(完整版)牛吃草问题(思维训练)

牛吃草问题

一、知识地图：

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草增加简单牛吃草草减少牛的数量增加或减少一块草地上牛吃草复杂牛吃草有多种动物的牛吃草牛吃草抽水问题牛吃草的变例入口问题直接给两块草地数量两块草地上牛吃草多块草地上牛吃草两块草地给出倍比关系三块草地上牛吃草二、基础知识：

英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长。后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”，类似的还有抽水问题等。我们具体来看一道典型的牛吃草问题：

牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长。这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。供25头牛可吃几天？

分析：要想知道这些草供25头牛可吃几天，必须知道草的总量和每头牛每天吃草的量。然而题目当中并没有告诉我们这样的条件。因此我们可以假设1头牛1天吃1份的草，那么10头牛20天可以吃10×20=200份草。15头牛10天可以吃15×10=150份草，有同学可能会奇怪了，同样都是把牧场的草吃完了，为什么吃草的总量不一样啊？你们明白为什么吗？

聪明的同学可能已经明白了，对，因为每天都会有新的草长出来，所以草的总量并不是固定不变的。吃的时间越长，长的草越多，草的总量也就多了。由刚才的计算我们可以看出，吃20天的草的总量比10天要多，原因就在于此。我们来看看下面这幅图：

从上面的图可以看出：草的总量可以分成两部分，一部分是原有的草，还有一部分是新长的草。10头牛20天吃的总草量比15头牛10天吃的总草量多，多出部分相当于10天新生长出的草量。设1头牛1天吃1份草，则10头牛20天比15头牛10天多吃5010152010=?-?份，则这块牧场每天新长51050=÷份牧草。

在第一种情况中，20天一共新长了100205=?份牧草，而牛一共吃了2002010=?份，说明原来有牧草100100200=-份。

因为每天长5份的草，因此我们可以这样考虑，安排5头牛专门吃新长的草，剩下的牛吃原有的草，什么时候才能把草吃完呢？当牛把原有的草吃完的时候，草就不再生长了，也就是把所有的草全都吃完了。

25头牛中安排5头牛吃新草，剩下的20头牛去吃原有的草，那么原有牧草可维持5天，即可供25头牛吃5天。

解答牛吃草问题通常设每头牛每日吃掉的草量为单位“1”，解题关键在于通过对题中条件的分析比较，求出牧场上原有的草量，单位时间生长的草量。我们对于基本的牛吃草问题可以做如下总结，我们称之为＂五步法＂：

1. 求出两个总量。

2.总量的差÷时间差=每天长草量=安排去吃新草的牛数

3.每天长草量×天数=总共长出来的草

4.草的总量－总共长出来的草＝原有的草

5.原有的草÷吃原有草的牛＝能吃多少天（或原有的草÷能吃多少天＝吃原有草的牛）

当然，牛吃草问题的变化还比较多，因此以上＂五步法＂只能作为参考，切不可生搬硬套。

上面是从算术方法的角度，提供一种分析问题的思路。

我们应该在解题中时刻把握“牛吃草问题”的核心是：

牛吃草总量=草场原有草量+新长草量

这种关系，在实际题目中，一般会出现两种方案，对这两种方案的进行比较，是获得解题思路的捷径。

这种比较主要看两种方案“总草量”之差，这对应着两种方案的“时间差”。

具体来看这里的关系：

牛的头数×吃的天数=草场原有草量+每天长草量×吃的天数

由此可知，一般牛吃草问题，首先要把两个关键的量求出来：

（1）每天长草量

（2）草场原有草量

请“奥数研究生”们在下面的例题中揣摩这两个量的求解方法。

经典透析

【例1】有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽，养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把草吃尽呢？

分析：同学们可以试着用＂五步法＂来解决一下这道题。注意要求出每天长草量和原有草量。

设1头牛1天吃1份的草，

1.求两个总量，27×6＝162 23×9＝207

2.总量的差÷时间差=每天长草量=安排去吃新草的牛数

（207－162）÷（9－6）＝15

3.每天长草量×天数=总共长出来的草

15×6＝90

4.草的总量－总共长出来的草＝原有的草

162－90＝72

5.原有的草÷吃原有草的牛＝能吃多少天

72÷（21－15）＝12

所以如果养牛21头，那么12天能把草吃尽

点评：对于比较基本的牛吃草问题，五步法还是很好用的。

【例２】由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。那么，可供11头牛吃几天？

分析：很显然，这道题和我们上一道题是有区别的，上一题每天的草量在增加，而这道题却是草量每天减少。那么该怎么处理这个问题呢？上一道题我们安排了一部分牛去吃新长的草，那么这道题能不能把每天减少的草想象成是有一些牛来帮忙吃了呢？

设1头牛1天吃1份牧草，则20头牛5天吃掉20×5=100份牧草，16头牛6天吃掉16×6=96份牧草，说明6-5=1天牧场上的牧草减少100-96=4份，我们可以假设有4头牛来帮忙把这部分草给吃了。牧场上的原有草量是：100+4×5=120份。原来有11头牛，现在又有4头牛来帮忙吃，所以可维持120÷（11+4）=8天。

点评：这道题的关键在于要把每天减少的草假设成有若干头牛来帮忙吃，如果理解了这个问题，那么剩下的步骤和最基本的牛吃草问题就一样了，我们也可以用＂五步法＂来解决。

【例３】有一个水池，池底有一个打开的出水口，用5台抽水机20小时可将水抽完，用8台抽水机15小时可将水抽完。如果仅靠出水口出水，那么多长时间能把水漏完？

分析：这道题表面上看好象和牛吃草没有什么关系，但是仔细想想，我们可以把抽水机当作牛，把水当作草，把出水口看成是来帮忙吃草的牛。大家可以试试用＂五步法＂来解答一下。

设1台抽水机1小时抽出1单位的水，那么5台抽水机20小时抽出5×20=100单位的水，8台抽水机15小时抽出8×15=120单位的水，说明池底的出水口20-15=5小时漏出120-100=20单位的水，则出水口的出水速度是每小时20÷5=4单位，水池中原有100+4×20=180单位的水，如果仅靠出水口出水，需要180÷4=45小时。

点评：牛吃草问题有一些变例，其中比较典型的就是＂抽水问题＂，我们只需要弄清楚它与牛吃草问题的联系，把里面的关系理顺，还是可以用牛吃草问题很容易的加以解决。

【例４】有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛则24天可将草吃完。现有牛若干头，吃6天后卖了4头，余下的牛再吃2天便将草吃完，问有牛多少头（草每日匀速生长）？

分析：根据＂五步法＂，我们其实很容易完成前几步的操作。

设1头牛1天吃1份草，则牧草每天的生长量：9)2430()24193017(=-÷?-? 份；原有草量：2403093017=?-?份。

做到这里的时候出现一个问题了，本题的一个变化是牛的数量减少了，那么我们该如何处理呢？我们能不能假设这4头牛没卖？如果不卖，草肯定不够吃了，要保证这4头牛在最后两天有草吃，我们必须增加4×2＝8份的草才可以。这样就相当于所有的牛都吃了8天的草，如果能理解这一点，那么剩下的问题就好解决了。

假设牛的数量保持不变，连续吃6+2=8天，共需要牧草240＋9×8＋4×2=320份，因此有牛320÷8=40头。

点评：牛吃草问题的一个变化就是牛的数量的改变，对于牛减少了或者增加了，我们应该假设牛没有减少或增加，相应的增加或减少一部分草的总量，然后就可以按照基本的牛吃草问题来处理了。

【例５】一块草地，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天。如果一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？

分析：这道题又有一个新的变化，不是只有牛了，而是有牛又有羊，表面上看起来很复杂，但是冷静的分析一下，因为题目告诉我们1头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，因此我们可以把4只羊换成1头牛，这样就只剩一种动物了。

80只羊可以换成20头牛，60只羊可以换成15头牛，然后就可以用我们的“五步法”来操作了。

设1头牛1天吃1份牧草，那么16头牛20天一共吃了16×20=320份草，20头牛12天吃了240份草，每天长草量为（320-240）÷（20-12）=10份草，原有的草量为320-10×20=120份草，现在有10+15=25头牛，其中吃原有草的牛有25-10=15头，那么可以吃120÷15=8天。

点评：不论是有几种动物，只要他们之间互相有联系，那么都可以把它们转化成一种动物来操作。

【例６】有三块草地，面积分别是4公顷、8公顷和10公顷，草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周。问：第三块草地可供50头牛吃几周？

分析：之前我们讲的所有的牛吃草问题都是在同一块草地上，也就是说草地的面积是固定不变的。然而这道题却有三块面积不同的草地，该怎么办呢？

虽然三块草地的面积不同，但是我们可以把它变成相同的，方法是分别转化成1公顷然后再进行计算。

设1头牛1周吃1份牧草。24头牛6周吃掉24×6=144份，说明每公顷草地6周提供144÷4=36份牧草；36头牛12周吃掉36×12=432份，说明每公顷草地12周提供432÷8=54份牧草。每公顷草地12-6=6周多提供54-36=18

份牧草，说明每公顷草地每周的牧草生长量是18÷6=3份，原有草量是36-3×6=18份。10公顷草地原有18×10=180份牧草，每周新增3×10=30份，可供50头牛吃180÷（50-30）=9周。

点评：对于面积不同的情况，我们先把它转化成面积相同，通常的做法是将所有的面积都转化成单位面积然后进行计算。

【例７】有三块草地，面积分别为5公顷、15公顷和24公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天。问：第三块草地可供多少头牛吃80天？

分析：这道题和上一道题其实是同一种类型的，这里提供几种解法给大家参考一下。

（方法一）设1头牛1天吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析

10头牛30天吃掉10×30＝300份，说明：

1公顷牧场30天提供300÷5＝60份草：1公顷原有草量＋30天1公顷新生草量

28头牛45天吃掉28×45＝1260份，说明

1公顷牧场45天提供1260÷15＝84份草：1公顷原有草量＋45天1公顷新生草量

每公顷牧场45－30＝15天多提供84－60＝24份草，说明1公顷牧场1天的草生长量为24÷15＝1.6份， 1公顷原有草量＝60－1.6×30＝12。1天24公顷新生草＝1.6×24＝38.4；24公顷原有草＝12×24＝288

那么80天24公顷可提供草： 288＋38.4×80＝3360；所以共需要牛的头数是：3360÷80＝42（头）牛。

（方法二）除了按照最小公倍数统计外也可以统计为单位量“1”

原条件： 5公顷 10头牛 30天

15公顷 28头牛 45天

可转化为：相当于把 5公顷草地分割成 5块每块一公顷有2头牛来吃，所以吃的时间不变

相当于把15公顷草地分割成15块每块一公顷有28

头牛来吃，所以吃的时间不变

1公顷 2头牛 30天 2×30＝60：1公顷原有草量＋30天1公顷新生草量

1公顷28

头牛 45天

×45＝84：1公顷原有草量＋45天1公顷新生草量

从上易得：1天1公顷新生草量＝（84－60）÷（45－30）＝1.6；1公顷原有草量＝60－30×1.6＝12；

那么80天24公顷可提供草： 12×24＋1.6×24×80＝3360；所以共需要牛的头数：3360÷80＝42（头）。

（方法三）现在是3块面积不同的草地，解决这个问题，只需将3块草地的面积统一起来就可以了！

[5，15，24]=120 ，设1头牛1天的吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析，

原条件： 5公顷 10 头牛 30天

15公顷 28 头牛 45天

可转化为：120公顷 240头牛 30天 240×30＝7200 ：120公顷原有草量＋30天120公顷新生草量

120公顷 224头牛 45天 224×45＝10080：120公顷原有草量＋45天120公顷新生草量

从上易得：1天120公顷新生草量＝192；120公顷原有草量＝7200－30×192＝1440；

则1天24公顷新生草量＝192÷5＝38.4，24 公顷原有草量＝1440÷5＝288；

那么80天24公顷可提供草： 288＋38.4×80＝3360；所以共需要牛的头数是：3360÷80＝42（头）牛。

【例８】有甲，乙两块匀速生长的草地，甲草地的面积是乙草地面积的三倍。30头牛12天能吃完甲草地上的草，20头牛4天能吃完乙草地的草。问几头牛10天能同时吃完两块草地上的草？

分析：这道题又有一个变化，两块草地的面积不同，但是没有具体告诉我们面积是多少，只是告诉我们面积的倍数关系。在前面我们讲过，如果有好几种动物，各种动物之间有倍数关系，我们可以转化为同一种动物来计算，那么这道题我们能不能把两块草地转化为一块草地来计算呢？同学们试试就可以发现答案是肯定的，具体操作如下：

设1头牛1天的吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析，根据甲的面积是乙的3倍可以将关系

（将乙看成1份，则甲就是3份）进行转化。

甲： 30头牛 12天 30×12＝360：甲原有草量＋12天甲地自然增加的草量

甲转化为：10 头牛 12天 10×12＝120：乙原有草量＋12天乙地自然增加的草量

乙： 20头牛 4天 20×4 ＝ 80：乙原有草量＋ 4天乙地自然增加的草量

从上表中可以看出（12－4）＝8天乙地长草量为（120－80）＝40，即1天乙地长草量为40÷8＝5；

乙地的原有草量为：120－5×12＝60；则甲、乙两地1天的新生草为：5×（3+1）＝20，原有草量为：60×（3+1）＝240；

10天甲、乙两地共提供青草为：240＋20×10＝440，需要：440÷10＝44（头）牛。

点评：面积有倍数关系和动物的食量有倍数关系本质上是相同的，我们都要把它们转化为单一的面积或动物后再进行计算。

【例９】一片草地每天长的草一样多，现有牛、羊、鹅各一只，且羊和鹅吃草的总量正好是牛吃草的总量。如果草地放牧牛和羊，可以吃45天；如果放牧牛和鹅，可吃60天：如果放牧羊和鹅，可吃90天。这片草地放牧牛、羊、鹅，可以供它们吃多少天？

分析：这道题有三种动物，但是不知道每种动物之间的数量关系，因此转化成同一种动物比较困难，这里我们要借助三元一次方程的思想，最终的目的还是要转化为单一动物。

设1头牛1天吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析

牛和羊 45天 45天牛和羊吃草量＝原有草量＋45天新长草量（1）

牛和鹅 60天 60天牛和鹅吃草量＝原有草量＋60天新长草量（2）

鹅和羊（相当于1牛）90天 90天牛（鹅和羊）吃草量＝原有草量＋90天新长草量（3）

由（1）×2－（3）可得：90天羊吃草量＝原有草量羊每天吃草量＝原有草量÷90；

由（3）分析知道：90天鹅吃草量＝90天新长草量，鹅每天吃草量＝每天新长草量；

将分析的结果带入（2）得：原有草量＝60，带入（3）得90天羊吃草量＝60 羊每天吃草量＝2 3

这样如果牛、羊和鹅一起吃，可以让鹅去吃新生草，牛和羊吃原有草可以吃：60÷（1＋2

）＝36（天）。

拓展训练：

1.现欲将一池塘水全部抽干，但同时有水匀速流入池塘。若用8台抽水机10天可以抽干；用6台抽水机20天能抽干。问：若要5天抽干水，需多少台同样的抽水机来抽水？

2.12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草。多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场上每天生长草量相等）？

3.画展9点开门，但早就有人排队等候入场了。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，则9点9分就不再有人排队了，如果开5个入场口，则9点5分就没有人排队了。那么第一个观众到达的时间是8点几分？

4.甲、乙、丙三个仓库，各存放着数量相同的面粉，甲仓库用一台皮带输送机和12个工人，5小时可将甲仓库内面粉搬完；乙仓库用一台皮带输送机和28个工人，3小时可将仓库内面粉搬完；丙仓库现有2台皮带输送机，如果要用2小时把丙仓库内面粉搬完，同时还要多少个工人？（每个工人每小时工效相同，每台皮带输送机每小时工效也相同，另外皮带输送机与工人一起往外搬运面粉）

5.有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝，4天可喝完；如果由4人喝，5天可喝完。这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？如果桶没有裂缝由4个人来喝需要几天喝完？

6.某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派15个工人砌砖墙14天可以把砖运完，如果派20个工人，9天可以把砖用完，现在派若干名工人砌了6天后，调走6名工人，其余工人又工作4天才砌完，问原来有多少工人来砌墙？

7.一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15天将草吃尽；如果让马和羊去吃，20天将草吃尽；如果让牛和羊去吃，30天将草吃尽。已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量。现在让马、牛、羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？

8.东升牧场南面一块2000平方米的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长，这片牧场可供18头牛吃16天，或者供27头牛吃8天。在东升牧场的西侧有一块6000平方米的牧场，可供多少头牛吃6天？

9.120头牛28天吃完10公顷牧场上的全部牧草，210头牛63天吃完30公顷牧场上的全部牧草，如果每公顷牧场上原有的牧草相等，且每公顷每天新生长的草量相同，那么多少头牛126天可以吃完72公顷牧场上的全部牧草？

10.如图，一块正方形的草地被分成完全相等的四块和中间的阴影部分，已知草在各处都是同样速度均匀生长。牧民带着一群牛先在①号草地上吃草，两天之后把①号草地的草吃光。（在这2天内其他草地的草正常生长）之后他

让一半牛在②号草地吃草，一半牛在③号草地吃草，6天后又将两个草地的草吃光。然后牧民把1

的牛放在阴影部

分的草地中吃草，另外的牛放在④号草地吃草，结果发现它们同时把草场上的草吃完。那么如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草，吃完这些草需要多少时间？

初级点拨：1、这是一道抽水问题，可以用最基本的牛吃草问题的方法来解决。

2、这是一道三块草地牛吃草问题，请参照例6的做法。

3、这是一道入口问题，试着把它转换成牛吃草问题来思考。

4、这道题表面上看起来不是牛吃草问题，其实它是三块草地牛吃草的一个变例。

5、这是一道经典的牛吃草的变例。

6、注意这道题当中人数发生了变化。

7、这是一个多种动物的牛吃草问题，而且还不知道各种动物之间的倍比关系。

8、这是一道两块草地上牛吃草的问题，而且直接给出了两块草地的数量。

9、这是一道三块草地上牛吃草问题。

10、这是一个结合平面图形的牛吃草问题。

深度提示：1、可以使用五步法，注意求出原有草量与每天长草量。

2、注意把三块草地转换成1公亩，然后进行处理。

3、我们可以把人在增加想象成每分钟都在长草，把入口想象成人。

4、我们把甲、乙、丙想象成三块草地，然后参照第2题的做法就可以做出来了。

5、注意每天漏掉的酒相当于草在减少。

6、我们可以假设人数没有变，那么草的总量应该相应增加。

7、可以参照解三元一次方程来处理这道题。

8、注意2000平米与6000平米之间的关系。

9、参照第2题的解法。

10、注意观察平面图形的特征。

全解过程：1、设1台抽水机1天的抽水量为1单位，则池塘每天的进水速度为：（6×20-8×10）÷（20-10）=4单位，池塘中原有水量：6×20-4×20=40单位。若要5天内抽干水，需要抽水机40÷5+4=12台。

2、设1头牛1天吃1份牧草，则每公亩牧场上的牧草每天的生长量：（21×63÷30-12×28÷10）÷（63-28）=0.3（份），每公亩牧场上的原有草量：21×63÷30-0.3×63=25.2（份），则72公亩的牧场126天可提供牧草：（25.2+0.3×126）×72=4536（份），可供养4536÷126=36头牛

3、设一个入口1分钟入场的人数为1份，3个入场口9分钟进入了27份观众，5个入场口5分钟进入了25份观众，说明4分钟来的观众人数是27-25=2份，即每分钟来0.5份。因为9点5分时共来了25份，来25份需要25÷0.5=50分钟，所以第一个观众到达的时间是8点15分。

4、设1个工人1小时搬1份面粉。甲仓库中12个工人5小时搬了60512=?份，乙仓库中28个工人3小时搬了84328=?份，说明甲仓库的传送机5－3=2小时多输送了84－60=24份面粉，即每小时输送24÷2=12份，仓库中共有面粉1205)1212(=?+份。

丙仓库中120份面粉需在2小时内搬完，每小时需搬602120=÷份，因此需要工人3621260=?-名。

5、一桶酒相当于原有“草”，喝酒人相当于“牛”，漏掉酒相当于草在减少，设1人1天喝酒量为“1” 6人 4天 6×4＝24：原有酒－4天自然减少的酒

4人 5天 4×5＝20：原有酒－5天自然减少的酒

从上面看出：1天减少的酒为（24－20）÷（5－4）＝4，可供4人喝一天。

原有酒为：24＋4×4＝40，由4个人来喝需要：40÷4＝10（天）。

6、依题意知开工前运进的砖相当于“原有草”开工后每天运进相同的砖相当于“草的生长速度”工人砌砖相当于“牛在吃草”。所以设1名工人1天砌砖数量为“1”，列表分析得

15人 14天 15×14＝210 ：原有砖的数量＋14天运来砖的数量

20人 9天 20×9 ＝180 ：原有砖的数量＋ 9天运来砖的数量

从上面的表中可以看出（14－9）＝5天运来的砖为（210－180）＝30，即1天运来的砖为30÷5＝6

原有砖的数量为：180－6×9＝126；

假设6名工人不走，则能多砌6×4=24份砖，则砖的总数为126+24+6×（6+4）=210

因为是10天工作完，所以有210÷10=21名工人。

7、设1匹马1天吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析

马和牛 15天 15天马和牛吃草量＝原有草量＋15天新长草量（1）

马和羊 20天 20天马和羊吃草量＝原有草量＋20天新长草量（2）

牛和羊（同马） 30天 30马（牛和羊）吃＝原有草量＋30天新长草量（3）

由（1）×2－（3）可得： 30天牛吃草量＝原有草量牛每天吃草量＝原有草量÷30；

由（3）分析知道：30天羊吃草量＝30天新长草量，羊每天吃草量＝每天新长草量；

讲分析的结果带入（2）得：原有草量＝20，带入（3）30天牛吃草量＝20，得牛每天吃草量＝

23 这样如果马、牛和羊一起吃，可以让羊去吃新生草，马和牛吃原有草可以吃：20÷（1＋

）＝12（天）。

8、设1头牛1天的吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析

18头牛 16天 18×16＝288 ：原有草量＋16天自然增加的草量

27头牛 8天 27× 8＝216 ：原有草量＋ 8天自然增加的草量

从上看出：2000平方米的牧场上16－8＝8天生长草量＝288－216＝72，即1天生长草量＝72÷8＝9；

那么2000平方米的牧场上原有草量：288－16×9＝144或216－8×9＝144。

则6000平方米的牧场1天生长草量＝9×（6000÷2000）＝27；原有草量：144×（6000÷2000）＝432。

6天里，西侧草场共提供草432＋27×6＝594，可以让594÷6＝99（头）牛吃6天。

9、设1头牛1天吃1份牧草。

120头牛28天吃掉120×28＝3360份，说明每公顷牧场28天提供3360÷10＝336份牧草；

210头牛63天吃掉210×63＝13230份，说明每公顷牧场63天提供13230÷30＝441份牧草；

每公顷牧场63－28＝35天多提供441－336＝105份牧草，说明每公顷牧场每天的牧草生长量为105÷35＝3份，原有草量为336－28×3＝252份。

如果是72公顷的牧场，原有草量为252×72＝18144份，每天新长出3×72＝216份，

126天共计提供牧草18144＋126×216＝45360份，可供45360÷126＝360头牛吃126天。

10、一群牛，2天，吃了1块+1块2天新长的；一群牛，6天，吃了2块+2块2+6=8天新长的；即3天，吃了1

块+1块8天新长的；即1群牛1天吃1块6天新长的；即1

群牛，1天，吃了1块1天新长的草量。

又因为，1

的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外

的牛放在④号草地吃草，它们同时吃完。所以，

③=2?阴影部分面积。于是，整个为

+=块地。那么需要

193

624

?=群牛吃新长的草，于是

-??

（）=现

在

（）。所以需要吃：

193

12130

624

-??÷-

（）（）=天。

所以，一开始将一群牛放到整个草地，则需吃30天。

18 五年级第18讲牛吃草问题与钟表问题

五年级第18讲牛吃草问题与钟表问题兴趣篇 1.有一片草地上原有300千克草,如果这片草地每天能长出10千克草,而每头牛每天要吃5千克草,请问:6头牛几天会把这片草地吃完? 2.有一片匀速生长的草地,可以供10头牛吃20天,或者供15头牛吃10天,那么这片草地上每天生长出的草量可以供几头牛吃一天? 3.有一片牧场,草每天都在均匀地生长.如果在牧场上放养24头牛,那么6天就把草吃完了;如果只放养21头牛,那么8天才把草吃完.请问: (1)要使得草永远吃不完,最多可以放养多少头牛? (2)如果放养36头牛,多少天可以把草吃完? 4.有一片均匀生长的草地,可以供18头牛吃40天,或者供12头牛与36只羊吃25天,如果1头牛每天的吃草量相当于3只羊每天的吃草量.请问:这片草地让17头牛与多少只羊一起吃,刚好16天吃完? 5.有一座时钟现在显示上午10点整.问: (1)多少分钟后,分针与时针第一次重合? (2)再经过多少分钟,分针与时针第二次重合?

6.卡莉娅早上6点半起床,赶到学校时发现手表上的时针和分针恰好第一次张开成一条直线,那么卡莉娅到学校的时间是几点几分? 7.小高在9点与10点之间开始解一道数学题,当时手表的时针和分针正好成一条直线.当小高解完这道题时,时针和分针刚好第一次重合.请问:小高解这道题用了多少分钟? 8.下午6点多时墨莫吃完晚饭开始看动画片,动画片开始时他看手表,发现时针和分针的夹角为 110.在新闻联播前动画片放完了,墨莫又看手表,发现时针和分针的夹角仍然是 110.那么动画片一共放了多少分钟? 9.在早晨6点到7点之间有一时刻,钟面上的“6”字恰好在时针与分针的正中央.请问:这一刻是6点多少分? 10.一个快钟每小时比标准时间快1分钟,一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟.现在将两个钟同时调到标准时间,结果在24小时内,快钟显示9点整时,慢钟恰好显示8点整.请问:这个时候的标准时间是多少? 拓展篇 1.有一片牧场,草每天都在均匀地生长.如果在牧场上放养18头牛,那么10天能把草吃完;如果只放养24头牛,那么7天就把草吃完了.请问: (1)如果放养32头牛,多少天可以把草吃完? (2)要放养多少头牛,才能恰好14天把草吃完?

小学数学应用题典型详解19-牛吃草问题

19 “牛吃草”问题【含义】“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。【数量关系】草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数【解题思路和方法】解这类题的关键是求出草每天的生长量。例1 一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？解草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5 天内的草总量要5 天吃完的话，得有多少头牛？设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：（1）求草每天的生长量因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以 1×10×20＝原有草量＋20天内生长量同理 1×15×10＝原有草量＋10天内生长量由此可知（20－10）天内草的生长量为 1×10×20－1×15×10＝50 因此，草每天的生长量为 50÷（20－10）＝5 （2）求原有草量原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1×15×10－5×10＝100 （3）求5 天内草总量 5 天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×5＝125 （4）求多少头牛5 天吃完草因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。

因此5天吃完草需要牛的头数 125÷5＝25（头）答：需要5头牛5天可以把草吃完。例2 一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完？解这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于“牛数”），求时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：（1）求每小时进水量因为，3小时内的总水量＝1×12×3＝原有水量＋3小时进水量 10小时内的总水量＝1×5×10＝原有水量＋10小时进水量所以，（10－3）小时内的进水量为 1×5×10－1×12×3＝14 因此，每小时的进水量为 14÷（10－3）＝2 （2）求淘水前原有水量原有水量＝1×12×3－3小时进水量＝36－2×3＝30 （3）求17人几小时淘完 17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为（17－2），所以17人淘完水的时间是 30÷（17－2）＝2（小时）答：17人2小时可以淘完水。

牛吃草问题经典例题 (2)

精心整理英国大数学家牛顿曾编过这样一道数学题：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，如果供给25头牛吃，可以吃几天？? 解题关键：? 牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题环节主要有四步：? （10×22-16×1O）÷(22-1O）? =（220-160）÷12? =60÷12? =5（头）?

这片草供25头牛吃的天数：? （10-5）×22÷（25-5）? =5×22÷20? =5.5（天）? 答：供25头牛可以吃5.5天。? ----------------------------------------------------------------? “一堆草可供10头牛吃3天，这堆草可供6头牛吃几天？”这道题太简单了，一下就可求出：3×10÷6＝5（天）。如果我们把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化。这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是牛吃草问题。? ? 例1牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供 25头牛吃几天？? 分析与解：这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当中找到不变的量。总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的。下面，就要设法计算出原有的草量和每天新长出的草量这两个不变量。? 设1头牛一天吃的草为1份。那么，10头牛20天吃200份，草被吃完；15头牛10天吃150份，草也被吃完。前者的总草量是200份，后者的总草量是150份，前者是原有的草加20天新长出的草，后者是原有的草加10天新长出的草。?

(完整版)五年级奥数(牛吃草问题)

牛吃草问题 1.一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周。那么可供21头牛吃几周？ 2.由于天气逐渐变冷，牧场上的青草每天以均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。那么，可供11头牛吃几天？ 3.有一水池，池底有泉水不断涌出。要想把水池的水抽干，10台抽水机需8小时，8台抽水机需要12小时。如果用6台抽水机，那么需要抽多少个小时？ 4.有一个水池，池底有一个打开的出水口。用5台抽水机20小时可将水抽完，用8台抽水机15小时可将水抽完。如果仅靠出水口出水，那么多长时间能把水漏完？ 5.自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个性急的孩子嫌扶梯走的太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走1梯级，女孩每3秒钟走2梯级。结果男孩用50秒到达楼上，女孩用60秒到达楼上。该扶梯共有多少级？ 6..哥哥沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底，共走了100级。在相同的时间内，妹妹沿着自动扶梯从扶梯底向上走到顶，共走了50级。如果哥哥单位时间内走的级数是妹妹的2倍，那么当自动扶梯静止时，自动扶梯能看到的部分有多少级？

7.两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒钟可走3级梯级，女孩每秒钟可走2级梯级，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。问：该扶梯共有多少级梯级？ 8.仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多。用同样的汽车运货出仓，如果每天用4辆汽车，则9天恰好运完；如果每天用5辆汽车，则6天恰好运完。仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要多少天运完？ 9.画展9点开门，但早就有人排队等候入场了。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，则9点9分就不在有人排队，如果开5个入场口，则9点5分就没有人排队。那么第一个观众到达的时间是8点几分？ 10.某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，若同时开5个检票口则需30分钟，若同时开6个检票口则需20分钟。如果要使队伍10分钟消失，那么需同时开几个检票口？ 11.假设地球上新生成的资源的增长速度是一定的，照此推算，地球上的资源可供110亿人生活90年，或可供90亿人生活210年。为使人类能够不断繁衍，那么地球上最多能够养活多少亿人？

小学奥数教程：牛吃草问题(一)全国通用(含答案)

1. 理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的解题思路. 2. 初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”． “牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．解“牛吃草”问题的主要依据： ① 草的每天生长量不变； ② 每头牛每天的食草量不变； ③ 草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值 ④ 新生的草量=每天生长量?天数．同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为： ⑴设定1头牛1天吃草量为“1”； ⑵草的生长速度=(对应牛的头数?较多天数-对应牛的头数?较少天数)÷(较多天数-较少天数)； ⑶原来的草量=对应牛的头数?吃的天数-草的生长速度?吃的天数； ⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度)； ⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度． “牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．模块一、一块地的“牛吃草问题” 【例 1】牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃 18周？【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】设1头牛1周的吃草量为“1”，草的生长速度为(239276)(96)15?-?÷-=，原有草量为 (2715)672-?=，可供72181519÷+=（头）牛吃18周【答案】19头牛【巩固】有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天．那么它可供几头牛吃20 天？【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么251015-=天生长的草量为1225241060?-?=，所以每天生长的草量为60154÷=；原有草量为：()24410200-?=． 20天里，草场共提供草200420280+?=，可以让2802014÷=头牛吃20天．【答案】14头牛例题精讲知识精讲教学目标 6-1-10.牛吃草问题（一）

牛吃草问题【图示法解析】

图示法解析牛吃草问题图示法解题：图示法在解很多题目时非常直观、简洁，如在牛吃草、行程等问题中得到广泛的应用，以牛吃草为例说明如下：【例1】一片草场的青草每天都匀速生长，这片青草可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天，那么可供21头牛吃几天？解题思路总结：解决牛吃草问题的关键是：（1）设1头牛1天吃1份草；（2）要求出每天（或每周等）新生长的草量；（3）要求出原有的草量；注意：原有的草量不变。然后代入计算就可以了。解：作线段图如下图：设1头牛1天吃1份草，则27头牛6天共吃草：27×6＝162份；23头牛9天共吃23×9＝207份，多了207－162＝45份，相当于（9－6）天生长的草量，所以每天生长的草量为：＝15份/天；则原有的草量为：162－6×15＝72份； 21头牛中有15头吃生长的草，那么剩下的21－15＝6头吃原有的草，所以可以吃：天，因此可供21头牛吃12天。练习题： 1.有一个水池，池底有一个打开的出水口。用5台抽水机20时可将水抽完，用8台抽水机15时可将水抽完。如果仅靠出水口出水，那么多长时间能把水漏完? 2.哥哥沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底，共走了100级。在相同的时间内，妹妹沿着自动扶梯从底向上走到顶，共走了50级。如果哥哥单位时间内走的级数是妹妹的2倍，那么当自动扶梯静止时，自动扶梯能看到的部分有多少级? 3.两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级梯级，女孩每秒可走2级梯级，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。问：该扶梯共有多少级梯级?

4.仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多。用同样的汽车运货出仓，如果每天用4辆汽车，则9天恰好运完;如果每天用5辆汽车，则6天恰好运完。仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要多少天运完? 5.画展9点开门，但早就有人排队等候入场了。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，则9点9分就不再有人排队，如果开5个入场口，则9点5分就没有人排队。那么第一个观众到达的时间是8点几分? 6.某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，若同时开5个检票口则需30分钟，若同时开6个检票口则需20分钟。如果要使队伍10分钟消失，那么需同时开几个检票口? 7.假设地球上新生成的资源的增长速度是一定的，照此测算，地球上的资源可供110 亿人生活90年，或可供90亿人生活210年。为使人类能够不断繁衍，那么地球最多能养活多少亿人? 8.有一牧场，17头牛30天可将草吃完.19头牛则24天可以吃完.现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完.问：原来有多少头牛吃草(草均匀生长)? 9.有三块草地，面积分别为5公顷、15公顷和24公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天。问：第三块草地可供多少头牛吃80天? 10.有一水池，池底有泉水不断涌出。要想把水池的水抽干，10台抽水机需抽8时，8 台抽水机需抽12时。如果用6台抽水机，那么需抽多少小时?

小升初经典题型分析：牛吃草问题_题型归纳

小升初经典题型分析：牛吃草问题_题型归纳 12头牛4周吃完6公顷的牧草，20头牛6周吃完12公顷的牧草，假设每公顷原有草量相等，草的生长速度不变，问多少头牛8周吃完16公顷的牧草。老师分析与提示：其实解决牛吃草问题也不难，主要掌握以下几个问题和思路 1、知道什么题算牛吃草问题？很多老师在讲牛吃草问题时，并没有指明，孩子也容易忽视。其实这是很重要的一点。雪帆老师在这里提示各位同学和家长，牛吃草问题，主要是草会变，或增加，或减少。（如果草不发生变化，就可能会变为归一问题，盈亏问题等。）所以牛吃草有两大题型，一个长草，一个减草。 2、牛吃草问题的一个假设我们常常假设单位牛头数在单位时间内吃的草为1份，这个容易被忽视，这个也很重要，首先它是用来计算两个草量，其实，它为后面的问题简化作铺垫。 3、牛吃草问题的两个关键量生长量和原有草量。生长量容易做，因为随着天数的增加，草量会发生变化，根据差量法即可得到。而原有草量是要注意长草还是减草的。 4、牛吃草问题的技巧牛吃草问题的最大技巧就是把原有草量和生长量分开考虑。当原有草量吃完后，再把生长量考虑进去即可。而生长量需要几头牛，正是利用了“假设”得到的。 5、牛吃草问题的变形其中一个变形就是上面例题，草地的大小不同。下面我就上面那道例题给出如下思路，有兴趣的朋友可以跟着一起思考： 1、假设一头牛一周吃一份 2、求出两次草量，因为草地大小不同，各自求出一公顷的草量； 3.根据草量之差，求一公顷的生长量； 4、根据生长量，和某一个草量，求一公顷的原有草量，这一步初学者请画图参考，很容易理解的。 5、题目让你求的是16公顷的，所以你要求出16公顷的生长量和原有草量； 6、先求原有草量8周需要几头牛，生长量需要几头牛吃完，就可以求出结果。

五年级高斯奥数之牛吃草问题与钟表问题含答案

第18讲牛吃草问题与钟表问题内容概述牛吃草问题是一类特殊的工程问题，钟表问题是一类特殊的行程问题．牛吃草问题的难点在于草的总量有变化，因此要注意单位“1”的选取．掌握钟表问题的相关知识，学会将掐针成角度问题转化为指针闻的环形追及问题或相遇问题，学会用比例分析两个速度不同的钟表之间的时间对比关系．典型问题兴趣篇 1．有一片牧场，草每天都在均匀地生长．如果在牧场上放养24头牛，那么6天就把草吃完了；如果只放养21头牛，那么8天才把草吃完．请问： (1)要使得草永远吃不完，最多可以放养多少头牛？(2)如果放养36头牛，多少天可以把草吃完？ 2．学校有一片均匀生长的草地，可以供18头牛吃40天，或者供12头牛与36只羊吃25天，如果1头牛每天的吃草量相当于3只羊每天的吃草量．请问：这片草地让17头牛与多少只羊一起吃，刚好16天吃完？ 3．一片均匀生长的草地，如果有15头牛吃草，那么8天可以把草全部吃完；如果起初这15头牛在草地上吃了2天后，又来了2头牛，则总共7天就可以把草吃完．如果起初这15头牛吃了2天后，又来了5头牛，再过多少天可以把草吃完？ 4．有一座时钟现在显示上午10点整，问： (1)多少分钟后，分针与时针第一次重合？(2)再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？ 5．小悦早上6点半起床，赶到学校时发现手表上的时针和分针恰好第一次张开成一条直线，那么小悦到达学校的时间是几点几分？ 6．阿奇在9点与10点之间开始解一道数学题，当时手表的时针和分针正好成一条直线．当阿奇解完这道题时，时针和分针刚好第一次重合．请问：阿奇解这道题用了多少分钟？ 7．下午6点多时冬冬吃完晚饭开始看动画片，动画片开始时他看手表，发现时针和分针的

小学数学牛吃草问题综合讲解

小学数学牛吃草问题综合讲解 Revised on November 25, 2020

小学数学牛吃草问题吃草问题是小学奥数五年级的内容，学过的同学都知道这是一类比较复杂的应用题，还有一些相应的变形题：排队买票、大坝泄洪、抽水机抽水等等。那么在这里讲下牛吃草问题的解题思路和解题方法、技巧供大家学习。一、解决此类问题，孩子必须弄个清楚几个不变量：1、草的增长速度不变2、草场原有草的量不变。草的总量由两部分组成，分别为：牧场原有草和新长出来的草。新长出来草的数量随着天数在变而变。因此孩子要弄清楚三个量的关系：第一：草的均匀变化速度（是均匀生长还是均匀减少）第二：求出原有草量第三：题意让我们求什么（时间、牛头数）。注意问题的变形：如果题目为抽水机问题的话，会让求需要多少台抽水机二、解题基本思路 1、先求出草的均匀变化速度，再求原有草量。 2、在求出“每天新增长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草量÷每天实际减少的草量（即头数与每日生长量的差）”求出天数。 3、已知天数求只数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。 4、根据（“原有草量”+若干天里新生草量）÷天数”，求出只数

三、解题基本公式解决牛吃草问题常用到的四个基本公式分别为： 1、草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷（吃的较多天数－吃的较少天数） 2、原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数 3、吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度） 4、牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度四、下面举个例子例题：有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢并且牧场上的草是不断生长的。一般方法：先假设1头牛1天所吃的牧草为1，那么就有：（1）27头牛6天所吃的牧草为：27×6＝162 （这162包括牧场原有的草和6天新长的草。）（2）23头牛9天所吃的牧草为：23×9＝207 （这207包括牧场原有的草和9天新长的草。）（3）1天新长的草为：（207－162）÷（9－6）＝15 （4）牧场上原有的草为：27×6－15×6＝72 （5）每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：72÷（21－15）＝72÷6＝12（天）所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽公式解法：

小学奥数牛吃草问题

专题一：牛吃草问题 ※. 这里我们把草场草量称为“原有量”把每天长出的草量称为“日产量” 那么牛吃草问题的核心公式为：原有量 =（牛数－日产量）×天数 ※.解题思路： A.对于简单的牛吃草问题，一般可以根据已知条件，分步骤解答。首先：求出日产量（每天长出的草量）然后：求出原有量（草场草量）最后：求出题目。 B.对于较为复杂的牛吃草问题，我们将在下面例题中，具体分析。 ----------------------------------------------------------------- 例1.牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？分析：这是一道基本的牛吃草问题，我们可以按照思路A解答。解：设1头牛1天吃的草为1份。每天长出的草量为：（10×20-15×10）÷（20-10）= 5（份）草场原有的草量为：10×20－5×20 = 100（份） 25头牛可以吃的天数：100÷（25－5）= 5（天）答：这片草地可供25头牛吃5天。

课堂练兵：牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20 天，或者可供15头牛吃10天。问：可供几头牛吃5天？例2.由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？分析：与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少。但我们可以利用例1的方法，求出每天减少的草量和原有的草量。解：设1头牛1天吃的草为1份。每天减少的草量为：（20×5－15×6）÷（6－5）= 10（份）草场原有的草量为：20×5＋10×5 = 150（份）设：可供x头牛吃10天？ 150 = （x＋10）×10 x = 5 答：可供5头牛吃10天。

五年级牛吃草问题解析

牛吃草问题牛吃草问题是经典的奥数题型之一，首先，先介绍一下这类问题的背景一、定义伟大的科学家牛顿著的《普通算术》一书中有这样一道题：“12头牛4周吃牧草格尔，同样的牧草，21头牛9周吃10格尔。问24格尔牧草多少牛吃18周吃完。”（格尔——牧场面积单位），以后人们称这类问题为“牛顿问题”的牛吃草问题。二、特点在“牛吃草”问题中，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化，也就是说这类问题的工作总量是不固定的，一直在均匀变化。来看看这例题例.有这样的问题：牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周.那么它可供21头牛吃几周？解答这类问题，困难在于草的总量在变，它每天、每周都在均匀地生长，时间愈长，草的总量越多.草的总量是由两部分组成的：①某个时间期限前草场上原有的草量；②这个时间期限后草场每天（周）生长而新增的草量.因此，必须设法找出这两个量来。下面就用开头的题目为例进行分析.（见下图）从上面的线段图可以看出23头牛9周的总草量比27头牛6周的总草量多，多出部分相当于3周新生长的草量.为了求出一周新生长的草量，就要进行转化.27头牛6周吃草量相当于27×6＝162头牛一周吃草量（或一头牛吃162周）.23头牛9周吃草量相当于23×9=207头牛一周吃草量（或一头牛吃207周）.这样一来可以认为每周新生长的草量相当于（207-162）÷（9-6）=15头牛一周的吃草量。需要解决的第二个问题是牧场上原有草量是多少？用27头牛6周的总吃草量减去6周新生长的草量（即15×6=90头牛吃一周的草量）即为牧场原有草量。所以牧场上原有草量为27×6-15×6=72头牛一周的吃草量（或者为23×9- 15×9=72）。牧场上的草21头牛几周才能吃完呢？解决这个问题相当于把21头牛分成两部分.一部分看成专吃牧场上原有的草.另一部分看成专吃新生长的草.但

四年级奥数-牛吃草问题例题讲解

例1：牧场上长满牧草，每天都匀速生长。这片牧场可供27头牛吃6天或23头牛吃9天。问可供21头牛吃几天？分析：设一头牛一天的吃草量为1份，（1）先算出牧场每天新增的草量为：（23×9-27×6）÷(9-6)=15份，（2）再算牧场原有的草量为：23×9-15×9=72份，（3）21头牛，要安排15头去吃每天新增的草量，剩余的牛21-15=6头去吃原有的草量，这样才可以把草吃完。可以吃：72÷6=12天。例2：一片牧场上长满牧草，如牧草每天都匀速生长。则牧场可供27头牛吃6天或23头牛吃9天。问想要18天吃完这些草要几头牛？分析：这道题和例1有点互逆的意思。我们设一头牛一天的吃草量为1份，则（1）牧场每天新增的草量为：（23×9-27×6）÷(9-6)=15份，（2）牧场原有的草量为：23×9-15×9=72份,（3）18天要吃完草，先要安排15头牛去吃每天新增的草量，再安排72÷18=4头牛去吃原有的草量72份，所以要：15+4=19头牛。例3：一条船有一个漏洞，水以均匀的速度漏进船内，待发现时船舱内已进了一些水。如果用12人舀水，3小时舀完。如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。现在要想在2小时舀完，需要多少人？分析：这是一道有点变异的牛吃草问题，解题的思路也是和牛吃草问题一样。设每人每小时舀水量为一份，则（1）漏水量（新增的水量）：（10×5-12×3）÷(10-3)=2份，（2）船原有的水为：12×3-2×3=30份，要先安排2个人去舀新增的水量，再安排30÷2=15人去舀原有的水量30分，共要15+2=17人。例4：有一片牧场，24头牛6天可以将草吃完，或21头牛8天可以吃完。要使牧草永远吃不完，至多可以放牧几头牛？分析：要牧草永远吃不完，就要保证每天最多只吃新增的量，否则一旦超过每天新增的量，吃了原来的量，总有一天会吃完。所以只要算出新增的量即可。设每头牛每天的吃草量为1份，则牧场每天新增的草量：（21×8-24×6）÷（8-6）=12（份），最多可放牧：12÷1=12头。

五年级牛吃草问题

牛吃草问题【知识要点】求解此类问题的三个步骤： 1．每天（每周）草长的份数 2．牧场上原有多少草 3．依题意求解注意：单位统一【典型例题】例1 牧场上有一片青草,每天匀速生长,这片青草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。问这片青草原有多少草？每天新生长的草是多少？如果饲养25头牛多少天可以把牧场上的草吃完？例 2 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。已知某地草地上的草可供20头牛吃5天或可供15头牛吃6天，照此计算，可供多少头牛吃10天？例 3 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客数一样多，从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如里同时打开7个检票口，那么需多少分钟？

例4 快、中、慢3辆车同时从同一地点出发，沿同一条公路追赶前面的一个骑车人，这3辆车分别用6小时、10小时、12小时追上骑车人，现在知道快车的速度是24千米/时，中车速度是20千米/时，问慢车的速度是多少？例5 有一片草地，可供8只羊吃20天，或供14只羊吃10天，假设草每天的生长速度不变，现有羊若干只，吃了4天后又增加了6只，这样又吃了两天便将草吃完，原有羊多少只？例6 一块草地，每天生长的速度相同.现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天.如果一头牛一天的吃草量等于四只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃，可以吃多少天？

随堂小测姓名成绩 1．牧场上长满牧草，可供10头牛吃3天，可供5头牛吃8天，如果牧草每天匀速生长，如果饲养4头牛，可以吃几天？ 2．有一酒槽，每日泄露相等量的酒，现让6人饮此酒，则4天喝完，或让4人饮此酒则5天喝完.若每人的饮酒量相同，那么16人多少天可以饮完？ 3．某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多，如果同时开放10个检票口，则需20分钟检票口前的队伍恰好消失；如果同时开放15个检票口，那么10分钟队伍恰好消失。如果同时开放25个检票口，那么队伍多少分钟恰好消失？ 4．快、中、慢三车同时从A地出发，追赶一辆正在行驶的自行车，三车的速度分别是每小时24千米、20千米、19千米。快车追上自行车用了6小时，中车追上自行车用了10小时，慢车追上自行车用了多少小时？ 5．一片牧草，每天匀速的生长.它可供17只羊吃30天，或可供19只羊吃24天.现有若干只羊，6天后卖了4只，余下的羊2天将草吃完，那么原来有羊多少只？

牛吃草问题例题

牛吃草问题经典例题一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完？解这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于“牛数”），求时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：（1）求每小时进水量因为，3小时内的总水量＝1×12×3＝原有水量＋3小时进水量 10小时内的总水量＝1×5×10＝原有水量＋10小时进水量所以，（10－3）小时内的进水量为1×5×10－1×12×3＝14 因此，每小时的进水量为14÷（10－3）＝2 （2）求淘水前原有水量原有水量＝1×12×3－3小时进水量＝36－2×3＝30 （3）求17人几小时淘完 17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为（17－2），所以17人淘完水的时间是（小时）2）＝2－1730÷（小时可以淘完水。答：17人2 天306头牛，吃10亩草，181、在一片牧场里，放养4头牛，吃6亩草，天可以吃完：放养天可以吃完？（假定这片牧场每亩中的原草24可以吃完，请问放入多少头牛，吃8亩草，量相同，且每天草的生长两相等）、有快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶路上的一个骑车人。这三辆车2千米，中速车每小时小时追上骑车人。现在知道快车每小时走24小时、10小时、12分别用6走20千米，那么，慢速车每小时走多少千米？提示：找到题中的“牛”与“草”，你就成功了一半。 3、某游乐场在开门前已经有100个人排队等待，开门后每分钟来的游人数是相同的，一个入口处每分钟可以放入10名游客，如果开放2个入口20分钟后就没有人排队，现在开放8个入口处，没分钟关闭一个门，那么开门后几分钟就没人排队了？提示：解答出“原来一共的人”和“每分钟来的人”后，要结合我们很擅长的等差数列问题来解决。序章：问题提出我将“牛吃草”归纳为两大类，用下面两个例题来说明例1.牧场上有一片均匀生长的牧草，可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天。那么它可供21头牛吃几天？例2.有三块草地，面积分别为5，6和8公顷．草地上的草一样厚，而且长得一样快．第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天．问：第三块草地可供19头牛吃多少天？分析与解：例1是在同一块草地上，例2是三块面积不同的草地．（这就两者本质的区别）第一章：核心思路 [普通解法请参考上面三位前辈的帖子。我没把链接做好，不好意思] 现在来说我的核心思路：例1.牧场上有一片均匀生长的牧草，可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天。那么它可供21头牛吃几天？头是“剪草工”X头牛中有27将它想象成一个非常理想化的数学模型：假设，这X头牛只负责吃“每天新长出的草，并且把它们吃完”，这样以来草场相当于不长草，永远维持原来的草量，而剩下的(27－X)头牛是真正的“顾客”，它们负责把草场原来的草吃完。（请慢慢理解，这是关键）例1：

五年级奥数：牛吃草问题(题目+答案)

牛吃草问题例：有一片牧草，草每天匀速的生长，这片牧草可供100头牛吃3周，可供50头牛吃8周，那么可供多少头牛吃两周设每头牛每周吃草一份， 100头牛3周吃的草：100×3=300（份） 50头牛8周吃的草：50×8=400（份）草的生长速度：（400-300）÷（8-3）=20（份）原有牧草的份数：100×3-3×20=240（份）（240+20×2）÷2=140（头） ~ ①一个牧场,草每天匀速生长，每头牛每天吃的草量相同，17头牛30天可以将草吃完，19头牛只需要24天就可以将草吃完。现有一群牛，吃了6天后,卖掉4头牛，余下的牛再吃2天就将草吃完。问没有卖掉4头牛之前，这一群牛一共有多少头设一头牛一天吃一份草. 17头牛30天吃的草：17×30＝510（份） 19头牛24天吃的草：19×24＝456（份）每天长草数：（510－456）÷（30－24）＝9（份）牧场原有草数：510－9×30＝240（份） 8天可吃草数：240＋8×9＝312（份）设卖牛前有x头： 6x+2（x-4）=312 x=40 ^ ②一片牧草,可供9头牛12天，也可供8头牛吃16天，开始只有4头牛吃，从第7天起增加了若干头牛来吃草，再吃6天吃完了所有的草，问从第7天起增加了多少头牛设一头牛一天吃一份草. 9头牛12天吃的草：9×12＝108（份） 8头牛16天吃的草：8×16＝128（份）每天新增量：（128-108）÷（16-12）=5（份）原有草量：108-12×5=48（份）从开始4头牛到6天后增加牛后再吃6天可知前后共计12天，这片草地共有草量：48+5×12=108（份）开始的4头牛12天吃的草：4×12=48（份）：增加的牛数：108-48）÷6=10（头） ③有一片草地，可供8只羊吃20天，或供14只羊吃10天。假设草每天的生长速度不变，现有羊若干只，吃了4天后又增加了6只，这样又吃了2天，便将草吃完。问：原有羊多少只设一只羊吃一天的草量为一份．每天新长的草量：（8×20-14×10）÷（20-10）=2（份）原有的草量：8×20-2×20=120（份）若不增加6只羊,这若干只羊吃6天的草量,等于原有草量加上4＋2=6天新长草量再减去6只羊2天吃的草量：120＋2×（4＋2）-1×2×6=120（份）羊的只数：120÷6=20（只）

精选牛吃草问题(含例题、答案、讲解).

小学数学牛吃草问题知识点总结: 牛吃草问题：牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。小升初冲刺第2讲牛吃草问题基本公式: 1) 设定一头牛一天吃草量为“1” 2）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）； 3）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；` 4）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）； 5)牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。例1、牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。问：这片牧草可供25头牛吃多少天？解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份草每天的生长量：（200-150）÷（20-10）=5份 10×20=200份……原草量+20天的生长量原草量：200-20×5=100 或150-10×5=100份 15×10=150份……原草量+10天的生长量 100÷（25-5）=5天 [自主训练] 牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天，如果要供18头牛吃，可吃几天？解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份草每天的生长量：（180-150）÷（20-10）=3份 9×20=180份……原草量+20天的生长量原草量：180-20×3=120份或150-10×3=120份 15×10=150份……原草量+10天的生长量 120÷（18-3）=8天例2、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。已知某块

(word完整版)四年级奥数题牛吃草问题解析

解决牛吃草问题的多种算法历史起源：英国数学家牛顿(1642—1727)说过：“在学习科学的时候，题目比规则还有用些”因此在他的著作中，每当阐述理论时，总是把许多实例放在一起。在牛顿的《普遍的算术》一书中，有一个关于求牛和头数的题目，人们称之为牛顿的牛吃草问题。主要类型： 1、求时间 2、求头数除了总结这两种类型问题相应的解法，在实践中还要有培养运用“牛吃草问题”的解题思想解决实际问题的能力。基本思路： ①在求出“每天新生长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草量÷每天实际减少的草量(即头数与每日生长量的差)”求出天数。 ②已知天数求只数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。 ③根据(“原有草量”+若干天里新生草量)÷天数”，求出只数。基本公式：解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是∶ (1)草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷(吃的较多天数－吃的较少天数)； (2)原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；` (3)吃的天数＝原有草量÷(牛头数－草的生长速度)； (4)牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度第一种：一般解法

“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。” 一般解法：把一头牛一天所吃的牧草看作1，那么就有： (1)27头牛6天所吃的牧草为：27×6＝162 (这162包括牧场原有的草和6天新长的草。) (2)23头牛9天所吃的牧草为：23×9＝207 (这207包括牧场原有的草和9天新长的草。) (3)1天新长的草为：(207－162)÷(9－6)＝15 (4)牧场上原有的草为：27×6－15×6＝72 (5)每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：72÷(2 1－15)＝72÷6＝12(天) 所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽。第二种：公式解法有一片牧场，草每天都匀速生长(草每天增长量相等)，如果放牧24头牛，则6天吃完牧草，如果放牧21头牛，则8天吃完牧草，假设每头牛吃草的量是相等的。(1)如果放牧1 6头牛，几天可以吃完牧草？(2)要使牧草永远吃不完，最多可放多少头牛？解答： 1) 草的生长速度：(21×8-24×6)÷(8-6)=12(份) 原有草量：21×8-12×8=72(份) 16头牛可吃：72÷(16-12)=18(天) 2) 要使牧草永远吃不完，则每天吃的份数不能多于草每天的生长份数所以最多只能放12头牛。

五年级奥数牛吃草问题(二)教师版

1. 五年级奥数牛吃草问题（二）教师版 2. 初步了解牛吃草的变式题,会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中,有一道关于牛在牧场上吃草的问题,即牛在牧场上吃草,牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”． “牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长,草也在按不变的速度均匀生长,所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．解“牛吃草”问题的主要依据： ① 草的每天生长量不变； ② 每头牛每天的食草量不变； ③ 草的总量=草场原有的草量+新生的草量,其中草场原有的草量是一个固定值 ④ 新生的草量=每天生长量?天数．同一片牧场中的“牛吃草”问题,一般的解法可总结为： ⑴设定1头牛1天吃草量为“1”； ⑵草的生长速度=(对应牛的头数?较多天数-对应牛的头数?较少天数)÷(较多天数-较少天数)； ⑶原来的草量=对应牛的头数?吃的天数-草的生长速度?吃的天数； ⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度)； ⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度． “牛吃草”问题有很多的变例,像抽水问题、检票口检票问题等等,只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路,才能以不变应万变,轻松解决此类问题．模块一、 “牛”吃草问题的变例【例 1】在地铁车站中,从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时,如果每秒向上迈一级台阶,那么他走过20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶, 那么走过30级台阶到达地面．从站台到地面有级台阶．【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】填空【关键词】对比思想方法【解析】本题非常类似于“牛吃草问题”,如将题目改为：例题精讲知识精讲教学目标 6-1-10.牛吃草问题（二）

牛吃草问题介绍

解题关键：牛顿问题俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题环节主要有四步： 1、求出每天长草量； 2、求出牧场原有草量； 3、求出每天实际消耗原有草量( 牛吃的草量-—生长的草量= 消耗原有的草量)； 4、最后求出牛可吃的天数。 5、每头牛一天吃多少草规律总结牛顿问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断变化。解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量，我们可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量。显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，我们也能找到另一个不变量——每天（每周）新长出的草的数量。基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；关键问题：确定两个不变的量。基本公式：生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；原有草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；牛吃草问题常用到四个基本公式：牛吃草问题又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随着吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰（1）草的生长速度= （对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；（2）原有草量=牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；` （3）吃的天数=原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；（4）牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。例1、牧场上有一片牧草，供24头牛6周吃完，供18头牛10周吃完．假定草的生长速度不变，那么供19头牛需要几周吃完？解：设1头牛吃一周的草量的为一份．（1）24头牛吃6周的草量 24×6=144（份）（2）18头牛吃10周的草量 18×10=180（份）（3）（10-6）周新长的草量 180-144=36（份）（4）每周新长的草量 36÷（10-6）=9（份）（5）原有草量 24×6-9×6=90（份）