高中数学：直接证明与间接证明练习

高中数学:直接证明与间接证明练习

(时间:30分钟)

1.设a=-,b=-,c=-,则a,b,c的大小顺序是( A )

(A)a>b>c (B)b>c>a

(C)c>a>b (D)a>c>b

解析:因为a=-=,

b=-=,

c=-=,且+>+>+>0,所以a>b>c.故选A.

2.用反证法证明命题:“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时,应假设( B )

(A)三个内角都不大于60°

(B)三个内角都大于60°

(C)三个内角至多有一个大于60°

(D)三个内角至多有两个大于60°

3.已知a>b>0,证明-<可选择的方法,以下最合理的是( B )

(A)综合法 (B)分析法 (C)类比法 (D)归纳法

解析:首先,排除C,D.然后,比较综合法、分析法.

我们选择分析法,欲证-<,只需证<+,即证a

4.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设a>b>c,且a+b+c=0,求证

(A)a-b>0 (B)a-c>0

(C)(a-b)(a-c)>0 (D)(a-b)(a-c)<0

解析:由题意知

?(a+c)2-ac<3a2

?a2+2ac+c2-ac-3a2<0

?-2a2+ac+c2<0

?2a2-ac-c2>0

?(a-c)(2a+c)>0?(a-c)(a-b)>0.

5.①已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2;②已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求

的绝对值大证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1,用反证法证明时可假设方程有一根x

1

|≥1.以下正确的是( D )

于或等于1,即假设|x

1

(A)①与②的假设都错误

(B)①与②的假设都正确

(C)①的假设正确;②的假设错误

(D)①的假设错误;②的假设正确

解析:反证法的实质是否定结论,对于①,其结论的反面是p+q>2,所以①不正确;对于②,其假设正确.

6.(山东青岛模拟)设a,b,c均为正实数,则三个数a+,b+,c+( D )

(A)都大于2 (B)都小于2

(C)至少有一个不大于2 (D)至少有一个不小于2

解析:因为a>0,b>0,c>0,

所以(a+)+(b+)+(c+)=(a+)+(b+)+(c+)≥6,当且仅当a=b=c=1时,“=”成立,故三者不能都小于2,即至少有一个不小于2.选D.

7.用反证法证明命题“a,b∈R,ab可以被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”,那么假设的内容是 .

答案:a,b都不能被5整除

8.+与2+的大小关系为.

解析:要比较+与2+的大小,

只需比较(+)2与(2+)2的大小,

只需比较6+7+2与8+5+4的大小,

只需比较与2的大小,

只需比较42与40的大小,

因为42>40,所以+>2+.

答案:+>2+

能力提升(时间:15分钟)

9.设a,b是两个实数,给出下列条件:

①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.

其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是( C )

(A)②③(B)①②③

(C)③ (D)③④⑤

解析:若a=,b=,则a+b>1,

但a<1,b<1,故①推不出;

若a=b=1,则a+b=2,故②推不出;

若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故④推不出;

若a=-2,b=-3,则ab>1,故⑤推不出;

对于③,即a+b>2,

则a,b中至少有一个大于1,

反证法:假设a≤1且b≤1,

则a+b≤2与a+b>2矛盾,

因此假设不成立,a,b中至少有一个大于1.选C.

10.已知函数f(x)=()x,a,b是正实数,A=f(),B=f(),C=f(),则A,B,C的大小关系为( A )

(A)A≤B≤C (B)A≤C≤B

(C)B≤C≤A (D)C≤B≤A

解析:因为≥≥,

又f(x)=()x在R上是减函数,

所以f()≤f()≤f().

所以A≤B≤C.

11.如果a+b>a+b,则a,b应满足的条件是.

解析:因为a+b-(a+b)

=(a-b)+(b-a)

=(-)(a-b)

=(-)2(+).

所以当a≥0,b≥0且a≠b时,

(-)2(+)>0.

所以a+b>a+b成立的条件是a≥0,b≥0且a≠b.

答案:a≥0,b≥0且a≠b

12.已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,A,B,C的对边分别为a,b,c. 求证:+=.

证明:要证+=,

即证+=3也就是+=1,

只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),

需证c2+a2=ac+b2,

又△ABC三个内角A,B,C成等差数列,

故B=60°,

由余弦定理,得

b2=c2+a2-2accos 60°,

即b2=c2+a2-ac,

故c2+a2=ac+b2成立.

于是原等式成立.

13.设数列{a

n }是公比为q的等比数列,S

n

是它的前n项和.

(1)求证:数列{S

n

}不是等比数列;

(2)数列{S

n

}是等差数列吗?为什么?

(1)证明:假设数列{S

n }是等比数列,则=S

1

S

3

,

即(1+q)2=a

1·a

1

·(1+q+q2),

因为a

1

≠0,

所以(1+q)2=1+q+q2,

即q=0,这与公比q≠0矛盾,

所以数列{S

n

}不是等比数列.

(2)解:当q=1时,S

n =na

1

,故{S

n

}是等差数列;

当q≠1时,{S

n

}不是等差数列,

否则2S

2=S

1

+S

3

,

即2a

1(1+q)=a

1

+a

1

(1+q+q2),

得q=0,这与公比q≠0矛盾.

综上,当q=1时,数列{S

n

}是等差数列;

当q≠1时,数列{S

n

}不是等差数列.