一道解三角形的一题多解分享

解三角形问题一题多解

题例：在ABC ?中，角C B A ,,的对边分别记为c b a ,,，且2=b ，若三边c b a ,,成等差数列，求该三角形内切圆的半径的最大值。

分析与解答：本题关键是找出内切圆的半径r 与c b a ,,的关系，然而范围得产生方式可以由均值不等式，也可以是函数思想。

法一：由等面积法知：B ac r c b a sin 21)(21=++，又42==+b c a ，得B ac r sin 61=由均值不等式得4)2

(2=+≤c a ac ，当且仅当2==c a 取等；又由余弦定理212422cos 222≥-≥-+=ac ac ac b c a B ，得2

3sin ≤B 当且仅当2==c a 取等；所以3323461sin 61=??≤=B ac r ，即内切圆的半径的最大值为3

3法二：利用法一的部分过程得B ac r sin 61=，16242)(2cos 2222-=--+=-+=ac

ac ac c a ac b c a B 所以2

2)(3612)16(1sin ac ac ac B -=--=，所以9)4(33

19331sin 61--=-==a a ac B ac r ，)40(<

法三：由题得6=++c b a ,由海伦公式得3)4(3)23)()(3(3--?=---=a a c a a S ；B ac r c b a sin 21)(21=++可得，S r 3

1=，回到法二；法四：由余弦定理)

cos 1(2)(42

B ac c a +-+=可得，B ac cos 16+=；B B B ac S r cos 1sin sin 213131+=??==，]3,0(π∈B ,转化为关于B 的函数，由几何意义可以转化为动点)sin ,(cos B B P （红色部分）与定点)0,1(-1连线的斜率，

可求得3

3≤r 。

法五：2,4==+b c a 抓住内切圆与三角形的图形可以得出：1

=x 2

112cos

r B +=，22122cos 2cos 1r B B +==+由余弦定理得)cos 1(2)(42B ac c a +-+=得42()1(322

=+≤+=c a r ac ，得3

3≤r ，即内切圆的半径的最大值为33；法六：由法五得：212cos 1r B +=

+，即1cos 12-+=B r ，1cos 21<≤B ，转化为关于B cos 的函数，可求得3

3≤r 。法七：由,4=+c a 即24=>=+AC BC BA ,知点B 的轨迹为以A,C 为焦点的椭圆，长轴长4，

短轴长为32，B 的轨迹方程为13

42

2=+y x ，故当B 在椭圆短轴端点时面积最大，

即S 的最大值为3322

1=??，所以内切圆的半径的最大值为3。