浅谈数学中的数形结合(1)

浅谈数学中的数形结合

李素伟

内容摘要：数形结合的思想方法是一种重要的数学思想方法，它在解题中的应用是深入和广泛的。本文主要论述了数形结合思想方法在解题中的应用：一方面，以形助数即借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直觉的启示；另一方面，以数助形即将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论；最后一方面是数形结合即“数”与“形”的信息相互转换，相互渗透。

关键词：数形结合的思想方法；以形助数；以数助形；数形结合。

数学教学有两条线：一条是明线，即教学知识；一条是暗线，即教学思想方法。九义初中《数学教学大纲》把数学的精髓——数学思想方法纳入了基础知识的范畴，这是加强数学素质教育的一项创举。数学思想方法既是基础知识又是将知识转化为能力的桥梁。因此教师在教学中要注重数学思想方法的渗透、概括和总结，要重视数学思想方法在解题中的指导作用。

数形结合的思想方法是数学中一种重要的思想方法。数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学。数和形是数学知识体系中两大基础概念，把描述数量关系的数和具体直观的图形有机结合，将抽象思维与形象思维有机结合，根据需要，把数量关系的比较转化为图形性质或其位置关系的讨论，或把图形间的待定关系转化为相关元素的数量计算，进而探求问题的解答就是数形结合的思想方法。数形结合的思想方法能扬数之长、取形之优，使得“数量关系”与“空间形式”珠联璧合，相映生辉。为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。以下从“以形助数”、“以数助形”、 “数形结合”三个方面论述了数形结合的思想方法的重要性。

1 “以形助数”，较直观、快捷。

某些看似单纯的数量关系的代数问题，如果能注意到它所包含的几何意义，或者设计出一个与之相关的几何模型则可找到新颖别致的解法，我们从以下两个例题可看到借助“形”不但有直观的分析，而且对知识能有更深刻的掌握。

例1 求函数y=x

x cos 2sin 3 的最大值和最小值。

分析：由斜率公式k=1212x x y y --, 将原式变形为3

y ＝)2(cos 0sin ---x x ，则求y 的最值可转化为求点（cosx,sinx ）与点(-2,0)的连线斜率范围。根据几何意义建立模型借助图形解题更简单。

解：设点P （cosx,sinx ）,Q(-2,0),则3

y

可看成单位圆上的动点P 与点Q

连线的斜率，如图

图1

设直线QP 是方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0,则圆心（0，0）到它的距离

d=122+k k

=1。

解得k 1=-

33或k 2=33 所以－33≤3

y ≤33，即－1≤y ≤1。 故y max =1，y min =-1。

例2 不等式4-x 2 >x+2的解集是

分析：如果按照常规解法需要复杂计算，如果转化为图形处理，以形助数就方便多了。可令y 1=4-x 2 ， y 2=x+2，在同一坐标系中分别作出它们的函数图象。如图2所示从图象中观察可见使y 1>y 2成立的取值范围是(-2,0)。

图2

2 以数助形，能精确判断，深刻表述。

某些代数三角问题，借助于函数图象性质来探求思路或作出结论。而某些几何图，可通过计算或数量分析的方法，能准确和深刻地表述图形的性质，获得问题的结论。以下为两个例题：

例3 若函数y=f(x)是函数y=1-1-x2(-1≤x≤0)的反函数，则y=f(x)的图象大致形状是：( )

x x

(A) (B) (C)

分析：由原函数和反函数的关系，原函数的定义域和值域为其反函数的值域和定义域。因函数y=1-1-x2的定义域为[-1,0]，值域[0,1]，故其反函数的定义域为[0,1]，值域为[-1,0]，从而知道所给出的图形中符合要求的只有( C )。

3 数形结合，综合应用。

由数想形、由形思数是数形结合的两个方面，有时又要综合应用，既由图形寻找出数量关系，又通过代数方法加以解决。

例5 某公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，y（元）是推销费如图已表示了公司每月付给推销员推销费

的两种方案，看图3解答下列问题：

（1）求y

1与y

2

的函数解析式。

（2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？

（1）分析：从图象我们看出函数y

1是正比例函数，可设x

k

y

1

1

=，且经过点

图3

（30，600），求得函数解析式y 1=20x ；函数y 2是一次函数，可设b x k y +=22，且经过点（0，300）、（30，600），求得函数解析式y 2=10x+300。

（2）分析：对于求出的两个函数解析式y 1=20x ，当0,01==y x ；20,11==y x ； 40,21==y x 从而可知这种付款方案是不推销产品没有推销费，每推销1件产品得推销费20元；对于y 2=10x+300，当300,02==y x ；310,12==y x ；

320,22==y x 从而可知这种付款方案是保底工资300元，

每推销1件产品再提成10元。

以形助数，以数助形,结合使用,能使复杂问题简单化,抽象问题形象化。在教学渗透数形结合的思想时，应指导学生掌握以下几点：

① 善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系。② 正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系。切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性，以性识图。

现代数学教学的主要目的和任务早已不再是简单的知识和方法传授，而是通过数学教学在传授知识与方法的同时培养学生的数学素质。而数学思想方法又是数学素质的精髓与灵魂，是数学学习的核心。因此，掌握数学最重要的思想方法─数形结合思想方法是学好数学的必要条件。

综上所述可见，数形结合思想方法是学好数学的一把钥匙。它可将一些看似复杂的问题变得非常简单，也常使一些难于下手的问题迎刃而解。利用图形的直观性解题，巧妙地简化了大量繁杂的计算和逻辑推理过程，构思新颖，解题简洁。其方法的丰富内涵对培养与发展学生的思维能力、解题能力极为有用，也有助于增强学生的数学素养，因而这种方法在数学教学中应给予足够重视。

参考文献：

[1] 张传鹏，数形结合在三角函数中的应用，《高中数理化》（高一），2007年第03期.

[2] 万兴灿、邹守存，数形结合常用常新，《中学数学》，2001年第05期.

[3] 金英兰主编，《 各个击破.初中数学.一次函数与反比例函数》，延边大学出版社，2007.8.