高中数学竞赛数列练习

高中数学竞赛专题讲座之 数列

一、选择题部分

1．（2006年江苏）已知数列{}n a 的通项公式2

2

45

n a n n =-+，则{}n a 的最大项是（ B ）

()A 1a

()B 2a

()C 3a ()D 4a

2．（2006安徽初赛）正数列满足()231221,10,103n n n t a a a a a n --===≥，则100lg ()a = （ ）

A 、98

B 、99

C 、100

D 、101

3. （2006吉林预赛）对于一个有n 项的数列P=(p 1，p 2，…，p n )，P 的“蔡查罗和”定义为s 1、s 2、…s n 、的算术平均值，其中s k =p 1+p 2+…p k (1≤k≤n )，若数列(p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为 （ A ）

A. 2007

B. 2008

C. 2006

D. 1004

4．(集训试题)已知数列{a n }满足3a n+1+a n =4(n ≥1)，且a 1=9，其前n 项之和为S n 。则满足不等式|S n -n-6|<125

1

的最小整数n 是 （ ）

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

解：由递推式得：3(a n+1-1)=-(a n -1)，则{a n -1}是以8为首项，公比为-

3

1

的等比数列， ∴S n -n=(a 1-1)+(a 2-1)+…+(a n -1)=

3

11]

)31

(1[8+--n =6-6×(-31)n ，∴|S n -n-6|=6×(31)n <1251，得：3n-1>250，∴满足条件的最小整数n=7，故选C 。

5．(集训试题)给定数列{x n }，x 1=1，且x n+1=n

n x x -+313，则

∑=2005

1

n n

x

= （ ）

A ．1

B ．-1

C ．2+3

D ．-2+3

解：x n+1=

n n x x 3

3

133

-

+，令x n =tan αn ，∴x n+1=tan(αn +6

π), ∴x n+6=x n , x 1=1，x 2=2+3, x 3=-2-3, x 4=-1,

x 5=-2+3, x 6=2-3, x 7=1，……，∴有

∑===2005

1

11n n

x x

。故选A 。

6、（2006陕西赛区预赛）已知数列{}{}n n a b 、

的前n 项和分别为n A ，n B 记(1)n n n n n n n C a B b A a b n =?+?-?>则数列{n C }的前10项和为 ( C )

A .1010A

B + B. 1010

2

A B + C.1010A B ?

7．（2006年浙江省预赛）设)(n f 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 14321)123(222=++=f 。记)()(1n f n f =，))(()(1n f f n f k k =+，，?=,3,2,1k 则)2006(2006f ＝

(A) 20 (B) 4 (C) 42 (D) 145. （ D ） 解： 将40)2006(=f 记做402006→，于是有

Λ→→→→→→→→→→→164204214589583716402006

从16开始，n f 是周期为8的周期数列。故.145)16()16()16()2006(48250420042006====?+f f f f 正确答案为D 。 二、填空题部分

1.数列{}n a 的各项为正数,其前n 项和n S 满足)1

(21n n n a a S +

=,则n a

O

O O M N N N

15101051146411331121111

2．（200 6天津）已知d c b a ,,,都是偶数，且d c b a <<<<0，90=-a d ，若c b a ,,成等差数列，d c b ,,成等比数列，则d c b a +++的值等于 194 ．

3. （2006吉林预赛）如图所示，在杨辉三角中斜线上方的数所组成的数列1，3，6，10，…，记这

个数列前n 项和为S(n)，则)

(lim 3

n S n n +∞→=___________。

4．（2006年江苏）等比数列{}n a 的首项为12020a =，公比1

2

q =-．设()f n 表示这个数列的前n 项的积，则当n = 12 时，()f n 有最大值．

5. 在x 轴的正方向上，从左向右依次取点列 {}

Λ,2,1,=j A j ，以及在第一象限内的抛物线x y 2

32=

上从左向右依次取点列{}Λ,2,1,=k B k ，使k k k A B A 1-?（Λ,2,1=k ）都是等边三角形，其中0A 是坐标原点，则第2005个等边三角形的边长是 2005。

【解】：设第n 个等边三角形的边长为n a 。则第n 个等边三角形的在抛物线上的顶点n B 的坐标为（2

121n

n a a a a +

+++-Λ， ??

? ??

++++-223121n n a a a a Λ）

。 再从第n 个等边三角形上，我们可得n B 的纵坐标为

n n n

a a a 23212

2

=??

?

??-。从而有

??? ??

++++=-2232

3

121n n n a a a a a Λ，即有 2

211212n n n a a a a a +

+++=-Λ。 由此可得2212

12n n n a a a a a +=+++Λ （1） , 以及 2

11121212---+=+++n n n a a a a a Λ （2）

（1）－（2）即得 ))((2

1

)(21111---+-+-=

n n n n n n n a a a a a a a . 变形可得 0))(1(11=+----n n n n a a a a .

由于01≠+-n n a a ，所以 11=--n n a a 。在（1）式中取n ＝ 1，可得 2112

1

21a a =，

而01≠a ，故11=a 。 因此第2005个等边三角形的边长为 20052005=a 。

6.(2005年浙江)已知数列n x ，满足n x x n n n +=++1)1(, 且21=x ， 则2005x = !

20051

!2005+。

【解】：由 n x x n n n +=++1)1(，推出 1

1

11+-=

-+n x x n n 。因此有 )!

1(1

2)1()1(1)1()1(1)1(11111211+=-+-==-+-=+-=+-=---+n n n n x n n n x n n x n x x n n n n ΛΛ.

即有 1)!1(1

1++=+n x n 。 从而可得 !

20051!20052005+=x 。

7. (2005全国)记集合},4,3,2,1,|7777{},6,5,4,3,2,1,0{4

433221=∈+++==i T a a a a

a M T i 将M 中的元素

按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（ ）

A ．43273767575+++

B ．43272767575+++

C ．43274707171+++

D ．4327

3707171+++

解：用p k a a a ][21K 表示k 位p 进制数，将集合M 中的每个数乘以4

7，得

32123412347{777|,1,2,3,4}{[]|,1,2,3,4}.i i M a a a a a T i a a a a a T i '=?+?+?+∈==∈=

M ' 中的最大数为107]2400[]6666[=。在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第2005个

数是2400-2004=396。而=10]396[7]1104[将此数除以4

7，便得M 中的数

.7

4

707171432+++故选C 。 8．（2004 全国）已知数列012,,,...,,...,n a a a a 满足关系式10(3)(6)18,3n n a a a +-+==且，则1

n

i o i

a =∑

的值是_________________________。

解：设1111,0,1,2,...,(3)(6)18,n n n n

b n a b b +=

=-+=则 即1111113610.2,2()333n n n n n n b b b b b b +++--=∴=++=+ 故数列1

{}3

n b +是公比为2的等比数列，

1100111111

2()2()2(21)33333

n n n n n n b b b a +++=+=+=?∴=-。

()112001112(21)

1(21)(1)2333213n n

n n

i n i i o i i i b n n a +++===??-==-=-+=--??-??∑∑∑。 9．（2005四川）设t s r ,,为整数，集合}0,222|{r s t a a t

s r <<≤++=中的数由小到大组成数列

}{n a ：Λ,14,13,11,7，则=36a 131 。

解：∵t s r ,,为整数且r s t <<≤0，∴r 最小取2，此时符合条件的数有12

2=C

3=r ，t s ,可在2,1,0中取，符合条件有的数有323=C

同理，4=r 时，符合条件有的数有62

4=C

5=r 时，符合条件有的数有1025=C 6=r 时，符合条件有的数有1526=C 7=r 时，符合条件有的数有2127=C

因此，36a 是7=r 中的最小值，即1312227

1036=++=a

三、解答题部分

1．（200 6天津）已知数列}{n a 满足p a =1，12+=p a ，20212-=+-++n a a a n n n ，其中p 是给定的实数，n 是正整数，试求n 的值，使得n a 的值最小．

【解】令n n n a a b -=+1，Λ,2,1=n 由题设20212-=+-++n a a a n n n ，有201-=-+n b b n n ，且

11=b ………5分 于是)20()(11

11

1∑∑-=-=+-=-n i n i i i i b b ，即)1(2)]1(21[1---+++=-n n n b b n Λ．

∴12

)

40)(1(+--=

n n b n ． （※） …………………10分

又p a =1，12+=p a ，则21123172012a a p a a a <<-=-+-=．

∴当n a 的值最小时，应有3≥n ，1+≤n n a a ，且1-≤n n a a ．

即01≥-=+n n n a a b ，011≤-=--n n n a a b ． …………………… 15分

由（※）式，得???-≤--≥--2)41)(2(2)40)(1(n n n n 由于3≥n ，且*

N n ∈，解得?

??≤≥4040n n ，

∴当40=n 时，40a 的值最小． …………………………………………… 20分

2．（2006陕西赛区预赛）(20分)已知sin(2)3sin αββ+=,设tan ,tan x y αβ==,记()y f x =。 (1)求()f x 的表达式; 2

21)(x

x

x f +=

(2)定义正数数列2*

111{};,2()()2

n n n n a a a a f a n N +==?∈。试求数列{}n a 的通项公式。1221

2+=--n n n a .

3．（2006安徽初赛）已知数列{}()0n a n ≥满足00a =，对于所有n N +∈，有

1115n n a a +=+，求n a 的通项公式．

4. （2006吉林预赛）设{a n }为一个实数数列，a 1=t ，a n+1=4a n (1－a n )。求有多少个不同的实数t 使

得a 2006=0。 （ 22004

+1）

5．（2006年南昌市）将等差数列{n a }:*

4 1 ()n a n n N =-∈中所有能被3或5整除的数删去后,剩

下的数自小到大排成一个数列{n b },求2006b 的值.

解:由于6015=-+n n a a ,故若n a 是3或5的倍数,当且仅当15+n a 是3或5的倍数.

现将数轴正向分成一系列长为60的区间段:(0,+∞)＝(0,60]∪(60,120]∪(120,180]∪…,注意第一个区间段中含有{n a }的项15个,即3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59.其中属于{n b }的项8个,为:71=b ,112=b ,193=b ,234=b ,315=b ,436=b ,477=b ,598=b ,于是每个区间段中恰有15个{n a }的项,8个{n b }的项,且有k b b r r k 608=-+,k ∈N,1≤r ≤8.

由于2006＝8×250+6,而436=b ,所以1504343250602506062006=+?=+?=b b .

6．（2004湖南）设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且Λ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有 n

n

n n a a 1

11+

≥+

证明：令 10=a ,则有 11-++=k k k a a a ，且 ),2,1(11

11Λ=+=

+-+k a a

a a k k k k ， 于是 ∑

∑=+-=++

=n

k k k n

k k k

a a a a n 11

111

由算术-几何平均值不等式，可得n n n a a a a

a a 132211+???≥Λ+n n n a a a a a a 113120+-???Λ

注意到 110==a a ，可知 n

n n n

n a a a 1

1

1

1

1+++

≥

，即 n

n

n n a a 1

11+

≥+

7．（2006年上海） 数列{}n a 定义如下：11a =，且当2n ≥时，2

1

1,1

,n n n a n a n a -+???=????当为偶数时，

当为奇数时．

已知30

19

n a =

，求正整数n ． 解 由题设易知，0,1,2,n a n >=L ．又由11a =，可得，当n 为偶数时，1n a >；当(1)n >是奇

数时，1

1

1n n a a -=<． ………………（4分）

由3019n a =

1>，所以n 为偶数，于是2

3011111919n a =-=<，所以，2n

是奇数．

于是依次可得：1219111n a -=>， 12n -是偶数，24

198111111n a -=-=<，24n -是奇数，

2141118n a --=>，64n -是偶数，68

1131188n a -=-=<，6

8n -是奇数，

618813n a --=>，148n -是偶数，1416

851133n a -=-=>，14

16n -是偶数，

1432

521133n a -=-=<，1432n -是奇数， ……………（9分）

14132312n a --=>，4632n -是偶数，4664

311122n a -=-=<，46

64n -是奇数，

4616421n a --=>，110

64n -是偶数， 110128

211n a -=-=，

所以，1101128

n -=，解得，n ＝238． ……………… （14分）

13. (2005全国)数列}{n a 满足：.,2

36

457,12

10N n a a a a n n n ∈-+=

=+

证明：（1）对任意n a N n ,∈为正整数；(2)对任意1,1-∈+n n a a N n 为完全平方数。

证明：（1）由题设得,51=a 且}{n a 严格单调递增.将条件式变形得,3645722

1-=

-+n n n a a a 两边

平方整理得0972

121=++-++n n n n a a a a ①

0972112=++-∴--n n n n a a a a ②

①-②得1111111()(7)0,,70n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +-+-++=-+-=>∴+-=?Q

.711-+-=b n n a a a ③

由③式及5,110==a a 可知，对任意n a N n ,∈为正整数.…………………………10分 （2）将①两边配方，得.)3

(1),1(9)(2

1112

1n n n n n n n n a a a a a a a a ++++=-∴-=+④ 由③119()n n n n n a a a a a +-+=-+≡()1()mod3n n a a --+ ∴1n n a a ++≡()10(1)

n

a a -+≡0（mod3）∴

13

n n

a a ++为正整数 ④式成立.11-∴+n n a a 是完全平方数.……………………………………20分