⑴、,)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1222ααααααα

⑵、

.

sin 22sin cos ,cos 22sin sin cos sin 22sin αα

ααααααα

⑶、

.22cos 1sin ,

22cos 1cos ,

sin 212cos ,1cos 22cos sin cos 2cos 222222ααααααααααα 六、错例分析

例、解不等式.01cos sin x x

【错解】∵,1cos sin x x 两边平方，得,1)cos (sin 2

x x

∴,1cos sin 21 x x ∴,02sin x

∴),(222Z k ππk x πk 因此，).(2

Z k ππk x πk 即原不等式的解集为.),2

,(Z k ππk πk 其中

【正解】∵,1cos sin x x 两边平方，得,0cos sin x x

∴必有0sin x 且0cos x ，

又∵1cos ,1sin x x ，∴x 必为第一象限角， ∴).(2

22Z k ππk x πk

即原不等式的解集为.),2

2,2(Z k ππk πk 其中

【错因】错因1：忽略了x 为第一象限角（因为1cos ,1sin x x ，

又∵,1cos sin x x 所以必须0sin x 且0cos x ）；

错因2：上述方法引进了1cos sin x x 的增解，如果改用恒等变形，得,1)4

sin(2 π

x 即2

2

)4

sin( πx ，可避免增解，也无需寻找隐含条件．