二次函数的综合应用.doc

【引例】求下列二次函数的最值:

=2+2 _3

（1）求函数y x x 的最值. （2）求函数y x

★方法归纳：

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在处取得最大值（或最小值）

< <

X X X 如果自变量的取

值范围是

，分两种情况：>

1 2

a 0顶点在自变量的取值范围内

时，以

为例，最大值是；最小值是

顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性

一、二次函数实际应用

【例1】某商品的进价为每件 20元，售价为每件 30,每个月可买出180件；如果每件商品的售价每上涨 1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于 35元，设每件商

x x

y 品的售价上涨元（为整数），每个月的销售利润为的取值范围为元。

二次函数（三）

二次函数的应用

2+2 _3 x

的最值.（0 x 3）

y x x

（1）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围;

（2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少?

（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？售价满足什么条件,

利润不低于1920元?

★解题回顾：总利润=* ;找出价格和销售量之间的关系，注意结合自变量的取值求得相应的售价.

先利用“成本不高于多少，利润不低于多少”等条件求得自变量的，然后根据函数性质

并结合函数图象求最值.

【例2】某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定

为3000元.在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元.

(1) 商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？

(2) 设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

(3) 该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着

一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？(其它销售条件不变)

★解题回顾：分段函数求最值时，要根据各段函数自变量的求相应的最值。

【例3］如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去,

球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的

水平距离为9米?已知山坡0A与水平方向0C的夹角为30 弋3

,Q A两点相距8 米.

(1) 求出点A的坐标及直线OA的解析式;

(3)判断小明这一杆能否把高尔夫球从

(2) 求岀球的飞行路线所在抛物线的解析式；

【例4】把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子 (纸板的厚度忽略不计)。

(1)如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子。

①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm

,那么剪掉的正方形的边长为多少？

②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正

方形的边长；如果没有，说明理由。

(2) 若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形

至少有一条边在正方形硬纸

板的边上)，将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为

二次函数与几何综合

【例5】(2013?攀枝花)如图，抛物线y二ax2+bx+c经过点A (-3, 0) , B( 1.0 ) , C(0,?3)?(1) 求抛物线的解析式；

(2) 若点P为第三象限内抛物线上的一点，设APAC的面积为S,

点P的坐标；

(3) 设抛物线的顶点为D DE丄x轴于点E,在y轴上是否存在点角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

「? fy 求S的最大值并求出此时M使得△ ADM是直角三

f V 备用图

(0, —3) ?点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的屮点，直线I过点F且与y 轴平行?直线y二一x+m过点C,交y轴于D点。

(1) 求抛物线的函数表达式；

(2) 点K为线段AB ±一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H,与抛物线交于点G,

求线段HG长度的最大值；

⑶在直线I上取点M,在抛物线上取点N,使以点A, C, M, N为顶点的四边形是平行四边形，求

点N的坐标?

备用图

【例7】?如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y二丄x+2与x轴交于点A ,与y轴交于点

C.抛物线尸ax +bx+c的对称轴是

x=-~且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B.

(1) ① 直接写出点B的坐标；② 求抛物线解析式.

(2) 若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA, PC.求APAC的面积的最大值，

并求出此时点P的坐标.

(3) 抛物线上是否存在点M ,过点M作MN垂直x轴于点N,使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

二次函数综合题型分类训练

专题一二次函数之面积、周长最值问题 1 2 鼻 y =- x bx c 1、如图，抛物线 2 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ,且OA=2，0C=3 . (1)求抛物线的解析式。 ⑵若点D(2 , 2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P ,使得△ BDP 的周长最小，若存在，请求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由. 2 2、如图，已知抛物线 y= — x+bx+c 与一直线相交于 A (- 1, 0), C (2, 3)两点，与y 轴交于点N .其顶点为D . (1) 抛物线及直线 AC 的函数关系式； (2) 设点M 在对称轴上一点，求使MN+MD 的值最小时的 M 的坐标； (3) 若P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求厶APC 的面积的最大值. 3、如图，已知抛物线 y=ax +bx - 2 (0)与x 轴交于 A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线BD 交抛物线于点 D ,并且D (2, 3), tan / DBA= \ . (1) 求抛物线的解析式； (2) 已知点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B 、M 、C 、A ，求四边形BMCA 面积的最大值； 4、如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标是(4, 0), 并且OA=OC=4OB ，动点P 在过A , B , C 三点的抛物线上. (1) 求抛物线的解析式； (2) 是否存在点P ,使得△ ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由； (3) 过动点P 作PE 垂直于y 轴于点E ,交直线AC 于点D ，过点D 作y 轴的垂线.垂足为F ,连接EF ,当线段EF 的长度最短时，求出点 P 的坐标. 5、如图12,已知二次函数 1 2 y 二-x bx c 的图象与 J V Al 0 1 x 轴的正半轴相交于点 A 、 B ,与 y

初中数学二次函数应用方法

初中数学二次函数应用方法初中数学二次函数应用学习方法学生是学习的主体，老师是学习的主导。教师要因人而异，因材施教，方能取得较好的课堂效果。二次函数应用在期末复习期间，我们在区教研室和学校领导的指导下，通过“初备一一交流一一复备一一再交流”，完成了《二次函数应用》的复习。通过本次活动，使我受益匪浅。一、集体智慧胜于个人智慧。备课期间大家各显神通，献计献尺0 束。二、备学生要胜于备教材。三、化难为易，化繁为简。教师在课堂上应该起到把握重点，分解难点的作用。四、勤于思考，善于总结。在大量的习题中，在众多的方法下, 指导学生梳理知识，归纳题型，提炼方法，总结规律。以提高学生的分析问题解决问题的能力。温馨建议：备课时将问题设置成问题串，为学生搭建解决问题的台阶。初中数学解题方法之常用的公式下面是对数学常用的公式的讲解，同学们认真学习哦。对于常用的公式如数学中的乘法公式、三角函数公式，常用的数字，女口11?25 的平

方，特殊角的三角函数值，化学中常用元素的化学性质、化合价以及化学反应方程式等等，都要熟记在心，需用时信手拈来，则对提高演算速度极为有利。总之，学习是一个不断深化的认识过程，解题只是学习的一个重要环节。你对学习的内容越熟悉，对基本解题思路和方法越熟悉，背熟的数字、公式越多，并能把局部与整体有机地结合为一体，形成了跳跃性思维，就可以大大加快解题速度。初中数学解题方法之学会画图数学的解题中对于学会画图是有必要的，希望同学们很好的学会画图。学会画图画图是一个翻译的过程。读题时，若能根据题义，把对数学（或其他学科）语言的理解，画成分析图，就使题目变得形象、直观。这样就把解题时的抽象思维，变成了形象思维，从而降低了解题难度。有些题目，只要分析图一画出来，其中的关系就变得一目了然。尤其是对于几何题，包括解析几何题，若不会画图，有时简直是无从下手。所以，牢记各种题型的基本作图方法，牢记各种函数的图像和意义及演变过程和条件，对于提高解题速度非常重要。画图时应注意尽量画得准确。画图准确，有时能使你一眼就看出答案，再进一步去演算证实就可以了；反之，作图不准确，有时会将你引入歧途。初中数学解题方法之审题对于一道具体的习题，解题时最重要的环节是审题。审题

中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练及答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣4 3 与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线 y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=3 2 ．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【解析】【分析】（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=3 2 列出关于a 、c 的方程组求解即可；（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到 22x x x x Q P F E ++=，22 y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可．【详解】

二次函数综合应用题(有答案)

解：(1) y=50- x (0≤x ≤160，且 x 是 10 的整数倍)。 2 2(3) W= - x +34x +8000= - (x -170) +10890， ∴当 x=160 时，W 最大=10880，当 x=160 时，y=50- x=34。答：一天订住 34 个房间时，（（函数综合应用题题目分析及题目对学生的要求 1. 求解析式：要求能够根据题意建立相应坐标系，将实际问题转化成数学问题。需要注意的是： (1) 不能忘记写自变量的取值范围(需要用的前提下) (2) 在考虑自变量的取值范围时要结合它所代表的实际意义。 2. 求最值：实际生活中的最值能够指导人们进行决策，这一问要求能够熟练地对二次三项式进行配方，利用解析式探讨实际问题中的最值问题。一般式化为定点式）最值的求法： (1) 一次函数和反比例函数中求最值是根据函数在自变量取值范围内的增减性来确定的。 (2) 二次函数求最值是将解析式配方后，结合自变量取值范围来确定的。 3. 求范围，要求学生利用解析式求实际问题中的范围问题，主要是将函数与不等式结合起来。推荐思路：画出不等式左右两边的图象，结合函数图象求出 x 的取值范围。备选思路一：先将不等号看做等号，求出 x 的取值，再结合图象考虑将等号还原为不等号后 x 的取值范围；备选思路二：通过分类讨论或者其它方法，直接解出这个不等式。这一问里需要注意的是在注意：最后下结论时一定要结合它的实际意义和前面所求得的自变量取值范围进行判断。一、求利润的最值 1. (本题满分 10 分) 某宾馆有 50 个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天 180 元时，房间会全部住满。当每个房间每天的房价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲。宾馆需对游客居住的每个房间每天支出 20 元的各种费用。根据规定，每个房间每天的房价不得高于 340 元。设每个房间的房价每天增加 x 元(x 为 10 的正整数倍)。 (1) 设一天订住的房间数为 y ，直接写出 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围； (2) 设宾馆一天的利润为 w 元，求 w 与 x 的函数关系式； (3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？ 1 10 1 1 (2) W=(50- x)(180+x -20)= - x 2 +34x +8000； 10 10 1 1 10 10 当 x<170 时，W 随 x 增大而增大，但 0≤x ≤160， 1 10 宾馆每天利润最大，最大利润是 10880 元。 2．本题满分 10 分）某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件；如果每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 65 元）．设每件商品的售价上涨 x 元（ x 为正整数），每个月的销售利润为 y 元．（1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为 2200 元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于 2200 元？

二次函数的定义专项练习30题(有答案)

二次函数的定义专项练习 30 题（有答案） 1．下列函数中，是二次函数的有（） ① y=1﹣ x 2② y= ③ y=x （1﹣x ）④ y= （ 1﹣ 2x ）（ 1+2x ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 5．若 y=（m 2+m ）是二次函数，则 m 的值是（） A m=1 ±2 B m=2 C m= ﹣ 1 或 D m=3 ．．． m=3 ． 6．下列函数，y=3x 2，，y=x （x ﹣2），y=（x ﹣ 1）2﹣ x 2 中，二次函数的个数为（ 7．下列结论正确的是（）二次函数中两个变量的值是非零实数二次函数中变量 x 的值是所有实数 2 形如 y=ax +bx+c 的函数叫二次函数 2 二次函数 y=ax +bx+c 中 a ，b ，c 的值均不能为零 8．下列说法中一定正确的是（） A ． y=ax 2 是二次函数 B ．二次函数自变量的取值范围是所有实数 C ．二次方程是二次函数的特例 D ．二次函数自变量的取值范围是非零实数 3．下列具有二次函数关系的是（） A ．正方形的周长 y 与边长 x B ．速度一定时，路程 s 与时间 t C ．三角形的高一定时，面积 y 与底边长 x D ．正方形的面积 y 与边长 x 4．若 y= （ 2﹣ m ) 是二次函数，则 m 等于（） 2．下列结论正确的是（） D 不能确定 A C ﹣ 2 ±2 B 2 A ． B ． C ． D ．

2 A ．函数 y=ax 2+bx+c （其中 a ，b ， c 为常数）一定是二次函数 B ．圆的面积是关于圆的半径的二次函数 C ．路程一定时，速度是关于时间的二次函数 D ．圆的周长是关于圆的半径的二次函数 2 9．函数 y=（ m ﹣ n ）x 2+mx+n 是二次函数的条件是（） A ． m 、n 是常数，且 m ≠0 B ． m 、 n 是常数，且 m ≠n C ． m 、n 是常数，且 n ≠0 D ． m 、 n 可以为任何常数 10．下列两个量之间的关系不属于二次函数的是（） A ．速度一定时，汽车行使的路程与时间的关系 B ．质量一定时，物体具有的动能和速度的关系 C ．质量一定时，运动的物体所受到的阻力与运动速度的关系 D ．从高空自由降落的物体，下降的高度与下降的时间的关系 11．下列函数中， y 是 x 二次函数的是（） A y=x ﹣1 B y=x 2+ ﹣ 10 C 2 y=x +2x D 2 y =x ﹣ 1 ．．．． 12．下面给出了 6 个函数：其中是二次函数的有（） A 1 个 B 2个 C 3 个 2 13．自由落体公式 h= gt 2（g 为常量），h 与 t 之间的关系是（） A 正比例函数 B 一次函数 C 二次函数 D 以上答案都不对 14．如果函数 y= （ k ﹣ 3） +kx+1 是二次函数，那么 k 的值一定是 ___________ ． 15．二次函数 y= （ x ﹣2） 2﹣ 3 中，二次项系数为 __________ ，一次项系数为 ___________ 为 _________ ． 16．已知函数 y=（k+2）是关于 x 的二次函数，则 k= __________ ． 17．已知二次函数的图象是开口向下的抛物线， m= ___________ ． 22 18．当 m __________ 时，关于 x 的函数 y= （m 2﹣1）x 2+（m ﹣1） x+3 是二次函数． 2 2 2 19． y=（m 2﹣ 2m ﹣3）x 2+（m ﹣1）x+m 2是关于 x 的二次函数要满足的条件是 ___________ ． ① y=3x 2﹣1；② y=﹣ x 2 ﹣3x ； ③ y= ； 2 ④ y=x （x +x+1 ）；⑤ y= ⑥ y= ，常数项

九年级数学二次函数应用题含答案

九年级数学专题二次函数的应用题一、解答题 1.一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为 2.5米时，达到最大高度 3.5米，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 2.某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数．（1）试求y与x之间的关系式；（2）在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？ 3.在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标为（6，5）（1）求这个二次函数的解析式；米，）2）该男同学把铅球推出去多远？（精确到0.01 （元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量（件）某商场以每件42，4.

件）可看成是一次函数关系：/（元与每件的销售价之间的函数关系式（每天的销售与每件的销售价写出商场卖这种服装每天的销售利润1. 利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）； 2.通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？ 5.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件），在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由 6.某服装经销商甲，库存有进价每套400元的A品牌服装1200套，正常销售时每套600元，每月可卖出100套，一年内刚好卖完，现在市场上流行B品牌服装，此品牌服装进价每套200元，售出价每套500元，每月可买出120套（两套服装的市场行情互不影响）。目前有一可进B品牌的机会，若这一机会错过，估计一年内进不到这种服装，可是，经销商手头无流动资金可用，只有低价转让A品牌服装，经与经销商乙协商，达成协议，转让价格（元/套）与转让数量（套）有如下关系：转让数量（套）120011001000900800700600500400300200100 价格（元/套）240250260270 280290 300310 320330 340 350 方案1：不转让A品牌服装，也不经销B品牌服装；方案2：全部转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装；方案3：部份转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装，同时经销A品牌服装。问： ①经销商甲选择方案1与方案2一年内分别获得利润各多少元？

二次函数的定义专项练习30题有答案

二次函数的定义专项练习30题（有答案） 1．下列函数中，是二次函数的有（） 2y=③y=x（1﹣x）④y=﹣x（②1﹣2x）（1+2x）①y=1 A．1个B．2 个C．3个D．4 个 2．下列结论正确的是（） 2．A是二次函数y=ax B．二次函数自变量的取值范围是所有实数C．二次方程是二次函数的特例 D．二次函数自变量的取值范围是非零实数 3．下列具有二次函数关系的是（） A．正方形的周长y与边长x B．速度一定时，路程s与时间t C．三角形的高一定时，面积y与底边长x D．正方形的面积y与边长x ）是二次函数，则m等于（）4．若y=（2﹣m ±2 B．2 C．﹣2 D．不A．能确定 2）是二次函数，则m的值是（（m+m）5．若y= B．m =2 C．m=﹣A．1或m=3 D．m =3 ±2m=1

222中，二次函数的个数为（x），y=（x﹣1）6．，下列函数y=3x﹣x，，y=x（﹣2）5个4个D．．A．2个B．3个 C ）7．下列结论正确的是（二次函数中两个变量的值是非零实数A． xB．二次函数中变量的值是所有实数 2． C +bx+cy=ax的函数叫二次函数形如2 D ．c的值均不能为零二次函数y=axa+bx+c中，b，）8．下列说法中一定正确的是（ 2．A c为常数）一定是二次函数，函数y=ax（其中+bx+ca，b B．圆的面积是关于圆的半径的二次函数路程一定时，速度是关于时间的二次函数． C 圆的周长是关于圆的半径的二次函数．D 2）是二次函数的条件是（m﹣n）x+mx+n．函数9y=（n ≠n是常数，且m≠0 B．m、A．m、n是常数，且m 可以为任何常数m、nn≠0 D．C．m、n是常数，且）．下列两个量之间的关系不属于二次函数的是（10 ．速度一定时，汽车行使的路程与时间的关系 A ．质量一定时，物体具有的动能和速度的关系 B ．质量一定时，运动的物体所受到的阻力与运动速度的关系 C ．从高空自由降落的物体，下降的高度与下降的时间的关系D ）11．下列函数中，y是x二次函数的是（22 DC．．A．y=x﹣1 B．1 y﹣=x+2x =xy210 y=x+﹣ 个函数：12．下面给出了6 222 y=y=；﹣②y=xy=x﹣3x；③；y=④（x⑥+x+1）；⑤①y=3x．﹣1；）其中是二次函数的有（个D．4 C2A．1个B．个．3个 2）之间的关系是（t（g为常量），h13．自由落体公式与h=gt 以上答案都不对D．一次函数C．二次函数A．正比例函数 B．的值一定是_________+kx+1是二次函数，那么k．﹣14．如果函数y=（k3 ）

二次函数综合应用专题归纳训练一

二次函数综合应用专题归纳训练一一、相似三角形的存在性问题 1.在平面直角坐标系中，一个二次函数的图像经过A（1,0）B（3,0）两点. （1）写出这个二次函数图像的对称轴；（2）设这个二次函数图像的顶点为D,与y轴交与点C，它的对称轴与x轴交与点E，连接AC、DE和DB.当△AOC与△DEB相似时，求这个二次函数的表达式. 二、等腰三角形的存在性问题 2.如图，直线3 y交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x =x 3+ 轴于另一点C（3,0）. ⑴求抛物线的解析式 ⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ 存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.

3.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l 是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式； (2)设点P是直线L上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标； (3)在直线L上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

三、平行四边形的存在性问题 4.（2014年山东泰安）二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．分析：（1）首先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（2）设M的横坐标是x，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N 的坐标，利用x表示出MN的长，利用二次函数的性质求解；（3）BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则BC=MC，据此即可列方程，求得x的值，从而得到N的坐标．

初中数学二次函数综合应用

学科中考数学课题名称二次函数综合应用教学目标二次函数属于中考压轴题，知识点不仅多，考点灵活多变，而且难度较高，这就要求学生在复习二次函数时，须得把相关性质及相关解题技巧掌握扎实，理解透彻。本专题通过梳理二次函数的知识点(拓展知识点)，并结合近几年上海市中考数学最后2道题二次函数的考点，把握中考二次函数命题方向，提高学生利用二次函数和结合相似等综合知识点解决问题的能力。教学重难点重点：二次函数解析式的确定，二次函数与x 轴交点问题，二次函数最值问题，二次函数图像上点的存在问题，二次函数与相似等其它知识点的结合。难点：二次函数与相似等其它知识点的结合。知识精解二次函数性质及相关扩展 1、一般式：y=ax 2+bx+c(a≠0), 函数图像是抛物线； 2、开口方向：（1）a>0, 开口向上，（2）a<0, 开口向下; 3、顶点坐标：（-b/2a, (4ac-b 2)/4a ）, 对称轴：x= -b/2a 4、顶点式：y=a(x+h)2+k(a≠0) h= -b/2a, k=(4ac-b 2)/4a 5、平移问题： ①将一般式化为顶点式； ②遵循原则：“左+ 右-，上+ 下-”（左右是指沿x 轴平移，上下是指沿y 轴平移）例：将y=x 2+4x+3先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线解析式是多少？ 6、交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)(a≠0) ①一元二次方程根与系数的关系：x 1+x 2= -b/a, x 1.x 2=c/a ②求根公式：x ＝2 42b b ac a -±-，其中△＝b 2－4ac 叫做根的判别式。当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点；当△＝0时，抛物线与x 轴有一个交点；当△＜0时，抛物线与x 轴没有交点。 ③运用抛物线的对称性：若已知抛物线上两点12(,)(,)、x y x y ，则对称轴方程可以表示为：12 2 x x x += 7、增减性： ①a>0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大。 ②a<0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；

人教版数学九年级上册《二次函数》综合练习题及答案

二次函数综合练习题附答案 ●基础巩固 1.如果抛物线y =－2x 2+mx －3的顶点在x 轴正半轴上，则m =______. 2.二次函数y =－2x 2+x － 2 1，当x =______时，y 有最______值，为______.它的图象与x 轴______交点(填“有”或“没有”). 3.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图1所示. ①这个二次函数的表达式是y =______；②当x =______时，y =3；③根据图象回答：当x ______时，y >0. 4.某一元二次方程的两个根分别为x 1=－2，x 2=5，请写出一个经过点(－2，0)，(5，0)两点二次函数的表达式：______.(写出一个符合要求的即可) 5.不论自变量x 取什么实数，二次函数y =2x 2－6x +m 的函数值总是正值，你认为m 的取值范围是______，此时关于一元二次方程2x 2－6x +m =0的解的情况是______(填“有解”或“无解”). 6.某一抛物线开口向下，且与x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为______(只写一个)，此类函数都有______值(填“最大”“最小”). 7.如图2，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A 距地面的距离OA 为1 m ，球路的最高点B (8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m). 8.若抛物线y=x 2－(2k+1)x+k 2+2，与x 轴有两个交点，则整数 k 的最小值是______. 9.已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图1所示，由抛物线的特征你能得到含有a 、b 、c 三个字母的等式或不等式为______(写出一个即可). 10.等腰梯形的周长为60 cm ，底角为60°，当梯形腰x=______

一次函数的应用、二次函数与几何知识的综合应用练习题

2012届一次函数的应用、二次函数与几何知识的综合应用练习题 1、某书报亭开设两种租书方式：一种是零星租书，每册收费1元；另一种是会员卡租书，办卡费每月12元，租书费每册0.4元．小军经常来该店租书，若每月租书数量为x 册. （1）写出零星租书方式应付金额y 1(元)与租书数量x （册）之间的函数关系式；（2）写出会员卡租书方式应付金额y 2(元 )与租书数量x (册)之间的函数关系式；（3）小军选取哪种租书方式更合算？ 2、某汽车运输公司根据实际需要计划购买大、中型两种客车共20辆，已知大型客车每辆62万元，中型客车每辆40万元，设购买大型客车x （辆），购车总费用为y （万元）．（1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（2）若购买中型客车的数量少于大型客车的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 3、如图，抛物线y = 2 1x 2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； ⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论； ⑶点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM +DM 的值最小时，求m 的值． 4、如图，直线33+=x y 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交x 轴于另一点C （3,0）. 第3题图

⑴ 求抛物线的解析式; ⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由. 5、已知双曲线x k y 与抛物线y=ax 2+bx+c 交于A(2,3)、B(m,2)、c(－3,n)三点. (1)求双曲线与抛物线的解析式; (2)在平面直角坐标系中描出点A 、点B 、点C,并求出△ABC 的面积, 6、已知函数y=mx 2－6x ＋1（m 是常数）． ⑴求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点； ⑵若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值． 7、如图所示，二次函数y =-x 2+2x +m 的图象与x 轴的一个交点为A （3，0），另一个交点为B ，且与y 轴交于点C ．第5题图

初三数学二次函数应用题专题复习

二次函数应用题专题复习（含答案） 1、（2016?葫芦岛）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．（1）请直接写出y与x的函数关系式；（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大最大利润是多少 * 2．某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元时，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件．（1）若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少（2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元

( 3．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大最大利润是多少（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量） ^

二次函数单元测试题A卷(含答案)

第22章二次函数单元测试题(A卷) (考试时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列函数不属于二次函数的是（） A．y=（x﹣1）（x+2）B．y=（x+1）2 C．y=2（x+3）2﹣2x2D．y=1﹣x2 2．二次函数y=2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（） A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）3．若将函数y=3x2的图象向左平行移动1个单位，再向下平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（） A．y=3（x﹣1）2﹣2 B．y=3（x+1）2﹣2 C．y=3（x+1）2+2 D．y=3（x﹣1）2﹣2 4．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（） A．b2﹣4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D． 5．给出下列函数：①y=2x；②y=﹣2x+1；③y=（x＞0）；④y=x2（x＜﹣1）．其中，y随x 的增大而减小的函数是（） A．①②B．①③C．②④D．②③④6．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（） A．B． C．D．

7．二次函数y=ax2+bx+c图象上部分的对应值如下表，则y＞0时，x的取值范围是（） A．﹣1＜x＜2 B．x＞2或x＜﹣1 C．﹣1≤x≤2D．x≥2或x≤﹣1 8．抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点为（） A．二个交点B．一个交点C．无交点D．三个交点9．在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y 与x的函数关系式为（） A．y=πx2﹣4 B．y=π（2﹣x）2C．y=﹣（x2+4）D．y=﹣πx2+16π10．如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（） A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共18分） 11．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），则二次函数的解析式是． 12．二次函数y=x2﹣4x+5的最小值为． 13．抛物线y=x2+x﹣4与y轴的交点坐标为． 14．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价元，最大利润为元．

中考二次函数大题综合训练(附答案)

2 1、如图，抛物线 y x bx c 与x 轴交与A （1,0）,B （- 3 ，0）两点，（1 ）求该抛物线的解析式；（2 ）设（ 1 ）中的抛物线交 y 轴与 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由 . 2、（2009 年兰州）如图 17 ，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为所在直线为 x 轴建立直角坐标系 . （1）直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标；（2）求这条抛物线的解析式；（3）若要搭建一个矩形“支撑架” AD- DC- CB ，使 C 、D 点在抛物线上， A 、B 点在地面 OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？二次函数综合训练 6 米，底部宽度 OM 为 12 米. 现以 O 点为原点， OM

y 3 x 6 y 5x 3、如图，直线4分别与 x轴、y轴交于 A、B两点，直线4与AB 交于点 C，与过点 A 且平行于 y 轴的直线交于点 D．点 E从点 A 出发，以每秒向左运动．过点 E 作 x 轴的垂线，分别交直线 AB 、OD 于 P、Q 两点，形 PQMN ，设正方形 PQMN 与△ACD 重叠部分（阴影部分）的面积为运动时间为 t （秒）． 1 ）求点 C 的坐标．（ 1 分） 2）当 0

初中数学中考二次函数应用题专题训练

二次函数应用题专题训练 1.利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元,设每吨材料售价为x 元,该经销店的月利润为y 元．（1）当每吨售价为240元时，计算此时的月销售量；（2）求y 与x 的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）；（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由． 2.为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次购买100个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个．乙店一律按原价的80℅销售．现购买太阳能路灯x 个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y 1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y 2元. （1）分别求出y 1、y 2与x 之间的函数关系式；（2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？ 3.外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售．（1）若存放x 天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y 元，试写出y 与x 之间的函数关系式．（2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润＝销售总金额－收购成本－各种费用）（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 4某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y （元/件）与月销量x （件）的函数关系式为y =100 1 x ＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w 内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a 元/件（a 为常数，10≤a ≤40），当月销量为x （件）时，每月还需缴纳100 1x 2 元的附加费，设月利润为w 外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）．（1）当x = 1000时，y = 元/件，w 内 = 元；（2）分别求出w 内，w 外与x 间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（3）当x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a 的值；（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？

人教版初中数学九年级上册二次函数综合题训练及答案

二次函数中考综合题 1、如图11，抛物线与轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（-2，6）. (1)求a的值及直线AC的函数关系式； (2)P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N. ①求线段PM长度的最大值； ②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与 △APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由. 解：（1）由题意得6=a(-2+3)(-2-1)∴a=-21分 ∴抛物线的函数解析式为y=-2(x+3)(x-1)与x轴交于B（-3，0）、 A（1，0）设直线AC为y=kx+b，则有0=k+b 6=-2k+b解得k=-2 b=2 ∴直线AC为y=-2x+2 （2）①设P的横坐标为a(-2≤a≤1)，则P（a,-2a+2），M（a,-2a2-4a+6）4分 ∴PM=-2a2-4a+6-(-2a+2)=-2a2-2a+4=-2a2+a+14+92 =-2a+122+92 ∴当a=-12时，PM的最大值为92 ②M1（0，6） M2（-14，678） 2、如图9，已知抛物线y=x2–2x＋1的顶点为P， A为抛物线与y轴的交点，过A与y轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B，与抛物线对称轴交于点O′，过点B和P的直线l 交y轴于点C，连结O′C，将△ACO′沿O′C翻折后，点A落在点D的位置． (1) (3分) 求直线l的函数解析式；图9 (2) (3分) 求点D的坐标； (3) (3分) 抛物线上是否存在点Q，使得S△DQC= S△DPB? 若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

九年级数学《二次函数》综合练习题及答案

九年级数学《二次函数》综合练习题一、基础练习 1把抛物线y=2x 2向上平移1个单位，得到抛物线 _____________ ，把抛物线y=-2x 2?向下平移3个单位，得到抛物线 _________ . 2 ?抛物线y=3x 2-1的对称轴是 ______ ，顶点坐标为 ________ ，它是由抛物线 y=3x 2?向 _________ 平移 _____ 个单位得到的. 3 .把抛物线y=J 2x 2向左平移1个单位，得到抛物线 _____________ ，把抛物线y=-J2x 2?向右平移3个单位, 得到抛物线 __________ . 4. _____________________________________ 抛物线y=j 3 ( x-1 ) 2的开口向 _____________ ，对称轴为，顶点坐标为 __________________________________ , ?它是由抛物线 y=乔x 2向 _______ 平移 _______ 个单位得到的. 1 1 1 5 .把抛物线y=- 1 (X+1) 2向 __________ 平移 _______ 个单位，就得到抛物线 y=-」x 2. 3 2 3 6. _____________________________ 把抛物线y=4 (x-2 ) 2向平移个单位，就得到函数 y=4 (x+2) 2的图象. 1 2 1 7. ____________________________________ 函数y=- (x- 1) 2的最大值为 ________ ，函数y=-x 2- 1的最大值为 _________________________________________ . 3 3 &若抛物线y=a (x+m ) 2的对称轴为x=-3，且它与抛物线y=-2 x 2的形状相同，？开口方向相同，则点(a , m )关于原点的对称点为 __________________ . 9. ___________________________________________________________________ 已知抛物线y=a (x-3 ) 2过点(2, -5 ),则该函数y=a (x-3 ) 2当x= _______________________________________?时，？有最 __ 值 _______ . 10. ________________________________________________________________________________________ 若二次函数y=ax 2+b ,当x 取X 1, X 2 (X 1^x)时，函数值相等，则x 取x 什X 2时，函数的值为 ___________________ . 11. 一台机器原价50万元.如果每年的折旧率是 x ,两年后这台机器的价格为 y?万元，则y 与x 的函数关系式为( ) A . y=50 (1-x ) 2 B . y=50 (1-x ) 2 C . y=50-x 2 D . y=50 (1+x ) 2 12. 下列命题中，错误的是( ) 13 .顶点为(-5 , 0)且开口方向、形状与函数 1 1 A . y=- (x-5) 2 B . y=- x 2-5 C 3 3 .抛物线 y=- J 3X 2-1不与 x 轴相交； 2 .抛物线尸孚2-1与 y= 3 (x-1 ) 2 2 形状相同，位置不同 .抛物线 .抛物线 1 y=-- 2 1 y= 2 (x- 1) 2 1 (x+ —) 2 2 的顶点坐标为 2 的对称轴是直线 1 , 0); 2 1 x=— 2 1 y=- =x 2的图象相同的抛物线是( ) 3 1 1 y=- (x+5) 2 D . y= (x+5) 2 3 3