勾股定理全学案人教版
勾股定理 课 堂 练 习（1）
导入：如图，每个小方格的面积均为1，请你分别计算图1、图2中正方形A 、B 、C 的面积，并观察正方形A 、B 、C 的三个面积之间存在的关系.
图1中：
图2中：
结论：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 . 勾股定理再证明：
将四个全等的直角三角形如图围成一个大的正方形，请你利用
两种不同的方法计算正方形的面积.
探究1：一个门框的尺寸如图所示，一个长m 3，宽m 2.2的薄木板能否从门框
内通过？说明理由.
练习：1．在ABC Rt ?中，?=∠90C ，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 和c
⑴若2=a ，4=b ，则c = ； 斜边上的高为 .
⑵若3=b ，4=c ，则a = . 斜边上的高为 . ⑶若3=b
a ，且102=c ，则a = ，_______=
b .斜边上的高为 . ⑷若2
1=c b ，且33=a ，则c = ，_______=b .斜边上的高为 . 2．正方形的边长为3，则此正方形的对角线的长为 .
3．正方形的对角线的长为4，则此正方形的边长为 .
4．有一个边长为50dm 的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，求圆的直径至少多长（结果保留整数）
--1--
勾股定理 强化练习（1）
一．选择题
1．如图，正方形A 的面积为16，正方形B 的面积为9，则正方形C 的面积为（ ）
A ．7
B ．25
C ． 12.5
D ．144
2．如上图，正方形C 的面积为16，正方形B 的面积为9，则正方形A 的面
积为（ ）
A ．7
B ．25
C ． 12.5
D ．144
3．若ABC Rt ?的两直角边长分别为3cm 和4cm ，则斜边长为（ ）
A ．2cm
B ．7cm
C ．5cm
D ．12cm
4．在ABC Rt ?中，?=∠90A ，cm a 13=，cm b 5=，则c 为（ ）
A ．194
B ．12
C ．8
D ．18
5．如图，在ABC ?中，边AC 的长为（ ）
A ．1
B ．21
C ．3281
D ．9
6．已知直角三角形的两边长分别为3和4，则另一边长为（ ）
A ．7
B ．5
C ．7
D ．7或5
二．填空题：
7．在ABC Rt ?中，已知两直角边长为6和8，则斜边长为 .
8．如图1，在ABC ?中，边AC 的长为 .
9．如图2，在ABC ?中，边AB 的长为 .
10．在ABC ?中，12=AB ，3:4:=BC AC ，
则AC = .
三．解答题：
11．一旗杆离地面m 6处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部
m 8处，求旗杆折断之前有多高？
12．如图，要从电杆离地面5米处向地面拉一条长为7米的钢缆，求地面钢缆固定点A 到电线杆底部B 的距离（保留根号）
--2--
勾股定理 课 堂 练 习（2）
一．复习：如图，在ABC Rt ?中，?=∠90C ，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c
⑴若6=a ，8=b ，求c 的值 ⑵ 若5=a ，13=c ，求b 的值
二．探究2：如图，一个m 3长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 的距离为m 5.2，如果梯子顶端A 沿墙下滑m 5.0，那么梯子底端B 也外移m 5.0吗？
练习：如图，等边三角形的边长为6.
⑴求高AD 的长；⑵求这个三角形的面积（保留根号）
三．探究3：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示13的点吗？
练习：请你在数轴上表示出下列各数的点：5，10，17
--3--
勾股定理 强化练习（2）
1．计算：⑴
??? ??-÷a b a b 3232 ⑵ ()y x xy x xy -?-2
2．解方程：⑴
x
x x --=+-21321 ⑵ 11113122-=--+x x x
3．已知y 是x 的反比例函数，且该函数的图象经过点A （2，3）.
⑴求这个函数的解析式；⑵画出该函数图象
4．如图，池塘边有A 、B 两点，点C 是与BA 方向成直角的AC 方
向上一点，测得m CB 60=，m AC 20=，你能求出A 、B 两点间的
距离吗？（结果保留根号）
5．请你在数轴上表示出下列各数的点：2，3，6
6．在ABC ?中，?=∠90C ，cm AC 1.2=，cm BC 8.2=.
⑴求ABC ?的面积； ⑵求斜边AB 的长； ⑶求高CD 的长.
--4--
勾股定理 课 堂 练 习（3）
一．复习：如图，一个圆锥的高cm AO 4.2=，底面半径cm OB 7.0=，
求AB 的长
二．练习
1．长方形零件尺寸（单位：mm ）如图，求两孔中心的距离.
2．在ABC ?中，?=∠90C ，10=AB .
⑴?=∠30A ，求BC ，AC 的长（精确到0.01） ⑵?=∠45A ，求BC ，AC 的长（精确到0.01）
3．如图，有一个圆柱形水杯，底面直径为15厘米.将一个塑料吸管靠在一边正好高出水杯5厘米，如果把它拉向另一边，它的顶端恰好到达水杯的顶沿。求这个水杯的高度及吸管的长度.
4．如图，ABC Rt ?的面积为220cm ，在AB 的同侧，分别以AB ，BC ，AC 为直径作三个圆，求阴影部分的面积.
--5--
勾股定理 强化练习（3） 一．计算：⑴22
332P mn P n n m ÷??? ??? ⑵ ???
? ??-+÷x x x 2121
二．解方程：⑴1
3252+=++x x x x ⑵ 1522522=+--x x x
三．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，求现在平均每天生产多少台机器？
四．已知某品牌显示器的寿命大约为4102?小时.
⑴这种显示器可工作的天数d 与平均每日工作的时间数t 之间具有怎样的函数关系式；
⑵如果平均每天工作10小时，则这种显示器大约可使用多长时间？
五．如图，?=∠90C ，图中有阴影的三个半圆的面积有怎样的关系？
--6--
勾股定理 课 堂 练 习（4）
一．复习：如图，已知等边ABC ?的边长为a 2，求ABC ?各顶点的坐标
二．导入：如图，已知ABC ?与C B A '''?，?=∠90C ，
C A AC ''=，C B BC ''=，若222B A C B C A ''=''+''
试说明C B A '''?为直角三角形.
结论：若三角形的三边长a ，b ，c 0满足222c b a =+，则这个三角形为 . 例题1：判断由线段a ，b ，c 组成的三角形是不是直角三角形.
⑴15=a ，8=b ，17=c ⑵13=a ，14=b ，15=c
练习：判断由线段a ，b ，c 组成的三角形是不是直角三角形.
⑴7=a ，24=b ，25=c ⑵5.1=a ，2=b ，5.2=c ⑶45=
a ，1=
b ，4
3=c
例题2：某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口1.5小时后相距30海里.如果已知“远航”号沿东北方向航行，你能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
练习：A 、B 、C 三地的两两距离如图所示，A 地在B 地的正东方向，求C 地在B 地的什么方向？
--7--
勾股定理 强化练习（4）
1．如图，在ABC Rt ?中，cm AC 15=，cm AB 17=.
⑴求BC 的长；⑵求ABC ?的面积.
2．如图，甲轮船以20海里/小时的速度离开港口向东南方向航行，乙轮船同时以15海里/小时的速度向东北方向航行，求它们离开港口2小时后相距多远？
3．判断由线段a ，b ，c 组成的三角形是不是直角三角形.
⑴6=a ，8=b ，10=c ⑵1=a ，2=b ，5=c ⑶2=a ，3=b ，6=c
4．小明向东走m 80后，沿另一方向又走了m 60，再沿第三个方向走m 100回到原地.求小明第一次改变方向是走向哪个方向？
5．如图，在边长为1个单位长度的正方形方格中有A 、B 两点，若在图中格点上有一点C ，使A B C ?为直角三角形，且斜边长为5个单位长度.请你在图中画出满足条件的所有的点C .
--8--
勾股定理 课 堂 练 习（5）
一．复习：判断由线段a ，b ，c 组成的三角形是不是直角三角形.
⑴2=a ，3=b ，13=c ⑵9=a ，15=b ，12=c
二．命题与逆命题
例题：写出下列命题的逆命题，并说明这些命题的逆命题是否成立.
⑴命题：两直线平行，内错角相等. 逆命题： ；是
⑵命题：如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等. 逆命题： ；是 ⑶命题：全等三角形的对应边相等. 逆命题： ；是
⑷命题：到角的两边距离相等的点在角的平分线上.逆命题： ；是
练习：写出下列命题的逆命题，并说明这些命题的逆命题是否成立.
⑴命题：同旁内角互补，两直线平行. 逆命题： ；是 ⑵命题：如果两个角是直角，那么它们相等. 逆命题： ；是 ⑶命题：全等三角形的对应角相等. 逆命题： ；是
⑷命题：如果两个实数相等，那么它们的平方相等. 逆命题： ；是
三．勾股数
例题：古希腊哲学家柏拉图曾指出，如果m 表示大于1的整数，m a 2=，12-=m b ，12+=m c ，那么a 、b 、c 为勾股数.
⑴请你证明上述的说法是正确的；
⑵请你利用上述的结论写出四组勾股数
练习：我国清代数学家罗士琳指出：如果m 、n 表示正整数，且n m >，22n m a -=，mn b 2=，
22n m c +=，那么a 、b 、c 为勾股数.
⑴请你证明上述的说法是正确的；
⑵请你利用上述的结论写出四组勾股数
--9--
勾股定理 强化练习（5）
一．选择题：
1．如图，数字和字母都表示其所在正方形的面积，若使ABC ?为直角三角形，则
Q 表示的数为（ ）
A ．106
B ．56
C ．28
D ．53
2．如果a 、b 、c 能组成直角三角形，则它们的比可以是（ ）
A ．4:2:1
B ．5:3:1
C ．7:4:3
D ．13:12:5
3．如图，在ABC Rt ?中，?=∠90C ，3=AC ，4=BC ，则以AB 为边的正方形
的面积为（ ）
A ．7
B ．5
C ．25
D ．49
4．有cm 5，cm 13两根木棒，现想找一根木棒组成直角三角形，则下列木棒长度合
适的是（ ）
A ．cm 8
B ．cm 12
C ．cm 18
D ．cm 24
5．如图，ABC Rt ?中，?=∠90ACB ，8=AC ，6=BC ，则AB 边上的高CD 的
长为（ ）
A ．24
B ．
512 C ．5
24 D ．14 6．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点得到ABC ?，则AB 边上
的高的长为（ ）
A ．23
B ．523
C ．53
D ．5
4 二．解答题：
7．如图，ABC ?中，4=AB ，5=AC ，BC 边上的高3=AD .
求：ABC ?的面积.（精确到0.01）
8．如图，ABC ?中，若10=AB ，8=AD ，17=AC ，6=BD
求BC 的长.
9．如图，在ABC ?中，8=AC ，6=BC ，在A B E ?中，DE 为AB 边上的高，12=DE ，60=?ABE S . 求C ∠的度数.
--10--
勾股定理 课 堂 练 习（6）
一．复习：如图，点C 与建筑物AB 底部B 的水平距离m BC 15=，从点A
测得点C 的俯角?=60α，求建筑物AB 的高（结果精确到0.01）
二．例题：如图，长方形ABCD 中，3=AB ，4=BC ，如果将长方形沿对角线BD 折叠，使DBC ?与C DB '?重合.求图中阴影部分的面积
练习：如图，将长方形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处，已知cm CE 3=，cm AB 8=，求图中阴影部分的面积
三．例题：如图为棱长为m 8的正方体仓库，在其内壁的点A 处有一只壁虎，点G 处有一只蚊子，壁虎想吃到蚊子，求壁虎爬到蚊子G 处的最短距离.
练习：如图为一个底面半径为cm 5，高为cm 15的圆柱形礼品盒，现想
用一根彩带从点A 绕侧面到点B 处进行装饰，求彩带至少需要多少cm （结果精确到0.1）
--11--
勾股定理 强化练习（6）
1．如图，学校有一块长方形花园，有个别人为了避开拐角走“捷径”.求他们仅仅少走了多少米？
2．如图，小龙为了测得某条河的宽度AB ，从点B 沿河走m 100到达C 点时（即m BC 100=），恰好测得点C 到点A 的角度为?30，求河宽AB 的长.
3．如图，长方形ABCD 中，1=AB ，3=BC ，如果将长方形沿对角线BD 折叠，使DBC ?与C DB '?重合.求图中阴影部分的面积
4．如图是一个长m 8、宽m 6、高m 5的长方体仓库，在其内壁的A （长的四等分点）处有一只壁虎，B （宽的三等分点）处有一只蚊子，求壁虎爬到蚊子B 处的最短距离.
--12-- 勾股定理复习卷
一．选择题
1．以下列各组数据为边长，可以构成直角三角形的是（ ）
A ．3， 5， 6
B ．2， 3， 4
C ．6， 7， 9
D ．1.5， 2， 2.5
2．如图，陈永鹏同学为测量池塘A 、B 两点的距离，他在池塘外定一点C ，使ABC
?为直角三角形，并测得m AC 26=，m BC 24=，则A 、B 两点的距离为（ ）
A ．m 5
B ．m 8
C ．m 10
D ．m 12
3．将直角三角形的三边长扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ）
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．不能确定
4．直角三角形的两直角边的比为4:3，斜边长为25，则斜边上的高为（ ）
A ．1225
B ．25
12 C ．12 D ．15 5．直角三角形的两边长为4，6，则第三边长的平方为（ ）
A ．9
B ．9或41
C ．41
D ．10或2
6．如图，两条垂直的道路上一辆自行车和一辆摩托车相遇后又分别向北、向东驶去，若自行车的速度为5米/秒，摩托车的速度为12米/秒，则10秒后，两车大约相距（ ）
A ．55米
B ．130米
C ．125米
D ．153米
7．如图，在单位为1的小正方形组成的网格图中标有AB 、CD 、EF 、GH 四条
线段，其中能够成一个直角三角形三边的线段是（ ）
A ．CD 、EF 、GH
B ．AB 、EF 、GH
C ．AB 、C
D 、GH D ．AB 、CD 、EF
8．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边cm AC 6=，cm BC 8=，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ）
A ．2cm
B ．3cm
C ．4cm
D ．5cm
二．填空题
9．请你任意写出一组勾股数： .
10．ABC ?的三边长分别为17、8、15，则此三角形的面积为 .
11．如图，ABC ?中，?=∠90C ，cm BC 60=，cm CA 80=，一只蜗牛从C 点出发，
以每分钟20cm 的速度沿CA →AB →BC 的路径再回到C 点，则需要 分钟
12．如图是由边长为1m 的正方形地砖铺设的地面示意图，国超同学沿图中所示的
折线从A 到C 所走的路程为 m （保留根号）
13．在ABC ?中，?=∠90C ，?=∠30A ，若cm BC 3=，则=AC .
14．正方形的边长为4，则其对角线长为 .
15．雅婷同学想知道学校旗杆的高度，她发现旗杆上的绳子垂到地面还多2米，当
她把绳子的下端拉开8米后，下端刚好接触地面，则学校旗杆的高度为 .
16．如图，一只蚂蚁沿边长为1的正方体表面从顶点A 爬到顶点B ，则它走的最短
路程为 .
三．解答题
17．如图，已知ABC ?中，17==AC AB ，16=BC ，求ABC ?的面积.
18．如图是由边长为1的小正方形组成的网格
⑴求四边形ABCD 的面积；⑵判断AD 与CD 的位置关系，并说明理由.
--13
19．一艘轮船以16海里/小时的速度离开港口向东南方向航行的同时另一
艘
轮船在同地以12海里/小时的速度向西南方向航行,则半小时后两船相距多
远?
20．已知ABC ?中，15=AB ，13=AC ，高12=AD ，求ABC ?的周长.
21．如图，?=∠30C ，OA PA ⊥于A ，OB PB ⊥于B ，2=PA ，11=PB
求OP 的长
22．一个长方体的长cm AC 2=，宽cm BC 1=，高cm A A 4='，一只蚂蚁沿长方体的表面从A 点爬到B '点，求最短路程是多少？
23．在一棵大树下点B 处有一老鼠洞，树高15m 的顶部有一只鹰，鹰看见距离洞口45m A 处的一只老鼠正在向洞口迅速爬去，鹰向老鼠扑过去，如果鹰与老鼠的速度相等，且鹰扑击老鼠的路线是直线段，求鹰向何处扑击才能恰好抓到老鼠？
24．如图，A 、B 两个小镇相距km 60，小山C 在A 镇的北偏东?60方向，在B 镇的北偏西?30方向.经探测，发现小山C 周围km 20的圆形区域内储有大量煤炭，有关部门规定，该区域禁止建房修路.现计划修筑连接A 、B 两镇的一条笔直公路，试分析这条公路是否会经过该区域？
--14--
勾股定理全章复习学案
勾股定理全章复习 主备人: 审核人：初二数学组 课型:新授 学习目标：复习勾股定理及其逆定理，能利用它们求三角形的边长或证明三角形是直角 三角形. 学习重点：勾股定理及其逆定理的应用。 学习难点：利用定理解决实际问题。 学习过程 一、知识要点1：直角三角形中，已知两边求第三边 1.勾股定理：若直角三角形的三边分别为a ，b ，c ，ο 90=∠C ，则 。 公式变形①：若知道a ，b ，则=c ； 公式变形②：若知道a ，c ，则=b ； 公式变形③：若知道b ，c ，则=a ； 例1：求图中的直角三角形中未知边的长度： =b ，=c . (1)在Rt ABC ?中，若ο 90=∠C ，4=a ，=b 3，则=c . (2)在Rt ABC ?中，若o B 90=∠，9=a ，41=b ，则=c . (3)在Rt AB C ?中，若ο 90=∠A ，7=a ，5=b ，则=c . 二、知识要点2：利用勾股定理在数轴找无理数。 例2：在数轴上画出表示5的点. 在数轴上作出表示10的点． 三、知识要点3：判别一个三角形是否是直角三角形。 例3：分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，试找出哪些能够成直角三角形。 1、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A ．12，15，17 B ．9，16，25 C ．5a ，12a ，13a （a>0） D ．2，3，4 2、判断由下列各组线段a ，b ，c 的长，能组成的三角形是不是直角三角形，说明理由. （1）5.6=a ，5.7=b ，4=c ； （2）11=a ，60=b ，61=c ； 9 15 b 24 c
新苏科版八年级数学上册学案：3.1勾股定理(1)
新苏科版八年级数学上册学案：3.1勾股定理（1） 【学习目标】 1．经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合的思想； 2．能应用勾股定理求直角三角形中未知边的长． 【自主先学】 阅读课本P78-P79，完成以下问题： 问题一：观察图，如果每一小方格表示1平方厘米，把观察到的结果填 空： （1）正方形P的面积=_______平方厘米； 正方形Q的面积=_______平方厘米； 正方形R的面积=_______平方厘米； （思考：你如何计算正方形R的面积的？ 有哪些方法？） 问题二：在方格纸上任意画一个顶点都在格点上的直角三角形，并分别以 这个直角三角形的各边为一边向三角形外部作正方形，仿照上面的方法计算以斜边为一边的正方形的面积，你又发现了什么？多试几次，看看你的发现总是正确的吗？ 思考：如果将直角三角形的两条直角边分别表示为a和b， 斜边为c，则 a、b、c之间有什么关系？ 请将你的发现写下来：， 尝试用文字语言总结你的发现：． 问题三：如图，△ABC和△DEF都不是直角三角形，分别以△ABC
和△DEF 的各边 为一边向三角形外部作正方形，其中两个小正方形面积的和等于大正方形的面积吗？ 我们发现，只有在 三角形中，“两条直角边的平方和等于斜边的平方”这个结论才成立，运用这个结论时，一定要分清直角边和斜边（直角所对的边是斜边）． 【合作交流】 活动一：交流“自主先学”中的问题. 活动二：思考、交流： 判断题 (1)若a 、b 、c 是三角形的三边，则222 a b c +=. （ ）(2)直角三角形中，两边 的平方和等于第三边的平方. （ ）(3)直角三角形中，∠A=90°，则222a b c += ( ）（4）在△ABC 中，若a ＝3，b ＝4，则c ＝5． （ ）（5）在Rt △ABC 中，若a ＝3，b ＝4，则c ＝5． （ ） 活动三：在以上活动中，你还有什么问题？ 【演练展示】 活动四： 例1. 如图，将长为10米的梯子AC 斜靠在墙上，BC 长为6米。 （1）求梯子上端A 到墙的底端B 的距离AB 。 （2）若梯子下部C 向后移动2米到C 1点， 那么梯子上部A 向下移动了多少米？ [变式] 如图，在⊿ABC 中，∠ACB=900 ，AB=5cm,BC=3cm,CD ⊥AB 与D, C 1C B A A 1 10 6 2
勾股定理全章分类练习题及答案
勾股定理 测试1 勾股定理(一) 学习要求 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长． 课堂学习检测 一、填空题 1．如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么______＝c2；这一定理在我国被称为______． 2．△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边． (1)若a＝5，b＝12，则c＝______； (2)若c＝41，a＝40，则b＝______； (3)若∠A＝30°，a＝1，则c＝______，b＝______； (4)若∠A＝45°，a＝1，则b＝______，c＝______． 3．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为______．
4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．5．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______． 二、选择题 6．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( )． (A)8 (B)4 (C)6 (D)无法计算7．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )． (A)4 (B)6 (C)8 (D)10 2 8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )． (A)150cm2 (B)200cm2 (C)225cm2(D)无法计算 三、解答题
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别 为a、b、c． (1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b； (2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积； (3)若c－a＝4，b＝16，求a、c； (4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高h c； (5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c． 综合、运用、诊断 一、选择题 10．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有( )．
201x春八年级数学下册 17 勾股定理 17.1 勾股定理(第2课时)学案 新人教版
17.1 勾股定理(第2课时) 学习目标 1.会用勾股定理解决简单的实际问题.(重点) 2.树立数形结合的思想.(难点) 3.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程,感受勾股定理的应用方法.(难点) 4.培养思维意识,发展数学理念,体会勾股定理的应用价值. 一、合作探究 阅读教材25~26页,并完成预习内容. 1.自学例1,回答下列问题(小组谈论) 如图1中,①若有一块长3米,宽0.8米的薄木板,问怎样从课本中的门框通过? ②若薄木板长3米,宽1.5米呢? ③若薄木板长3米,宽2.2米呢? 例1中解决第③题时,通过分析可知木板只能斜着进,因此门框的的长度是斜着进的最大长度,问题就转化为利用求AC的长度. 图1 2.自学例2回答下列问题 如图2中,在Rt△AOB中已知和,根据勾股定理可求,梯子下滑过程中梯子长度不变,即这两个直角三角形中=. 在Rt△COD中已知和,根据勾股定理可求; 图2 3.由上述两例题可以看出我们通常把实际问题转化成数学问题来求解. 二、自主练习 1.小明和爸爸妈妈十一登香山,他们沿着45度的坡路走了500米,看到了一棵红叶树,这棵红叶树离地面的高度是米. 2.如图,山坡上两株树木之间的坡面距离是4米,则这两株树之间的垂直距离是米,水平距离是米.
三、跟踪练习 1.如图,一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定,两个固定点之间的距离是. 2.如图,原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路,后因技术攻关,可以打隧道由A地到B地直接修建,已知高速公路每千米造价为300万元,隧道总长为2千米,隧道造价为每千米500万元,AC=80千米,BC=60千米,则改建后可省工程费用是多少? 四、变式演练 1. 如图,将一根长24 cm的筷子,置于底面直径为5 cm,高为12 cm的圆柱形茶杯中,设筷子露在杯子外面的长为a cm(茶杯装满水),则a的取值范围是. 2.小东拿着一根长竹竿进一个宽为三米的城门,他先横着拿不进去,又竖起来拿,结果竿比城门高1米,当他把竿斜着时,两端刚好顶着城门的对角,问竿长多少米.(写出解题过程) 五、达标检测 1.一个高2米、宽1.5米的长方形门框,需要在其相对的顶点间用一条木条加固,则需木条长为. 2. 如图,小明从家走到邮局用了8分钟,然后右转弯用同样的速度走了6分钟到达书店,已知家距离邮局640米,那么小明家距离书店米. 3.若等腰直角三角形的斜边长为2,则它的直角边的长为,斜边上的高的长为. 4.有一个边长为50 dm的正方形洞口,想用一个圆盖盖住这个洞口,圆的直径至少为(结果保留根号). 5.如图,隔湖有两点A,B,从与BA方向成直角的BC方向上的C点,测得CA=100 m,CB=60 m.
勾股定理导学案学案
课题名称：勾股定理 (1 ) 学习目标： 1 ?了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2. 培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。了解我国古代在勾股定 理研究方面所取得的成就。 学习目标：经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识。学习重点：勾股定理的内容及证明。学习难点：勾股定理的证明。 自助探究 1. 1、2002年北京召开了被誉为数学界“奥运会”的国际数学家大会，这就是当 时采用的会徽.你知道这个图案的名字吗？你知道它的背景吗？你知道为什么会 用它作为会徽吗？ 量关系.请同学们也观察一 下， 2、相传2500年前，古希腊的数学家毕达哥/ 么？ 拉斯在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺' 成的地面中反映了直角三角形三边的某种数 (1) 引导学生观察三个正方形之间的面积的关系； (2) 引导学生把面积的关系转化为边的关系. 结论：等腰直角三角形三边的特殊关系：斜边的平方等于两直角边的平方和 3、等腰直角三角形有上述性质， 其它直角三角形也有这个性质吗？ 4、____________________________________________________ 猜想：命题1 自助提升 1、定理证明 (1) 赵爽利用弦图证明。 显然4个_________ 的面积+中间小正方形的面积二该图案的面积. 1 22 即4 X X _______ +〔〕= c ,化简后得到___________ . ________ 2 (2) 其他证明方法：教材72页思考讨论完成 2、在Rt△ ABC中，/ C=90°,AB=17,BC=8,求AC 的长 3、Rt△ ABC和以AB为边的正方形ABEF,/ ACB=90° AC=12，BC=5,则正方形的面积是________ . 4、(1)已知Rt△ ABC 中，/ C=90 ° BC=6，AC=8，求AB. (2) 已知Rt△ ABC 中，/ A=90 ° AB=5，BC=6，求AC. (3) 已知Rt△ ABC 中，/ B=90 ° a，b，c 分别是/ A，/ B， / C的对 A F i片i C B
人教版八年级下册数学第十七章勾股定理导学案(最新整理)
《17.1勾股定理》导学案（1） 【学习目标】：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。学习重点：勾股定理的内容及证明。学习难点：勾股定理的证明。学习过程 一、自学导航（课前预习）1、直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示） （1）两锐角之间的关系： （ 2）若 D 为斜边中点，则斜边中线 （3）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： 2、勾股定理证明：方法一； 如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明。 S 正方形＝_______________＝____________________ 方法二； 已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边为a 、b 、c 。求证：a 2＋b 2=c 2。分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。左边S=______________ 右边S=_______________左边和右边面积相等， 即： 化简可得 。 二、合作交流（小组互助）思考： A b
（图中每个小方格代表一个单位面积） （2）你能发现图1－1中三个正方形A ，B ，C 的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？ 由此我们可以得出什么结论？可猜想： 如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么__________________ _____________________________________________________________________。 （3）展示提升（质疑点拨） 1.在Rt △ABC 中， ，90C ∠=?（1）如果a=3，b=4，则c=________；（2）如果a=6，b=8，则c=________； （3）如果a=5，b=12，则c=________； (4) 如果a=15，b=20，则c=________.2、下列说法正确的是（ ） A.若、、是△ABC 的三边，则a b c 222 a b c +=B.若、、是Rt △ABC 的三边，则a b c 222 a b c +=C.若、、是Rt △ABC 的三边，， 则a b c 90A ∠=?2 a +D.若、、是Rt △ABC 的三边， ，则a b c 90C ∠=?2a +3、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ） A ．斜边长为25 B ．三角形周长为25 C ．斜边长为5 D ．三角形面积为204、如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为________． 5、一个直角三角形的两边长分别为5cm 和12cm,则第三边的长为 。 三、本节课我们学习了哪些知识？用了哪些方法？ 四、达标检测 1．在Rt △ABC 中，∠C=90°， ①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则
新苏科版八年级数学上册学案：3.1勾股定理(2)
新苏科版八年级数学上册学案：3.1勾股定理（2） 课题 3.1勾股定理（2）自主空间 学习目标经历不同的拼图方法验证勾股定理的过程，会运用勾股定理解决一些简单问题，发展用数学的眼光观察现实世界和有条理地思考与表达的能力，感受勾股定理的文化价值。 学习 重难 点 用面积的方法说明勾股定理的正确.勾股定理的应用. 教学流程 预习导航 动脑想一想，看谁反应快！！ 1.在Rt△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b, ∠C=90°, (1)已知a=3,b=4,则c=_______; (2)已知a=6,c=10,则b=_____; (3)已知a=24，b=7，则c=_______; 2.在平面直角坐标系中，点（-3，-4）与原点之间的距离是______. 3.已知一等腰三角形的底边长为10，腰长为13，则此等腰三角形的面 积为（） A.12 B.60 C.65 D.无法确定 4、一个长方形的长为12cm，对角线长为13cm，则该长方形的周长为 。 5、如图，在⊿ABC中，∠ACB=900，AB=10cm,BC=6cm,CD⊥AB与D, 求： CD的长。 B C A D
合作探究一、定理探索 活动1：你能把右边图①、②、③、④、 ⑤剪下，用它们可以拼一个与正方 形ABDE大小一样的正方形吗？你能用 它验证勾股定理吗？与同学交流。 活动2：早在公元3世纪，我国数学家 赵爽就用右边的“弦图”验证了勾股定理。 你能利用右边图形通过计算验证勾股 定理吗？与同学交流。 二、例题分析 例1：如图，这是美国第20届总统加菲尔德的构图， 其中Rt△ADE和RtΔBEC是完全相同的，请你试用此图形验证勾股定理的正确性。 （分析：要验证a、b、c之间的关系， 应从直角梯形的面积入手。） E D C B A c c b b a a b a b a b a b a c c c c
第18章勾股定理全章学案
勾股定理（第一课时） 执笔：陈家菊 一．温故知新 1.直角三角形的性质：（1）直角三角形两锐角 ；（2）直角三角形斜边上的中线等于 ；（3）直角三角形中30°的角所对的直角边等于 。 2.分别求出下式中的x 的值：①x 2=5 ②(x -2)2=5 ③2(2x -1)2=9 二．学习新知 1.完成P 65的探究，猜想得出的结论： 。 2.分别用下面的图形证明上述结论（方法：面积法） b a b c a a c b a c b a a b c b c a b c c b a D C B A 4.在上面第4个图中画出剪裁线，拼成能证明勾股定理的图形，你能拼出几种？ 5．完成P 68--2，并对答案，由小组长给予评价。 三．释疑提高 求正方形B 的边长 625 400 求正方形A 的面积 14425 A B 3.在Rt △ABC 中，有两边长为5，12，求第三边长及斜边上的高线的长度。 4、在Rt △ABC 中，∠C =90°（1）已知a :b =1:2,c =5,求a .（2）已知b =6, ∠A =30°, 求a ,c . 四．小结归纳： 五．巩固检测： 1.课本P 70,4、5、8 2.作业精编 P 32 、33 3.课堂作业P 27、28 勾股定理（第二课时） 执笔：陈家菊 一．温故知新 1.勾股定理的内容： 2、几组常用的勾股数为： 3、实数包括 和 ，数轴上的点与实数是 的关系。 二．学习新知 1.完成P 66的探究1，门框的对角线AC 是斜着能通过的最大长度，只要AC （大于或小于）木板的长或宽中较短的一边，木板 （能或不能）从门框内通过。 2.完成P 67的探究2，在Rt △ABO 中,已知 ，可求 ，在Rt △ODC 中，已知 ，可求 。 3.完成P 68的练习1，组长检查并做出评价。 4. 完成P 68的探究3，在数轴上找无理数的位置，先要确定这个无理数是直角边分别为哪两个正整数的直角三角形的 ，再用尺规在数轴上找到它的位置。 5. 完成P 69的练习1。 三．释疑提高 1.有一根70cm 长的木棒，要放在长、宽、高分别是50cm ,40cm ,30cm 的木箱中，能否放进去？ 2.将一个长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是hcm ,求h 的范围。 3.小明拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖着来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，竹竿的两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？ 4.一圆柱底面周长为6cm ,高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，求爬行的最短距离。
八年级数学下_勾股定理导学案(全)
18.1 勾股定理（1） 学习目标： 1、了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2、培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3、介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发爱国热情，勤奋学习。 重点：勾股定理的内容及证明。 难点：勾股定理的证明。 学习过程： 一、预习新知 1、正方形边长和面积有什么数量关系？ 2、以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的大正方形的面积之间有什么关系？ 归纳：等腰直角三角形三边之间的特殊关系。 (1)那么一般的直角三角形是否也有这样的特点呢？ (2)组织学生小组学习，在方格纸上画出一个直角边分别为3和4的直角三角形，并以其三边为边长向外作三个正方形，并分别计算其面积。 (3)通过三个正方形的面积关系，你能说明直角三角形是否具有上述结论吗？ (4)对于更一般的情形将如何验证呢？ 二、课堂展示 方法一； 如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明。 S正方形＝_______________＝____________________ 方法二； 已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。求证：a2＋b2=c2。 c b a D C A B
a b a b c c A B C D E 以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2 1 ab. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o. ∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于 2 1c 2. 又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD ∥BC. ∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于_________________ 归纳：勾股定理的具体内容是 。 三、随堂练习 1、如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示） ⑴两锐角之间的关系： ； (2)若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ； (3)三边之间的关系： 四、课堂检测 1、在Rt △ABC 中，∠C=90° ①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________； ④若a ∶b=3∶4，c=10则S Rt△ABC =________。 2、已知在Rt △ABC 中，∠B=90°，a 、b 、c 是△ABC 的三边，则 ⑴c= 。（已知a 、b ，求c ） ⑵a= 。（已知b 、c ，求a ） ⑶b= 。（已知a 、c ，求b ） 3、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。 4、已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 5、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ ） A C B D
新苏科版八年级数学上册导学案：3.1勾股定理(1)
17 8 B y 36 15 64 289 A ① ② ③ 新苏科版八年级数学上册导学案：3.1勾股定理（1） 学习目标：认识勾股定理，并会进行简单应用. 学习过程： 一、自学新知：做一做 1．分别以图中的直角三角形三边 为边向外作正方形，求这三个正 方形的面积？ 2．这三个面积之间是否存在一定关系，如果存在，那么它们的关系是什么？ 勾股定理：直角三角形两直角边的等于 . （如右图）∵在△ABC中，∠C=90°. ∴222 a b c += 二、例题学习： 例1．求图中未知数 S A=_____ y=_______ S B=_____ 例2．填空 在Rt△ABC中，∠C=90°. ①若6,10 a c ==，则b= .②:3:4 a b=，10 c=，则a=，b= . ③若6,8 a b ==，则斜边c上的高h= . 例3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，求以AB为直径的半圆的面积．（结果保留π） 例4. 波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲,它高出水面1米，一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少? 三、自主小结： 四、当堂检测： 1.判断 A B C a b c
①已知a 、b 、c 是三角形的三边，则222a b c +=. （ ） ②在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方.（ ） ③在Rt △ABC 中，∠B =90°，∴222a b c +=.（ ） 2．直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高为 ． 3．已知一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边长的平方 为 . 4．右图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A 、 B 、 C 、 D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形 E 的面积是 （ ） A ．13 B ．26 C ．47 D ．94 5．一棵大树被大风刮倒后,折断处离地面3米，树的顶端离树根4米，这棵树原高是多少？ 6.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,你能求出CD 的长吗？ 五、适度作业： (一)核心价值题： 1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，a,b,c 分别是∠A 、∠B 、∠C 所对的边. ⑴已知8,6==b a ，则=c ；⑵已知,41,40==c a 则=b ； ⑶已知,9,15==b c 则=a ；⑷已知∠A=45°，,4=c 则=2a ． 2．直角三角形的两条直角边分别为20cm 、15cm ，其斜边上的高为( ） A.10cm B.6cm C.12 cm D.18 cm 3．已知一个直角三角形的两条边长分别为3和4，则第三条边长的平方（ ） A.25 B.14 C.7 D.7或25 4.若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16 cm,那么第三边上的高为 ( ) A . 12 cm B . 10 cm C . 8 cm D .6 cm 5．一等腰三角形底边长为10cm ，腰长为13cm ，则腰上的高为（ ）
勾股定理全章练习题含答案
勾股定理 课堂学习检测 一、填空题 1．如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么______＝c2；这一定理在我国被称为______． 2．△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边． (1)若a＝5，b＝12，则c＝______； (2)若c＝41，a＝40，则b＝______； (3)若∠A＝30°，a＝1，则c＝______，b＝______； (4)若∠A＝45°，a＝1，则b＝______，c＝______． 3．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为______． 4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______． 5．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______． 二、选择题 6．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( )． (A)8 (B)4 (C)6 (D)无法计算 7．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )． 2 (A)4 (B)6 (C)8 (D)10 8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )． (A)150cm2 (B)200cm2
(C)225cm2(D)无法计算 三、解答题 9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c． (1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b； (2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积； (3)若c－a＝4，b＝16，求a、c； (4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高h c； (5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c． 综合、运用、诊断 一、选择题 10．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有( )． (A)1个(B)2个 (C)3个(D)4个 二、填空题 11．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是______． 12．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______． 三、解答题 13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，求BC 的长．
勾股定理第二课时教学设计
第二课时 一、教案目标 知识与技能 会用勾股定理进行简单的计算。过程与方法 1.数形结合，让学生每做一道题都画图形，并写出应用公式的过程或公式的推倒过程，在做题过程中熟记公式，灵活运用。 2.分类讨论，让学生画好图后标图，从不同角度考虑条件和图形，考虑问题要全面，在讨论的过程中提高学生的灵活应用能力 情感、态度与价值观 树立数形结合的思想、分类讨论思想。 培养思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值。二、教案重、难点 重点：勾股定理的简单计算。 难点：勾股定理的灵活运用。 三、教案准备 多媒体，作图工具 四、教案方法 讲练结合 五、教案过程 (一)复习回顾，引入新课 复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。学习勾股定理重在应用。
预习新知（阅读教材第66至67页，并完成预习内容。） 1.①在解决问题时，每个直角三角形需知道几个条件？ 1 / 7 ②直角三角形中哪条边最长？ ABCDABmmAC的，求，长2.在长方形BC中，宽为为12长．ABCDABBCAC的大小关系？、问题：（1）在长方形中，、（2）一个门框的尺寸如图1所示． ①若有一块长3M，宽0.8M的薄木板，问怎样从门框通过？ ②若薄木板长3M，宽1.5M呢？ ③若薄木板长3M，宽2.2M呢？为什么？ m1m 新课教授二) (中，∠△ABCC=90°、在例1Rt 求c；⑴已知a=b=5, ；求⑵已知a=1,c=2, b ⑶已知c=17,b=8, 求a；求：b=12,c=5, a；：⑷已知a ，c。aA=30b=15⑸已知，∠°，求分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知2 / 7 一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体
八年级数学上册 第三章 勾股定理学案 苏科版
八年级数学上册第三章勾股定理学案苏科版 1、体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题、 2、会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形、知识梳理例题精讲例1 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90，AB＝8，AC＝6，DE 是AB边的垂直平分线，垂足为D，交BC于点E，连接AE，求 △ACE的周长例2 如图，在△ABC中，∠ABC＝45，CD⊥AB， BE⊥AC，垂足分别为 D、E，F为BC的中点，BE与DF、DC分别交于点G、H，∠ABE ＝∠CB E、求证： (1)BH＝C A、 (2)BG2－GE2＝EA 2、例3 某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长分别为6m、8 m、现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边长的直角三角形、求扩建后的等腰三角形花圃的面积、提示：本题没有给出图形，要根据题意画出符合题意的图形，发现符合题意的图形有三种，即本题实际上应分三种情况讨论、热身练习 1、下列各组数为勾股数的是 ( ) A、6，12，13
B、3，4，7 C、4， 7、5， 8、5 D、8，15，1 62、平地上有一架靠墙的梯子，梯子底端离墙5m，梯子顶端离地面12 m，则梯子的长度为 ( ) A、12m B、13m C、14m D、15 m 3、直角三角形两直角边的长分别为6 cm和8 cm，则连接这两条直角边中点的线段长为( ) A、10 cm B、3 cm C、4 cm D、5 cm 4、若将直角三角形的两直角边同时扩大2倍，则斜边扩大为原来的 ( ) A、2倍 B、3倍 C、4倍
D、5倍 5、下列说法中，不正确的是 ( ) A、三个角的度数之比为1：3：4的三角形是直角三角形 B、三个角的度数之比为3：4：5的三角形是直角三角形 C、三边长度之比为3：4：5的三角形是直角三角形 D、三边长度之比为9：40：41的三角形是直角三角形 6、三角形的三边长满足关系(a＋b)2＝c2＋2ab，则这个三角形是 ( ) A、钝角三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、等边三角形 7、某直角三角形的周长为30，且一条直角边长为5，则另一条直角边长为 ( ) A、3 B、4 C、12 D、1 38、若三角形的三边长满足a2＝b2＋c2，则这个三角形是 _______三角形，它的最长边是_______、9、在Rt△ABC中，∠C ＝90，BC＝24，CA＝7，AB＝_______、 10、在△ABC中，若三条边的长度分别为9，
17.1.1勾股定理导学案
17.1 勾股定理（1） 学习目标： 1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发爱国热情，勤奋学习。 重点：勾股定理的内容及证明。 难点：勾股定理的证明。 学习过程： 一.预习新知（阅读教材第64至66页，并完成预习内容。） 1正方形A、B 、C的面积有什么数量关系？ 2以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的大正方形的面积之间有什么关系？ 归纳：等腰直角三角形三边之间的特殊关系。 A B C (1)那么一般的直角三角形是否也有这样的特点呢？ (2)组织学生小组学习，在方格纸上画出一个直角边分别为3和4的直角三角形，并以其三边为边长向外作三个正方形，并分别计算其面积。 (3)通过三个正方形的面积关系，你能说明直角三角形是否具有上述结论吗？ (4)对于更一般的情形将如何验证呢？
二.课堂展示 方法一； 如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明。 S 正方形＝_______________＝____________________ 方法二； 已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。 求证：a 2＋b 2=c 2。 分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形 的面积相等。 左边S=______________ 右边S=_______________ 左边和右边面积相等， 即 化简可得。 方法三： 以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o. ∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于 c 2. 又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD ∥BC. ∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于_________________ 归纳：勾股定理的具体内容是 。 2 12 1 b b b
新苏科版八年级数学上册学案：勾股定理(第2课时)
新苏科版八年级数学上册学案：勾股定理（第2课时） 一．学习目标 1、通过拼图,用面积的方法说明勾股定理的正确性. 2、通过实例应用勾股定理,培养学生的知识应用技能. 二．重点难点 1. 用面积的方法说明勾股定理的正确. 2. 勾股定理的应用. 三．自主交流 1、阅读课本第80页到第81页，完成下列问题: (1)我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称股，斜边称为弦。图（1）称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的。图（2）是在北京召开的2002年国际数学家大会（TCM －2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就. 你能用不同方法表示大正方形的面积吗? （2）、同桌之间相互交流、讨论，并写出说理过程。 1、如图3，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长是7cm,则正方形A 、B 、C 、D 的面积之和是______。 2、如图4,小方格的面积为1,找出图中以格点为端点且长度为5的线段。 四．展示点评 五．当堂检测: 1、在 Rt △ ABC 中，∠C=90°（1）若a=5，b=12，则c=________； 图4 A D C B
（2）b=8，c=17，则S △ABC =________。 2、下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少。(注：下列各图中的三角形均为直角三角形) 答：A=________，y=________，B=________。 3、如图，在⊿ABC 中，∠ACB=900 ，AB=5cm,BC=3cm,CD ⊥AB 与D, 求：（1），AC 的长； （2）⊿ABC 的面积； （3）CD 的长。 4、在一张纸上画两个全等的直角三角形，并把它们拼成如图形状，请用两种方法表示这个梯形的面积。利用你的表示方法，你能得到勾股定理吗？ b c c b a 六、教学反馈 17 8 B y 36 15 64 289 A C D
勾股定理全章复习教学设计
勾股定理全章复习 一、复习要求： 1．体验勾股定理的探索过程；已知直角三角形的两边长，会求第三边长。 2．会用勾股定理知识解决简单问题；会用勾股定理逆定理判定直角三角形。 3．会用勾股定理解决有关的实际问题。 二、知识网络： 二、知识梳理： 1、勾股定理 (1)重视勾股定理的三种叙述形式： ①在直角三角形斜边上的正方形等于直角边上的两个正方形(《几何原本》)． ②直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积． ③直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和． 从这三种提法的意义来看，勾股定理有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。 (2)定理的作用： ①已知直角三角形的两边，求第三边。 ②证明三角形中的某些线段的平方关系。 ③作长为的线段。 勾股定理揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。利用勾股定理探究长度为 ，，……的无理数线段的几何作图方法，并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示、相互交融，加深对无理数概念的直观认识。 (3)勾股定理的证明： 经典证法有：①欧几里得证法②赵爽《勾股圆方图注》证法③刘徽《青朱出入图》证法④美国总统加菲的证明⑤印度婆什迦罗的证明⑥面积法证明；除此之外，还有文字证明、拼图证明和动态证明。 (4)勾股定理的应用： 勾股定理只适用于直角三角形，首先分清直角及其所对的斜边。当已知中没有直角时，可作辅助线，构造直角三角形后，再运用勾股定理解决问题。求线段的长度，常常综合运用勾股定理和直角三角形的其它性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质来解决。 2、勾股定理的逆定理 (1)勾股定理的逆定理的证明方法，也是学生不熟悉的，引导学生用所学过的全等三角形的知识，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明的目的。 (2)逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。
第十八章勾股定理全章导学案
第十八章勾股定理 勾股定理（1） 主备人：初审人： 终审人： 【导学目标】 1.能用几何图形的性质和代数的计算方法探索勾股定理. 2.知道直角三角形中勾、股、弦的含义，能说出勾股定理，并用式子表示. 3.能运用勾股定理理解用关直角三角形的问题. 【导学重点】 知道直角三角形中勾、股、弦的含义，能说出勾股定理，并用式子表示. 【导学难点】 用拼图的方法验证勾股定理. 【学法指导】 探究、发现. 【课前准备】 查阅有关勾股定理的文化背景资料. 【导学流程】 一、呈现目标、明确任务 1.了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程. 2.了解利用拼图验证勾股定理的方法. 3.利用勾股定理，已知直角三角形的两边求第三边的长. 二、检查预习、自主学习 1.动手画画、动手算算、动脑想想. 在纸上作出边长分别为: （1）3、4、5 （2）6、8、10 的直角三角形，且动笔算一下，三条边长的平方有什么样的关系，你能猜想一下吗？ 2.借图说明 (1)观察课本P64页图，思考：等腰直角三角形有什么性质吗？你是怎样得到的？它们满足上面的结论吗？
(2)在P65页图中的三个直角三角形中，是否仍满足这样的关系？若能，试说明你是如何求出正方形的面积？ 3.有什么结论？ 三、问题导学、展示交流 阅读P65页用拼图法证明勾股定理的内容，弄懂面积关系. 四、点拨升华、当堂达标 1.探究P66页“探究1”. 在Rt△ABC中，根据勾股定理AC2 = 2+ 2因 为 AC=5≈2.236，因此AC木板宽，所以木板 从门框内通过. 2.讨论《配套练习》P24页选择填空题. 五、布置预习 预习“探究2”，完成P68页的练习. 【教后反思】 勾股定理（2） 主备人：初审人： 终审人： 【导学目标】 1.能运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题. 2.通过例题的分析与解决，感受勾股定理在实际生活中的应用. 【导学重点】 运用勾股定理解决实际问题. 【导学难点】 勾股定理的灵活运用. 【学法指导】 观察、归纳、猜想. 【课前准备】 数轴的知识 【导学流程】 一、呈现目标、明确任务 1.能运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题. 2.通过例题的分析与解决，感受勾股定理在实际生活中的应用.
初二数学勾股定理全章复习与巩固
勾股定理全章复习与巩固 学习目标 1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法； 2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容； 3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题. 知识网络 要点梳理 要点一、勾股定理 1.勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：） 2.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）求作长度为的线段 要点二、勾股定理的逆定理 1.原命题与逆命题 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
2.勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为； （2）验证与是否具有相等关系，若，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形. 3.勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1. 3.假设三个数分别为，且，那么存在成立. （例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等） 要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 典型例题 类型一、勾股定理及逆定理的简单应用 1、已知直角三角形的两边长分别为6和8，求第三边的长． 【变式】在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12．求△ABC的周长． 2、如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，M为AB上一点．求证：